Soal dan Pembahasan – Fungsi Pembangkit Dasar: Bagian 2

       Soal Nomor 1- 15 (bagian 1) dapat dilihat pada pranala berikut. $\bigstar\bigstar\bigstar$
Soal Latihan- Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 1

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit untuk Permutasi

Soal Nomor 16
Tentukan koefisien $x^{12}$ dalam ekspresi$ (x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \cdots)^3 \\ & = (x^3(1 + x + x^2 + x^3 \cdots))^3 \\ & =x^9(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^3 \end{aligned}$

Untuk memperoleh koefisien $x^{12}$, kita hanya perlu menentukan koefisien $x^3$ dalam ekspresi kurungnya. Perhatikan bahwa ekspresi yang dimaksud dalam keadaan dipangkatkan $3$, sehingga kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa koefisien $x^3$-nya adalah $1$.
Ingat kembali preposisi berikut.
$\boxed{(1+x+x^2+\cdots)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n-1+k}{k}x^k}$
Kita akan menentukan koefisien $x^3$, berarti $k$ yang dipilih adalah $3$. Jadi, koefisien $x^3$ dalam ekspresi tersebut adalah
$\displaystyle \binom{3-1+3}{3} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!2!} = 10$
Dengan demikian, koefisien $x^{12}$ dalam ekspresi$ (x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3$ adalah $\boxed{10}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan koefisien $x^{24}$ dalam ekspresi $(x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4 \\ & = \left(\dfrac{(1-x)(x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})}{1-x}\right)^4 \\ & = \left(\dfrac{x^3- x^{13}}{1-x}\right)^4 \\ & = (x^3- x^{13})^4 \left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4 \end{aligned}$

Dengan menggunakan metode Segitiga Pascal atau Teorema Binomial pada ekspresi $(x^3- x^{13})^4$, diperoleh
$(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$ $(1+x+x^2+\cdots)^4$
Karena yang akan dicari adalah koefisien $x^{24}$, maka kita temukan bahwa hanya dua suku pertama dalam ekspresi $(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$ yang akan ditinjau karena pangkatnya tidak melebihi $24$, yaitu $x^{12}$ dan $-4x^{22}$.
(i) Karena $x^{24} = x^{12} \cdot x^{12}$, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien $x^{12}$ dalam $(1+x+x^2+\cdots)^4$. Dengan menggunakan preposisi yang sama pada Soal Nomor 16, didapat
$$\text{Koef.}~x^{12} = \displaystyle \binom{4-1+12}{12} = \binom{15}{12} = \dfrac{15!}{12!3!} = 455$$(ii) Karena $x^{24} = x^{22}.x^{2}$, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien $x^{2}$ dalam $(1+x+x^2+\cdots)^4$. Dengan menggunakan prinsip yang sama,
$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^{2} & = \displaystyle \binom{4-1+2}{2} \\ & = \binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!} = 10 \end{aligned}$
Jadi, koefisien $x^{24}$ adalah $\boxed{1(455)- 4(10) = 415}$
Catatan: Angka $1$ dan $4$ didapat dari koefisien $x^{12}$ dan $x^{22}$ dalam ekspresi $(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$.

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan FPB dari barisan $\left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right)$.

Pembahasan

Misalkan $P(x)$ adalah FPB dari $(a_n) = \left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right)$, sehingga menurut definisinya,
$P(x) = 0x^0 + 1.x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots$
$=x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots$
$= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$
Perhatikan bahwa ekspresi $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ merupakan hasil integrasi dari $x^n$ terhadap $x$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty}x^n~dx & = \int \dfrac{1}{1-x}~dx \\ & =-\ln|1-x| \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah $\boxed{-\ln|1-x|}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan FPB dari barisan $(0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots)$ dan $(1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots)$.

Pembahasan

Misalkan $G(x)$ merupakan FPB dari $(a_n) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots)$, sehingga
$$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \\ & =0 \cdot x^0 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 + \cdots \\ & =x + x^3 + x^5 + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n \end{aligned}$$Dengan menggunakan perluasan ekspansi dari
$\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \dfrac{1}{1-x^2}}$
(mengganti $x$ menjadi $x^2$), diperoleh
$P(x) = x\left(\dfrac{1}{1-x^2}\right)= \dfrac{x}{1-x^2}$
Jadi, FPB dari barisan $a_n$ adalah  $\boxed{\dfrac{x}{1-x^2}}$
Sekarang, misalkan $G(x)$ merupakan FPB dari $(b_n) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots)$, sehingga
$$\begin{aligned} G(x) & = 1x^0 + 0x + 1x^2 + 0x^3 + 1x^4 + \cdots \\ & =1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots \\ & =(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)- (x + x^3 + x^5 + \cdots) \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ekspansi, diperoleh
$\begin{aligned} P(x) & = \dfrac{1}{1-x}- \dfrac{x}{1-x^2} \\ & = \dfrac{1+x-x}{1-x^2} \\ & = \dfrac{1}{1-x^2} \end{aligned} 
Jadi, FPB dari barisan $b_n$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{1-x^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan FPB dari barisan $(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots)$

Penyelesaian

Misalkan $P(x)$ adalah FPB dari $(a_n) = \left(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots \right)$, sehingga dengan definisi FPB, diperoleh,
$$\begin{aligned} P(x) & = 2 \cdot x^0 + 0 \cdot x + \dfrac{2}{3}x^2 + 0 \cdot x^3 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2 + \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2\left(1 + \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{5}x^4 + \cdots\right) \\ & =\dfrac{2}{x}\left(x + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \cdots \right) \\ &=\dfrac{2}{x} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\displaystyle \int x^{2n}~dx = \left(\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right)+ C$
Abaikan $C$ (karena $C = 0$), sehingga bentuk sigma di atas dapat ditulis menjadi
$P(x) = \dfrac{2}{x} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}~dx$
Dengan menggunakan perluasan dari $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x}$, diperoleh
$\begin{aligned} P(x) & =\displaystyle \dfrac{2}{x}  \int \dfrac{1}{1-x^2}~\text{d}x \\ & =  \dfrac{2}{x} \left(\dfrac{1}{2} \ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\right) \bigstar \\ & = \dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right| \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah $ \boxed{\dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|}$
Catatan: $\bigstar$ Untuk mengintegrasikan bentuk integral ini, teman-teman perlu menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial (karena penyebutnya dapat difaktorkan secara langsung).
Tinjau integrannya (ambil salah satu, misalkan untuk variabel $x$):
$\begin{aligned} \dfrac{1}{1-x^2} & = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)} \\ & = \dfrac{A}{1-x} + \dfrac{B}{1+x} \end{aligned}$
Dalam hal ini, kita akan menentukan nilai $A$ dan $B$. Samakan kembali penyebutnya,
$$ \dfrac{A(1+x) + B(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{(A-B)x + (A + B)}{1-x^2}$$Dengan hanya meninjau pembilangnya, kita tahu bahwa
$(A-B)x + (A+B) = 1$
Berarti, $A-B = 0$ dan $A + B = 1$. Selesaikan SPLDV ini, sehingga didapat bahwa $A = B = \dfrac{1}{2}$. Jadi, integrannya dapat diubah menjadi $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right)$. Proses integrasi dengan integran seperti ini tidak akan menjadi hal yang sulit lagi untuk dilakukan.

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan fungsi pembangkit eksponensial dari $a_n = n + 5$.

Pembahasan

Misalkan $P(x)$ adalah FPE dari $a_n = n + 5$. Dengan menggunakan definisi FPE, kita peroleh
$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n \\ &=  \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n+5}{n!}x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{5}{n!}x^n \end{aligned}$
Tinjau operator sigma pada suku pertama.
Gunakan teorema turunan pada fungsi pembangkit.
Katakanlah kita mempunyai barisan baru, sebut saja $(b_n) = 1$, yang memiliki FPE $G(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots = e^x$, dan kita ketahui bahwa turunan pertama $G(x)$ adalah $G'(x) = e^x$.
Ini berarti, barisan lain, sebut saja $(c_n) = n.b_n = n.1 = n$ memiliki FPE $x \cdot G'(x) = x \cdot e^x$
Lanjutkan ke bentuk $P(x)$:
$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + 5\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}x^n \\ & = x \cdot e^x + 5e^x = e^x(x + 5) \end{aligned}$
Jadi, FPE dari barisan tersebut adalah $e^x(x+5)$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan barisan yang memiliki FPE $(1 + x^2)^n$.

Pembahasan

Misalkan $P(x) = (1 + x^2)^n$ merupakan FPE dari barisan yang dimaksud, sebut saja $(a_k)$. Dengan menggunakan perluasan Teorema Binomial, yaitu
$\boxed{(1+ x^a)^n = \displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{ak}} \bigstar$
kita peroleh bahwa,
$\begin{aligned} P(x) & = (1 + x^2)^n \\ & = \displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{2k} \\ & = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\binom{n}{k}.(2k)!}{(2k)!} x^{2k} \end{aligned}$
Dengan meninjau kembali definisi FPE bahwa
$\boxed{G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n}$
(di mana $n = 2k$, batas bawah operator sigma tidak memengaruhi), diperoleh bahwa
$\boxed{a_k = \displaystyle \binom{n}{k}(2k)!}$
$\bigstar$ Ingat bahwa batas atas $n$ atau $\infty$ pada bentuk ini menghasilkan nilai yang sama, sebab apabila $k > n$, maka didefinisikan nilai binomnya adalah $0$.

[collapse]

Soal Nomor 23 
Tentukan barisan yang memiliki fungsi pembangkit biasa $G(x) = \dfrac{3}{2- 8x} + \dfrac{3x}{1-x}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} G(x) & = \dfrac{3}{2-8x} + \dfrac{3x}{1-x} \\ & = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{1-4x} + 3x \times \dfrac{1}{1-x} \\ &= \dfrac{3}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (4x)^n + 3x \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \dfrac{3}{2} (1 + 4x + 16x^2 + \cdots) + 3x(1 + x + x^2 + \cdots) \\ & = \left(\dfrac{3}{2} + 6x + 24x^2 + \cdots\right) + (3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots) \\ & = \dfrac{3}{2} + 9x + 27x^2 + \cdots \end{aligned}$$Jadi, barisan yang dimaksud adalah $\left(\dfrac{3}{2}, 9, 27, \cdots\right)$
atau bila ditulis dalam bentuk rumus sebagai berikut.
$\boxed{a_n = \begin{cases} \dfrac{3}{2} & \text{jika}~n = 0 \\ \dfrac{3}{2} \cdot 4^n + 3 & \text{jika}~n > 0 \end{cases}}$

[collapse]

Soal Nomor 24 (Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika)
Dalam bentuk yang paling sederhana, fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) $g(x)$ dari barisan $(1, 2, 3, 4, \cdots)$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Misalkan $a_n = (1, 2, 3, 4, \cdots) = n + 1$. Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa, dapat ditulis
$\begin{aligned} g(x) & = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n = 0}^{\infty} nx^n + \sum_{n = 0}^{\infty} x^n \end{aligned}$
(baca: penyelesaian soal nomor 10)
$\begin{aligned} g(x) & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{1-x} \\ & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1-x}{(1-x)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1-x)^2} \end{aligned}$
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan $(1, 2, 3, 4, \cdots)$ adalah 
$\boxed{g(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 25 (Soal OSN Pertamina 2010 Penyisihan Tingkat Provinsi)
Jika $F(x)$ adalah fungsi pembangkit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai
$a_1 = 0$
$a_2 = 1$
$a_{n+1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1}$,
maka pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots$
A. $\dfrac{F(x)}{2} = x^2F'(x) + x^3F^{\prime \prime}(x)$
B. $F(x) = xF'(x) + x^2F^{\prime \prime}(x)$
C. $F(x) = x(x^2F'(x))’$
D. $F'(x) = \dfrac{F(x) + 2x^3F^{\prime \prime}(x)}{x^2}$
E. $F'(x^2) = 4x^6F^{\prime \prime}(x^2) + F(x)$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 26 
Diberikan barisan rekursif $a_{n+1}- 2a_n = 2^n$ dengan $a_0 = 1$. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Pembahasan

Ubah rumus barisan rekursif tersebut menjadi rumus barisan eksplisit.
Bagi kedua ruas dengan $2^{n+1}$, sehingga diperoleh
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}- \dfrac{2a_n}{2^{n+1}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}}$
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}- \dfrac{a_n}{2^n} = \dfrac{1}{2}$
Misalkan $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$,  sehingga diperoleh rumus barisan baru,
$b_{n+1}- b_n = \dfrac{1}{2}$
Karena $a_0 = 1$, maka $b_0 = \dfrac{1}{2^0} = 1$, sehingga diperoleh suatu barisan bilangan $(1, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}, \cdots)$, yang berarti $b_n = \dfrac{n + 2}{2}$. Dengan demikian,
$\dfrac{n+2}{2} = \dfrac{a_n}{2^n}$
$a_n = 2^{n-1}(n+2)$
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa,
$ \displaystyle \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2^{n-1}(n+2)) x^n \\ & =  \dfrac{1}{2}\left(\sum_{n = 0}^{\infty} n(2x)^n + \sum_{n = 0}^{\infty} (2x)^n\right)  \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x}{(1- 2x)^2} + \dfrac{1}{1- 2x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2(1- 2x)^2} \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan rekursif tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{2(1- 2x)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Diberikan barisan bilangan berikut
$$\begin{aligned} & 2, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}(\sqrt{2}- 1), \\ & \dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2), \\ & \dfrac{1}{(3)(4)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3), \\ & \dfrac{1}{(3)(4)(5)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-4),\cdots \end{aligned}$$Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Pembahasan

Kita akan mendapatkan nilai rasio yang unik dari barisan tersebut.
$\dfrac{a_1}{a_0} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}- 0}{1}$
$\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{2(\sqrt{2}- 1)}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}- 1}{2}$
$\dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)}{2(\sqrt{2}- 1)} = \dfrac{\sqrt{2}- 2}{3}$
$\vdots~~~\vdots~~~\vdots$
$\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \dfrac{\sqrt{2}- (n-1)}{n}$
Bentuk di atas jelas bukan rumus barisan standar untuk menentukan fungsi pembangkit biasa, tapi kita akan menemukan bahwa
$\displaystyle \binom{\alpha}{n} \div \binom{\alpha}{n-1} = \frac{\alpha- (n- 1)}{n}$
Jika kita bandingkan dengan rasio tadi, kita peroleh $\alpha = \sqrt{2}$. Jadi,
$a_n = \displaystyle a\binom{\sqrt{2}}{n}$.

Untuk mendapatkan koefisien $a$, bandingkan terhadap nilai $a_0$ sebagai berikut.
$a_0 = \displaystyle a \binom{\sqrt{2}}{0} = a\dfrac{(\sqrt{2})!}{(\sqrt{2})!0!}$
$2 = a \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
Berarti, $a = 2$
Dengan demikian, $a_n = \displaystyle 2\binom{\sqrt{2}}{n}$
Misalkan $F(x)$ fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_n$, sehingga
$F(x) = 2 \displaystyle \sum_{n \ge 0}  \binom{\sqrt{2}}{n}x^n$
$F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}$
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan yang dimaksud adalah 
$\boxed{F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}}$

[collapse]

Soal Nomor 28 
Dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa, tentukan jumlah dari
$\underbrace{12 + 12 + 12 + \cdots + 12}_{n + 1}$

Pembahasan

Rumus barisan di atas adalah $a_n = (12)$, yang memiliki fungsi pembangkit biasa
$G(x) = 12 + 12x + 12x^2 + \cdots = \dfrac{12}{1-x}$
Berdasarkan teorema fungsi pembangkit mengenai koefisien jumlah suatu barisan, kita dapatkan
$H(x) = \dfrac{G(x)} {1-x} = \dfrac{12}{(1-x)^2}$
Jumlah yang dimaksud adalah koefisien $x^n$ dari $H(x)$, yaitu
$12\displaystyle \binom{n + 2-1}{n} = 12\binom{n+1}{n} = 12(n+1)$
Diperolehlah jawaban persis seperti apa yang kita harapkan.

[collapse]

Soal Nomor 29
Hitunglah jumlah dari $2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + 2r^2$.

Penyelesaian

Fungsi pembangkit dari barisan $a_n = 2n^2$ adalah
$G(x) = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3}$
(Lihat jawaban soal nomor 11)
Jumlah dari $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ adalah koefisien dari $x^n$ dalam
$\begin{aligned} H(x) & = \dfrac{G(x)} {1-x} \\ & = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^4} \\ & = 2x(1-x)^{-4} + 2x^2(1-x)^{-4} \end{aligned}$
Koefisien dari $x^n$ dalam $2x(1-x)^{-4}$ adalah koefisien $x^{n-1}$ dalam $2(1-x)^{-4}$, sedangkan koefisien $x^n$ dalam $2x^2(1-x)^{-4}$ adalah koefisien $x^{n-2}$ dalam $2(1-x)^{-4}$.
Dengan demikian, jumlah yang dimaksud adalah
$$\displaystyle 2\binom{(n-1)+4-1}{n-1} + 2\binom{(n-2)+4-1}{n-2} = 2\binom{n+2}{3} + 2\binom{n+1}{3}$$  

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan fungsi pembangkit dari $a_r = (r+1)r(r-1)$.

Penyelesaian

Diberikan barisan $a_r = r^3- r$. Untuk mencari fungsi pembangkitnya, kita harus melakukan dua tahap/proses, yaitu mencari fungsi pembangkit dengan koefisien $r^3$ dan $r$ (gunakan teorema turunan dalam fungsi pembangkit). Selain itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.
Misalkan fungsi pembangkit $\dfrac{3!} {(1-x)^4}$ mempunyai koefisien $a_r$, di mana
$\begin{aligned} a_r & = 3! \displaystyle \binom{r + 4- 1}{r} \\ & = \dfrac{3!(r+3)!} {r! \cdot 3!} = (r+3)(r+2)(r+1) \end{aligned}$
maka ekspansi deret pangkat dari $3!(1-x)^{-4}$ adalah
$\begin{aligned} & \dfrac{3!} {(1-x)^4} = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2x \\ & + \cdots + (r+3)(r+2)(r+1)x^r + \cdots \end{aligned}$
Bila ini dibandingkan dengan fungsi pembangkit
$\begin{aligned} h(x) & = 3 \cdot 2 \cdot 1x^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2x^3 \\ & + \cdots + (r+1)r(r-1)x^r + \cdots \end{aligned}$
maka ini berarti $\boxed{h(x) = 3!x^2(1-x)^{-4}}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan $(2,-1, 2,-1, 2,-1, \cdots)$.

Penyelesaian

Misalkan $G(x)$ adalah FPB dari barisan $a_n = (2,-1, 2,-1, 2,-1, \cdots)$, maka berdasarkan definisi FPB, dapat ditulis
$$\begin{aligned} G(x) & = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = 2x^0- x + 2x^2- x^3 + 2x^4- x^5 + 2x^6- \cdots \\ & = 2(x^0 + x^2 + x^4 + \cdots)- (x + x^3 + x^5 + \cdots) \\ & =  2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2n}- \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n-1} \\ & = \dfrac{2}{1-x^2}- \dfrac{1}{x(1-x^2)} \\ & = \dfrac{2x- 1}{x(1-x^2)} \end{aligned}$$Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2x- 1}{x(1-x^2)}}$.
NB: Ingat bahwa
$\boxed{\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Pilihlah satu bilangan antara $20$ sampai $50$ (Pastikan setiap orang berbeda). Misalkan bilangan tersebut sebagai $n$.
Jelaskan bagaimana ide fungsi pembangkit dapat digunakan untuk menentukan banyak kemungkinan mendapatkan jumlah $n$ dari pelemparan $10$ buah dadu bermata $6$.

Pembahasan Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 33
Diketahui barisan $(a_n) = (2,-1, 5,-7, 17, \cdots)$ merupakan hasil penjumlahan suku yang bersesuaian dari barisan $(1, 1, 1, \cdots)$ dan $(1,-2, 4,-8, \cdots)$. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_n$.

Pembahasan

Misalkan $(b_n) = (1,1,1, \cdots)$ yang memiliki rumus $b_n = 1$ dan $(c_n) = (1,-2,4,-8,\cdots)$ yang memiliki rumus $c_n = (-2)^n$ untuk $n \geq 0$.
FPB dari barisan $(b_n) = (1,1,1, \cdots)$ dinyatakan oleh
$\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} b_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$
FPB dari barisan $(c_n) = (1,-2, 4,-8, \cdots)$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} c_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (-2)^nx^n = \sum_{n = 0} (-2x)^n \\ & = \dfrac{1}{1 + 2x} \end{aligned}$
Dengan demikian, FPB dari barisan $(a_n) = (2,-1, 5,-7, 17, \cdots)$ adalah
$\begin{aligned} \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1 + 2x} & = \dfrac{(1+2x)+(1-x)}{(1-x) (1+2x)} \\ & = \dfrac{x + 2} {-2x^2 + x + 1} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan barisan yang dibangkitkan oleh fungsi $f(x) = \dfrac{1}{2- x}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $(1+x+x^2+\cdots)$ merupakan Ekspansi Maclaurin dari $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$
Sekarang,
$\dfrac{1}{2-x} = \dfrac{1}{\dfrac12\left(1- \dfrac12x\right)} = \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1- \dfrac12x}$
dapat diekspansikan menjadi
$\begin{aligned} & \dfrac12\left(1 + \dfrac12x + \left(\dfrac12x\right)^2 + \cdots\right) \\ & = \dfrac12 + \dfrac14x + \dfrac18x^2 + \cdots \end{aligned}$.

Dengan memperhatikan koefisien setiap suku, diperoleh barisan geometri: $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, \cdots$ dengan rumus $a_n = \dfrac{1}{2^{n+1}}$ untuk $n \geq 0$.  
Jadi, barisan yang dibangkitkan oleh fungsi tersebut adalah $\boxed{a_n = \dfrac{1}{2^{n+1}}, n \geq 0}$

[collapse]

CategoriesMatematika Diskrit, Barisan dan DeretTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *