Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 2

 Soal Nomor 1 – 15 (bagian 1) dapat dilihat pada pranala berikut. \bigstar\bigstar\bigstar
Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 1

Soal Nomor 16
Tentukan koefisien x^{12} dalam ekspresi(x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \cdots)^3 \\ & = (x^3(1 + x + x^2 + x^3 \cdots))^3 \\ & =x^9(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^3 \end{aligned}

Untuk memperoleh koefisien x^{12}, kita hanya perlu menentukan koefisien x^3 dalam ekspresi kurungnya. Perhatikan bahwa ekspresi yang dimaksud dalam keadaan dipangkatkan 3, sehingga kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa koefisien x^3-nya adalah 1.
Ingat kembali preposisi berikut.
\boxed{(1+x+x^2+\cdots)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n-1+k}{k}x^k}
Kita akan menentukan koefisien x^3, berarti k yang dipilih adalah 3. Jadi, koefisien x^3 dalam ekspresi tersebut adalah
\displaystyle \binom{3-1+3}{3} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!2!} = 10
Dengan demikian, koefisien x^{12} dalam ekspresi(x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3 adalah \boxed{10}.

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan koefisien x^{24} dalam ekspresi (x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4 \\ & = \left(\dfrac{(1-x)(x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})}{1-x}\right)^4 \\ & = \left(\dfrac{x^3 - x^{13}}{1-x}\right)^4 \\ & = (x^3 - x^{13})^4 \left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4 \end{aligned}

Dengan menggunakan metode Segitiga Pascal atau Teorema Binomial pada ekspresi (x^3 - x^{13})^4, diperoleh
(x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52})(1+x+x^2+\cdots)^4
Karena yang akan dicari adalah koefisien x^{24}, maka kita temukan bahwa hanya dua suku pertama dalam ekspresi (x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52}) yang akan ditinjau karena pangkatnya tidak melebihi 24, yaitu x^{12} dan -4x^{22}.
(i) Karena x^{24} = x^{12} \cdot x^{12}, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien x^{12} dalam (1+x+x^2+\cdots)^4. Dengan menggunakan preposisi yang sama pada Soal Nomor 16, didapat
\text{Koefisien}~x^{12} = \displaystyle \binom{4-1+12}{12} = \binom{15}{12} = \dfrac{15!}{12!3!} = 455
(ii) Karena x^{24} = x^{22}.x^{2}, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien x^{2} dalam (1+x+x^2+\cdots)^4. Dengan menggunakan prinsip yang sama,
\begin{aligned} \text{Koefisien}~x^{2} & = \displaystyle \binom{4-1+2}{2} \\ & = \binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!} = 10 \end{aligned}
Jadi, koefisien x^{24} adalah \boxed{1(455) - 4(10) = 415}.
Catatan: Angka 1 dan 4 didapat dari koefisien x^{12} dan x^{22} dalam ekspresi (x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52}).

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan FPB dari barisan \left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right).

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPB dari (a_n) = \left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right), sehingga menurut definisinya,
P(x) = 0x^0 + 1.x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots
=x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots
= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}
Perhatikan bahwa ekspresi \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} merupakan hasil integrasi dari x^n terhadap x, sehingga diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty}x^n~dx & = \int \dfrac{1}{1-x}~dx \\ & = \boxed{-\ln|1-x|} \end{aligned}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah \boxed{-\ln|1-x|}.

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan FPB dari barisan (0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots) dan (1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots).

Penyelesaian

Misalkan G(x) merupakan FPB dari (a_n) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots), sehingga
\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \\ & =0.x^0 + 1.x + 0.x^2 + 1.x^3 + 0.x^4 + \cdots \\ & =x + x^3 + x^5 + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n \end{aligned}
Dengan menggunakan perluasan ekspansi dari
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \dfrac{1}{1-x^2}}
(mengganti x menjadi x^2), diperoleh
P(x) = x\left(\dfrac{1}{1-x^2}\right)= \dfrac{x}{1-x^2}
Jadi, FPB dari barisan a_n adalah  \boxed{\dfrac{x}{1-x^2}}

Sekarang, misalkan G(x) merupakan FPB dari (b_n) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots), sehingga
\begin{aligned} & G(x) = 1x^0 + 0x + 1x^2 + 0x^3 + 1x^4 + \cdots \\ & =1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots \\ & =(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots) - (x + x^3 + x^5 + \cdots) \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus ekspansi, diperoleh
P(x) = \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{x}{1-x^2} = \dfrac{1+x-x}{1-x^2} = \dfrac{1}{1-x^2}
Jadi, FPB dari barisan b_n adalah
\boxed{\dfrac{1}{1-x^2}}

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan FPB dari barisan (2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots)

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPB dari (a_n) = \left(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots \right), sehingga dengan definisi FPB, diperoleh,
\begin{aligned} P(x) & = 2 \cdot x^0 + 0 \cdot x + \dfrac{2}{3}x^2 + 0 \cdot x^3 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2 + \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2\left(1 + \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{5}x^4 + \cdots\right) \\ & =\dfrac{2}{x}\left(x + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \cdots \right) \\ &=\dfrac{2}{x} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1} \end{aligned}
Perhatikan bahwa \displaystyle \int x^{2n}~dx = \left(\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right)+ C
Abaikan C (karena C = 0), sehingga bentuk sigma di atas dapat ditulis menjadi
P(x) = \dfrac{2}{x} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}~dx
Dengan menggunakan perluasan dari \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x}, diperoleh
\begin{aligned} P(x) & =\displaystyle \dfrac{2}{x}  \int \dfrac{1}{1-x^2}~\text{d}x \\ & =  \dfrac{2}{x} \left(\dfrac{1}{2} \ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\right) \bigstar \\ & = \dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right| \end{aligned}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|}
Catatan: \bigstar Untuk mengintegrasikan bentuk integral ini, teman-teman perlu menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial (karena penyebutnya dapat difaktorkan secara langsung).
Tinjau integrannya (ambil salah satu, misalkan untuk variabel x):
\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{A}{1-x} + \dfrac{B}{1+x}
Dalam hal ini, kita akan menentukan nilai A dan B. Samakan kembali penyebutnya,
\dfrac{A(1+x) + B(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{(A-B)x + (A + B)}{1-x^2}
Dengan hanya meninjau pembilangnya, kita tahu bahwa
(A-B)x + (A+B) = 1
Berarti, A-B = 0 dan A + B = 1. Selesaikan SPLDV ini, sehingga didapat bahwa A = B = \dfrac{1}{2}. Jadi, integrannya dapat diubah menjadi \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right). Proses integrasi dengan integran seperti ini tidak akan menjadi hal yang sulit lagi untuk dilakukan.

[collapse]

Soal Nomor 21 (Requested by Nyossst on October, 24th 2017)
Tentukan fungsi pembangkit eksponensial dari a_n = n + 5

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPE dari a_n = n + 5. Dengan menggunakan definisi FPE, kita peroleh
\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n \\ &=  \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n+5}{n!}x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{5}{n!}x^n \end{aligned}
Tinjau operator sigma pada suku pertama.
Gunakan teorema turunan pada fungsi pembangkit.
Katakanlah kita mempunyai barisan baru, sebut saja (b_n) = 1, yang memiliki FPE G(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots = e^x, dan kita ketahui bahwa turunan pertama G(x) adalah G'(x) = e^x.
Ini berarti, barisan lain, sebut saja (c_n) = n.b_n = n.1 = n memiliki FPE x.G'(x) = x.e^x
Lanjutkan ke bentuk P(x):
\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + 5\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}x^n \\ & = x.e^x + 5e^x = e^x(x + 5) \end{aligned}
Jadi, FPE dari barisan tersebut adalah e^x(x+5)

[collapse]

Soal Nomor 22 (Requested by Nyossst on October, 24th 2017)
Tentukan barisan yang memiliki FPE (1 + x^2)^n.

Penyelesaian

Misalkan P(x) = (1 + x^2)^n merupakan FPE dari barisan yang dimaksud, sebut saja (a_k). Dengan menggunakan perluasan Teorema Binomial, yaitu
\boxed{(1+ x^a)^n = \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{ak}}
kita peroleh bahwa,
\begin{aligned} P(x) & = (1 + x^2)^n \\ & = \displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{2k}} \\ & = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\binom{n}{k}.(2k)!}{(2k)!} x^{2k}} \end{aligned}
Dengan meninjau kembali definisi FPE bahwa
\boxed{G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n}
(di mana n = 2k, batas bawah operator sigma tidak memengaruhi), diperoleh bahwa
\boxed{a_k = \displaystyle \binom{n}{k}(2k)!}

[collapse]

Soal Nomor 23 (Soal UTS Matematika Diskrit Promat FKIP Untan, tahun 2017/2018)
Tentukan barisan yang memiliki fungsi pembangkit biasa G(x) = \dfrac{3}{2 - 8x} + \dfrac{3x}{1-x}.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & G(x) = \dfrac{3}{2-8x} + \dfrac{3x}{1-x} \\ & = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{1-4x} + 3x \times \dfrac{1}{1-x} \\ &= \dfrac{3}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (4x)^n + 3x \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \dfrac{3}{2} (1 + 4x + 16x^2 + \cdots) + 3x(1 + x + x^2 + \cdots) \\ & = \left(\dfrac{3}{2} + 6x + 24x^2 + \cdots\right) + (3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots) \\ & = \dfrac{3}{2} + 9x + 27x^2 + \cdots \end{aligned}
Jadi, barisan yang dimaksud adalah \left(\dfrac{3}{2}, 9, 27, \cdots\right)
atau bila ditulis dalam bentuk rumus sebagai berikut.
\boxed{a_n = \begin{cases} \dfrac{3}{2} & \text{jika}~n = 0 \\ \dfrac{3}{2} \cdot 4^n + 3 & \text{jika}~n > 0 \end{cases}}

[collapse]

Soal Nomor 24 (Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika)
Dalam bentuk yang paling sederhana, fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) g(x) dari barisan (1, 2, 3, 4, \cdots) adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan a_n = (1, 2, 3, 4, \cdots) = n + 1. Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa, dapat ditulis
\begin{aligned} g(x) & = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n = 0}^{\infty} nx^n + \sum_{n = 0}^{\infty} x^n \end{aligned}
(baca: penyelesaian soal nomor 10)
\begin{aligned} g(x) & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{1-x} \\ & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1-x}{(1-x)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1-x)^2}} \end{aligned}
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan (1, 2, 3, 4, \cdots) adalah 
\boxed{g(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}}

[collapse]

Soal Nomor 25 (Soal OSN Pertamina 2010 Penyisihan Tingkat Provinsi)
Jika F(x) adalah fungsi pembangkit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai
a_1 = 0
a_2 = 1
a_{n+1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1},
maka pernyataan berikut yang benar adalah \cdots
A. \dfrac{F(x)}{2} = x^2F'(x) + x^3F''(x)
B. F(x) = xF'(x) + x^2F''(x)
C. F(x) = x(x^2F'(x))'
D. F'(x) = \dfrac{F(x) + 2x^3F''(x)}{x^2}
E. F'(x^2) = 4x^6F''(x^2) + F(x)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 26 
Diberikan barisan rekursif a_{n+1} - 2a_n = 2^n dengan a_0 = 1. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Ubah rumus barisan rekursif tersebut menjadi rumus barisan eksplisit.
Bagi kedua ruas dengan 2^{n+1}, sehingga diperoleh
\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{2a_n}{2^{n+1}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}}
\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{a_n}{2^n} = \dfrac{1}{2}
Misalkan b_n = \dfrac{a_n}{2^n},  sehingga diperoleh rumus barisan baru,
b_{n+1} - b_n = \dfrac{1}{2}
Karena a_0 = 1, maka b_0 = \dfrac{1}{2^0} = 1, sehingga diperoleh suatu barisan bilangan (1, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}, \cdots), yang berarti b_n = \dfrac{n + 2}{2}. Dengan demikian,
\dfrac{n+2}{2} = \dfrac{a_n}{2^n}
a_n = 2^{n-1}(n+2)
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa,
\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2^{n-1}(n+2)) x^n \\ & =  \dfrac{1}{2}\left(\sum_{n = 0}^{\infty} n(2x)^n + \sum_{n = 0}^{\infty} (2x)^n\right)  \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x}{(1 - 2x)^2} + \dfrac{1}{1 - 2x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2(1 - 2x)^2} \end{aligned}
Jadi, FPB dari barisan rekursif tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{2(1 - 2x)^2}}

[collapse]

Soal Nomor 27
Diberikan barisan bilangan berikut
2, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1),
\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2),
\dfrac{1}{(3)(4)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3),
\dfrac{1}{(3)(4)(5)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-4),\cdots

Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Kita akan mendapatkan nilai rasio yang unik dari barisan tersebut.
\dfrac{a_1}{a_0} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 0}{1}
\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}
\dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)}{2(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{\sqrt{2} - 2}{3}
\vdots~~~\vdots~~~\vdots
\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \dfrac{\sqrt{2} - (n-1)}{n}
Bentuk di atas jelas bukan rumus barisan standar untuk menentukan fungsi pembangkit biasa, tapi kita akan menemukan bahwa
\displaystyle \binom{\alpha}{n} \div \binom{\alpha}{n-1} = \frac{\alpha - (n - 1)}{n}
Jika kita bandingkan dengan rasio tadi, kita peroleh \alpha = \sqrt{2}. Jadi,
a_n = \displaystyle a\binom{\sqrt{2}}{n}.

Untuk mendapatkan koefisien a, bandingkan terhadap nilai a_0 sebagai berikut.
a_0 = \displaystyle a \binom{\sqrt{2}}{0} = a\dfrac{(\sqrt{2})!}{(\sqrt{2})!0!}
2 = a \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
Berarti, a = 2
Dengan demikian, a_n = \displaystyle 2\binom{\sqrt{2}}{n}
Misalkan F(x) fungsi pembangkit biasa dari barisan a_n, sehingga
F(x) = 2 \displaystyle \sum_{n \ge 0}  \binom{\sqrt{2}}{n}x^n
F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan yang dimaksud adalah 
\boxed{F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}}

[collapse]

Soal Nomor 28 (Soal UTS Matematika Diskrit Promat FKIP Untan T.A. 2017/2018)
Dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa, tentukan jumlah dari
\underbrace{12 + 12 + 12 + \cdots + 12}_{n + 1}

Penyelesaian

Rumus barisan di atas adalah a_n = 12, yang memiliki fungsi pembangkit biasa
G(x) = 12 + 12x + 12x^2 + \cdots = \dfrac{12}{1-x}
Berdasarkan teorema fungsi pembangkit mengenai koefisien jumlah suatu barisan, kita dapatkan
H(x) = \dfrac{G(x)} {1-x} = \dfrac{12}{(1-x)^2}
Jumlah yang dimaksud adalah koefisien x^n dari H(x), yaitu
12\displaystyle \binom{n + 2 - 1}{n} = \binom{n+1}{1} = 12(n+1)
Diperolehlah jawaban persis seperti apa yang kita harapkan.

[collapse]

Soal Nomor 29
Hitunglah jumlah dari
2.1^2 + 2.2^2 + \cdots + 2r^2

Penyelesaian

Fungsi pembangkit dari barisan a_n = 2n^2 adalah
G(x) = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3}
(Lihat jawaban soal nomor 11)
Jumlah dari a_1 + a_2 + \cdots + a_n adalah koefisien dari x^n dalam
\begin{aligned} H(x) & = \dfrac{G(x)} {1-x} \\ & = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^4} \\ & = 2x(1-x)^{-4} + 2x^2(1-x)^{-4} \end{aligned}
Koefisien dari x^n dalam 2x(1-x)^{-4} adalah koefisien x^{n-1} dalam 2(1-x)^{-4}, sedangkan koefisien x^n dalam 2x^2(1-x)^{-4} adalah koefisien x^{n-2} dalam 2(1-x)^{-4}.
Dengan demikian, jumlah yang dimaksud adalah
\begin{aligned} \displaystyle 2\binom{(n-1)+4-1}{n-1} &  + 2\binom{(n-2)+4-1}{n-2} \\ & = 2\binom{n+2}{3} + 2\binom{n+1}{3} \end{aligned}  

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan fungsi pembangkit dari a_r = (r+1)r(r-1)

Penyelesaian

Diberikan barisan a_r = r^3 - r. Untuk mencari fungsi pembangkitnya, kita harus melakukan dua tahap/proses, yaitu mencari fungsi pembangkit dengan koefisien r^3 dan r (gunakan teorema turunan dalam fungsi pembangkit). Selain itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.
Misalkan fungsi pembangkit \dfrac{3!} {(1-x)^4} mempunyai koefisien a_r, di mana
\begin{aligned} a_r & = 3! \displaystyle \binom{r + 4 - 1}{r} \\ & = \dfrac{3!(r+3)!} {r! \cdot 3!} = (r+3)(r+2)(r+1) \end{aligned}
maka ekspansi deret pangkat dari 3!(1-x)^{-4} adalah
\begin{aligned}  \dfrac{3!} {(1-x)^4}  & = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2x \\ & + \cdots + (r+3)(r+2)(r+1)x^r + \cdots \end{aligned}
Bila ini dibandingkan dengan fungsi pembangkit
\begin{aligned} h(x) & = 3 \cdot 2 \cdot 1x^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2x^3 \\ & + \cdots + (r+1)r(r-1)x^r + \cdots \end{aligned}
maka ini berarti \boxed{h(x) = 3!x^2(1-x)^{-4}}

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan (2, -1, 2, -1, 2, -1, \cdots)

Penyelesaian

Misalkan G(x) adalah FPB dari barisan a_n = (2, -1, 2, -1, 2, -1, \cdots), maka berdasarkan definisi FPB, dapat ditulis
\begin{aligned} & G(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = 2x^0 - x + 2x^2 - x^3 + 2x^4 - x^5 + 2x^6 - \cdots \\ & = 2(x^0 + x^2 + x^4 + \cdots) - (x + x^3 + x^5 + \cdots) \\ & =  2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2n} - \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n-1} \\ & = \dfrac{2}{1-x^2} - \dfrac{1}{x(1-x^2)} \\ & = \dfrac{2x - 1}{x(1-x^2)} \end{aligned}
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut adalah \boxed{\dfrac{2x - 1}{x(1-x^2)}}.
NB: Ingat bahwa
\boxed{\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

13 Balasan untuk “Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 2”

  1. I often visit your blog and have noticed that you don’t update it
    often. More frequent updates will give your page higher rank & authority in google.
    I know that writing posts takes a lot of time, but you can always help yourself with miftolo’s tools which will shorten the
    time of creating an article to a couple of seconds.

    Rate
  2. I have noticed you don’t monetize your website, don’t waste your
    traffic, you can earn additional bucks every month. You can use the best adsense alternative for any type of website (they approve all websites), for more info simply search in gooogle: boorfe’s tips monetize your
    website

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *