Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 2


Soal Nomor 1 – 15 (bagian 1) dalam link berikut. \bigstar\bigstar\bigstar
Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 1

Soal Nomor 16
Tentukan koefisien x^{12} dalam ekspresi(x^3 + x^4 + x^5 + ...)^3.

Penyelesaian

(x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \cdots)^3
=(x^3(1 + x + x^2 + x^3 \cdots))^3
=x^9(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^3
Untuk memperoleh koefisien x^{12}, kita hanya perlu menentukan koefisien x^3 dalam ekspresi kurungnya. Perhatikan bahwa ekspresi yang dimaksud dalam keadaan dipangkatkan 3, sehingga kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa koefisien x^3nya adalah 1.
Ingat kembali preposisi berikut.
\boxed{(1+x+x^2+...)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n-1+k}{k}x^k}
Kita akan menentukan koefisien x^3, berarti k yang dipilih adalah 3. Jadi, koefisien x^3 dalam ekspresi tersebut adalah
\displaystyle \binom{3-1+3}{3} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!2!} = 10
Dengan demikian, koefisien x^{12} dalam ekspresi(x^3 + x^4 + x^5 + ...)^3 adalah 10.

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan koefisien x^{24} dalam ekspresi (x^3 + x^4 + ... + x^{12})^4.

Penyelesaian

(x^3 + x^4 + ... + x^{12})^4
= \left(\dfrac{(1-x)(x^3 + x^4 + ... + x^{12})}{1-x}\right)^4
= \left(\dfrac{x^3 - x^{13}}{1-x}\right)^4
= (x^3 - x^{13})^4 \left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4
Dengan menggunakan metode Segitiga Pascal atau Teorema Binomial pada ekspresi (x^3 - x^{13})^4, diperoleh
(x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52})(1+x+x^2+...)^4
Karena yang akan dicari adalah koefisien x^{24}, maka kita temukan bahwa hanya dua suku pertama dalam ekspresi (x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52}) yang akan ditinjau karena pangkatnya tidak melebihi 24.
(i) Karena x^{24} = x^{12}.x^{12}, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien x^{12} dalam (1+x+x^2+...)^4. Dengan menggunakan preposisi yang sama pada Soal Nomor 16, didapat
\text{Koefisien}~x^{12} = \displaystyle \binom{4-1+12}{12} = \binom{15}{12} = \dfrac{15!}{12!3!} = 455
(ii) Karena x^{24} = x^{22}.x^{2}, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien x^{2} dalam (1+x+x^2+...)^4. Dengan menggunakan prinsip yang sama,
\text{Koefisien}~x^{2} = \displaystyle \binom{4-1+2}{2} = \binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!} = 10
Jadi, koefisien x^{24} adalah 1(455) - 4(10) = 415.
Catatan: Angka 1 dan 4 didapat dari koefisien x^{12} dan x^{22} dalam ekspresi (x^{12} - 4x^{22} + 6x^{32} - 4x^{42} + x^{52}).

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan FPB dari barisan (0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, ...).

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPB dari (a_n) = (0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, ...), sehingga menurut definisinya,
P(x) = 0x^0 + 1.x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + ...
=x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + ...
= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}
Perhatikan bahwa ekspresi \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} merupakan hasil integrasi dari x^n terhadap x, sehingga diperoleh
\displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty}x^n~dx
= \displaystyle \int \dfrac{1}{1-x}~dx
= \boxed{-\ln|1-x|}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah \boxed{-\ln|1-x|}.

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan FPB dari barisan (0, 1, 0, 1, 0, 1, …) dan (1, 0, 1, 0, 1, 0, …).

Penyelesaian

Misalkan G(x) merupakan FPB dari (a_n) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...), sehingga
P(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n
=0.x^0 + 1.x + 0.x^2 + 1.x^3 + 0.x^4 + ...
=x + x^3 + x^5 + ...
= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} = \displaystyle x\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n
Dengan menggunakan perluasan ekspansi dari
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \dfrac{1}{1-x^2}}
(mengganti x menjadi x^2), diperoleh
P(x) = x\left(\dfrac{1}{1-x^2}\right)
= \boxed{\dfrac{x}{1-x^2}}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah  \boxed{\dfrac{x}{1-x^2}}

Sekarang, misalkan G(x) merupakan FPB dari (b_n) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, ...), sehingga
G(x) = 1.x^0 + 0.x + 1.x^2 + 0.x^3 + 1.x^4 + 0.x^5 + 1.x^6 + ...
=1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...
=(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ....) - (x + x^3 + x^5 + ...)
Dengan menggunakan rumus ekspansi, diperoleh
P(x) = \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{x}{1-x^2} = \dfrac{1+x-x}{1-x^2} = \boxed{\dfrac{1}{1-x^2}}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah
\boxed{\dfrac{1}{1-x^2}}

[collapse]



Soal Nomor 20
Tentukan FPB dari barisan (2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, ....)

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPB dari (a_n) = \left(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, ....\right), sehingga dengan definisi FPB, diperoleh,
P(x) = 2.x^0 + 0.x + \dfrac{2}{3}x^2 + 0.x^3 + \dfrac{2}{5}x^4 + ....
=2 + \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{2}{5}x^4 + ...
= 2\left(1 + \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{5}x^4 + ...\right)
=\dfrac{2}{x}\left(x + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + ....\right)
=\dfrac{2}{x} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}
Perhatikan bahwa \displaystyle \int x^{2n}~dx = \left(\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right)+ C
Abaikan C (karena C = 0), sehingga bentuk sigma di atas dapat ditulis menjadi
P(x) = \dfrac{2}{x} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}~dx
Dengan menggunakan perluasan dari \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x}, diperoleh
P(x) =\displaystyle \dfrac{2}{x}  \int \dfrac{1}{1-x^2} ~dx
= \displaystyle \dfrac{2}{x} \left(\dfrac{1}{2} \ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\right) \bigstar
= \boxed{\dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|}
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|}
Catatan: \bigstar Untuk mengintegrasikan bentuk integral ini, teman-teman perlu menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial (karena penyebutnya dapat difaktorkan secara langsung).
Tinjau integrannya (ambil salah satu, misalkan untuk variabel x):
\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{A}{1-x} + \dfrac{B}{1+x}
Dalam hal ini, kita akan menentukan nilai A dan B. Samakan kembali penyebutnya,
\dfrac{A(1+x) + B(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{(A-B)x + (A + B)}{1-x^2}
Dengan hanya meninjau pembilangnya, kita tahu bahwa
(A-B)x + (A+B) = 1
Berarti, A-B = 0 dan A + B = 1. Selesaikan SPLDV ini, sehingga didapat bahwa A = B = \dfrac{1}{2}. Jadi, integrannya dapat diubah menjadi \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right). Proses integrasi dengan integran seperti ini tidak akan menjadi hal yang sulit lagi untuk dilakukan.

[collapse]

Soal Nomor 21 (Requested by Nyossst on October, 24th 2017)
Tentukan fungsi pembangkit eksponensial dari a_n = n + 5

Penyelesaian

Misalkan P(x) adalah FPE dari a_n = n + 5. Dengan menggunakan definisi FPE, kita peroleh
P(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n
P(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n+5}{n!}x^n
P(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{5}{n!}x^n
Tinjau operator sigma pada suku pertama.
Gunakan teorema turunan pada fungsi pembangkit.
Katakanlah kita mempunyai barisan baru, sebut saja (b_n) = 1, yang memiliki FPE G(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + ... = e^x, dan kita ketahui bahwa turunan pertama G(x) adalah G'(x) = e^x.
Ini berarti, barisan lain, sebut saja (c_n) = n.b_n = n.1 = n memiliki FPE x.G'(x) = x.e^x
Lanjutkan ke bentuk P(x):
P(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + 5\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}x^n
P(x) = x.e^x + 5e^x = e^x(x + 5)
Jadi, FPE dari barisan tersebut adalah e^x(x+5)

[collapse]

Soal Nomor 22 (Requested by Nyossst on October, 24th 2017)
Tentukan barisan yang memiliki FPE (1 + x^2)^n.

Penyelesaian

Misalkan P(x) = (1 + x^2)^n merupakan FPE dari barisan yang dimaksud, sebut saja (a_k). Dengan menggunakan perluasan Teorema Binomial, yaitu
\boxed{(1+ x^a)^n = \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{ak}}
kita peroleh bahwa,
P(x) = (1 + x^2)^n
P(x) = \displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{2k}}
P(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\binom{n}{k}.(2k)!}{(2k)!} x^{2k}}
Dengan meninjau kembali definisi FPE bahwa
\boxed{G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n}
(di mana n = 2k, batas bawah operator sigma tidak memengaruhi), diperoleh bahwa
\boxed{a_k = \displaystyle \binom{n}{k}(2k)!}

[collapse]

Soal Nomor 23 (Soal UTS Matematika Diskrit Promat FKIP Untan, tahun 2017/2018)
Tentukan barisan yang memiliki fungsi pembangkit biasa G(x) = \dfrac{3}{2 - 8x} + \dfrac{3x}{1-x}.

Penyelesaian

Diberikan
G(x) = \dfrac{3}{2-8x} + \dfrac{3x}{1-x}
G(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{1-4x} + 3x \times \dfrac{1}{1-x}
G(x) = \dfrac{3}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (4x)^n + 3x \sum_{n=0}^{\infty} x^n
G(x) = \dfrac{3}{2} (1 + 4x + 16x^2 + \cdots) + 3x(1 + x + x^2 + \cdots)
G(x) = \left(\dfrac{3}{2} + 6x + 24x^2 + \cdots\right) + (3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots)
G(x) = \dfrac{3}{2} + 9x + 27x^2 + \cdots
Jadi, barisan yang dimaksud adalah \left(\dfrac{3}{2}, 9, 27, \cdots\right)
atau bila ditulis dengan rumus,
\boxed{a_n = \begin{cases} \dfrac{3}{2} & \text{jika}~n = 0 \\ \dfrac{3}{2}4^n + 3 & \text{jika}~n > 0 \end{cases}}

[collapse]

Soal Nomor 24 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Dalam bentuk yang paling sederhana, fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) g(x) dari barisan (1, 2, 3, 4, \cdots) adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan a_n = (1, 2, 3, 4, \cdots) = n + 1. Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa, dapat ditulis
g(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n = 0}^{\infty} nx^n + \sum_{n = 0}^{\infty} x^n
(baca: penyelesaian soal nomor 10)
g(x) = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{1-x} = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1-x}{(1-x)^2}
\boxed{g(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}}
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan (1, 2, 3, 4, \cdots) adalah 
\boxed{g(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}}

[collapse]

Soal Nomor 25 (Soal OSN Pertamina 2010 Penyisihan Tingkat Provinsi)
Jika F(x) adalah fungsi pembangkit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai
a_1 = 0
a_2 = 1
a_{n+1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1},
maka pernyataan berikut yang benar adalah \cdots
A. \dfrac{F(x)}{2} = x^2F'(x) + x^3F''(x)
B. F(x) = xF'(x) + x^2F''(x)
C. F(x) = x(x^2F'(x))'
D. F'(x) = \dfrac{F(x) + 2x^3F''(x)}{x^2}
E. F'(x^2) = 4x^6F''(x^2) + F(x)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 26 
Diberikan barisan rekursif a_{n+1} - 2a_n = 2^n dengan a_0 = 1. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Ubah rumus barisan rekursif tersebut menjadi rumus barisan eksplisit.
Bagi kedua ruas dengan 2^{n+1}, sehingga diperoleh
\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{2a_n}{2^{n+1}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}}
\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{a_n}{2^n} = \dfrac{1}{2}
Misalkan b_n = \dfrac{a_n}{2^n},  sehingga diperoleh rumus barisan baru,
b_{n+1} - b_n = \dfrac{1}{2}
Karena a_0 = 1, maka b_0 = \dfrac{1}{2^0} = 1, sehingga diperoleh suatu barisan bilangan (1, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}, \cdots), yang berarti b_n = \dfrac{n + 2}{2}. Dengan demikian,
\dfrac{n+2}{2} = \dfrac{a_n}{2^n}
a_n = 2^{n-1}(n+2)
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa,
\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2^{n-1}(n+2)) x^n \\ & =  \dfrac{1}{2}\left(\sum_{n = 0}^{\infty} n(2x)^n + \sum_{n = 0}^{\infty} (2x)^n\right)  \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x}{(1 - 2x)^2} + \dfrac{1}{1 - 2x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2(1 - 2x)^2} \end{aligned}
Jadi, FPB dari barisan rekursif tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{2(1 - 2x)^2}}

[collapse]

Soal Nomor 27
Diberikan barisan bilangan berikut
2, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1),
\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2),
\dfrac{1}{(3)(4)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3),
\dfrac{1}{(3)(4)(5)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-4),...

Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Kita akan mendapatkan nilai rasio yang unik dari barisan tersebut.
\dfrac{a_1}{a_0} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 0}{1}
\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}
\dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)}{2(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{\sqrt{2} - 2}{3}
\vdots~~~\vdots~~~\vdots
\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \dfrac{\sqrt{2} - (n-1)}{n}
Bentuk di atas jelas bukan rumus barisan standar untuk menentukan fungsi pembangkit biasa, tapi kita akan menemukan bahwa
\displaystyle \binom{\alpha}{n} \div \binom{\alpha}{n-1} = \frac{\alpha - (n - 1)}{n}
Jika kita bandingkan dengan rasio tadi, kita peroleh \alpha = \sqrt{2}. Jadi,
a_n = \displaystyle a\binom{\sqrt{2}}{n}.

Untuk mendapatkan koefisien a, bandingkan terhadap nilai a_0 sebagai berikut.
a_0 = \displaystyle a \binom{\sqrt{2}}{0} = a\dfrac{(\sqrt{2})!}{(\sqrt{2})!0!}
2 = a \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
Berarti, a = 2
Dengan demikian, a_n = \displaystyle 2\binom{\sqrt{2}}{n}
Misalkan F(x) fungsi pembangkit biasa dari barisan a_n, sehingga
F(x) = 2 \displaystyle \sum_{n \ge 0}  \binom{\sqrt{2}}{n}x^n
F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan yang dimaksud adalah 
\boxed{F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}}

[collapse]

Soal Nomor 28 (Soal UTS Matematika Diskrit Promat FKIP Untan T.A. 2017/2018)
Dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa, tentukan jumlah dari
\underbrace{12 + 12 + 12 + \cdots + 12}_{n + 1}

Penyelesaian

Rumus barisan di atas adalah a_n = 12, yang memiliki fungsi pembangkit biasa
G(x) = 12 + 12x + 12x^2 + \cdots = \dfrac{12}{1-x}
Berdasarkan teorema fungsi pembangkit mengenai koefisien jumlah suatu barisan, kita dapatkan
H(x) = \dfrac{G(x)} {1-x} = \dfrac{12}{(1-x)^2}
Jumlah yang dimaksud adalah koefisien x^n dari H(x), yaitu
12\displaystyle \binom{n + 2 - 1}{n} = \binom{n+1}{1} = 12(n+1)
Diperolehlah jawaban persis seperti apa yang kita harapkan.

[collapse]


Soal Nomor 29
Hitunglah jumlah dari
2.1^2 + 2.2^2 + \cdots + 2r^2

Penyelesaian

Fungsi pembangkit dari barisan a_n = 2n^2 adalah
G(x) = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3}
(Lihat jawaban soal nomor 11)
Jumlah dari a_1 + a_2 + \cdots + a_n adalah koefisien dari x^n dalam
\begin{aligned} H(x) & = \dfrac{G(x)} {1-x} \\ & = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^4} \\ & = 2x(1-x)^{-4} + 2x^2(1-x)^{-4} \end{aligned}
Koefisien dari x^n dalam 2x(1-x)^{-4} adalah koefisien x^{n-1} dalam 2(1-x)^{-4}, sedangkan koefisien x^n dalam 2x^2(1-x)^{-4} adalah koefisien x^{n-2} dalam 2(1-x)^{-4}.
Dengan demikian, jumlah yang dimaksud adalah
\displaystyle 2\binom{(n-1)+4-1}{n-1} + 2\binom{(n-2)+4-1}{n-2} = 2\binom{n+2}{3} + 2\binom{n+1}{3}
Bentuk terakhir sama dengan rumus yang telah kita kenal, yaitu
\dfrac{(n+1}{n} {2n+1}{6}

[collapse]


Soal Nomor 30
Tentukan fungsi pembangkit dari a_r = (r+1)r(r-1)

Penyelesaian

Diberikan barisan a_r = r^3 - r. Untuk mencari fungsi pembangkitnya, kita harus melakukan dua tahap/proses, yaitu mencari fungsi pembangkit dengan koefisien r^3 dan r (gunakan teorema turunan dalam fungsi pembangkit). Selain itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.
Misalkan fungsi pembangkit \dfrac{3!} {(1-x)^4} mempunyai koefisien a_r, di mana
a_r = 3! \displaystyle \binom{r + 4 - 1}{r} = \dfrac{3!(r+3)!} {r!.3!} = (r+3)(r+2)(r+1)
maka ekspansi deret pangkat dari 3!(1-x)^{-4} adalah
\dfrac{3!} {(1-x)^4} = 3.2.1 + 4.3.2x + \cdots + (r+3)(r+2)(r+1)x^r + \cdots
Bila ini dibandingkan dengan fungsi pembangkit
h(x) = 3.2.1x^2 + 4.3.2x^3 + \cdots + (r+1)r(r-1)x^r + \cdots
maka ini berarti h(x) = 3!x^2(1-x)^{-4}

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

12 Balasan untuk “Soal Latihan – Fungsi Pembangkit (Dasar) Bagian 2”

  1. I often visit your blog and have noticed that you don’t update it
    often. More frequent updates will give your page higher rank & authority in google.
    I know that writing posts takes a lot of time, but you can always help yourself with miftolo’s tools which will shorten the
    time of creating an article to a couple of seconds.

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *