Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Elips

Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $400$ sehingga diperoleh 
$$\boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16} = 1}$$Dari sini, didapat $a = \sqrt{25}=5$ dan $b=\sqrt{16}=4$. 
(Koordinat titik puncak) 
Karena $a > b$, maka elips ini termasuk elips horizontal dengan pusat di $(0,0)$ dan puncak di $(\pm a, 0)$ dan $(0, \pm b)$, yaitu $(5,0), (-5,0), (0,4), (0,-4)$.
(Koordinat titik fokus) 
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$, maka 
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16} = 3$.
Koordinat titik fokusnya adalah $(\pm c, 0)$, yaitu $(3,0)$ dan $(-3,0)$. 
(Panjang latus rektum) 
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektumnya dinyatakan oleh
$$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(4)^2}{5}=\dfrac{32}{5}.$$(Persamaan sumbu simetri)
Karena elips ini horizontal dan berpusat di titik asal, maka sumbu simetrinya adalah sumbu $X$ dengan persamaan $y=0$.
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $400$ sehingga diperoleh 
$$\boxed{\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25} = 1}$$Dari sini, didapat $a = \sqrt{16}=4$ dan $b=\sqrt{25}=5$. 
(Koordinat titik puncak) 
Karena $a < b$, maka elips ini termasuk elips vertikal dengan pusat di $(0,0)$ dan puncak di $(\pm a, 0)$ dan $(0, \pm b)$, yaitu $(4,0), (-4,0), (0,5), (0,-5)$.
(Koordinat titik fokus) 
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$, maka 
$c = \sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{25-16} = 3$.
Koordinat titik fokusnya adalah $(0, \pm c)$, yaitu $(0,3)$ dan $(0,-3)$. 
(Panjang latus rektum) 
Karena elips ini vertikal, maka panjang latus rektum dinyatakan oleh
$$|LR|= \dfrac{2a^2}{b} =\dfrac{2(4)^2}{5}=\dfrac{32}{5}.$$(Persamaan sumbu simetri)
Karena elips ini vertikal dan berpusat di titik asal, maka sumbu simetrinya adalah sumbu $Y$ dengan persamaan $x=0$.
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Ubah persamaan elips itu ke bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} 4x^2+9y^2+16x-18y-11&=0 \\ 4(x^2+4x)+9(y^2-2y)-11 & = 0 \\ 4((x+2)^2-4)+9((y-1)^2-1)-11 & = 0 \\ 4(x+2)^2-16 + 9(y-1)^2-9-11 & = 0 \\ 4(x+2)^2 + 9(y-1)^2 & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~& 36 \\ \dfrac{(x+2)^2}{9} + \dfrac{(y-1)^2}{4} & = 1 \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, diperoleh titik pusat elips $(-2,1)$ dengan jari-jari panjang $a = \sqrt{9} = 3$ dan jari-jari pendek $b = \sqrt{4} = 2$.

Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan prosedur berikut. 
$$\begin{aligned} 9x^2+25y^2-36x+50y-164 & =0 \\ 9(x^2-4x) + 25(y^2+2y)-164 & = 0 \\ 9((x-2)^2-4) +25((y+1)^2-1)- 164 & = 0 \\ 9(x-2)^2- 36 + 25(y+1)^2-25-164 & = 0 \\ 9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 & = 225 \\ \text{Bagi kedua ruasnya dengan}~225 \\ \dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y+1)^2}{9} & = 1 \end{aligned}$$Dari sini, didapat $a = \sqrt{25}=5$ dan $b=\sqrt{9}=3$ dengan pusat di $(2,-1)$. 
(Koordinat titik puncak) 
Karena $a > b$, maka elips ini termasuk elips horizontal dengan puncak di $(2 \pm a,-1)$ dan $(2,-1 \pm b)$, ditulis
$(2 \pm 5,-1)$ dan $(2,-1 \pm 3)$, yaitu
$(7,-1), (-3,-1), (2,2), (2,-4)$. 
(Koordinat titik fokus) 
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$, maka 
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9} = 4$.
Koordinat titik fokusnya adalah $(2 \pm c,-1) = (2 \pm 4,-1)$, yaitu $(6,-1)$ dan $(-2,-1)$. 
(Panjang latus rektum) 
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektum dinyatakan oleh
$$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(3)^2}{5}=\dfrac{18}{5}.$$(Persamaan sumbu simetri)
Karena elips ini horizontal dan berpusat di $(2,-1)$, maka sumbu simetrinya adalah garis yang sejajar dengan sumbu $X$ dan melalui pusat, yaitu $y=-1$.

Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya (bentuk kanonik) dengan membagi kedua ruasnya dengan 65.025 sehingga didapat
$$\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{289}+\dfrac{(y-3)^2}{225}=1}$$Dari sini, didapat $a = \sqrt{289}=17$ dan $b=\sqrt{225}=15$ dengan pusat di $(2,3).$
(Koordinat titik puncak) 
Karena $a > b$, maka elips ini termasuk elips horizontal dengan puncak di $(2 \pm a, 3)$ dan $(2, 3 \pm b)$, ditulis $(2 \pm 17, 3)$ dan $(2, 3 \pm 15)$, yaitu $(19,3), (-15,3), (2,18), (2,-12)$. 
(Koordinat titik fokus) 
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$, maka 
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{289-225} = 8$.
Koordinat titik fokusnya adalah $(2 \pm c, 3) = (2 \pm 8,3)$, yaitu $(10,3)$ dan $(-6,3)$. 
(Panjang latus rektum) 
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektum menggunakan rumus berikut:
$$|LR|= \dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2(15)^2}{17}=\dfrac{450}{17}.$$(Persamaan sumbu simetri, mayor, minor)
Karena elips ini horizontal dan berpusat di $(2,3)$, maka sumbu simetrinya adalah garis yang sejajar dengan sumbu $X$ dan melalui pusat, yaitu $y=3$. Inilah yang disebut sebagai sumbu mayor. 
Persamaan sumbu minornya adalah $x = 2$.

Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya (bentuk kanonik) dengan prosedur berikut. 
$$\begin{aligned} 4x^2+8y^2-4x-24y-13 & =0 \\ 4(x^2-x) + 8(y^2-3y)-13 & = 0 \\ 4\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right) + 8\left(\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\right)-13 & = 0 \\ 4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2- 1 + 8\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2-18-13& = 0 \\4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + 8\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 & = 32 \\ \dfrac{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{8} + \dfrac{\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2}{4} & =1 \end{aligned}$$Dari sini, didapat $a = \sqrt{8}=2\sqrt{2}$ dan $b=\sqrt{4}=2$ dengan pusat di $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right).$
(Koordinat titik puncak) 
Karena $a > b$, maka elips ini termasuk elips horizontal dengan puncak di $\left(\dfrac{1}{2} \pm a, \dfrac{3}{2}\right)$ dan $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \pm b\right)$, yaitu
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{2} + 2\sqrt{2}, \dfrac{3}{2}\right), \left(\dfrac{1}{2}-2\sqrt{2}, \dfrac{3}{2}\right) \\ & \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2}\right), \left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right). \end{aligned}$
(Koordinat titik fokus) 
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$, maka 
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8-4} = 2$.
Koordinat titik fokusnya adalah $\left(\dfrac{1}{2} \pm c, \dfrac{3}{2}\right)= \left(\dfrac{1}{2} \pm 2, \dfrac{3}{2}\right)$, yaitu $\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ dan $\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$. 
(Panjang latus rektum) 
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektum dinyatakan oleh $|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(2)^2}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
(Persamaan sumbu simetri, mayor, minor)
Karena elips ini horizontal dan berpusat di $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$, maka sumbu simetrinya adalah garis yang sejajar dengan sumbu $X$ dan melalui pusat, yaitu $y=\dfrac{3}{2}$. Inilah yang disebut sebagai sumbu mayor. 
Persamaan sumbu minornya adalah $x = \dfrac{1}{2}$.

Diketahui: panjang sumbu minor = $2b = 10$ atau $b = 5$.
Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(\pm 6, 0)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(0,0)$ dan $a = 6$. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(0, \pm 8)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(0,0)$ dan $b = 8$. 
Titik ujung sumbu minornya di $(\pm 3,0)$, artinya panjang sumbu minornya adalah $a = 3$. Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{64} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(1 \pm 5, 1)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(1,1)$ dan $a = 5$. 
Diketahui juga titik fokusnya di $(3,1)$. Karena koordinat titik fokus dinyatakan oleh $(x_p \pm c, y_p)$ (untuk elips horizontal), maka ini berarti $c = 3- 1 = 2$. 
Kuadrat panjang semi sumbu minornya adalah
$b^2 = a^2-c^2 = 5^2-2^2=21.$
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{(y-1)^2}{21} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui $x_p = y_p = 0$ (pusat di titik asal) dan satu puncak elips di $(0,13)$. Ini berarti, $b = 13$. 
Diketahui juga fokus di $(0,5)$, berarti jarak titik pusat ke fokus adalah $c = 5.$
Kuadrat panjang semi sumbu minornya adalah
$a^2 = b^2-c^2 = 13^2-5^2 = 144.$
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{144}+\dfrac{y^2}{169} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(\pm 4,0)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(0,0)$ dan $a = 4$.
Diketahui juga bahwa $|LR| = 2$. Dengan menggunakan rumus panjang latus rektum, diperoleh
$\begin{aligned} |LR| & = \dfrac{2b^2}{a} \\ 2 & = \dfrac{2b^2}{4} \\ b^2 & = 4. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $a > b$ berarti elips ini horizontal sehingga rumus panjang latus rektum yang digunakan tidak kontradiktif. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4} &=1. \end{aligned}$

Titik ujung sumbu minor dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dengan $(x_p, y_p)$ adalah koordinat titik pusat elips. Ini berarti, koordinat titik pusat elips di $(0,0)$ dan $a = 4$. 
Diketahui juga bahwa $|LR| = 4$. Dengan menggunakan rumus panjang latus rektum, diperoleh
$\begin{aligned} |LR| & = \dfrac{2a^2}{b} \\ 4 & = \dfrac{2(4)^2}{b} \\ b & = 8. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh $a < b$ berarti elips ini vertikal sehingga rumus panjang latus rektum yang digunakan tidak kontradiktif. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{64} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik fokus elips ditentukan oleh $(x_p \pm c, y_p)$ dengan $(x_p, y_p)$ adalah koordinat titik pusat elips. Ini berarti, koordinat titik pusat elips di $(0,0)$ dan $c = 4$. Dari sini juga diketahui bahwa elips ini horizontal, sebab fokusnya berubah di absis. 
Perhatikan bahwa berlaku persamaan $c^2 = 16 = a^2-b^2$ atau ditulis $b^2=a^2-16.$
Diketahui juga bahwa $|LR| = 12$. Dengan menggunakan rumus panjang latus rektum, diperoleh
$\begin{aligned} |LR| & = \dfrac{2b^2}{a} \\ 12 & = \dfrac{2b^2}{a} \\ b^2 & = 6a \\ \text{Substitusikan}~& b^2=a^2-16 \\ a^2-6a-16 & = 0 \\ (a-8)(a+2) & = 0 \\ a = 8~\text{atau}~& a =-2. \end{aligned}$ 
Pilih $a = 8$ (harus positif). 
Ini berarti, $b^2 = 64- 16 = 48.$
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{48} &=1. \end{aligned}$

Koordinat titik fokus elips dinyatakan oleh $(x_p \pm c, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ (untuk elips horizontal) dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik fokus elips di $(5 \pm 4\sqrt{3}, 1)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(5,1)$ dan $c = 4\sqrt{3}$, serta elipsnya horizontal (sebab fokusnya memengaruhi absis). 
Perhatikan juga bahwa berlaku persamaan
$c^2=a^2-b^2 \Rightarrow 48 = a^2-b^2$. 
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai $b^2 = a^2-48$. 
Dengan menggunakan rumus panjang latus rektum, diperoleh
$$\begin{aligned} |LR| & =\dfrac{2b^2} {a} \\ \text{Substitusikan}~|LR|&=4~\text{dan}~b^2=a^2-48 \\ 4 & = \dfrac{2(a^2-48)} {a} \\ 2a^2-4a-96 & = 0 \\ a^2-2a-48 & = 0 \\ (a-8)(a+6)&=0. \end{aligned}$$Jadi, didapat $a = 8$ atau $a =-6$ (tidak dipilih karena bernilai negatif). 
Untuk $a = 8$, didapat $b^2 = 64-48 = 16$. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-5)^2}{64}+\dfrac{(y-1)^2}{16} &=1. \end{aligned}$

Dari koordinat titik pusat, titik fokus, dan titik puncaknya, diketahui bahwa elips tersebut adalah elips horizontal (karena yang berubah adalah absisnya). 
Panjang semi sumbu mayor = $a = 8- 3 = 5$. 
Jarak pusat ke fokus = $c = 3-(-1) = 4$. 
Kuadrat panjang semi sumbu minornya adalah
$b^2 = a^2-c^2=5^2-4^2=9$. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y+2)^2}{9} &=1. \end{aligned}$

Dari koordinat titik fokusnya, diketahui bahwa elips tersebut adalah elips vertikal (karena ordinatnya yang berubah). 
Titik tengah kedua fokus adalah titik pusat, yaitu $\left(2, \dfrac{3+(-7)} {2}\right) = (2,-2)$. 
Jarak pusat ke fokus adalah $c = 5$. 
Diketahui juga bahwa $2a = \dfrac{2}{3}(2b)$, atau $3a = 2b$
Dengan menggunakan hubungan $a, b, c$, diperoleh
$\begin{aligned} c^2 & =b^2-a^2 \\ 5^2 & = b^2-\left(\dfrac{2}{3}b\right)^2 \\ 25 & = \dfrac{5}{9}b^2 \\ b^2 & = 45. \end{aligned}$
Untuk itu, juga didapat $a^2 = b^2-c^2=45-25=20$. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-2)^2}{20}+\dfrac{(y+2)^2}{45} &=1. \end{aligned}$

Diketahui panjang sumbu minor = $2b = 5-(-7)=12$ atau didapat $b = 6$ dengan titik pusat terletak di tengah-tengah kedua titik ujung sumbu minor, yaitu $(0,-1)$. 
Dari koordinat latus rektumnya, diketahui jarak pusat ke fokusnya adalah $c = 6\sqrt{3}$. 
Kuadrat panjang semi sumbu mayornya:
$a^2 = c^2+b^2=(6\sqrt{3})^2+6^2 = 144.$
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{144}+\dfrac{(y+1)^2}{36} &=1. \end{aligned}$

Diketahui sumbu mayor elips sepanjang sumbu $X$. Ini berarti, elipsnya horizontal dengan titik pusat di $(0,0)$. 
Koordinat latera rekta elips ditentukan oleh $\left(x_p \pm \sqrt{a^2-b^2}, y_p \pm \dfrac{b^2}{a}\right)$ dengan $(x_p, y_p) = (0,0)$ (koordinat titik pusat elips).
Untuk itu, didapat $\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{3}$ dan $\dfrac{b^2}{a} =\dfrac{1}{2}.$
Dari persamaan yang bawah, kita peroleh $b^2 = \dfrac{a}{2}.$
Substitusikan ke persamaan yang atas.
$\begin{aligned} \sqrt{a^2-b^2} & = \sqrt{3} \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ a^2-b^2 & = 3 \\ a^2-\dfrac{a} {2}- 3 & = 0 \\ (2a +3)(a-2) & = 0 \\ a =-\dfrac{3}{2}~\text{atau}~&a = 2. \end{aligned}$
Pilih $a=2$ (harus positif). 
Untuk itu, juga didapat $b^2 = \dfrac{2}{2} = 1$. 
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1} &=1. \end{aligned}$

Dari koordinat latera rekta elips, diketahui elips ini horizontal dengan titik pusat di $\left(\dfrac{9+(-7)} {2}, \dfrac{2+(-6)} {2}\right) = (1,-2).$
Koordinat latera rekta elips ditentukan oleh $\left(x_p \pm \sqrt{a^2-b^2}, y_p \pm \dfrac{b^2}{a}\right)$ dengan $(x_p, y_p) = (1,-2)$.
Untuk itu, didapat $\sqrt{a^2-b^2} = 8$ dan $\dfrac{b^2}{a} = 4$.
Dari persamaan yang bawah, kita peroleh $b^2 = 4a$.
$\begin{aligned} \sqrt{a^2-b^2} & = 8 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ a^2-b^2 & = 64\\ a^2-4a- 64 & = 0 \end{aligned}$
Gunakan rumus ABC:
$\begin{aligned} a_{1,2} & = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-64)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{4 \pm \sqrt{272}}{2} \\ &= 2 + 2\sqrt{17} \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas memiliki akar positif $a = 2+2\sqrt{17}$ sehingga
$a^2 = (2+2\sqrt{17})^2 = 72+8\sqrt{17}.$
Untuk itu, juga didapat $b^2 = 8+8\sqrt{17}$.
Jadi, persamaan elipsnya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{72+8\sqrt{17}}+\dfrac{(y+2)^2}{8+8\sqrt{17}} &=1. \end{aligned}$

Titik pusat berada di tengah puncak, yaitu $(x_p, y_p) = (0,0)$. 
Diketahui panjang semi sumbu mayor = $a = 2$. 
Persamaan elips ini berbentuk $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$
Substitusikan $x^2 = (-1)^2=1$ dan $y^2 = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{\dfrac{3}{4}} {b^2} & = 1 \\ \dfrac{\dfrac{3}{4}} {b^2} & = \dfrac{3}{4} \\ b^2 & = 1. \end{aligned}$
Jadi, persamaan elips yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{1}=1}$

Diketahui
$\begin{aligned} e & = \dfrac{12}{13} \\ 2c & = 36 \iff c = 18. \end{aligned}$
Eksentrisitas $e$ dapat ditentukan dengan membagi $c$ terhadap $a$. Secara matematis, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{c} {a} & = \dfrac{12}{13} \\ \dfrac{18}{a} &=\dfrac{12}{13} \\ a & = \dfrac{18 \times 13}{12} = 19,5. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari nilai $b$. 
$\begin{aligned} b & =\sqrt{a^2-c^2} \\ & = \sqrt{(19,5)^2-18^2} \\ & = \sqrt{56,25} = 7,5 \end{aligned}$
Persamaan elips dirumuskan dengan $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, yaitu $\boxed{\dfrac{x^2}{(19,5)^2}+\dfrac{y^2}{(7,5)^2}=1}$

Diketahui:
$$\begin{aligned} \text{Sumbu Panjang} & = 2a = 20 \iff a = 10 \\ e & = \dfrac{c} {a} =\dfrac{3}{5}. \end{aligned}$$Akan dicari nilai $c$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{c} {a} & = \dfrac{3}{5} \\ \text{Substitusikan}~&a = 10 \\ \dfrac{c} {10} & = \dfrac{3}{5} \\c & = \dfrac{3 \times 10}{5} = 6 \end{aligned}$
Selanjutnya, nilai $b^2$ dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} b^2 & =a^2-c^2 \\ b^2 & = 10^2-6^2 = 64 \end{aligned}$
Persamaan elips itu adalah
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1.$

Persamaan direktriks pada elips ditentukan oleh $\boxed{x = \pm \dfrac{a^2}{c}}$
Perhatikan bahwa persamaan direktriks $4x =25$ dapat diubah menjadi $x = \dfrac{25}{4}$. Ini berarti, $a = \sqrt{25} = 5$ dan $c = 4$. Nilai ini sesuai apabila eksentrisitas numeriknya $\dfrac{4}{5}$, sebab $e = \dfrac{c} {a} $. 
Selanjutnya, akan dihitung nilai $b$. 
$b = \sqrt{a^2-c^2} =\sqrt{25- 16} = 3$
Persamaan elips yang berpusat di $(1,2)$ dengan $a = 5$ dan $b = 4$ adalah
$\boxed{\dfrac{(x-1)^2}{25} + \dfrac{(y-2)^2}{16} = 1}$

Karena titik fokusnya berada pada sumbu $X$, elips ini adalah elips horizontal. 
Misalkan $d_1$ menyatakan jarak $f_1(-1,0)$ ke titik $\left(0,\dfrac{12}{5}\right)$, maka dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh
$d_1 = \sqrt{1^2+\left(\dfrac{12}{5}\right)^2} = \dfrac{13}{5}.$
Misalkan $d_2$ menyatakan jarak $f_2(7,0)$ ke titik $\left(0,\dfrac{12}{5}\right)$, maka dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh
$d_2 = \sqrt{7^2+\left(\dfrac{12}{5}\right)^2} = \dfrac{37}{5}.$
Diketahui $d_1+d_2 = 2a$ (sesuai definisi elips) sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{13}{5} + \dfrac{37}{5} & = 2a \\ 10 & = 2a \\ a & = 5. \end{aligned}$
Koordinat titik pusat elips dapat ditentukan dengan memandang koordinat titik fokusnya, yaitu terletak di tengah dua titik fokus itu. 
$(x_p, y_p) = \left(\dfrac{-1+7}{2}, 0\right) = (3,0).$
Jadi, koordinat titik pusat elips adalah $(3,0).$
Jarak fokus ke pusat, yaitu $c = 3$. 
Untuk itu, $b = \sqrt{a^2-c^2} = \sqrt{25-9} = 4.$ 
Persamaan elips yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_p)^2}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{(x-3)^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} & = 1.\end{aligned}$

Dilihat dari koordinat titik fokusnya yang ordinatnya sama, elips ini adalah elips horizontal. 
Titik pusatnya di tengah-tengah kedua titik fokus, yaitu $\left(\dfrac{8+(-4)} {2},-1\right) = (2,-1)$. 
Jarak titik pusat $(2,-1)$ ke fokus $(8,-1)$ atau $(-4,1)$ adalah $c = 6$. 
Jarak titik pusat $(2,-1)$ ke $(2,7)$ adalah $b = 8$, berarti $b^2=64$. 
Ini berarti, $a^2 = b^2+c^2 = 8^2+6^2=100.$
Dengan demikian, persamaan elips tersebut adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&=1 \\ \dfrac{(x-2)^2}{100}+\dfrac{(y+1)^2}{64}&=1. \end{aligned}$

Jawaban a)
Perhatikan bahwa persamaan $x- 2\sqrt{3}y-8=0$ dapat diubah menjadi $x =2\sqrt{3}y+8$. Substitusikan persamaan ini ke persamaan elips yang diberikan. 
$\begin{aligned} x^2+4y^2&=16 \\ (2\sqrt{3}y)^2+4y^2&=16 \\ 12y^2+32\sqrt{3}y+64+4y^2 & = 16 \\ 16y^2+32\sqrt{3}y+48&=0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~& 16 \\ y^2+2\sqrt{3}y+3&=0 \end{aligned}$
Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (2\sqrt{3})^2-4(1)(3) \\ & = 12-12=0. \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai 0, maka garis $x- 2\sqrt{3}y-8=0$ menyinggung elips $x^2+4y^2=16$. 
Jawaban b)
Perhatikan bahwa persamaan $x+y=1$ dapat ditulis menjadi $x=1-y$. 
Substitusikan persamaan $x=1-y$ ke persamaan elips tersebut. 
$\begin{aligned} x^2+4y^2 & = 16 \\ (1-y) ^2 + 4y^2 & = 16 \\1-2y+y^2+4y^2&=16 \\ 5y^2-2y-15&=0 \end{aligned}$
Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-2)^2-4(5)(-15) \\ & = 4+360=304. \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai positif, maka garis $x +y=1$ memotong elips $x^2+4y^2=16$. 
(Jawaban c)
Perhatikan bahwa persamaan $x+y=9$ dapat ditulis menjadi $x=9-y$. 
Substitusikan persamaan $x=9-y$ ke persamaan elips tersebut. 
$\begin{aligned} x^2+4y^2 & = 16 \\ (9-y) ^2 + 4y^2 & = 16 \\81-18y+y^2+4y^2&=16 \\ 5y^2-18y+65&=0 \end{aligned}$
Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-18)^2-4(5)(65) \\ & = 324-1300=-976. \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai negatif, maka garis $x +y=9$ tidak memotong dan tidak menyinggung elips $x^2+4y^2=16$.

Akan dicari titik singgungnya terlebih dahulu. 
Untuk $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{30}+\dfrac{y^2}{24} & =1 \\ \dfrac{5^2}{30}+\dfrac{y^2}{24} & =1 \\ \text{Kalikan 120}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 100 + 5y^2 & = 120 \\ y^2 & = 4 \\ y & = \pm 2. \end{aligned}$
Jadi titik singgungnya di $(5,2)$ dan $(5,-2).$ 
Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips yang berpusat di $(0,0)$ menyinggung di $(x_1,y_1)$, yaitu
$\boxed{\dfrac{x \cdot x_1}{a^2}+\dfrac{y \cdot y_1}{b^2} =1}$
diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{5x} {30} + \dfrac{2y} {24} & = 1 \\ \text{Kalikan 120}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 20x + 10y & = 120 \\ 2x + y & = 12 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{5x} {30} + \dfrac{-2y} {24} & = 1 \\ \text{Kalikan 120}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 20x- 10y & = 120 \\ 2x- y & = 12. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung elips itu adalah $\boxed{2x+y=12}$ dan $\boxed{2x-y=12}$

Bentuk kanonik persamaan elips itu (didapat setelah membagi kedua ruasnya dengan $400$) adalah $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Pusat elips di $(0,0$). 
Karena ordinat titik singgungnya $2$ (artinya $y=2)$, maka dengan menggantikan $y=2$ pada persamaan elips, diperoleh
$\begin{aligned} 16x^2+25(2)^2 & = 400 \\ 16x^2 & = 300 \\ x^2 & = \dfrac{75}{4} \\ x & = \pm \dfrac{5}{2}\sqrt{3}. \end{aligned}$
Jadi titik singgungnya di $\left(\dfrac{5}{2}\sqrt{3}, 2\right) $ dan $\left(-\dfrac{5}{2}\sqrt{3}, 2\right).$
Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips yang berpusat di $(0,0)$ dan menyinggung di $(x_1,y_1)$:
$\boxed{\dfrac{x \cdot x_1}{a^2}+\dfrac{y \cdot y_1}{b^2} =1}$
diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{5}{2}\sqrt{3}x} {25} + \dfrac{2y} {16} & = 1 \\ \text{Kalikan 400}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 40\sqrt{3}x + 50y & = 400 \\ 4\sqrt{3}x + 5y & = 40 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{-\dfrac{5}{2}\sqrt{3}x} {25} + \dfrac{2y} {16} & = 1 \\ \text{Kalikan 400}~&~ \text{pada kedua ruas} \\-40\sqrt{3}x + 50y & = 400 \\-4\sqrt{3}x + 5y & = 40. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung elips itu adalah $\boxed{4\sqrt{3}x + 5y = 40 }$ dan $\boxed{-4\sqrt{3}x + 5y = 40 }$

Substitusikan $y =-x+k$ ke persamaan elips itu. 
$\begin{aligned} x^2+4y^2 & = 20 \\ x^2+4(-x+k)^2 & =20 \\ x^2+4(x^2-2kx+k^2)&=20 \\ 5x^2- 8kx + 4k^2-20 & = 0 \end{aligned}$
Syarat garis itu menyinggung elips adalah persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan 0.
$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ (-8k) ^2-4(5)(4k^2-20) & = 0 \\ 64k^2- 80k^2 + 400 & = 0 \\-16k^2 & =-400 \\ k & = \pm 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{k=5}$ atau $\boxed{k=-5}$ 

Gradien garis $2x-3y-13=0$ adalah 
$m_1 = \dfrac{-\text{Koef. x}} {\text{Koef. y}} = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3}.$
Misalkan garis singgungnya adalah garis $k$, maka gradien garis $k$ adalah
$m =-\dfrac{1}{m_1} =-\dfrac{3}{2}.$
Persamaan elips dalam bentuk kanonik (kedua ruasnya dibagi $20$) adalah $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{5}=1$. 
Diperoleh $a^2=20$ dan $b^2=5.$
Persamaan garis singgungnya adalah
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2} \\ & =-\dfrac{3}{2}x \pm \sqrt{20\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+5} \\ & =-\dfrac{3}{2}x \pm \sqrt{50} \\ & =-\dfrac{3}{2}x \pm 5\sqrt{2}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{2}x + 5\sqrt{2}}$ dan $\boxed{y =-\dfrac{3}{2}x- 5\sqrt{2}}$

Untuk mencari titik pada elips yang terdekat dengan garis $2x-3y+25=0$, carilah garis yang sejajar dengannya dan menyinggung elips itu. 
Misalkan titik $M$ adalah titik singgung garis tersebut. 
Gradien garis $2x-3y+25=0$ adalah $m_1 = \dfrac{2}{3}$. 
Karena sejajar, maka gradien garis singgungnya adalah $m = m_1 = \dfrac{2}{3}$.
Bentuk kanonik elips $8x^2+18y^2=144$ adalah $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{8}=1$. 
Diperoleh $a^2=18$ dan $b^2=8$. 
Persamaan garis singgungnya adalah
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2} \\ & = \dfrac{2}{3}x \pm \sqrt{18 \left(\dfrac{2}{3}\right)^2+8} \\ & = \dfrac{2}{3}x \pm \sqrt{16} \\ & = \dfrac{2}{3}x \pm 4. \end{aligned}$
Garis singgung yang mendekati garis $2x-3y+25=0$ adalah $y = \dfrac{2}{3}x+4.$ 
Untuk mencari titik singgungnya, substitusikan $y=\dfrac{2}{3}x+4$ pada persamaan elips. 
$\begin{aligned} 8x^2+18y^2&=144 \\ 8x^2+18\left(\dfrac{2}{3}x+4\right)^2 & = 144 \\ 8x^2+18\left(\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{16}{3}x+16\right)&=144 \\ 8x^2+8x^2+96x +288-144&=0 \\ 16x^2+96x+144&=0 \\ x^2+6x+9&=0 \\ (x+3)^2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x =-3$. 
Substitusikan ke $y=\dfrac{2}{3}x+4$ untuk mendapatkan $y = 2$. 
Jadi, titik $M$ yang dimaksud berada di $(-3,2)$.

Gradien garis $y=3x$ adalah $m_1 = 3$. 
Misalkan garis singgungnya adalah garis $k$, maka gradien garis $k$ sama dengan gradien garis $y=3x$, ditulis $m = m_1= 3.$
Persamaan elips dalam bentuk kanonik (kedua ruasnya dibagi $720$) adalah $\dfrac{x^2}{30}+\dfrac{y^2}{24}=1$. 
Diperoleh $a^2=30$ dan $b^2=24.$
Persamaan garis singgungnya adalah
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2} \\ & = 3x \pm \sqrt{30(3)^2+24} \\ & = 3x \pm \sqrt{294} \\ & = 3x \pm 7\sqrt{6}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $\boxed{y = 3x + 7\sqrt{6}}$ dan $\boxed{y = 3x- 7\sqrt{6}}$

Selanjutnya, akan ditentukan titik singgungnya. 
Substitusikan $y=3x + 7\sqrt{6}$ ke persamaan elips. 
$$\begin{aligned} 24x^2+30y^2&=720 \\ 24x^2+30(3x+7\sqrt{6})^2 &=720 \\ 24x^2+30(9x^2+42\sqrt{6}x+294)-720 & = 0\\ 294x^2+1260\sqrt{6}x + 8.100 & = 0 \\ 147x^2+630\sqrt{6}x + 4.050 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan kuadrat di atas dapat ditentukan penyelesaiannya menggunakan rumus ABC. 
$$\begin{aligned} x &=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ & = \dfrac{-630\sqrt{6} \pm \sqrt{(630\sqrt{6})^2-4(147)(4.050)}}{2(147)} \\ & = \dfrac{-630\sqrt{6}} {2(147)} \\ & =-\dfrac{15}{7}\sqrt{6} \end{aligned}$$Absis titik singgungnya adalah $x =-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}$. Substitusikan kembali ke persamaan $y=3x + 7\sqrt{6}$. 
$\begin{aligned} y & = 3x+7\sqrt{6} \\ y &= 3\left(-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}\right) +7\sqrt{6} \\ & = \dfrac{4}{7}\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik singgungnya adalah $\left(-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}, \dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right).$
Persamaan garis yang bergradien $-\dfrac{1}{3}$ (tegak lurus garis $y=3x+7\sqrt{6}$) dan melalui titik $\left(-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}, \dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right)$ adalah
$$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & =-\dfrac{1}{3}\left(x+\dfrac{15}{7}\sqrt{6}x\right) +\dfrac{4}{7}\sqrt{6} \\ 21y & =-7x-3\sqrt{6} \\ 7x + 21y & =-3\sqrt{6} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis normal di titik singgung $\left(-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}, \dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right)$ adalah $\boxed{7x+21y=-3\sqrt{6}}$.

Selanjutnya, akan ditentukan titik singgung yang lain. 
Substitusikan $y=3x- 7\sqrt{6}$ ke persamaan elips. 
$$\begin{aligned} 24x^2+30y^2&=720 \\ 24x^2+30(3x-7\sqrt{6})^2 &=720 \\ 24x^2+30(9x^2-42\sqrt{6}x+294)-720 & = 0\\ 294x^2-1260\sqrt{6}x + 8.100 & = 0 \\ 147x^2-630\sqrt{6}x + 4.050 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan kuadrat di atas dapat ditentukan penyelesaiannya menggunakan rumus ABC. 
$$\begin{aligned} x&=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ & = \dfrac{630\sqrt{6} \pm \sqrt{(-630\sqrt{6})^2-4(147)(4.050)}}{2(147)} \\ & = \dfrac{630\sqrt{6}} {2(147)} \\ & = \dfrac{15}{7}\sqrt{6} \end{aligned}$$Absis titik singgungnya adalah $x = \dfrac{15}{7}\sqrt{6}$. Substitusikan kembali ke persamaan $y=3x- 7\sqrt{6}$. 
$\begin{aligned} y & = 3x-7\sqrt{6} \\ y &= 3\left(\dfrac{15}{7}\sqrt{6}\right)-7\sqrt{6} \\ & =-\dfrac{4}{7}\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik singgungnya adalah $\left(\dfrac{15}{7}\sqrt{6},-\dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right).$
Persamaan garis yang bergradien $-\dfrac{1}{3}$ (tegak lurus garis $y=3x-7\sqrt{6}$) dan melalui titik $\left( \dfrac{15}{7}\sqrt{6},- \dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right)$ adalah
$$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & =-\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{15}{7}\sqrt{6}\right)-\dfrac{4}{7}\sqrt{6} \\ 21y & =-7x + 3\sqrt{6} \\ 7x + 21y & = 3\sqrt{6}. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis normal di titik singgung $\left(\dfrac{15}{7}\sqrt{6},-\dfrac{4}{7}\sqrt{6}\right)$ adalah $\boxed{7x+21y=3\sqrt{6}}$.

Persamaan tali busur elips $16x^2+25y^2 = 400$ dari titik $(x_1, y_1) = (10,-8)$ adalah
$\begin{aligned} 16x_1x + 25y_1y & = 400 \\ 16(10)x+25(-8)y & = 400 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan}~40 \\ 4x- 5y & = 10. \end{aligned}$
Jadi, persamaan tali busurnya adalah $\boxed{4x-5y=10}$. Gambar berikut merepresentasikannya secara geometris pada bidang koordinat.

Persamaan garis yang melalui titik $(2,1)$ dan bergradien $m$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1) + y_1 \\ \Rightarrow y & = m(x-2)+1. \end{aligned}$
Substitusikan $y= m(x-2)+1$ pada persamaan elipsnya.
$$\begin{aligned} x^2 + 2y^2 & = 8 \\ x^2 + 2(m(x-2)+1)^2 & = 8 \\ x^2 + 2m^2(x-2)^2+4m(x-2)+2 & = 8 \\ x^2 + 2m^2(x^2- 4x + 4) + 8mx- 8m + 2- 8 & = 0 \\ (2m^2+1)x^2- 4m(2m-1)x + 2(4m^2- 4m- 3) & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $x_1, x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat di atas. Jumlah akarnya adalah $ x_1+x_2 = \dfrac{4m(2m-1)}{2m^2+1}.$
Diketahui $\dfrac{x_1+x_2}{2} = 2$, berarti
$\begin{aligned} \dfrac{2m(2m-1)}{2m^2+1} & = 2 \\ 4m^2- 2m & = 4m^2 + 2 \\-2m & = 2 \\ m & =-1. \end{aligned}$
Jadi, gradiennya $m =-1$ sehingga persamaan tali busurnya adalah $y =-x+3$.
Perhatikan sketsa grafiknya. Perhatikan bahwa panjang $BA$ sama dengan panjang $AC$.

Persamaan garis kutub pada elips tersebut adalah
$2\color{red}{x_1}x + 3\color{red}{y_1}y = 12 \equiv 2x- 3y = 12$
Ini berarti, $x_1 = 1$ dan $y_1 =-1$ sehingga titik kutubnya adalah $(1,-1)$.

Catatan: Ambil titik apapun dari garis $2x- 3y = 12$, kemudian tarik garis sedemikian sehingga menyinggung elips di dua titik singgung. Tarik garis yang melalui dua titik singgung tersebut. Garis ini selanjutnya disebut sebagai garis kutub. Setiap garis kutub dalam kasus ini selalu melalui satu titik tertentu, yaitu titik $(1,-1)$ sehingga disebut titik kutub.

Karena titik $(x_1, y_1)$ berada pada elips, berlaku $\dfrac{(x_1-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y_1-k)^2}{b^2}=1.$
Gradien garis singgung $g$, yaitu $m_g$ di titik $(x_1,y_1)$ dapat ditentukan dengan menggunakan konsep turunan. 
Turunkan persamaan di atas terhadap $x$ (menggunakan turunan implisit) sehingga didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{2(x_1-h)} {a^2} + \dfrac{2(y_1-k)} {b^2} \cdot \dfrac{dy_1}{dx} & = 0 \\ m = \dfrac{dy_1}{dx} &=-\dfrac{b^2(x_1-h)} {a^2(y_1-k)}. \end{aligned}$$Persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x- x_1) \\ y-y_1 & =-\dfrac{b^2(x_1-h)}{a^2(y_1-k)} \\ a^2((y-k)-(y_1-k))(y_1-k) & =-b^2((x-h)-(x_1-h))(x_1-h) \\ a^2(y-k)(y_1-k)+b^2(x_1-h)(x-h) & = a^2(y_1-k)^2+b^2(x_1-h)^2 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~a^2b^2 \\ \dfrac{(x_1-h)(x-h)}{a^2} + \dfrac{(y_1-k)(y-k)}{b^2} & = \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} \\ \dfrac{(x_1-h)(x-h)}{a^2} + \dfrac{(y_1-k)(y-k)}{b^2} & = 1. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgung elips tersebut adalah $$\boxed{\dfrac{(x_1-h) (x-h)}{a^2}+\dfrac{(y_1-k)(y-k) }{b^2}=1}$$

Ubah persamaan elips itu menjadi bentuk kanonik. 
$$\begin{aligned} x^2+4y^2+6x-16y-11 & = 0 \\ x^2+6x+4(y^2-4y)-11&=0 \\ (x+3)^2-9+4((y-2)^2-4)-11&=0 \\ (x+3)^2-9+ 4(y-2)^2-16-11&=0 \\ (x+3)^2+4(y-2)^2 & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruasnya dengan}~36 \\ \dfrac{(x+3)^2}{36} + \dfrac{(y-2)^2}{9} & = 1 \end{aligned}$$Diperoleh $a = \sqrt{36}=6$ dan $b=\sqrt{9}=3$ sehingga $L = \pi ab = \pi (6)(3) = 18\pi$. 
Jadi, luas elips tersebut adalah $\boxed{18\pi}$

Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas memperlihatkan sketsa kelengkungan dan sumbu-sumbu koordinat dapat dipilih sedemikian sehingga sumbu $X$ terletak pada alas dan titik asal $(0,0)$ adalah titik tengah alas. Dengan demikian, sumbu utama (mayor) elips terletak sepanjang sumbu $X$, pusatnya di titik asal $(x_p, y_p) = (0,0)$, $a = \dfrac{48}{2} = 24$, dan $b = 20$. Persamaan elipsnya berbentuk
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p) ^2}{b^2}&=1 \\ \dfrac{x^{2}}{576}+\dfrac{y^{2}}{400}&=1. \end{aligned}$
Untuk nilai $y = 10$ akan diperoleh nilai $x$ yang menyatakan lebar setengah lengkungan pada ketinggian $10$ meter. 
$\begin{aligned} \dfrac{x^{2}}{576}+\dfrac{10^{2}}{400} & = 1 \\ \dfrac{x^2}{576} & = \dfrac{3}{4} \\ x^2 & = 432 \\ x & = \pm 12\sqrt{3} \end{aligned}$
Dipilih $x$ positif. Ini berarti, lebar lengkungan pada ketinggian $10$ meter adalah $\boxed{2 \times 12\sqrt{3}=24\sqrt{3}~\text{meter}}$

Akan ditentukan persamaan elips yang mewakili jembatan tersebut terlebih dahulu. 
Diketahui: 
$2a = 10$, berarti $a = 5$. 
Tinggi busur elips $b = 6$. 
Ini berarti, jari-jari panjang elips $6$ meter dan jari-jari pendek elips $5$ meter. 
Misalkan elips ini berpusat di titik asal $(x_p, y_p) = (0,0)$, maka persamaan elips tersebut adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p) ^2}{b^2}&=1 \\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{36} & = 1. \end{aligned}$
Agar jembatan tersebut dapat dilewati oleh kendaraan secara maksimal, kendaraan tersebut harus berada tepat di tengah-tengah jembatan tersebut. Selanjutnya, kita dapat menentukan ketinggian maksimal kendaraan yang dapat melewati jembatan, yang bergantung dengan lebar dari kendaraan tersebut.
Karena lebar truk tersebut $5$ meter, maka dari persamaan elips itu harus ditentukan nilai $y$ untuk $x=\dfrac{5}{2}=2,5$, yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{(2,5)^2}{25} + \dfrac{y^2}{36} & =1 \\ \dfrac{y^2}{36} & = 1-\dfrac{6,25}{25} \\ y^2 & = \dfrac{18,75 \times 36}{25} \\ y^2 & = \dfrac{675}{25} \\ y & = \pm \sqrt{\dfrac{675}{25}} = \pm 5,2. \end{aligned}$
Dipilih $y$ positif. Karena tinggi truk barang tersebut $5,5$ meter dan ketinggian maksimum jembatan pada titik $2,5$ meter di kanan dan kiri titik pusatnya adalah $5,2$ meter, maka truk barang tersebut tidak akan bisa melewati jembatan yang dimaksud.

Diketahui:
Panjang sumbu mayor = $2a = 458$. Ini berarti, $a = \dfrac{458}{2} = 229$. 
Panjang sumbu minor = $2b = 390$. Ini berarti, $b= \dfrac{390}{2} = 195$. 
Nilai fokus dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan fokus. 
$\begin{aligned} c^2 & = a^2- b^2 \\ & = 229^2-195^2 \\ & = (229+195)(229-195) \\ & = 14.416 \\ c & \approx 120 \end{aligned}$
Karena titik fokus elips hanya ada $2$, maka air mancur yang dibangun ditempatkan hanya pada $2$ posisi tersebut. 
Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut kira-kira $2(120) = 240$ meter.

Diketahui:
Panjang sumbu semi mayor = $a = 16$;
Panjang sumbu semi minor = $b = 10$. 
Dengan menggunakan persamaan fokus, diperoleh
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2-b^2} \\ & = \sqrt{16^2-10^2} \\ & = \sqrt{156} \\ & \approx 12,49. \end{aligned}$
Dengan demikian, jarak titik puncak dengan titik fokus di tempat batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut. 
$d = a + f \approx 16+12,49 = 28,49$
Ini berarti, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada sekitaran jarak $\boxed{28,49~\text{cm}}$ dari titik puncak litotripter.

Karena lebar dari pintu air tersebut adalah 30 meter, maka panjang sumbu mayornya adalah $2a = 30$ sehingga diperoleh $a = \dfrac{30}{2} = 15$. Tunggi pintu airnya 8 meter, berarti panjang sumbu semi minornya adalah $b = 8$. Dengan memisalkan titik pertemuan kedua elips tersebut sebagai titik asal, maka titik pusat dari elips sebelah kiri dan sebelah kanan secara berturut-turut adalah $(–15, 0)$ dan $(15, 0)$. 
Untuk itu, persamaan elips yang sebelah kiri dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{(x-p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-b)^2}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{(x+15)^2}{15^2}+\dfrac{(y-0)^2}{8^2} & = 1 \\ \dfrac{(x+15)^2}{225}+\dfrac{y^2}{64} & = 1 \end{aligned} $
Dengan langkah yang sama, persamaan elips yang sebelah kanan adalah $\dfrac{(x-15)^2}{225}+\dfrac{y^2}{64} = 1.$
Titik yang terletak sejauh $9$ meter di kanan titik pusat untuk elips kiri dan kanan berturut-turut adalah pada $x =-15 + 9 =-6$ dan $x = 15 + 9 = 24.$
Untuk persamaan elips yang sebelah kiri, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{(-6+15)^2}{225}+\dfrac{y^2}{64} & = 1 \\ \dfrac{81}{225} + \dfrac{y^2}{64} & = 1 \\ \dfrac{y^2}{64} & = \dfrac{144}{225} \\ y & = \pm \dfrac{96}{15} = \pm 6,4. \end{aligned}$
Pilih $y$ positif. Dengan cara yang sama, bila $x = 24$ disubstitusikan pada persamaan elips yang sebelah kanan, yaitu $\dfrac{(x-15)^2}{225}+\dfrac{y^2}{64} = 1 $, diperoleh $y = 6,4$. 
Jadi, ketinggian titik pada busur elips tersebut yang terletak 9 meter di kanan masing-masing titik pusat pintu air adalah $\boxed{6,4~\text{meter}}$