Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Hiperbola

    Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi hiperbola yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi.
Sejumlah gambar grafik yang terdapat dalam postingan ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah Geogebra Classic 5.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Elips

 Soal Nomor 1
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, persamaan direktriks, eksentrisitas, persamaan asimtot dari hiperbola $16x^2-9y^2=144$.

Penyelesaian

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$,
$\boxed{\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{9}=3 \\ & b =\sqrt{16}=4 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(0,0) \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(0 \pm a, 0)$, yaitu $(3,0), (-3,0)$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(0 \pm c, 0)$, yaitu $(5,0)$ dan $(-5,0)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(4)^2}{3}=\dfrac{32}{3}$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya menggunakan rumus berikut:
$x = \pm \dfrac{a^2}{c} =\pm \dfrac{9}{5}$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya menggunakan rumus berikut:
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$
(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$y = \pm \dfrac{b}{a}x =\pm \dfrac{4}{3}x$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, persamaan direktriks, eksentrisitasdan persamaan asimtot dari hiperbola $16y^2-9x^2=144$.

Penyelesaian

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$, sehingga diperoleh
$\boxed{\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{16}=4 \\ & b =\sqrt{9}=3 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{4^2+3^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(0,0) \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai negatif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola vertikal dan puncaknya di $(0, 0 \pm b)$, yaitu $(0,3), (0,-3)$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(0, 0 \pm c)$, yaitu $(0,5)$ dan $(0,-5)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini vertikal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2a^2}{b} =\dfrac{2(4)^2}{3}=\dfrac{32}{3}$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini vertikal, maka persamaan direktriksnya menggunakan rumus berikut:
$y = \pm \dfrac{b^2}{c} =\pm \dfrac{9}{5}$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini vertikal, maka eksentrisitasnya menggunakan rumus berikut:
$e = \dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{3}$

(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini vertikal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$y = \pm \dfrac{b}{a}x =\pm \dfrac{3}{4}x$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.



[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, persamaan direktriks, eksentrisitas, dan persamaan asimtot dari hiperbola $9(x+2)^2-16(y-3)^2 = 144$.

Penyelesaian

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$, sehingga diperoleh
$\boxed{\dfrac{(x+2)^2}{16}-\dfrac{(y-3)^2}{9} = 1}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{16}=4 \\ & b =\sqrt{9}=3 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(-2,3) \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(-2 \pm a, 3) \Rightarrow (-2 \pm 4, 3)$, yaitu $(2,3), (-6,3)$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(-2 \pm c, 3) \Rightarrow (-2 \pm 5, 3)$, yaitu $(3,3)$ dan $(-7,3)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(3)^2}{4}=\dfrac{9}{2}$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya menggunakan rumus berikut:
$\boxed{x = x_p \pm \dfrac{a^2}{c}}$
yakni
$\begin{cases} x & = -2 + \frac{4^2}{5} = \frac{6}{5} \\ x & = -2 – \frac{4^2}{5} = – \frac{26}{5} \end{cases}$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya menggunakan rumus berikut:
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4}$

(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$\boxed{y – y_p = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p)}$
yakni
$\begin{cases} y – 3 = \dfrac{3}{4}(x + 2) \Leftrightarrow 4y – 3x = 18 \\ y – 3 = -\dfrac{3}{4}(x + 2) \Leftrightarrow 4y + 3x = 6 \end{cases}$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, persamaan direktriks, eksentrisitas, dan persamaan asimtot dari hiperbola $3x^2-2y^2+4y-26=0$.

Penyelesaian

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya sebagai berikut.
$\begin{aligned} 3x^2-2y^2+4y-26 & =0 \\ 3x^2 – 2(y^2 – 2y) -26 & = 0 \\ 3x^2 – 2((y-1)^2 – 1) – 26 & = 0 \\ 3x^2 – 2(y-1)^2 & = 24 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&24 \\ \dfrac{x^2}{8} – \dfrac{(y-1)^2}{12} & = 1 \end{aligned}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a= \sqrt{8} \\ & b =\sqrt{12}\\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{8+12}=\sqrt{20} \\ & \text{Pusat di}~P(0,1) \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(x_p \pm a, y_p) \Rightarrow (0 \pm \sqrt{8}, 1)$, yaitu $(\sqrt{8}, 1)$ dan $(-\sqrt{8}, 1)$.
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(x_p \pm c, y_p) \Rightarrow (0 \pm \sqrt{20}, 1)$, yaitu $(\sqrt{20}, 1)$ dan $(-\sqrt{20}, 1)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(12)}{\sqrt{8}}=\dfrac{24}{\sqrt{8}} = 6\sqrt{2}$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya menggunakan rumus berikut:
$x = x_p \pm \dfrac{a^2}{c} = 0 \pm \dfrac{8}{\sqrt{20}} = \pm \dfrac{4}{5}\sqrt{5}$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya menggunakan rumus berikut:
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{8}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{10}$

(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$\boxed{y – y_p = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p)}$
yakni
$$\begin{cases} y-1 = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}(x + 0) \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}\sqrt{6}x + 1 \\ y-1 = -\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}(x + 0) \Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{2}\sqrt{6}x + 1 \end{cases}$$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui hiperbola $\dfrac{(x+2)^2}{8} – \dfrac{(y-5)^2}{4}=1$
Tentukan:
a. Koordinat pusat
b. Koordinat fokus
c. Koordinat puncak

Penyelesaian

Jawaban a) 
Pusat hiperbola di $(-2, 5)$. 
Jawaban b)
Diketahui persamaan hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini memiliki nilai $a^2 = 8$ dan $b^2 = 4$. 
Dengan demikian, 
$c =\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{8+4} = 2\sqrt{3}$
Titik fokus hiperbola didapat dari titik pusat yang absisnya dipengaruhi oleh nilai $c$, yakni $(-2 \pm c, 5)$. Untuk $c = 2\sqrt{3}$, didapat koordinat dua titik fokus hiperbola:
$\begin{aligned} F_1 & = (-2 + 2\sqrt{3}, 5) \\ F_2 & = (-2-2\sqrt{3}, 5) \end{aligned}$
Jawaban c) 
Karena hiperbola ini horizontal, maka koordinat titik puncak didapat dari titik pusat yang absisnya dipengaruhi oleh nilai $a$, yakni $(-2 \pm a, 5)$. Untuk $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, diperoleh koordinat dua titik puncak hiperbola:
$\begin{aligned} A_1 & = (-2 + 2\sqrt{2}, 5) \\ A_2 & = (-2-2\sqrt{2}, 5) \end{aligned}$.
Perhatikan grafiknya pada gambar di bawah.

[collapse]

Soal Nomor 6
Salah satu titik puncak hiperbola $\dfrac{(x-5)^2}{16} – \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1$ adalah $\cdots$
A. $(9, 2)$
B. $(7,2)$
C. $(5,2)$
D. $(5,-2)$
E. $(7,-2)$

Penyelesaian

Persamaan hiperbolanya adalah $\dfrac{(x-5)^2}{16} – \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1$
Diketahui $a = \sqrt{16} = 4, b = \sqrt{9} = 3$, dan pusatnya di $(5, 2)$
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(5 \pm a, 2)$. Untuk $a = 4$, diperoleh puncak hiperbola di $(9, 2)$ dan $(1, 2)$.

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Hiperbola dengan pusat $(0,0)$ mempunyai asimtot $y = \dfrac{2}{3}x$ dan koordinat fokus $(\sqrt{13}, 0)$. Persamaan hiperbola tersebut adalah $\cdots$
A. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
B. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
C. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
D. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
E. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$

Penyelesaian

Karena nilai $c$ memengaruhi koordinat titik fokus dari titik pusat dengan $c = \sqrt{3}$, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal.
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$y = \pm \dfrac{b}{a}x$
Diketahui persamaan asimtot hiperbola:
$y = \dfrac{2}{3}x$

Ini berarti, $a = 2, b =3$, dan verifikasi menunjukkan bahwa benar $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{x^2}{4} – \dfrac{y^2}{9} & = 1 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Asimtot hiperbola $16(x-5)^2 – 9(y+1)^2 = 144$ adalah $\cdots$
A. $y-x+10=0$ dan $y-2x+10=0$
B. $y-3x-10=0$ dan $y+3x+20=0$
C. $y-x+20=0$ dan $y-2x+21=0$
D. $y-4x=0$ dan $y-4x+2=0$
E. $3y-4x+23=0$ dan $3y+4x-17=0$

Penyelesaian

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$, sehingga diperoleh
$\boxed{\dfrac{(x-5)^2}{9}-\dfrac{(y+1)^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{9}= 3 \\ & b =\sqrt{16}=4 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(5,-1) \end{aligned}$
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal.
Untuk itu, persamaan asimtotnya ditentukan oleh
$\begin{aligned} y – yp & = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p) \\ y + 1 & = \pm \dfrac{4}{3}(x – 5) \\ 3(y + 1) & = \pm 4(x – 5) \\ 3y + 3 & = \pm (4x – 20) \\ 3y + 3 \pm (4x – 20) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh dua persamaan asimtot:
$\begin{cases} 3y – 4x + 23 = 0 \\ 3y + 4x – 17 = 0 \end{cases}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan masing-masing persamaan hiperbola dengan kondisi berikut.
a. Pusat $(2,0)$, fokus $(10,0)$, dan puncak $(6,0)$
b. Puncak $(6,5)$, sumbu khayal pada sumbu $X$ dengan asimtot $5x-6y-30=0$ dan $5x+6y-30=0$

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui: $P(2, 0), F_1(10,0), A_1(6,0)$
Perhatikan bahwa nilai $c$ memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat $F_1$. Ini berarti hiperbolanya horizontal.
Dari sini, diketahui $c = 10 – 2 = 8$.
Nilai $a$ juga memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat $A_1$.
Nilai $a = 6 – 2 = 4$.
Untuk itu,
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & =8^2-4^2= 48 \end{aligned}$
Persamaan hiperbola dengan titik pusat $(x_p, y_p)$ dinyatakan oleh
$ \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_p)^2}{b^2} = 1 $
Untuk pusat di $(2,0), a^2 = 4^2 = 16$, dan $b^2 = 48$, diperoleh persamaan hiperbola
$\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{48} = 1}$
Jawaban b)
Karena sumbu khayal (imajiner) berada pada sumbu $X$, maka hiperbola ini dipastikan vertikal. Ordinat pusat di $y = 0$. Karena titik puncak diketahui di $(6,5)$, maka titik pusatnya di $(6,0)$.
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan asimtot, diperoleh
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b}{a} (x – x_p) \\ y – 0 & = \pm \dfrac{b} {a} (x – 6) \\ ay & = \pm b(x -6) \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot:
$\begin{cases} bx – ay – 6b = 0 \\ bx + ay – 6b = 0 \end{cases}$
Diketahui persamaan asimtot hiperbola ini adalah $5x-6y-30=0$ dan $5x+6y-30=0$. Ini berarti, nilai $a = 6$ dan $b = 5$.
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\boxed{\dfrac{y^2}{25} – \dfrac{(x-6)^2}{36} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Salah satu persamaan asimtot hiperbola $9x^2 – 4y^2 +8y – 40 = 0$ adalah $\cdots$
A. $3x-2y+1=0$
B. $3x-2y+2=0$
C. $9x-4y+4=0$
D. $9x-4y+1=0$
E. $9x+4y+1=0$

Penyelesaian

Ubah persamaan hiperbola tersebut ke bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 9x^2 – 4y^2 +8y – 40 & = 0 \\ 9x^2 – 4(y^2 – 2y) – 40 & = 0 \\ 9x^2 – 4((y-1)^2-1) – 40 & = 0 \\ 9x^2 – 4(y-1)^2 & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~36 \\ \dfrac{x^2}{4} – \dfrac{(y-1)^2}{9} & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \sqrt{4}=2, b = \sqrt{9} = 3$, dan pusat di $(0, 1)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ bernilai positif) tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y – 1 & = \pm \dfrac{3}{2}(x-0) \\ 2(y-1) & = \pm 3x \\ \pm 3x + 2y – 2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh dua persamaan asimtot hiperbola, yakni $\boxed{3x+2y-2=0}$ dan $\boxed{-3x+2y-2=0}$. 
Perhatikan bahwa persamaan $-3x+2y-2=0$ ekuivalen dengan $3x-2y+2=0$. (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah hiperbola mempunyai fokus $(-6,0)$ dan $(4,0)$. Salah satu titik potong hiperbola dengan sumbu $X$ adalah $(3,0)$. Tentukan asimtot hiperbola tersebut.

Penyelesaian

Karena ordinat fokus tetap, maka bentuk persamaan hiperbolanya adalah
$\dfrac{(x-x_p) ^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2} = 1$
Diketahui:
$\begin{aligned} F_1(x_p + c, y_p) & = F_1(-6,0) \\ F_2(x_p – c, y_p) & = F_2(4,0) \end{aligned}$
Diperoleh $x_p = -1, y_p = 0, c = 5$. 
Persamaan hiperbolanya menjadi
$\dfrac{(x+1) ^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Karena hiperbola memotong sumbu $X$ di $(3,0)$, maka substitusinya menghasilkan
$\dfrac{(3+1)^2}{a^2} – 0 = 1$
sehingga $a = \sqrt{16} = 4$. 
$b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3$
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y & = \pm \dfrac{3}{4}(x+1) \\ 4y & = \pm (3x + 3) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan persamaan asimtot hiperbola tersebut. 
a. $\dfrac{(x-3)^2}{144} – \dfrac{(y+4)^2}{25}=1$
b. $6x^2-15y^2+12x+30y-99=0$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Dari persamaan hiperbola $\dfrac{(x-3)^2}{144} – \dfrac{(y+4)^2}{25}=1$, diketahui $a = \sqrt{144} = 12, b = \sqrt{25} = 5$ dengan titik pusat di $(3, -4)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y + 4 & = \pm \dfrac{5}{12}(x – 3) \\ 12(y+4) & = \pm (5x-15) \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot hiperbola:
$\begin{cases} 12y – 5x = -63 \\ 12y + 5x = -33 \end{cases}$

Jawaban b) 
Ubah persamaan hiperbolanya dalam bentuk kanonik. 
$$\begin{aligned} 6x^2-15y^2+12x+30y-99 & =0 \\ 6(x^2+2x) – 15(y^2 – 2y) – 99 & = 0 \\ 6((x+1)^2-1)-15((y-1)^2-1)-99&=0 \\ 6(x+1)^2 – 6 – 15(y-1)^2 + 15 – 99 & = 0 \\ 6(x+1)^2 – 15(y-1)^2 & = 90 \\ \dfrac{(x+1)^2}{15} – \dfrac{(y-1)^2}{6} & = 1 \end{aligned}$$
Diperoleh $a = \sqrt{15}, b = \sqrt{6}$, dan titik pusat hiperbola di $(-1,1)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y – 1 & = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}(x +1) \\ y & = \pm \sqrt{\dfrac{2}{5}}(x+1) + 1 \\ y & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1 \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot hiperbola:
$\begin{cases} y = \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1 \\ y = – \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1 \end{cases}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan persamaan hiperbola yang salah satu titik fokusnya $(0,0)$, jarak antara kedua titik fokus $10$, dan sumbu mayor berjarak $6$ serta sejajar dengan sumbu $X$.

Penyelesaian

Karena sumbu mayor sejajar dengan sumbu $X$, maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya horizontal dengan persamaan umumnya $\dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}=1$. 
Diketahui sumbu mayor berjarak $6$, berarti
$2a = 6 \Leftrightarrow a = 3$
Diketahui juga salah satu titik fokusnya $(0,0)$ dan fokus yang lain berjarak $10$. Ini berarti, koordinat titik fokus yang lain di $(10,0)$ atau $(-10,0)$. 
Misalkan titik pusat hiperbolanya di $(x_p, y_p) $. Karena hiperbolanya horizontal, maka nilai $c$ memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat titik fokus, yaitu
$(x_p \pm c, y_p)$. 
Jadi, $x_p = \pm 5, c = 5, y_p = 0$
Selain itu, didapat juga $b = \sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25-9}=4$. 
Ada 2 kemungkinan titik pusat hiperbola, yakni di $(5, 0)$ atau $(-5,0)$, berturut-turut persamaannya sebagai berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \dfrac{(x-5)^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}&=1 \\ \dfrac{(x+5)^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}&=1 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai sumbu sekawan di $x = 12$, menyinggung sumbu $Y$ di $(0,-2)$, dan sumbu minor berjarak $10$.

Penyelesaian

Karena sumbu sekawan $x = 12$ sejajar dengan sumbu $Y$, maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya horizontal. Titik pusatnya di $(12, y_p)$. 
Karena hiperbola menyinggung sumbu $Y$ di $(0,-2)$, maka titik $(0,-2)$ akan menjadi titik puncak hiperbola karena bila tidak, kurvanya justru akan memotong sumbu $Y$.
Jarak titik puncak $(0,-2)$ ke titik pusat $(12, y_p)$ dengan $y_p = -2$ adalah $a = 12$. 
Diketahui sumbu minor berjarak $10$, berarti
$2b = 10 \Leftrightarrow b = 5$
Persamaan hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}& =1 \\ \dfrac{(x-12)^2}{144} – \dfrac{(y+2)^2}{25} & = 1 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Titik $A(-3,-5)$ terletak pada hiperbola yang titik apinya $F(-2,-3)$ dan garis arah yang bersesuaian dengan titik api ini adalah $x+1 = 0$. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi syarat di atas.

Penyelesaian

Misalkan $(x_0, y_0)$ merupakan titik sembarang pada hiperbola.
Jarak titik tersebut ke titik api $F(-2, -3)$ adalah
$\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2}$,
sedangkan jarak titik tersebut ke direktriks $x+1=0$ adalah $d = -1-x_0$.
Karena kurvanya hiperbola, maka perbandingan antara kedua jarak ini haruslah konstan, yakni
$j = \dfrac{\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2}}{-1-x_0}$
untuk suatu bilangan real positif $j$.
Substitusikan titik $A(-3, -5)$, di mana $x_0 = -3$ dan $y_0 = -5$ untuk memperoleh
$j = \dfrac{\sqrt{(-3+2)^2 + (-5+3)^2}}{-1-(-3)} = \dfrac{1}{2}\sqrt{5}$
Dengan demikian, persamaan hiperbolanya berbentuk seperti berikut (ubah $x_0, y_0$ menjadi $x,y$)
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\sqrt{5} & = \dfrac{\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2}}{-1-x_0} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{5}(1-x_0) & = \sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2} \\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ \dfrac{5}{4}(1-x_0)^2 & = (x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2 \\ x^2 – 4y^2 – 6x – 24y- 47 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah $\boxed{x^2 – 4y^2 – 6x – 24y- 47 = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu $Y$ simetris terhadap $O$ dan memenuhi syarat bahwa jarak kedua titik apinya adalah $2c = 4\sqrt{3}$ dan eksentrisitasnya $e = \sqrt{3}$.

Penyelesaian

Karena kedua titik fokus (titik api) terletak pada sumbu $Y$ simetris terhadap $O$ (titik asal), maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya vertikal dengan titik pusat di $(0,0)$. 
Diketahui $2c = 4\sqrt{3}$, berarti $c = 2\sqrt{3}$
Diketahui juga $e = \sqrt{3}$. Ini berarti, 
$\begin{aligned} e & = \dfrac{c} {b} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{2\sqrt{3}} {b} \\ b & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$a^2 = c^2-b^2=(2\sqrt{3})^2-2^2 = 12-4=8$
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}-\dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}&=1 \\ \dfrac{y^2}{4} – \dfrac{x^2}{8} &=1 \end{aligned}$.

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan luas daerah segitiga yang dibentuk oleh asimtot-asimtot hiperbola $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$ dan garis $9x+2y-24=0$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$, diketahui $a = \sqrt{4} = 2, b = \sqrt{9} = 3$, dan titik pusat hiperbola di $(0,0)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y – y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y & = \pm \dfrac{3}{2}x \end{aligned} $
Asimtot $y = \dfrac{3}{2}x, y = -\dfrac{3}{2}x$, dan garis $9x+2y-24=0$ membentuk suatu segitiga yang secara geometris digambarkan sebagai berikut.

Titik sudut segitiganya adalah $A(2, 3), B(0, 0)$, dan $C(4,-6)$.
Luas segitiga $ABC$ dapat ditentukan dengan beberapa cara. 
Salah satu caranya adalah dengan menggunakan determinan matriks.
$\begin{aligned} L & = \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} \\ & =  \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac{1}{2}(0 + 12 + 0 – 0 – 0 – (-12)) \\ & = 12 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga yang terbentuk oleh asimtot dan garis tersebut adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{x^2}{25} – \dfrac{y^2}{9}$ yang sejajar dengan garis $y-2x+4=0$ adalah $\cdots$
A. $y = 2x \pm 3\sqrt{15}$
B. $y = 2x \pm 5\sqrt{3}$
C. $y = 2x \pm \sqrt{41}$
D. $y = 2x \pm \sqrt{61}$
E. $y = 2x \pm \sqrt{91}$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{25} – \dfrac{y^2}{9} = 1$, diketahui 
$a^2= 25, b^2 = 9$, dan pusat di $(0,0)$. 
Gradien garis $y-2x+4 = 0$ adalah $m_g = – \dfrac{-2}{1} = 2$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = 2$. 
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{25(2)^2 – 9} \\ y & = 2x \pm \sqrt{91} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola tersebut yang sejajar dengan garis $y-2x+4=0$ adalah $\boxed{y = 2x \pm \sqrt{91}}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+4)^2}{16} – \dfrac{(x-2)^2}{9}=1$ yang tegak lurus garis $3x+y+4=0$ adalah $\cdots$
A. $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}$
B. $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}$
C. $y = -\dfrac{1}{3}x – \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}$ 
D. $y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}$
E. $y = 3x + \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola vertikal $\dfrac{(y+4)^2}{16} – \dfrac{(x-2)^2}{9}=1$ , diketahui $a^2 = 9, b^2 = 16$, dan pusat di $(2, -4)$. 
Gradien garis $3x+y+4=0$ adalah $m_g = -\dfrac{3}{1} = -3$. 
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac{1}{3}$
Persamaan garis singgung hiperbola vertikal tersebut dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y – y_p& = m(x-x_p) \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y + 4& = \dfrac{1}{3}(x – 2) \pm \sqrt{16 – 9\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\ y + 4& = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{2}{3} \pm \sqrt{15} \\ y & = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15} \end{aligned}$ 
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+4)^2}{16} – \dfrac{(x-2)^2}{9}=1$ yang tegak lurus garis $3x+y+4=0$ adalah $\boxed{y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola
$\dfrac{x^2}{64} – \dfrac{y^2}{36} = 1$
yang:
a. sejajar garis $x-2y=0$;
b. tegak lurus garis $x-2y=0$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{64} – \dfrac{y^2}{36} = 1$, diketahui
$a^2 = 64, b^2 = 36$, serta titik pusat hiperbola di $(0,0)$.
Jawaban a)
Gradien garis $x-2y = 0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{2}$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = \dfrac{1}{2}$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{64\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 – 36} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{-20} \end{aligned}$
Kita dapatkan bentuk akar yang tidak terdefinisi di himpunan bilangan real, karena radikan (bilangan di bawah tanda akar) bernilai negatif.
Dapat disimpulkan bahwa tidak ada garis singgung hiperbola yang sejajar dengan garis $x – 2y =0$.
Jawaban b)
Gradien garis $x-2y = 0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{2}$
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_g} = -2$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ y & = -2x \pm \sqrt{64(-2)^2 – 36} \\ y & = -2x \pm \sqrt{220} \\ y & = -2x \pm 2\sqrt{55} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis $x-2y=0$ ada dua, yaitu $\boxed{y = -2x + 2\sqrt{55}} $ dan $\boxed{y = -2x – 2\sqrt{55}}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{y^2} {36} – \dfrac{x^2}{64}=1$ yang
a. sejajar garis $4y-x+1=0$
b. tegak lurus garis $4x+2y-7=0$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{y^2}{36} – \dfrac{x^2}{64} = 1$, diketahui
$a^2 = 64, b^2 = 36$, dan titik pusat hiperbola di $(0,0)$ (hiperbolanya vertikal karena koefisien $x^2$ negatif).
Jawaban a)
Gradien garis $4y-x+1=0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{4}$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = \dfrac{1}{4}$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{36 – 64\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{36 – 4} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{32} \\ y &= \dfrac{1}{4}x \pm 4\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $y = \dfrac{1}{4}x \pm 4\sqrt{2}$

Jawaban b)
Gradien garis $4x+2y-7=0$ adalah $m_g = \dfrac{-4}{2} = -2$
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac{1}{2}$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{36 – 64\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{36 – 16} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{20} \\ y &= \dfrac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $y = \dfrac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola $\dfrac{x^2}{20} – \dfrac{y^2}{5} = 1$ yang tegak lurus garis $4x+3y-7=0$

Penyelesaian

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{20} – \dfrac{y^2}{5} = 1$, diketahui $a^2 = 20, b^2 = 5$, dan pusat di $(0,0$).
Gradien garis $4x + 3y – 7 = 0$ adalah $m_g = \dfrac{-4}{3}$.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac{3}{4}$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{20\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 – 5} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{100}{16}} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis $4x+3y-7=0$ ada dua, yaitu $\boxed{y =\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}} $ dan $\boxed{y = \dfrac{3}{4}x -\dfrac{5}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Carilah persamaan garis singgung pada hiperbola $4x^2 – y^2 = -1$ di titik $\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$

Penyelesaian

Ubah persamaan hiperbolanya menjadi bentuk kanonik: $\dfrac{y^2}{1} – \dfrac{x^2}{\frac{1}{4}} = 1$
Diperoleh: $a^2 = \dfrac{1}{4}, b^2 = 1$, dan pusat di $(0,0)$. 
Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik $\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ (gradiennya tak diketahui) dinyatakan oleh
$\dfrac{yy_1}{b^2} – \dfrac{xx_1}{a^2} = 1$
Substitusikan $x_1 = \dfrac{1}{2}, y_1 = \sqrt{2}, a^2=\dfrac{1}{4}$, dan $b^2=1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{2}y} {1}-\dfrac{\frac{1}{2}x} {\frac{1}{4}} & = 1 \\ \sqrt{2}y – 2x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung pada hiperbola $4x^2 – y^2 = -1$ di titik $\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ adalah $\boxed{\sqrt{2}y – 2x = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan persamaan hiperbola yang melalui titik api $F_1(-3,0)$ dan $F_2(3,0)$, serta bersinggungan dengan garis $2x – y – 4 = 0$.

Penyelesaian

Dengan meninjau koordinat titik fokusnya, absisnya berbeda karena dipengaruhi oleh nilai $c$. Ini berarti, hiperbolanya horizontal.
Perhatikan bahwa koordinat titik fokusnya ditentukan oleh $(x_p \pm c, y_p)$.
Diketahui: $y_p = 0$, sehingga diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} x_p – c = -3 \\ x_p + c = 3 \end{cases}$
Selesaikan sistem tersebut untuk mendapatkan $x_p = 0$ dan $c = 3$.
Selanjutnya, kita peroleh persamaan:
$a^2 + b^2 = c^2 = 9~~\bigstar$
Hiperbola tersebut bersinggungan dengan garis $2x-y-4=0$ yang gradiennya $m_g = -\dfrac{2}{-1} = 2$. Persamaan garis singgung tersebut ekuivalen dengan $y = 2x – 4$
Dengan menggunakan rumus PGS: $\boxed{y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2}}$ dan membandingkan hasilnya dengan $y = 2x – 4$, kita simpulkan
$m = 2$ dan $\sqrt{a^2m^2 – b^2} = 4$.
Akan dicari nilai $a$ dan $b$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \sqrt{a^2m^2 – b^2} & = 4 \\a^2(2)^2-b^2 & = 16 \\ 4a^2 – b^2 & = 16 \end{aligned}$ 
Kita peroleh SPL:
$\begin{cases} a^2 + b^2 = 9 \\ 4a^2 – b^2 = 16 \end{cases}$
Eliminasi $b^2$ untuk memperoleh
$5a^2 = 25$, sehingga didapat nilai $a^2 = 5$.
Substitusi nilai ini ke persamaan $a^2 + b^2 = 9$, sehingga diperoleh $b^2 = 9 – 5 = 4$.
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\boxed{\dfrac{x^2}{5} – \dfrac{y^2}{4} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai $p$ agar garis $y = \dfrac{5}{2}x + p$ menyinggung hiperbola $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{36} = 1$

Penyelesaian

Persamaan hiperbola itu ekuivalen dengan
$4x^2 – y^2 = 36$
Substitusikan $y = \dfrac{5}{2}x + p$ pada persamaan hiperbola di atas. 
$\begin{aligned} 4x^2 – y^2 & = 36 \\ 4x^2 – \left(\dfrac{5}{2}x + p\right)^2 & = 36 \\ 4x^2 – \left(\dfrac{25}{4}x^2 + 5px + p^2\right) & = 36 \\ -\dfrac{9}{4}x^2 – 5px – p^2 – 36 & = 0 \end{aligned}$
Agar menyinggung, persamaan kuadrat di atas harus memiliki diskriminan $0$. 
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ (-5p)^2 – \cancel{4}\left(-\dfrac{9}{\cancel{4}}\right)(-p^2-36) & = 0 \\ 25p^2 + 9(-p^2 – 36) & = 0 \\ 16p^2 – 324 & = 0 \\ p^2 & = \dfrac{324}{16} \\ p & = \pm \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p = \pm \dfrac{9}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika garis $2x-y-4=0$ menyinggung hiperbola yang titik-titik apinya $f_1(-3,0)$ dan $f_2(3,0)$, maka tentukan persamaan hiperbolanya.

Penyelesaian

Dari koordinat titik fokus, kita dapat mengetahui bahwa hiperbola ini horizontal dengan pusat di $(0,0)$ dan $c = 3$. Dari sini, diketahui juga bahwa
$c^2 = a^2+b^2 = 9$
Garis singgung itu ekuivalen dengan $y = 2x-4$. Gradien garis adalah $m = 2$. 
Untuk itu, persamaan garis singgung tersebut ditentukan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4a^2-b^2} \end{aligned}$
Agar diperoleh garis singgung dengan persamaan $y = 2x – 4$, maka diambil tanda $-$ dan haruslah $\sqrt{4a^2-b^2} = 4$ yang bila dikuadratkan kedua ruasnya menghasilkan $4a^2-b^2=16$. 
Kita peroleh SPL:
$\begin{cases} a^2+b^2=9 \\ 4a^2-b^2=16 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas untuk mendapatkan $a^2=5$ dan $b^2=4$. 
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah $\boxed{\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan titik $M$ pada hiperbola $\dfrac{x^2}{24} – \dfrac{y^2}{18} = 1$ yang terdekat ke garis $3x+2y+1=0$.

Penyelesaian

Cari garis singgung hiperbola yang melalui titik $M$ terlebih dahulu. Garis singgung tersebut harus sejajar dengan $3x+2y+1=0$.
Diketahui gradien garis $3x+2y+1=0$ adalah $m_g = -\dfrac{3}{2}$. Karena sejajar, maka gradien garis singgung juga $m = -\dfrac{3}{2}$.
Dari persamaan hiperbola yang diberikan, diketahui $a^2 = 24, b^2 = 18$, dan pusat di $(0,0)$.
Dengan menggunakan rumus PGS, diperoleh
$\begin{aligned} y – y_p & = m(x-x_p) \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = -\dfrac{3}{2}x \pm \sqrt{24\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 – 18} \\ 2y & = -3x \pm 2\sqrt{36} \\ 3x + 2y & = \pm 12 \end{aligned}$
Diperoleh dua persamaan garis singgung, yaitu $3x + 2y = 12$ dan $3x+2y=-12$.
Garis yang terdekat dengan $3x+2y+1=0$ adalah $3x+2y=-12$.
Perhatikan bahwa $3x+2y=-12$ ekuivalen dengan $y = -\dfrac{3}{2}x – 6$.
Untuk mencari titik singgung $M$, substitusikan $y = -\dfrac{3}{2}x – 6$ ke persamaan hiperbola.
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{24} – \dfrac{y^2}{18} & = 1 \\ 3x^2 – 4\left( -\dfrac{3}{2}x – 6\right)^2 & = 72 \\ 3x^2 – 4\left(\dfrac{9}{4}x^2 + 18x + 36\right) & = 72 \\ -6x^2-72x-144&=72 \\ x^2+12x+36&=0 \\ (x+6)^2 & = 0 \end{aligned}$
Didapat $x = -6$
Substitusikan $x=-6$ pada persamaan $y = -\dfrac{3}{2}x – 6$.
$y = -\dfrac{3}{2}(-6) – 6 = 3$
Jadi, koordinat titik $M$ adalah $\boxed{(-6,3)} $

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan garis singgung bergradien $m$ yang melalui titik $(-1,1)$ pada hiperbola $4x^2-8y^2=32$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

 

Penyelesaian

Bentuk kanonik persamaan hiperbola itu didapat dengan membagi $32$ pada kedua ruasnya, sehingga menjadi
$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$
dengan $a^2=8$ dan $b^2=4$. 
Persamaan garis bergradien $m$ dan melalui titik $(-1,1)$ dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y – y_1 & = m(x-x_1) \\ y -1 & = m (x+1) \\ y & = mx + m + 1 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung bergradien $m$ pada hiperbola $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ \text{Substitusikan}~&y = mx+m+1 \\ \cancel{mx} + m + 1 & = \cancel{mx} \pm \sqrt{8m^2-4} \\ (m+1)^2 & = 8m^2-4 \\ m^2+2m+1 & = 8m^2-4 \\ 7m^2-2m-1 & = 0 \\ (7m+5)(m-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $m = -\dfrac{5}{7}$ atau $m=1$
Substitusikan masing-masing nilai $m$ pada persamaan $y = mx + m + 1$, sehingga didapat 
$\begin{cases} y = -\dfrac{5}{7}x -\dfrac{5}{7} + 1 = -\dfrac{5}{7}x + \dfrac{2}{7} \\ y = x + 1 + 1 = x + 2 \end{cases}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
$\boxed{y = -\dfrac{5}{7}x + \dfrac{2}{7}}$ dan $\boxed{y=x+2}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+1)^2}{8} – \dfrac{(x-1)^2}{4}=1$ di titik $(3,3)$ adalah $\cdots$
A. $y=x$
B. $2y=x+3$
C. $y = 2x-3$
D. $y=3x-6$
E. $y = 4x-9$

Penyelesaian

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3,3)$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(y-y_p)(y_1-y_p)}{b^2} – \dfrac{(x-x_p)(x_1-x_p)}{a^2} & =1 \\ \dfrac{(y+1)(3+1)} {8} – \dfrac{(x-1)(3-1)} {4} & = 1 \\ \dfrac{1}{2}(y+1) – \dfrac{1}{2}(x-1) & = 1 \\ \text{Kalikan 2 pada kedua ruas}& \\ (y+1) – (x-1) & = 2 \\ y + 1 – x + 1 & = 2 \\ y = x \end{aligned}$$
Jadi, Persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+1)^2}{8} – \dfrac{(x-1)^2}{4}=1$ di titik $(3,3)$ adalah $\boxed{y=x}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Persamaan garis singgung hiperbola $6x^2-15y^2+12x+30y-99=0$ di titik $(4,3)$ adalah $\cdots$
A. $x+y-7=0$
B. $x-y-1=0$
C. $x+2y-10=0$
D. $2x-y-5=0$
E. $2x+y-11=0$

Penyelesaian

Ubah bentuk persamaan hiperbolanya terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} 6x^2-15y^2+12x+30y-99 & =0 \\ 6(x^2+2x) – 15(y^2 – 2y) – 99 & = 0 \\ 6((x+1)^2-1)-15((y-1)^2-1)-99&=0 \\ 6(x+1)^2 – 6 – 15(y-1)^2 + 15 – 99 & = 0 \\ 6(x+1)^2 – 15(y-1)^2 & = 90 \end{aligned}$$
Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,3)$ selanjutnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} b^2(x-x_p)(x_1-x_p) – a^2(y-y_p)(y_1-y_p) & = a^2b^2 \\ 6(x+1)(4+1) – 15(y-1)(3-1) & = 90 \\ 30(x+1)-30(y-1) & = 90 \\ \text{Bagi 30 pada kedua ruas} & \\ (x + 1) – (y – 1) & = 3 \\ x – y – 1 & = 0 \end{aligned}$$
Persamaan garis singgung hiperbola $6x^2-15y^2+12x+30y-99=0$ di titik $(4,3)$ adalah $\boxed{x-y-1=0}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 31
Dari titik $T(2, -5)$ ditarik garis-garis singgung pada hiperbola $\dfrac{x^2}{8} – \dfrac{y^2}{4}=1$. Tentukan jarak $T$ ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung.

Penyelesaian

Persamaan tali busur (garis yang menghubungkan titik-titik singgung) dari $T(2, -5)$ terhadap hiperbola $\dfrac{x^2}{8} – \dfrac{y^2}{4}=1$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \dfrac{x_1x}{a^2} – \dfrac{y_1y}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{2x}{8} – \dfrac{-5y}{4} & = 1 \\ \text{Kalikan 8 pada}~&4~\text{kedua ruas} \\ x + 5y – 4 & = 0 \end{aligned}$
Jarak $T(2,-5)$ ke tali busur tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis.
$\begin{aligned} \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right| & = \left|\dfrac{1(2) + 5(-5) – 4}{\sqrt{1^2 + (-5)^2}}\right| \\ & = \left|\dfrac{2 – 25 – 4}{\sqrt{1 + 25}}\right| \\ & = \left|\dfrac{-27}{\sqrt{26}}\right| = \dfrac{27}{26}\sqrt{26} \end{aligned}$
Jadi, jarak $T$ ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung adalah $\boxed{\dfrac{27}{26}\sqrt{26}}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Untuk menguji kemampuannya sebagai pilot, semua anggota dari klub penerbangan diminta untuk menjatuhkan karung pasir pada suatu target di lahan yang terbuka dengan menerbangkan pesawat yang lintasannya berbentuk hiperbola dengan fokusnya tepat berada di atas target. Jika lintasan yang digunakan oleh ketua klub untuk menerbangkan pesawatnya dapat dimodelkan oleh persamaan $9y^2-16x^2=14.400$ (dalam satuan meter), tentukan ketinggian minimum dari pesawat tersebut ketika lewat di atas target.

Penyelesaian

Ubah persamaan hiperbolanya ke bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 9y^2-16x^2 & =14.400 \\ \text{Bagi 14.400}&~\text{pada kedua ruas} \\ \dfrac{9}{14.400}y^2-\dfrac{16}{14.400}x^2 & = 1 \\ \dfrac{y^2}{1.600}-\dfrac{x^2}{900} &=1 \\ \dfrac{y^2}{40^2}-\dfrac{x^2}{30^2} &=1 \end{aligned}$
Dari sini, diketahui bahwa $a = 30$, yang merupakan jarak titik puncak hiperbola ke titik pusatnya. Jadi, ketinggian minimum pesawat adalah $\boxed{30~\text{meter}}$ ketika lewat di atas target.

[collapse]

Soal Nomor 33
Menara pendingin pada pembangkit tenaga nuklir disebut sebagai hyperboloids of one sheet.

 

 


Jika kita membelah menara ini tegak lurus dengan tanah, maka kita akan menghasilkan dua cabang dari hiperbola. Andaikan hiperbola pada menara ini dapat dimodelkan oleh persamaan $1.600x^2-400(y-50)^2=640.000$ (dalam satuan kaki), tentukan jarak minimum antara kedua sisi menara.

Penyelesaian

Jarak minimum antara kedua sisi menara adalah jarak antara kedua titik puncak hiperbola
Ubah persamaan hiperbola ke dalam bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 1.600x^2-400(y-50)^2 & =640.000 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~640.000 \\ \dfrac{1.600}{640.000}x^2-\dfrac{400}{640.000}(y-50)^2 & = 1 \\ \dfrac{x^2}{400} – \dfrac{(y-50)^2}{1.600} &=1 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \sqrt{400} = 20$ kaki. 
Ini berarti, jarak kedua puncaknya adalah $2a = 2(20) = 40$ kaki.
Jadi, jarak minimum kedua sisi menara tersebut adalah $\boxed{40~\text{kaki}}$ atau sekitar $12,2$ meter (1 kaki = 0,3048 m).

[collapse]

Soal Nomor 34
Lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan $2.116x^2-400y^2 = 846.400$. Seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Penyelesaian

Misalkan matahari merupakan titik fokus hiperbola. Jarak komet ke matahari itu merupakan jarak titik puncak hiperbola ke titik fokusnya. 
Ubah persamaan hiperbola ke dalam bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 2.116x^2-400y^2 & = 846.400 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~846.400 \\ \dfrac{2.116}{846.400}x^2-\dfrac{400}{846.400}y^2 & = 1 \\ \dfrac{x^2}{400} – \dfrac{y^2}{2.116} &=1 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh $a^2 = 400$ dan $b^2=2.116$. Untuk itu, 
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{400+2.116} \\ &= \sqrt{2.516} \approx 50,16 \end{aligned}$
Karena $a = \sqrt{400} = 20$, maka jarak titik fokus ke titik puncak hiperbola adalah $\boxed{c – a = 50,16-20=30,16~\text{juta mil}}$
Perhatikan ilustrasi berikut untuk lebih jelasnya.

[collapse]

Soal Nomor 35
Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km. Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meterologi kedua. Jika kecepatan bunyi 340 m/s, tentukan persamaan matematis yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.

Penyelesaian

Misalkan $M_1$ dan $M_2$ berturut-turut merupakan ahli meteorologi pertama dan kedua. Karena $M_1$ mendengar suara petir 9 detik lebih lama dari $M_2$, maka lokasi $M_1 = 9 \times 340 = 3.060$ meter lebih jauh dari $M_2$ terhadap lokasi badai. 
Jika $S$ merupakan titik terjadinya badai, maka berlaku $|M_1S| – |M_2S| = 3.060$. 
Himpunan semua titik $S$ yang memenuhi persamaan di atas akan membentuk grafik berupa hiperbola (ini sejalan dengan definisi hiperbola), di mana $M_1$ dan $M_2$ menjadi titik fokus hiperbola tersebut. 
Misalkan hiperbola ini berpusat di titik asal, $M_1$ dan $M_2$ terletak pada sumbu $X$ seperti tampak pada gambar di bawah.

Diketahui selisih konstannya $3.060$, yang berarti $2a = 3.060 \Leftrightarrow a = 1.530$
Karena jarak kedua titik fokus $4.000$, maka $2c = 4.000 \Leftrightarrow c = 2.000$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & = 2.000^2-1.530^2 \\ & = 1.659.100 \\ & = 1.288^2 \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan lokasi dari badai tersebut dapat dimodelkan oleh persamaan hiperbola
$\dfrac{x^2}{1.530^2}-\dfrac{y^2}{1.288^2}=1$

[collapse]

Soal Nomor 36
Dalam kondisi tertentu, sifat-sifat dari hiperbola dapat digunakan untuk menentukan lokasi dari kapal laut yang sedang berlayar. 
Misalkan dua pusat radio berjarak $100$ km satu dengan yang lainnya dan keduanya dihubungkan oleh garis pantai yang berupa garis lurus. Suatu kapal laut yang sedang berlayar sejajar dengan garis pantai dan berjarak $60$ km darinya. Kapal laut tersebut mengirimkan pesan kepada kedua pusat radio tersebut dan pesan tersebut dapat diterima setelah $0,4$ milidetik oleh pusat radio pertama dan $0,5$ milidetik oleh pusat radio kedua yang berjarak lebih jauh terhadap kapal laut tersebut. 
Kecepatan perambatan gelombang radio adalah $300$ km/milidetik. Gunakan informasi-informasi tersebut untuk menentukan persamaan hiperbola yang dapat digunakan untuk menentukan posisi kapal laut, kemudian tentukan koordinat dari kapal laut tersebut.

Penyelesaian

Misalkan $R_1$ dan $R_2$ berturut-turut menyatakan pusat radio pertama dan kedua. Jika $K$ adalah posisi kapal laut, maka haruslah
$|R_1K| = 300 \times 0,4 = 120$
dan
$|R_2K| = 300 \times 0,5 = 150$
Dengan demikian, $|R_2K|-|R_1K| = 150-120=30$
Himpunan semua titik $K$ yang memenuhi persamaan di atas akan membentuk grafik berupa hiperbola (ini sejalan dengan definisi hiperbola), di mana $R_1$ dan $R_2$ menjadi titik fokus hiperbola tersebut. 
Misalkan hiperbola ini berpusat di titik asal, garis pantainya adalah sumbu $X$, serta $R_1$ dan $R_2$ terletak pada sumbu $X$.
Karena selisih konstannya $30$, maka ditulis
$2a = 30 \Leftrightarrow a = 15 \Leftrightarrow a^2 = 225$
Diketahui jarak antara kedua pusat radio tersebut $100$ km, maka jarak masing-masing pusat radio ke titik pusat hiperbola adalah 
$c = \dfrac{100}{2} = 50 \Leftrightarrow c^2 = 2.500$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & = 2.500 – 225 \\ & = 2.275 \end{aligned}$
Posisi kapal laut tersebut dapat dimodelkan sebagai persamaan hiperbola
$\dfrac{x^2}{225} – \dfrac{y^2}{2.275}=1$
Perhatikan ilustrasi berikut.

Selanjutnya, akan ditentukan koordinat dari kapal laut tersebut. 
Karena jarak kapal laut dari garis pantai adalah $60$ km ($y=60$), maka substitusinya menghasilkan
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{225} – \dfrac{(60)^2}{2.275} & = 1 \\ \dfrac{x^2}{225} & = 1 + \dfrac{3.600}{2.275} \\ \dfrac{x^2}{225} & = \dfrac{5.875}{2.275} \\ x & \approx \pm 24,1 \end{aligned}$
Karena pusat radio $R_2$ berada lebih jauh dari posisi kapal, maka nilai $x$ yang diambil adalah $x = -24,1$ (perhatikan gambar di atas). Jadi, koordinat kapal tersebut adalah $(-24,1;60)$.

[collapse]

CategoriesGeometri, Geometri Analitik Datar, Irisan KerucutTags, , , , , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *