Soal dan Pembahasan – Konsep Garis dan Sudut (Tingkat SMP/Sederajat)

       Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai konsep garis dan sudut yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep. Selain itu, soal-soal berikut sering kali dimunculkan dalam Seleksi Kompetensi Dasar (SKD) atau Tes Potensi Akademik untuk kategori matematika dasar.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui segitiga $PQR$ dengan $\angle P=45^{\circ}$ dan $\angle Q=45^{\circ}$. Jenis segitiga $PQR$ adalah $\cdots \cdot$
A. segitiga tumpul sama kaki
B. segitiga lancip sama kaki
C. segitiga lancip sembarang
D. segitiga siku-siku sama kaki

Pembahasan

Jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^{\circ}$. Diketahui $\angle P=45^{\circ}$ dan $\angle Q=45^{\circ}$, sehingga
$\angle R = (180-45-45)^{\circ} = 90^{\circ}$
Karena salah satu sudut segitiga memiliki besar $90^{\circ}$, maka segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku. Karena ada dua sudut yang sama besar, maka segitiga $PQR$ adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, $PQR$ merupakan segitiga siku-siku sama kaki.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada gambar berikut, garis $g$ sejajar dengan $h$ dipotong garis $k$.

Pasangan sudut luar sepihak adalah $\cdots \cdot$
A. $\angle 1$ dan $\angle 5$ 
B. $\angle 2$ dan $\angle 5$ 
C. $\angle 4$ dan $\angle 5$ 
D. $\angle 4$ dan $\angle 6$

Pembahasan

Pilihan A: 
$\angle 1$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan. 
Pilihan B:
$\angle 2$ dan $\angle 5$ tidak memiliki nama hubungan sudut.
Pilihan C:
$\angle 4$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar sepihak. 
Pilihan D:
$\angle 4$ dan $\angle 6$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar di bawah!

Jika besar $\angle P_1=130^{\circ}$, maka besar $\angle Q_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $70^{\circ}$               C. $50^{\circ}$
B. $65^{\circ}$               D. $35^{\circ}$

Pembahasan

$\angle P_1$ dan $\angle Q_4$ merupakan pasangan sudut luar sepihak, sehingga jumlah besar kedua sudutnya $180^{\circ}$. 
$\begin{aligned} \angle P_1 +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ 130^{\circ} +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ \angle Q_4 & = 50^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar $\boxed{\angle Q_4 = 50^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Besar $\angle QOR$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$

A. $30^{\circ}$                C. $60^{\circ}$
B. $40^{\circ}$                D. $80^{\circ}$

Pembahasan

Sudut $POR$ dan sudut $QOR$ merupakan pasangan sudut berpelurus, sehingga berlaku
$\begin{aligned} \angle POR + \angle QOR & = 180^{\circ} \\ 4x^{\circ} + 2x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 6x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ x & = 30 \end{aligned}$
Besar sudut $QOR$ adalah $\boxed{2x^{\circ} = 2(30)^{\circ} = 60^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar berikut!

Besar pelurus sudut $KLN$ adalah $\cdots \cdot$

A. $31^{\circ}$                  C. $85^{\circ}$
B. $72^{\circ}$                  D. $135^{\circ}$

Pembahasan

Sudut $KLN$ dan sudut $MLN$ merupakan pasangan sudut berpelurus, sehingga berlaku
$\begin{aligned} \angle KLN + \angle MLN & = 180^{\circ} \\ (3x+15)^{\circ} + (2x+10)^{\circ} & = 180^{\circ} \\ (5x+25)^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 5x^{\circ} & = 155 \\ x^{\circ} & = 31 \end{aligned}$
Pelurus sudut $KLN$ adalah sudut $MLN$. 
Besar sudut $MLN$ adalah $\boxed{(2x+10)^{\circ} = (2(31)+10) ^{\circ} = 72^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dua sudut saling berpelurus. Jika besar sudut pertama sama dengan 8 kali besar sudut kedua, maka besar sudut pertama dan kedua berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $20^{\circ}$ dan $160^{\circ}$
B. $160^{\circ}$ dan $20^{\circ}$ 
C. $10^{\circ}$ dan $80^{\circ}$
D. $80^{\circ}$ dan $10^{\circ}$

Pembahasan

Misalkan besar sudut kedua adalah $x$, maka besar sudut pertama adalah $8x$. Karena keduanya berpelurus, maka jumlah sudutnya membentuk $180^{\circ}$, sehingga ditulis
$x+8x=180^{\circ} \Leftrightarrow 9x = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 20^{\circ}$
Dengan demikian, besar sudut pertama adalah $\boxed{8x = 8(20^{\circ}) = 160^{\circ}}$, sedangkan besar sudut kedua adalah $\boxed{x = 20^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar!

Nilai $y$ adalah $\cdots \cdot$

A. $15^{\circ}$                  C. $25^{\circ}$
B. $20^{\circ}$                  D. $35^{\circ}$

Pembahasan

Sudut $4x$ dan $(6x – 40^{\circ})$ sehadap sehingga besar sudutnya sama. Jadi, kita tulis
$\begin{aligned} 4x & = 6x – 40^{\circ} \\ -2x & = -40^{\circ} \\ x & = 20^{\circ} \end{aligned}$
Dengan demikian, $4x = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$. Pelurus sudutnya adalah $180^{\circ} – 80^{\circ} = 100^{\circ}$
Karena $100^{\circ}, 55^{\circ}$, dan $y$ merupakan besar tiga sudut dalam segitiga, maka berlaku
$y = (180-100-55)^{\circ} = 25^{\circ}$
Jadi, nilai $y$ adalah $\boxed{25^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $153^{\circ}$              C. $118^{\circ}$
B. $145^{\circ}$              D. $62^{\circ}$ 

Pembahasan

Tarik garis baru yang sejajar dengan kedua garis yang ada seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan bahwa sudut $27^{\circ}, 35^{\circ}$, dan $x$ membentuk sudut berpelurus, sehingga
$x = (180-27-35)^{\circ} = 118^{\circ}$
Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar!

Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$

A. $90^{\circ}$               C. $70^{\circ}$
B. $80^{\circ}$               D. $60^{\circ}$

Pembahasan

Bentuklah segitiga siku-siku seperti gambar berikut.

Besar sudut $DEC$ adalah $(180-142)^{\circ} = 38^{\circ}$.
Dari gambar, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle BCA &= (180-90-42)^{\circ} = 48^{\circ} \\ \angle DCE & = (180-90-38) = 52^{\circ} \end{aligned}$
Sudut $DEC, DCE$, dan sudut $x$ membentuk sudut berpelurus, sehingga berlaku
$x = (180-48-52)^{\circ} = 80^{\circ}$
Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut!

Besar sudut nomor 1 adalah $95^{\circ}$ dan besar sudut nomor 2 adalah $110^{\circ}$. Besar sudut nomor 3 adalah $\cdots \cdot$

A. $5^{\circ}$                 C. $25^{\circ}$
B. $15^{\circ}$               D. $35^{\circ}$

Pembahasan

Sudut nomor 1 dan 4 merupakan sudut berseberangan, sehingga besar sudutnya sama. 
Sudut nomor 4 dan 5 merupakan sudut sehadap, sehingga besar sudutnya juga sama. 
Dengan demikian, $\angle 1 = \angle 4 = \angle 5 = 95^{\circ}$
Sudut nomor 2 dan 6 saling berpelurus, sehingga
$\angle 6 = 180 -\angle 2 = (180-110)^{\circ} = 70^{\circ}$
Sudut nomor $3, 5$, dan $6$ merupakan tiga sudut dalam segitiga, sehingga jumlah sudutnya $180^{\circ}$, berarti
$\angle 3 = 180 -\angle 5 -\angle 6 = (180 -95-70)^{\circ} = 15^{\circ}$
Jadi, besar sudut nomor 3 adalah $\boxed{15^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar!

Besar sudut $BAC$ adalah $\cdots \cdot$

A. $30^{\circ}$                C. $50^{\circ}$
B. $40^{\circ}$                D. $90^{\circ}$

Pembahasan

Sudut $ABC$ dan sudut $DBC$ merupakan pasangan sudut berpelurus, sehingga $\angle ABC = 180 – \angle DBC = (180-140)^{\circ} = 40^{\circ}$
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\begin{aligned} \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA & = 180^{\circ} \\ (y + 10^{\circ}) + 40^{\circ} + (2y + 10^{\circ}) & = 180^{\circ} \\ 3y + 60^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3y & = 120^{\circ} \\ y & = 40^{\circ} \end{aligned}$
Besar sudut $BAC$ adalah $\boxed{y + 10^{\circ} = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar belah ketupat $ABCD$ di bawah!

Jika $\angle A : \angle B= 1 \colon 2$, besar $\angle C = \cdots$
A. $60^{\circ}$               C. $120^{\circ}$
B. $90^{\circ}$               D. $150^{\circ}$

Pembahasan

Dalam belah ketupat, jumlah besar sudut $A$ dan sudut $B$ adalah $180^{\circ}$. Karena $\angle A = \angle C$, maka kita peroleh
$\angle C = \dfrac{1}{1+2} \times 180^{\circ} = \dfrac{1}{3} \times 180^{\circ} = 60^{\circ}$
Jadi, besar sudut $C$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari gambar di bawah, $O$ merupakan pusat lingkaran.

Jika besar $\angle BAC=40^{\circ}$, maka besar $\angle BOC = \cdots$
A. $40^{\circ}$                C. $60^{\circ}$
B. $50^{\circ}$                D. $80^{\circ}$

Pembahasan

$\angle BAC$ dan $\angle BOC$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $BC$. $\angle BAC$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh
$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$
Jadi, besar sudut $BOC$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Perhatikan gambar lingkaran berikut!

Diketahui $O$ adalah titik pusat lingkaran. Besar sudut $AOB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15^{\circ}$                 C. $45^{\circ}$
B. $30^{\circ}$                 D. $60^{\circ}$

Pembahasan

$\angle ACB$ dan $\angle AOB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. $\angle ACB$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle AOB$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh
$\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$
Jadi, besar sudut $AOB$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar!

Titik $O$ merupakan titik pusat lingkaran. Besar sudut $EDB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $37,5^{\circ}$            C. $55^{\circ}$
B. $52,5^{\circ}$            D. $105^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui $\angle BOC = 105^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $BOE$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus (jumlah sudutnya $180^{\circ}$), sehingga 
$\angle BOE = 180^{\circ} – \angle BOC = (180-105)^{\circ} = 75^{\circ}$
Sekarang, perhatikan bahwa sudut $BOE$ dan sudut $EDB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $EB$, di mana sudut $BOE$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $EDB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\angle EDB = \dfrac{1}{2} \times \angle BOE = \dfrac12 \times 75^{\circ} = 37,5^{\circ}$
Jadi, besar sudut $EDB$ adalah $\boxed{37,5^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar!

Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Garis $AC$ adalah diameter. Besar sudut $ADB$ adalah $\cdots \cdot$

A. $37^{\circ}$                  C. $74^{\circ}$
B. $53^{\circ}$                  D. $106^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui $\angle BOC = 74^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $AOB$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus (jumlah sudutnya $180^{\circ}$), sehingga 
$\angle AOB = 180^{\circ} – \angle BOC = (180-74)^{\circ} = 106^{\circ}$
Sekarang, perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ADB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$, di mana sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\angle ADB = \dfrac{1}{2} \times \angle AOB = \dfrac12 \times 106^{\circ} = 53^{\circ}$
Jadi, besar sudut $ADB$ adalah $\boxed{53^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut!

Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Besar $\angle ACB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50^{\circ}$                  C. $75^{\circ}$
B. $65^{\circ}$                  D. $130^{\circ}$

Pembahasan

Karena $r = AO = BO$, maka segitiga $AOB$ merupakan segitiga sama kaki, sehingga $\angle ABO = \angle BAO = 25^{\circ}$. 
Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$, berarti
$\angle AOB = (180-25-25)^{\circ} = 130^{\circ}$
Perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ACB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ACB$ sebagai sudut keliling. Untuk itu, berlaku
$\angle ACB = \dfrac12 \times \angle AOB = \dfrac12 \times 130^{\circ} = 65^{\circ}$
Jadi, besar sudut $ACB$ adalah $\boxed{65^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar!

Titik $P$ adalah titik pusat lingkaran. Jika $\angle AEB+ \angle ADB+ \angle ACB=228^{\circ}$, besar $\angle APB$ adalah $\cdots \cdot$

A. $228^{\circ}$               C. $109^{\circ}$
B. $152^{\circ}$               D. $76^{\circ}$

Pembahasan

Sudut $AEB, ADB$, dan $ACB$ merupakan sudut keliling yang semuanya menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Untuk itu, besar sudutnya juga sama. Misalkan $\angle AEB = \angle ADB = \angle ACB = x$, sehingga
$\begin{aligned} \angle AEB+ \angle ADB+ \angle ACB & =228^{\circ} \\ x+x+x & = 228^{\circ} \\ 3x & = 228^{\circ} \\ x & = 76^{\circ} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa sudut $APB$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AB$, sehingga berlaku
$\angle APB = 2x = 2(76^{\circ}) = 152^{\circ}$
Jadi, besar sudut $APB$ adalah $\boxed{152^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui sudut $KAL$ besarnya $38^{\circ}$, sudut $LBM$ besarnya $24^{\circ}$, maka besar sudut $KLM$ adalah $\cdots \cdot$
A. $62^{\circ}$                      C. $124^{\circ}$
B. $118^{\circ}$                    D. $236^{\circ}$

Pembahasan

Buat titik baru, sebut saja titik $P$ seperti gambar.

Karena sudut $KAL$ dan $LBM$ berturut-turut menghadap busur $KL$ dan $LM$, maka sudut $KPM$ yang menghadap busur $KL + LM = KM$ memiliki besar $\angle KAL + \angle LBM = 38^{\circ} + 24^{\circ} = 62^{\circ}$
Perhatikan segiempat tali busur $KLMP$. Sudut $KLM$ dan sudut $KPM$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\angle KLM = 180^{\circ} – \angle KPM = (180-62)^{\circ} = 118^{\circ} $
Jadi, besar sudut $KLM$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar berikut!

Jika besar sudut $AOC = 112^{\circ}$, maka besar sudut $ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $124^{\circ}$                  C. $68^{\circ}$
B. $114^{\circ}$                  D. $56^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui $\angle AOC = 112^{\circ}$. 
Perhatikan bahwa sudut $AOC$ dan sudut $ADC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\angle ADC = \dfrac12 \times \angle AOC = \dfrac12 \times 112^{\circ} = 56^{\circ}$
Perhatikan segiempat tali busur $ABCD$. Sudut $ABC$ dan sudut $ADC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\angle ABC = 180^{\circ} – \angle ADC = (180-56)^{\circ} = 124^{\circ}$
Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{124^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Perhatikan gambar berikut!

Jika besar sudut $COD = 48^{\circ}$, maka besar sudut $ABC = \cdots$
A. $108^{\circ}$                 C. $122^{\circ}$
B. $114^{\circ}$                 D. $132^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui $\angle COD = 48^{\circ}$. 
Perhatikan bahwa sudut $COD$ dan sudut $AOC$ berpelurus, sehingga
$\angle AOC = 180^{\circ} – \angle COD = (180-48)^{\circ} = 132^{\circ}$
Perhatikan juga bahwa sudut $AOC$ dan sudut $AEC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $AEC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\angle AEC = \dfrac12 \times \angle AOC = \dfrac12 \times 132^{\circ} = 66^{\circ}$
Perhatikan segiempat tali busur $ABCE$. Sudut $ABC$ dan sudut $AEC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\angle ABC = 180^{\circ} – \angle AEC = (180-66)^{\circ} = 114^{\circ}$
Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{114^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika $\dfrac{r}{r+s} = \dfrac58$, berapa nilai $r$ pada gambar di bawah ini?

A. $102,5$                      C. $115,0$
B. $112,5$                      D. $117,5$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $r$ dan $s$ merupakan dua sudut yang saling berpelurus, sehingga $r^{\circ}+ s^{\circ}= 180^{\circ}$ atau dapat ditulis $s=180-r$.
Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{r}{r+s} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{r+(180-r)} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{180} & = \dfrac58 \\ r & = \dfrac{180 \times 5}{8} = 112,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $r$ sesuai gambar di atas adalah $\boxed{r = 112,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul $07.12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $118^{\circ}$                  C. $144^{\circ}$
B. $126^{\circ}$                  D. $162^{\circ}$

Pembahasan

Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut.
$\boxed{(\text{jam} \times 30^{\circ})~\text{selisih}~\left(\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right)}$
Untuk itu, kita peroleh
$7 \times 30^{\circ} = 210^{\circ}$
dan
$\cancelto{6}{12} \times \dfrac{11^{\circ}}{\cancel{2}} = 66^{\circ}$
Dengan demikian, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{210^{\circ}-66^{\circ} = 144^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul $11.49$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50,5^{\circ}$                   C. $60,5^{\circ}$
B. $55,5^{\circ}$                   D. $65,5^{\circ}$

Pembahasan

Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut.
$\boxed{(\text{jam} \times 30^{\circ})~\text{selisih}~\left(\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right)}$
Untuk itu, kita peroleh
$11 \times 30^{\circ} = 330^{\circ}$
dan
$49 \times \dfrac{11^{\circ}}{2} = 269,5^{\circ}$
Dengan demikian, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{330^{\circ}-269,5^{\circ} = 60,5^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Diketahui sebuah bintang dibentuk dari sejumlah segitiga sama sisi di setiap sisi sebuah segisembilan (nonagon) beraturan.

Berapakah jumlah dari besar sudut yang ditandai dengan warna merah muda?

A. $540^{\circ}$                           C. $900^{\circ}$
B. $810^{\circ}$                           D. $990^{\circ}$

Pembahasan

Pada segisembilan, besar sudut masing-masing juring pembentuknya adalah $\dfrac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ}$. Karena segitiga yang terbentuk dari juring tersebut berbentuk segitiga sama kaki, maka besar sudut kakinya adalah
$\dfrac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$
Catatan: Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$.

Untuk itu, besar tiap sudut yang terbentuk oleh segisembilan adalah $2 \times 70^{\circ} = 140^{\circ}$.
Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.

Catatan: Besar semua sudut pada segitiga sama sisi adalah $60^{\circ}$.
Besar sebuah sudut merah muda itu adalah
$360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}-140^{\circ} = 100^{\circ}$
Karena ada $9$ sudut yang sama, maka jumlahnya sebesar $9 \times 100^{\circ} = 900^{\circ}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Perhatikan gambar berikut.

Hasil dari $\angle 1 + \angle 2 + \cdots + \angle 8 = \cdots \cdot$
A. $360^{\circ}$                       C. $720^{\circ}$
B. $480^{\circ}$                       D. $1080^{\circ}$

Pembahasan

Dengan menggunakan prinsip sudut yang saling bertolak belakang, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle 1 & = \angle2 \\ \angle 3 & = \angle 4 \\ \angle 5 & = \angle 6 \\ \angle 7 & = \angle 8 \end{aligned}$
Kita akan menggunakan fakta bahwa jumlah besar sudut dalam segiempat sembarang selalu $360^{\circ}$. Segiempat yang dipakai adalah segiempat yang dibatasi oleh keempat garis pada gambar.
Dengan menggunakan $\angle 2, \angle 3, \angle 6$, dan $\angle 7$, diperoleh
$$\begin{aligned} (180^{\circ}-\angle 2) + (180^{\circ}-\angle 3) + (180^{\circ}-\angle 6) + (180^{\circ}-\angle 7) & = 360^{\circ} \\ -\angle 2-\angle 3-\angle 6-\angle 7 & = -360^{\circ} \\ \angle 2 + \angle 3 + \angle 6 + \angle 7 & = 360^{\circ} \end{aligned}$$Berdasarkan prinsip sudut bertolak belakang tadi, kita peroleh juga
$\angle 1 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 8 = 360^{\circ}$
Dengan demikian,
$\angle 1 + \angle 2 + \cdots + \angle 8 = 360^{\circ} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Perhatikan gambar berikut.

Hasil penjumlahan sudut $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $540^{\circ}$                   C. $900^{\circ}$
B. $720^{\circ}$                   D. $1.080^{\circ}$

Pembahasan

Kita beri nama setiap titik sudut yang ada seperti gambar di bawah.
Perlu diketahui sebelumnya bahwa jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$, segiempat $360^{\circ}$, dan segilima $540^{\circ}$.
Misalkan, $x, y, z$ adalah besar sudut pada segitiga biru sedemikian sehingga $x+y+z=180^{\circ}$.
Pada segiempat $ABCD$, berlaku
$\angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + x = 360^{\circ}$
Pada segitiga $EFG$, berlaku
$\angle 1 + \angle 2 + y = 180^{\circ}$
Pada segilima $HIJKL$, berlaku
$\angle 6 + \angle 7 + \angle 8 + \angle 9 + z = 540^{\circ}$
Sekarang, jumlahkan ketiga persamaan tersebut dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + (x + y + z) & = 360^{\circ}+180^{\circ}+540^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + \cancel{180^{\circ}} & = 900^{\circ} + \cancel{180^{\circ}} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 & = 900^{\circ} \end{aligned}$$Jadi, hasil penjumlahan kesembilan sudut tersebut adalah $\boxed{900^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Pada gambar berikut, $ABCD$ merupakan jajar genjang. Jika jumlah sudut $a+b=105^{\circ}$, maka jumlah sudut $p+q+r+s=\cdots \cdot$

A. $225^{\circ}$                 C. $255^{\circ}$
B. $245^{\circ}$                 D. $280^{\circ}$

Pembahasan

Perlu diperhatikan bahwa:
$\boxed{\begin{aligned} \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{itiga} & = 180^{\circ} \\ \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{iempat} & = 360^{\circ} \end{aligned}}$
Diketahui $a+b=105^{\circ}$.

Karena itu, pada $\triangle ABG$, didapat
$\begin{aligned} \angle A & = 180^{\circ}-(A+B) \\ & = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ} \end{aligned}$

Karena $ABCD$ jajar genjang, maka besar sudut $\color{blue}{b+q = 180^{\circ}-75^{\circ} = 105^{\circ}}$.
Pada $\triangle EFG$, besar $\angle EGF = \angle AGB = a$ (karena bertolak belakang), sehingga $\color{red}{r+s = 180^{\circ}-a}$.
Sekarang, perhatikan segiempat $BCDG$ yang jumlah semua sudutnya adalah $360^{\circ}$.
$$\begin{aligned} \angle B + \angle C + \angle D + \angle G & = 360^{\circ} \\ q + p + (b + q) + (180^{\circ}-a) & = 360^{\circ} \\ \color{red}{(180^{\circ}-a)}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{(b+q)} \\ \color{red}{(r+s)}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{105^{\circ}} \\ p+q+r+s & = 255^{\circ} \end{aligned}$$Jadi, jumlah sudut $\boxed{p+q+r+s=255^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah ukuran sudut yang diwakili huruf pada gambar berikut.


 

Pembahasan

Jawaban a)
$ABCD$ merupakan segiempat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}$.
$\begin{aligned} x + 120^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ y + 88^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y & = 92^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $80^{\circ}$ dan $92^{\circ}$.
Jawaban b)
$ABCD$ merupakan segiempat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}$.
Sudut $A$ berhadapan dengan sudut $C$, artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}$. Bisa dikatakan bahwa besar $a$ sama dengan besar sudut pelurus $DCB$, yaitu $122^{\circ}$. Selanjutnya,
$76^{\circ} + b = 180^{\circ} \Leftrightarrow b = 104^{\circ}$.
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $a$ dan $b$ berturut-turut adalah $122^{\circ}$ dan $104^{\circ}$.
Jawaban c)
$ABCD$ merupakan segiempat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}$.
$\begin{aligned} x + 140^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 40^{\circ} \\ y + 135^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 45^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $40^{\circ}$ dan $45^{\circ}$.
Jawaban d)
$ABCD$ merupakan segiempat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}$.
Sudut $B$ berhadapan dengan sudut $D$, artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}$. Bisa dikatakan bahwa besar $y$ sama dengan besar sudut pelurus $ADC$, yaitu $100^{\circ}$. Selanjutnya,
$\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \\ 3x & = 180^{\circ} \\ x &= 60^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang diwakili huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $100^{\circ}$.
Jawaban e)
Karena sudut-sudut tersebut terbentuk dari segiempat tali busur lingkaran, maka berlaku
$\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ 4y+y & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 36^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $36^{\circ}$.
Jawaban f)
$ABCD$ merupakan segiempat tali busur lingkaran sehingga berlaku $x+3x=180^{\circ} \Leftrightarrow x = 45^{\circ}$.
Karena $B$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur $AC$, sedangkan $AOC$ adalah sudut pusatnya, maka berlaku
$a = \angle AOC = 2x = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$
Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $a$ berturut-turut adalah $45^{\circ}$ dan $90^{\circ}$.

[collapse]

Today Quote

Jangan terus menerus membandingkan diri sendiri dengan orang lain. Itu nggak akan ada habisnya. Bandingkan dirimu hari ini dengan hari kemarin. Jika sudah lebih baik, itu sudah cukup.