Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian II

Setelah mempelajari soal-soal pada analisis kompleks tingkat dasar bagian I di sini , sekarang akan disajikan soal lanjutan mengenai bentuk polar (kutub) bilangan kompleks, Teorema de Moivre, Rumus Euler, dan persamaan suku banyak dalam bilangan kompleks.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 1

Quote by Karl Barth

Berdoa tanpa belajar akan jadi doa yang kosong. Belajar tanpa berdoa akan menjadi usaha yang buta.

Soal Nomor 1
Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut.
a. $2 + 2\sqrt{3}i$
b. $-5 + 5i$

Penyelesaian

(Jawaban a) Misal $z = 2 + 2\sqrt{3}i$, sehingga $r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4$
$\theta = \arctan \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \arctan \sqrt{3} = 60^{\circ}$, 
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$\begin{aligned} z  & = r(\cos \theta + i~\sin \theta) \\ & = \boxed{4(\cos 60^{\circ} + i~\sin 60^{\circ})} \end{aligned}$
(Jawaban b) Misal $z = -5 + 5i$, sehingga $r = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$
$\theta = \arctan \dfrac{5}{-5} = \arctan (-1) = 135^{\circ}$
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$\begin{aligned} z & = r(\cos \theta + i~\sin \theta) \\ & = \boxed{5\sqrt{2}(\cos 135^{\circ} + i~\sin 135^{\circ})} \end{aligned} $

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan $z_1 = 1 + i$ dan $z_2 = \sqrt{3} + i$. Tentukan
$\text{mod} (z_1z_2)$ dan $\text{arg} (z_1z_2)$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} z_1z_2  & = (1+i)(\sqrt{3}+i) \\ & = (\sqrt{3}-1)+(1+\sqrt{3})i \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \\ & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \times \dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} \\ & = \dfrac{(\sqrt{3}+1)+(-1 + \sqrt{3})i} {4} \end{aligned}$
Keterangan: $\text{mod}$ = modulus/nilai mutlak, $\text{arg}$ = argumen (sudut polar). 
$\begin{aligned} \text{mod} (z_1z_2) & = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (1 + \sqrt{3})^2} \\ & = 2\sqrt{2} \end{aligned}$
$\text{arg} (z_1z_2) = \arctan \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=75^{\circ}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa
$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

Penyelesaian

(Pembuktian dari ruas kanan)
Ingat bahwa
$\boxed{e^{i\theta} = \cos \theta -i~\sin \theta}$
Jadi,
$$\begin{aligned} \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} & = \dfrac{(\cos \theta + \cancel{i~\sin \theta}) + (\cos \theta \cancel{-i~\sin \theta})} {2} \\ & = \dfrac{2 \cos \theta}{2} \\ & = \cos \theta \end{aligned} $$ (Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $z_1 = re^{i\theta_1}$ dan $z_2 = re^{i\theta_2}$, tentukan
a) $z_1z_2$
b) $\dfrac{z_1}{z_2}$
dalam bentuk polar.

Penyelesaian

(Jawaban a)
$\begin{aligned} z_1z_2 &= r^2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \\& = r^2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i(\sin (\theta_1 +\theta_2)) \end{aligned} $

(Jawaban b)
$\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} &= e^{i(\theta_1 -\theta_2)} \\ & = \cos (\theta_1 -\theta_2) + i~\sin (\theta_1 -\theta_2) \end{aligned} $

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{it}~dt$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$\boxed{e^{it} = \cos t + i~\sin t} $
Jadi, integrannya dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} (\cos t + i~\sin t) & = [\sin t -i~\cos t)]_{0}^{\frac{\pi} {4}} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}- i~\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) + i \\ & =\boxed{ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} +i \left(1- \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)} \end{aligned} $$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

Soal Nomor 6
Identifikasi bentuk grafik yang terbentuk dari $|z + 4 -2i| = 3$.

Penyelesaian

$\begin{aligned} |z + 4 – 2i| &= 3 \\ |(x+4) + (y -2)i| & = 3 \\ (x+4)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}$
Persamaan yang diperoleh adalah persamaan baku lingkaran sehingga grafik yang terbentuk adalah lingkaran yang berpusat di $(-4, 2)$ dan berjari-jari $3$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur

Soal Nomor 7
Identifikasi dan gambar bentuk grafik dari himpunan $A = \{z : |z -4i| + |z + 4i| = 10\} $

Penyelesaian

$$\begin{aligned} |z – 4i| + |z + 4i| & = 10 \\    \sqrt{x^2 + (y-4)^2} + \sqrt{x^2 + (y+4)^2} & = 10 \\ \sqrt{x^2+(y+4)^2} & = 10 -\sqrt{x^2 + (y-4)^2} \\ x^2 + (y-4)^2 & = 100 -20\sqrt{x^2+(y+4)^2} \\ & + x^2 + (y+4)^2 \\ 4y + 25 & = 5\sqrt{x^2+(y+4)^2} \\ 16y^2 + 200y + 625 & = 25(x^2 + (y+4)^2) \\ 25x^2 + 9y^2 & = 225 \\ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} & = 1 \end{aligned}$$Persamaan di atas adalah persamaan elips dengan titik pusat di $(0, 0)$, jari-jari datar $3$, jari-jari tegak $5$, dan titik fokus di $(0, \pm 4)$. Grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan setiap akar dari bilangan kompleks $(-1+i)^{\frac{1}{3}}$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Sudut $\theta$ yang memenuhi $\sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
dan $\cos \theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ adalah $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$
Berdasarkan Teorema de Moivre, berlaku
$$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}\left(\cos \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3} + i~\sin \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3}\right)$$Untuk $k = 0$, diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{\pi} {4} + i~\sin \dfrac{\pi} {4}\right)$
Untuk $k = 1$, diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{11\pi} {12} + i~\sin \dfrac{11\pi} {12} \right)$
Untuk $k = 2$, diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{19\pi} {12} + i~\sin \dfrac{19\pi} {12}\right) $

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Soal Nomor 9
Hitunglah $(-8 -8\sqrt{3}i) ^{\frac{1}{4}}$ dan nyatakan hasilnya dalam bentuk $x + iy$.

Penyelesaian

Modulus dari bilangan kompleks itu adalah
$\begin{aligned} r & = |-8 -8\sqrt{3}i| \\ & = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = 16 \end{aligned}$
Selanjutnya, cari sudut $\theta$
$\arctan \dfrac{-8\sqrt{3}}{-8} = \dfrac{4\pi}{3}$
Jadi,
$$\begin{aligned} (-8 -8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} & = 16^{\frac{1}{4}}\left[\cos \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) + i~\sin \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) \right] \\ & = 2\left[\cos \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) + i~\sin \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) \right]\end{aligned} $$Untuk $k = 0$, kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{1}{3}\pi\right) = 1 + \sqrt{3}i$
Untuk $k = 1$, kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{5}{6}\pi\right) = -\sqrt{3} + i$
Untuk $k = 2$, kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1- \sqrt{3}i$
Untuk $k = 3$, kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{11}{6}\pi\right) = \sqrt{3} -i$
Catatan: $\color{red}{\text{cis}~\theta = \cos \theta + i~\sin \theta}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Selesaikan $z^5 -2z^4 -z^3 + 6z -4 = 0$.

Penyelesaian

Faktorkan ruas kiri sebagai berikut.
$(z -2)(z -1)^2(z^2 + 2z + 2) = 0$
Diperoleh
$\begin{aligned} z_1 & = 2 \lor z_2 = 1 \\ \lor z_3 & = -1 + i \lor z_4 = -1 -i \end{aligned}$
yang merupakan akar penyelesaian dari persamaan yang diberikan.

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Hitunglah $(i -1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10}$.

Penyelesaian

Ingat: $\boxed{\cos \theta + i~\sin \theta = \text{cis}~\theta = e^{i\theta}}$
Tinjau ekspresi $(i -1)^{49}$
Ubah dalam bentuk polar sebagai berikut.
$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\arctan \dfrac{1}{-1} = \arctan (-1) = \dfrac{3\pi}{4}$ (kuadran II)
Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} (i -1)^{49} & = (\sqrt{2})^{49}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i~\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)^{49} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}  \end{aligned}$
Diperoleh
$\begin{aligned} & (i -1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10} \\ & = (\sqrt{2}^{49})(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}(e^{\frac{\pi}{40}})^{10} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{37i\pi}{4}}) \\ & = (\sqrt{2})^{49}(\cos \pi + 37i~\sin \pi) \\ & = \boxed{-(\sqrt{2})^{49}} \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya

Soal Nomor 12
Tunjukkan bahwa satu-satunya solusi yang memenuhi persamaan $2 -\dfrac{1}{z} = \overline{z}$ adalah $z = 1$.

Penyelesaian

Kalikan persamaan tersebut dengan $z$, sehingga diperoleh
$2z -1 = \overline{z}z = |z|^2$
atau dapat ditulis
$2z = |z|^2 + 1$
Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas adalah bilangan real, sehingga ruas kirinya haruslah juga bilangan real, $z \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, kita bisa menghilangkan tanda mutlaknya menjadi
$2z = z^2 + 1 \Rightarrow (z-1)^2 = 0$
Jadi, solusi satu-satunya dari persamaan di atas adalah $z = 1$.
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 13
Tunjukkan bahwa jika $|z| \leq 1$, maka $|z -1| + |z + 1| \leq 2\sqrt{2}$.

Penyelesaian

Karena kedua ruas pada pertidaksamaan 1 bernilai positif, maka kita boleh menguadratkannya sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} & |z-1|^2 + |z+1|^2 + 2|z-1||z+1| \leq 8 \\ & (z-1)(\overline{z} -1) + (z+1)(\overline{z}+1) + 2|(z-1)(z+1)| \leq 8 \\ & |z|^2 -z -\overline{z} + 1 + |z|^2 + z + \overline{z} + 1 + 2|z^2 -1| \leq 8 \\ & 2|z|^2 + 2 + 2|z^2 -1| \leq 8 \\ & |z|^2 +|z^2-1| \leq 3 \end{aligned} $$
Kita akan membuktikan bahwa pertidaksamaan terakhir itu bernilai benar.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & |z|^2 + |z^2 + (-1)| \leq |z^2| + \leq |z^2| + |-1| \\ & = |z|^2 + |z|^2 + 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa,
$|z^2| = |zz| = |z||z| = |z|^2$
Karena pada hipotesisnya diberikan $|z| \leq 1$, yang mengimplikasikan $|z|^2 \leq 1$, maka
$|z|^2 + |z|^2 + 1 \leq 1 + 1 + 1 = 3$
dan dapat ditulis
$|z|^2 + |z^2-1| \leq 3$
(Terbukti) $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai $z$ yang memenuhi sedemikian sehingga $|z| = \sqrt{2}$ dan $\arg(z) =\dfrac{3\pi} {4}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Misalkan $z = a + bi$, berarti berdasarkan informasi pada soal, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2} \Rightarrow a^2+b^2 = 2$
dan juga
$\tan \dfrac{3\pi} {4} = -1 = \dfrac{b} {a} \Rightarrow b = -a$
Diperoleh bahwa $(a = -1 \land b = 1) \lor (a = 1\land b = -1)$
Nilai $z$ yang memenuhi adalah $z = -1 + i$ atau $z = 1 -i$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks

 

CategoriesAnalisis KompleksTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *