Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian II

Setelah mempelajari soal-soal pada analisis kompleks tingkat dasar bagian I di sini , sekarang akan disajikan soal lanjutan mengenai bentuk polar (kutub) bilangan kompleks, Teorema de Moivre, Rumus Euler, dan persamaan suku banyak dalam bilangan kompleks

Soal Nomor 1
Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut.
a. $2 + 2\sqrt{3}i$
b. $-5 + 5i$

Penyelesaian

(Jawaban a) Misal $z = 2 + 2\sqrt{3}i$ , sehingga $r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4$
$\theta = \arctan \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \arctan \sqrt{3} = 60^{\circ}$ ,
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$z = r(\cos \theta + i~\sin \theta) = \boxed{4(\cos 60^{\circ} + i~\sin 60^{\circ})}$
(Jawaban b) Misal $z = -5 + 5i$ , sehingga $r = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$
$\theta = \arctan \dfrac{5}{-5} = \arctan -1 = 135^{\circ}$
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$z = r(\cos \theta + i~\sin \theta) = \boxed{5\sqrt{2}(\cos 135^{\circ} + i~\sin 135^{\circ})}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan $z_1 = 1 + i$ dan $z_2 = \sqrt{3} + i$ . Tentukan
$\text{mod} (z_1z_2)$ dan $\text{arg} (z_1z_2)$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$z_1z_2 = (1+i)(\sqrt{3}+i) = (\sqrt{3}-1)+(1+\sqrt{3})i$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \\ & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \times \dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} \\ & = \dfrac{(\sqrt{3}+1)+(-1 + \sqrt{3})i} {4} \end{aligned}$
Keterangan: mod = modulus/nilai mutlak, arg = argumen (sudut polar)
$\text{mod} (z_1z_2) = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = 2\sqrt{2}$
$\text{arg} (z_1z_2) = \arctan \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=75^{\circ}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa
$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

Penyelesaian

(Pembuktian dari ruas kanan)
Ingat!!
$\boxed{e^{i\theta} = \cos \theta - i~\sin \theta}$
Jadi,
$\begin{aligned} \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} & = \dfrac{(\cos \theta + i~\sin \theta) + (\cos \theta - i~\sin \theta)} {2} \\ & = \cos \theta \end{aligned}$ (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $z_1 = re^{i\theta_1}$ dan $z_2 = re^{i\theta_2}$ , tentukan
a) $z_1z_2$
b) $\dfrac{z_1}{z_2}$
dalam bentuk polar.

Penyelesaian

(Jawaban a)
$\begin{aligned} z_1z_2 &= r^2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \\& = r^2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i(\sin (\theta_1 +\theta_2)) \end{aligned}$
(Jawaban b)
$\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} &= e^{i(\theta_1 - \theta_2) \\ & = \cos (\theta_1 - \theta_2) + i~\sin (\theta_1 - \theta_2) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{it}~dt$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$\boxed{e^{it} = \cos t + i~\sin t}$
Jadi, integrannya dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} (\cos t + i~\sin t) & = [\sin t - i~\cos t)]_{0}^{\frac{\pi} {4}} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} - i~\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) + i \\ & =\boxed{ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} +i \left(1 - \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Identifikasi bentuk grafik yang terbentuk dari $|z + 4 - 2i| = 3$

Penyelesaian

$\begin{aligned} |z + 4 - 2i| &= 3 \\ |(x+4) + (y - 2)i| & = 3 \\ (x+4)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}$
Persamaan yang diperoleh adalah persamaan baku lingkaran sehingga grafik yang terbentuk adalah lingkaran yang berpusat di $(-4, 2)$ dan berjari-jari $3$ .

[collapse]

Soal Nomor 7
Identifikasi dan gambar bentuk grafik dari himpunan $A = \{z : |z - 4i| + |z + 4i| = 10\}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \bigstar |z - 4i| + |z + 4i| = 10 \\ & \bigstar \sqrt{x^2 + (y-4)^2} + \sqrt{x^2 + (y+4)^2} = 10 \\ & \bigstar \sqrt{x^2+(y+4)^2} = 10 - \sqrt{x^2 + (y-4)^2} \\ & \bigstar x^2 + (y-4)^2 = 100 - 20\sqrt{x^2+(y+4)^2} \\ & + x^2 + (y+4)^2 \\ & \bigstar 4y + 25 = 5\sqrt{x^2+(y+4)^2} \\ & \bigstar 16y^2 + 200y + 625 = 25(x^2 + (y+4)^2) \\ & \bigstar 25x^2 + 9y^2 = 225 \\ & \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1 \end{aligned}$
Persamaan di atas adalah persamaan elips dengan titik pusat di $(0, 0)$ , jari-jari datar $3$ , jari-jari tegak $5$ , dan titik fokus di $(0, \pm 4)$ . Grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan setiap akar dari bilangan kompleks $(-1+i)^{\frac{1}{3}}$

Penyelesaian

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Sudut $\theta$ yang memenuhi:
$\sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
dan
$\cos \theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
adalah $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$
Berdasarkan Teorema de Moivre, berlaku
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}\left(\cos \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3} + i~\sin \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3}\right)$
Untuk $k = 0$ , diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{\pi} {4} + i~\sin \dfrac{\pi} {4}\right)$
Untuk $k = 1$ , diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{11\pi} {12} + i~\sin \dfrac{11\pi} {12} \right)$
Untuk $k = 2$ , diperoleh
$(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{19\pi} {12} + i~\sin \dfrac{19\pi} {12}\right)$

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah $(-8 - 8\sqrt{3}i) ^{\frac{1}{4}}$ dan nyatakan hasilnya dalam bentuk $x + iy$

Penyelesaian

Modulus dari bilangan kompleks itu adalah
$r = |-8 - 8\sqrt{3}i| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = 16$
Selanjutnya, cari sudut $\theta$
$\arctan \dfrac{-8\sqrt{3}}{-8} = \dfrac{4\pi}{3}$
Jadi,
$\begin{aligned} & (-8 - 8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} \\ & = 16^{\frac{1}{4}}\left[\cos \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) + i~\sin \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) \right] \\ & = 2\left[\cos \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) + i~\sin \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) \right]\end{aligned}$
Untuk $k = 0$ , kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{1}{3}\pi\right) = 1 + \sqrt{3}i$
Untuk $k = 1$ , kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{5}{6}\pi\right) = -\sqrt{3} + i$
Untuk $k = 2$ , kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i$
Untuk $k = 3$ , kita dapatkan
$(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{11}{6}\pi\right) = \sqrt{3} - i$
Catatan: $\text{cis}~\theta = \cos \theta + i~\sin \theta$

[collapse]

Soal Nomor 10
Selesaikan $z^5 - 2z^4 - z^3 + 6z - 4 = 0$

Penyelesaian

$z^5 - 2z^4 - z^3 + 6z - 4 = 0$
Faktorkan ruas kiri sebagai berikut.
$(z - 2)(z - 1)^2(z^2 + 2z + 2) = 0$
Diperoleh
$z_1 = 2 \lor z_2 = 1 \lor z_3 = -1 + i \lor z_4 = -1 - i$
yang merupakan akar penyelesaian dari persamaan yang diberikan.

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal ON-MIPA PT Tahun 2016)
Hitunglah $(i - 1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10}$

Penyelesaian

Ingat: $\boxed{\cos \theta + i~\sin \theta = \text{cis}~\theta = e^{i\theta}}$
Tinjau ekspresi $(i - 1)^{49}$
Ubah dalam bentuk polar sebagai berikut.
$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\arctan \dfrac{1}{-1} = \arctan -1 = \dfrac{3\pi}{4}$ (kuadran II)
Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} (i - 1)^{49} & = (\sqrt{2})^{49}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i~\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)^{49} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49} \end{aligned}$
Diperoleh
$\begin{aligned} & (i - 1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10} \\ & = (\sqrt{2}^{49})(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}(e^{\frac{\pi}{40}})^{10} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{37i\pi}{4}}) \\ & = (\sqrt{2})^{49}(\cos \pi + 37i~\sin \pi) \\ & = \boxed{-(\sqrt{2})^{49}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tunjukkan bahwa satu-satunya solusi yang memenuhi persamaan
$2 - \dfrac{1}{z} = \overline{z}$
adalah $z = 1$ .

Penyelesaian

Kalikan persamaan tersebut dengan $z$ , sehingga diperoleh
$2z - 1 = \overline{z}z = |z|^2$
atau dapat ditulis
$2z = |z|^2 + 1$
Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas adalah bilangan real, sehingga ruas kirinya haruslah juga bilangan real, $z \in \mathbb{R}$ . Oleh karena itu, kita bisa menghilangkan tanda mutlaknya menjadi
$2z = z^2 + 1 \Rightarrow (z-1)^2 = 0$
Jadi, solusi satu-satunya dari persamaan di atas adalah $z = 1$ (terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 13
Tunjukkan bahwa jika $|z| \leq 1$ , maka
$|z - 1| + |z + 1| \leq 2\sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~(\cdots1)$

Penyelesaian

Karena kedua ruas pada pertidaksamaan 1 bernilai positif, maka kita boleh menguadratkannya sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & |z-1|^2 + |z+1|^2 + 2|z-1||z+1| \leq 8 \\ & (z-1)(\overline{z} -1) + (z+1)(\overline{z}+1) + 2|(z-1)(z+1)| \leq 8 \\ & |z|^2 - z - \overline{z} + 1 + |z|^2 + z + \overline{z} + 1 + 2|z^2 - 1| \leq 8 \\ & 2|z|^2 + 2 + 2|z^2 -1| \leq 8 \\ & |z|^2 +|z^2-1| \leq 3 \end{aligned}$
Kita akan membuktikan bahwa pertidaksamaan terakhir itu bernilai benar.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & |z|^2 + |z^2 + (-1)| \leq |z^2| + \leq |z^2| + |-1| \\ & = |z|^2 + |z|^2 + 1 \end{aligned}$
Note that,
$|z^2| = |zz| = |z||z| = |z|^2$
Karena pada hipotesisnya diberikan $|z| \leq 1$ , yang mengimplikasikan $|z|^2 \leq 1$ , maka
$|z|^2 + |z|^2 + 1 \leq 1 + 1 + 1 = 3$
dan dapat ditulis
$|z|^2 + |z^2-1| \leq 3$ (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai $z$ yang memenuhi sedemikian sehingga $|z| = \sqrt{2}$ dan $\arg(z) =\dfrac{3\pi} {4}$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Misalkan $z = a + bi$ , berarti berdasarkan informasi pada soal, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2} \Rightarrow a^2+b^2 = 2$
dan juga
$\tan \dfrac{3\pi} {4} = -1 = \dfrac{b} {a} \Rightarrow b = -a$
Diperoleh bahwa $(a = -1 \land b = 1) \lor (a = 1\land b = -1)$
Nilai $z$ yang memenuhi adalah $z = -1 + i$ atau $z = 1 - i$ .

[collapse]

More from my site

Ayo Beri Rating Postingan Ini

More from my site

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan