Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian I

      Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). Submateri tersebut merupakan pengantar dari analisis kompleks.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2

Today Quote A

Life is like a camera. You focus on what’s important, capture the good times, develop from the negative and if things don’t work out, take another shot.

Soal Nomor 1
Manakah dari $4$ bilangan kompleks berikut yang berbeda satu dengan yang lain?

$i^{31}, i^{87}, i^{115}, i^{221}$

Penyelesaian

Didefinisikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = i^2 \cdot i = -i \\ i^4 & = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1 \\ i^5 & = i^4 \cdot i = 1(i) = i \end{aligned}$
Perpangkatan $i$ membentuk pola $i, -1, -i, 1$.
Sekarang, akan ditinjau $4$ bilangan tersebut satu per satu.
$\begin{aligned} i^{31} & = i^{4 \cdot 7 + 3} \\ & = (i^4)^7 \cdot i^3 \\ & = (1)^7 \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{87} & = i^{4 \cdot 21 + 3} \\ & = (i^4)^{21} \cdot i^3 \\ & = (1)^{21} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{115} & = i^{4 \cdot 28 + 3} \\ & = (i^4)^{28} \cdot i^3 \\ & = (1)^{28} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{221} & = i^{4 \cdot 55 + 1} \\ & = (i^4)^{55} \cdot i^1 \\ & = (1)^{55} \cdot i = i \end{aligned}$
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah $i^{221}$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a) $(3 + 4i) + (3i -2)$
b) $(3 + 2i)(3i -2)$
c) $\dfrac{2 -3i}{4 -i}$
d) $i^{123} -4i^9 -4i$
e) $\dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}}{2 -i^5 + i^{10} -i^{15}}$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ &  i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}} $
(Jawaban a)
$\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned} $
(Jawaban b)
$\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i -6)+(6i^2 -4i) \\ & = 9i -4i -6 -6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned} $
(Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i -12i -3i^2}{16 -i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 -10i}{17}} \end{aligned} $
(Jawaban d)
$\begin{aligned} i^{123} -4i^9 -4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) -4i \\ & = -i- 4i- 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}$
(Jawaban e)
$\begin{aligned} & \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} \\ & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 -(i^4)(i) + (i^8)(i^2) -(i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 -i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} = 2 + i \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 3
Dengan mengubah bentuk $(1+i)^2$ dalam $a+bi$ terlebih dahulu, hitunglah hasil dari:
a. $(1+i)^6$
b. $(1+i)^9$
c. $(1+i)^{10}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (1+i)^2 & = (1+i)(1+i) \\ & = 1 + 2i + i^2 \\ & = 1 + 2i + (-1) = 2i \end{aligned}$
Kita akan menggunakan informasi ini untuk menentukan bentuk lainnya.
Jawaban a)
$\begin{aligned} (1+i)^6 & = ((1+i)^2)^3 \\ & = (2i)^3 = 8i^3 = -8i \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (1+i)^9 & = ((1+i)^2)^4 \cdot (1+i) \\ & = (2i)^4 \cdot (1+i) \\ & = 16i^4 \cdot (1+i) \\ & = 16 \cdot (1+i) = 16+16i \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} (1+i)^{10} & = ((1+i)^2)^5 \\ & = (2i)^5 \\ & = 32i^4 \cdot i = 32i \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$. (Petunjuk: Dimisalkan $z=a+bi$, lalu tentukan nilai $a$ dan $b$)

Penyelesaian

Misalkan $z=a+bi$. Persamaan $z^2=i$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} z^2 & = i \\ (a+bi)^2 & = i \\ a^2+2abi + (bi)^2 & = i \\ a^2+2abi-b^2 & = i \\ (a^2-b^2)+(2ab)i & = 0 + i \end{aligned}$
Dengan menyamakan komponen real dan komponen imajiner, kita peroleh
$a^2-b^2 = 0$ dan $2ab = 1$
Pada persamaan $a^2-b^2=0$, kita faktorkan menjadi $(a+b)(a-b)=0$ sehingga $a=-b$ atau $a=b$.
Misalkan $a=-b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(-b)(b) & = 1 \\ b^2 & = -\dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2i \end{aligned}$
Nilai $b$ ini tidak memenuhi karena memuat bilangan imajiner.
Misalkan $a=b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(b)(b) & = 1 \\ b^2 & = \dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$ adalah $\boxed{z=\dfrac12\sqrt2+\dfrac12\sqrt2i}$ atau $\boxed{z=-\dfrac12\sqrt2-\dfrac12\sqrt2i}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Sederhanakan bentuk berikut.
a. $i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7$
b. $i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41}$

Penyelesaian

Karena $\sqrt{-1}=i$, maka kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = (\sqrt{-1})^3 = -i \\ i^4 & = (\sqrt{-1})^4 = 1 \end{aligned}$
dan juga
$i+i^2+i^3+i^4 = 0$
Dengan demikian:
Jawaban a)
$$\begin{aligned} & i ++i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 \\ & = i + i^2 + i^3 + i^4 + (i)^4i + (i)^4(i)^2 + (i)^4(i)^3 \\ & = i + (-1) + (-i) + 1 + 1(i) + 1(-1) + 1(-i) \\ & = (i-i+i-i)+(-1+1-1) = -1 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 = -1}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} & i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} \\ & = (i+i^2+i^3+i^4) + i^4(i+i^2+i^3+i^4) + i^8(i+i^2+i^3+i^4)+\cdots+i^{36}(i+i^2+i^3+i^4)+(i^{4})^{10}i \\ & = 0+1(0)+1(0)+\cdots+1(0)+(1)^{10}i \\ & = i \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} = i}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan bilangan kompleks $z$ sehingga $z^2$ bernilai:
a. real
b. imajiner murni

Penyelesaian

Misalkan $z=a+bi$ sehingga
$\begin{aligned} z^2 & = (a+bi)^2 \\ & = a^2+2abi + (bi)^2 \\ & = (a^2-b^2)+(2ab)i \end{aligned}$
Jawaban a)
Agar $z^2$ berupa bilangan real, maka haruslah komponen imajinernya $0$ sehingga kita tulis
$2ab = 0 \iff a = 0~\text{atau}~b=0$
Untuk $a = 0$, diperoleh
$z = 0+bi = bi$
Untuk $b = 0$, diperoleh
$z = a+0i = a$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ real adalah $\boxed{z=a}$ atau $\boxed{z=bi}$
Jawaban b)
Agar $z^2$ berupa bilangan imajiner murni (bilangan kompleks yang hanya memuat komponen imajiner saja, tidak ada komponen real), maka haruslah komponen realnya $0$ sehingga kita tulis
$a^2-b^2 = 0 \iff (a+b)(a-b) = 0$
Diperoleh $a=-b$ atau $a=b$.
Untuk $a = -b$, diperoleh
$z = -b+bi$
Untuk $a = b$, diperoleh
$z = b+bi$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ imajiner murni adalah $\boxed{z=-b+bi}$ atau $\boxed{z=b+bi}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa jika $z = -1 -i$, maka $z^2 + 2z + 2 = 0$.

Penyelesaian

Diberikan $z = -1- i$, sehingga
$\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 -i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i -1 -2 -2i + 2 \\ & = 0 \end{aligned}$
(Terbukti) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}~\overline{z_2}$.

Penyelesaian

Misalkan $z_1 = a + bi$ dan $z_2 = c + di$, sehingga konjugatnya adalah $\overline{z_1} = a -bi$ dan $\overline{z_2} = c -di$.
$\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac -bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac -bd) -(ad + bc)i \\ & = (a -bi)(c -di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} $
(Terbukti) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur

Soal Nomor 9
Tentukan semua bilangan kompleks $x+yi$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $-1+(2+x)i = y + 2 + 5i$
b. $2+(x+y)i = y + 2xi$
c. $2+3yi = x^2+x+(x+y)i$

Penyelesaian

Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{1}+\color{blue}{(2+x)}i = \color{red}{y+2}+\color{blue}{5}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$1 = y + 2 \iff y = -1$
dan
$2+x = 5 \iff x = 3$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 3-i}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{(x+y)}i = \color{red}{y} + \color{blue}{2x}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$2 = y$ dan $x + y = 2x$.
Substitusikan $y = 2$ pada persamaan $x+y=2x$ untuk mendapatkan
$x+2 = 2x \iff x = 2$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 2+2i}$
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{3y}i = \color{red}{x^2+x}+\color{blue}{(x+y)}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} 2 & = x^2 + x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~&x=1 \end{aligned}$
dan $3y = x + y \iff 2y = x$
Substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ pada persamaan $2y=x$ menghasilkan $y = -1$ dan $y = \dfrac12$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada $2$, yaitu $\boxed{x+yi = -2-i}$ dan $\boxed{1+\dfrac12i}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Tentukan bilangan real $x$ dan $y$ sedemikian sehingga
$\begin{aligned} & 2x -3iy + 4ix -2y -5 -10i \\ & = (x + y -2) -(y -x + 3)i \end{aligned}$

Penyelesaian

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
$\begin{aligned} & (2x -2y -5) + (-3y + 4x -10)i \\ & = (x + y -2) + (x -y -3)i \end{aligned}$
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
$\begin{cases} 2x -2y -5 & = x + y -2 \\ -3y + 4x -10 & = x -y -3 \end{cases}$
Sederhanakan kembali.
$\begin{cases} x -3y & = 3 \\ 3x -2y & = 7 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh $x =\dfrac{15}{7}$ dan $y = -\dfrac{2}{7}$.

[collapse]

Soal Nomor 11
Tunjukkan bahwa jika $(a+bi)(c+di)=0$, maka $a+bi=0$ atau $c+di=0$.
Petunjuk:
Jika $(a+bi)(c+di)=0$, maka $(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=0$. Tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$, kemudian simpulkan bahwa $a=b=0$ atau $c=d=0$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $(a+bi)(c+di)=0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di) & = 0 \\ (a^2-abi+abi-(bi)^2)(c^2-cdi+cdi-(di)^2) & = 0 \\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) & = 0 \end{aligned}$$Karena $a, b, c, d$ mewakili bilangan real, maka berdasarkan aksioma lapangan dalam analisis real, berlaku
$a^2+b^2 = 0$ atau $c^2+d^2=0$.
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika $a = b = 0$ atau $c = d = 0$. Dengan demikian, $(a+bi)(c+di)=0$ mengimplikasikan bahwa $a+bi = 0$ atau $c+di=0$.

[collapse]

Soal Nomor 12
Buktikan bahwa untuk setiap $z$ berlaku $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z})$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z})$.

Penyelesaian

Perlu diperhatikan bahwa $\text{Re}(z)$ dan $\text{Im}(z)$ memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dalam $z$ ($z$ adalah bilangan kompleks)
Misalkan $z = a + bi$ sehingga $\overline{z} = a -bi$
Akan ditunjukkan bahwa $\text{Re}(z) = a$ dan $\text{Im}(z) = b$, yaitu
$\begin{aligned} \text{Re}(z) & = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2}(a + bi + a -bi) = a \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Im}(z) & = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2i}(a + bi -a + bi) = b \end{aligned} $
(Terbukti) $\blacksquare$ 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Soal Nomor 13
Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a) $z = -1 -i$
b) $z = \dfrac{2 + 3i}{1 -i}$

Penyelesaian

Definisi modulus: Jika $z = a + bi$, maka modulus atau nilai mutlak dari $z$ adalah $z = \sqrt{a^2 + b^2}$
(Jawaban a)
Diberikan $z = -1 -i$, berarti $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

(Jawaban b)
Ubah bentuk $z$ yang diberikan sebagai berikut.

$\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 -i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned} $
Jadi,
$|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan $\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right|$.

Penyelesaian

Misalkan $z = a + bi$, berarti $\overline{z} = a – bi$. Perhatikan bahwa,
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|$
Jadi, diperoleh $|z| = |\overline{z}|$, sehingga
$\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya

Soal Nomor 15
Hitunglah setiap bentuk berikut jika $z_1 = 1 -i, z_2 = -2 + 4i$
a) $|2z_2 -3z_1|^2$
b) $|z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}|$

Penyelesaian

(Jawaban a)
$\begin{aligned} |2z_2 -3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) -3(1 -i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}$
(Jawaban b)
$$\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 -i)(-2 -4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 -4i + 2i + 4 -2 -2i + 4i -4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 16
Gambarkan grafik dari bilangan kompleks berikut.
a) $z = 3 + 2i$
b) $z = -2 -i$

Penyelesaian

(Jawaban a) Diketahui $\text{Re}(z) = 3$ dan $\text{Im}(z) = 2$, sehingga titik koordinatnya adalah $(3, 2)$
(Jawaban b) Diketahui $\text{Re}(z) = -2$ dan $\text{Im}(z) = -1$, sehingga titik koordinatnya adalah $(-2, -1)$
Gambar grafiknya berupa titik koordinat sebagai berikut. Perhatikan bahwa sumbu $X$ dan sumbu $Y$ diganti menjadi sumbu real dan sumbu imajiner dalam sistem bilangan kompleks

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks

Soal Nomor 17 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika $z = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i}$, maka nilai dari $\text{Re}(z), \text{Im}(z)$, dan $|z|$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
B. $-\frac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
C. $-\dfrac{1}{4}, -\dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
D. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
E. $-\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$

Penyelesaian

Sederhanakan $z$ dengan mengalikan konjugat dari penyebutnya.
$\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i -6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}$

Diperoleh $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{4}$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{7}{4}$.
$|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

CategoriesAnalisis KompleksTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *