Soal dan Pembahasan – Bilangan Kompleks dan Perhitungannya

Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). Submateri tersebut merupakan pengantar dari analisis kompleks.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2

Today Quote 

Life is like a camera. You focus on what’s important, capture the good times, develop from the negative and if things don’t work out, take another shot.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diketahui bilangan kompleks $z = 2-3i.$ Manakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar?
A. $\text{Re}(z) = 2.$
B. $\text{Im}(z) = 3.$
C. $\text{Re}(z) = -3.$
D. $\text{Im}(z) = 2.$
E. $3z = 9-6i.$

Pembahasan

Diketahui $z = 2-3i.$ Bilangan kompleks ini memuat bagian real dan bagian imajiner. Bagian realnya adalah $\text{Re}(z) = 2,$ sedangkan bagian imajinernya diwakili oleh koefisien dari bilangan imajiner $i,$ yaitu $\text{Im}(z) = -3.$ Perhatikan juga bahwa pernyataan pada opsi jawaban E kurang tepat karena seharusnya $3z = 3(2-3i) = 6-9i.$ Jadi, pernyataan yang benar adalah $\text{Re}(z) = 2$ pada opsi jawaban A.

[collapse]

Soal Nomor 2

Manakah dari bilangan kompleks berikut yang memiliki bagian real $0$?
A. $2 + i$
B. $2-\sqrt{-4}$
C. $\sqrt{-1} + 1$
D. $\dfrac{\sqrt{-3}}{7}$
E. $\dfrac13\sqrt{-2} + \dfrac43$

Pembahasan

Bilangan kompleks memiliki bentuk umum $a + bi$ dengan $a$ dan $b$ berturut-turut disebut sebagai bagian real dan bagian imajiner serta $i = \sqrt{-1}$ (bilangan imajiner). Oleh karena itu, kita akan mencari bilangan kompleks yang memiliki nilai $a = 0.$
Perhatikan tabel berikut agar lebih detail.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Bilangan Kompleks} & \text{Bagian Real}~(a) & \text{Bagian Imajiner}~(b) \\ \hline 2 + i & 2 & 1 \\ 2-\sqrt{-4} & 2 & -2 \\ \sqrt{-1} + 1 & 1 & 1 \\ \dfrac{\sqrt{-3}}{7} & 0 & \dfrac{\sqrt3}{7} \\ \dfrac13\sqrt{-2} + \dfrac43 & \dfrac43 & \dfrac{\sqrt2}{3} \\ \hline \end{array}$$Jadi, bilangan kompleks yang memiliki bagian real $0$ adalah $\boxed{\dfrac{\sqrt{-3}}{7}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Bentuk umum dari bilangan kompleks $z = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $z = 2 + i$
B. $z = -2 + i$
C. $z = 2-i$
D. $z = -2-i$
E. $z = 1 + 2i$

Pembahasan

Diketahui $z = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2}.$ Perhatikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ dan kita akan mengubah $z$ dalam bentuk $a + bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner.
$$\begin{aligned} z & = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2} \\ & = -\dfrac{4 + 2\sqrt{i}}{2} \\ & = -\dfrac42-\dfrac{2\sqrt{i}}{2} \\ & = -2-i \end{aligned}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks $z = -\dfrac{4 + \sqrt{-4}}{2}$ adalah $\boxed{z = -2-i}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4

Nilai dari $i^{78}$ (dengan $i = \sqrt{-1}$) sama dengan nilai dari $\cdots \cdot$
A. $i^4$
B. $i^{10}$
C. $i^{16}$
D. $i^{60}$
E. $i^{81}$

Pembahasan

Tinjau bahwa perpangkatan dari $i$ memiliki nilai yang berulang setiap $4$ suku.
$$\begin{array}{ccc} \hline i & \sqrt{-1} & i^5, i^9, i^{13}, \cdots \\ i^2 & -1 & i^6, i^{10}, i^{14}, \cdots \\ i^3 & -\sqrt{-1} & i^7, i^{11}, i^{15}, \cdots \\ i^4 & 1 & i^{8}, i^{12}, i^{16}, \cdots \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} i^{78} & = i^{19 \times 4 + 2} \\ & = (i^4)^{19} \cdot i^2 \\ & = 1^{19} \cdot i^2 \\ & = i^2 \end{aligned}$$Oleh karena itu, kita tinggal mencari perpangkatan $i$ yang memiliki sisa hasil bagi $2$ setelah dibagi $4.$
Dalam kasus ini,
$$\begin{aligned} i^{10} & = i^{2 \times 4 + 2} = i^2 \\ i^{16} & = i^{4 \times 4} = i^4 \\ i^{60} & = i^{15 \times 4} = i^4 \\ i^{81} & = i^{20 \times 4 + 1} = i. \end{aligned}$$Nilai dari $i^{78}$ sama dengan nilai dari $\boxed{i^{10}}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Nilai dari $\text{Re}(z^3)$ jika $z = 5-2i$ adalah $\cdots \cdot$
A. $45$                 C. $60$                E. $75$
B. $50$                 D. $65$

Pembahasan

Diketahui $z = 5-2i$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} z^3 & = (5-2i)^3 \\ & = 5^3-3(5)^2(2i) + 3(5)(2i)^2-(2i)^3 \\ & = 125-150i + 60i^2-8i^3 \\ & = 125-150i-60+8i \\ & = 65-142i. \end{aligned}$$Jadi, $z^3 = 65-142i$ yang berarti bahwa $\text{Re}(z^3) = 65$ dan $\text{Im}(z^3) = -142.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6

Perhatikan gambar berikut.
Bilangan kompleks yang direpresentasikan oleh titik pada bidang Kartesius di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 + 3i$
B. $2 + 3i$
C. $-2-3i$
D. $2-3i$
E. $-3+2i$

Pembahasan

Dari gambar, tampak bahwa titik tersebut berada pada koordinat $(-2, 3)$ dengan bagian real $\text{Re}(z) = -2$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z) = 3$ sehingga bilangan kompleks yang dinyatakan olehnya adalah $-2 + 3i.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7

Bila bilangan kompleks $z = -4 + \sqrt{2}i$ direpresentasikan pada bidang Kartesius, maka letaknya akan berada di kuadran $\cdots \cdot$
A. pertama
B. kedua
C. ketiga
D. keempat
E. pertama dan kedua

Pembahasan

Bilangan kompleks $z = -4 + \sqrt{2}i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z) = -4$ dan bagian imajiner $\text{Im}(z) = \sqrt2$ sehingga koordinat titik yang merepresentasikan bilangan tersebut pada bidang Kartesius dinyatakan oleh $(x, y) = (-4, \sqrt2).$ Letaknya berada di kuadran kedua seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.



(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8

Manakah dari pilihan berikut yang merupakan representasi dari bilangan kompleks $4-3i$ pada bidang Kartesius?
A. $z_1.$                     D. $z_4.$
B. $z_2.$                     E. $z_5.$
C. $z_3.$

Pembahasan

Bilangan kompleks $4-3i$ memiliki bagian real $\text{Re}(z) = 4$ dan $\text{Im}(z) = -3$ sehingga representasinya pada bidang Kartesius dinyatakan oleh titik dengan koordinat $(4, -3),$ yaitu $z_5.$
Adapun bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik yang lain adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline z_1 & 4 + 3i \\ z_2 & -1 + 3i \\ z_3 & -3 \\ z_4 & -3-3i \\ \hline \end{array}$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9

Bentuk polar dari bilangan kompleks $z = \sqrt3 + i$ adalah $\cdots \cdot$
A. $z = \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ$
B. $z = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$
C. $z = \sqrt2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$
D. $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ$
E. $z = 2(\sin 30^\circ + i \cos 30^\circ$

Pembahasan

Diketahui $z = \sqrt3 + i$ dengan $a = \sqrt3$ dan $b = 1.$
Modulus dari $z$ adalah $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2 + 1^2} = 2.$$Argumen dari $z$ adalah $$\theta = \arctan \dfrac{b}{a} = \arctan \dfrac{1}{\sqrt3} = 30^\circ.$$Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
$$z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \Rightarrow z = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ).$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Bentuk umum dari $z = \dfrac{7-3i}{4+2i}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{11}{10}+\dfrac{13}{10}i$
B. $\dfrac{13}{10}-\dfrac{11}{10}i$
C. $\dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i$
D. $\dfrac{13}{10}-\dfrac{11}{10}i$
E. $-\dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i$

Pembahasan

Bilangan kompleks pada umumnya memiliki bentuk $a + bi$ dengan $a$ sebagai bagian real dan $b$ sebagai bagian imajiner. Untuk mengubah $z = \dfrac{7-3i}{4+2i}$ menjadi bentuk umum, langkah utama yang harus dilakukan adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan $4-2i$ yang merupakan konjugat dari $4 + 2i.$ Setelah itu, lakukan operasi aljabar biasa.
$$\begin{aligned} z & = \dfrac{7-3i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ & = \dfrac{28-26i+6i^2}{16-4i^2} \\ & = \dfrac{28-26i-6}{16-4(-1)} \\ & = \dfrac{22-26i}{20} \\ & = \dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i \end{aligned}$$Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks itu adalah $\boxed{z = \dfrac{11}{10}-\dfrac{13}{10}i}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Jika $z = \dfrac{i}{2-i},$ maka nilai dari $\text{Im}(z)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac25$                        D. $\dfrac25$
B. $-\dfrac15$                        E. $\dfrac45$
C. $\dfrac15$

Pembahasan

Ubah dulu $z$ dalam bentuk umum $a + bi.$ Nilai $b$ inilah yang merupakan $\text{Im}(z).$
$$\begin{aligned} z & = \dfrac{i}{2-i} \times \dfrac{2+i}{2+i} \\ & = \dfrac{2i+i^2}{4-i^2} \\ & = \dfrac{2i-1}{4-(-1)} \\ & = \dfrac{-1+2i}{5} \\ & = -\dfrac15+\dfrac25i\end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh $\boxed{\text{Im}(z) = \dfrac25}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12

Bilangan kompleks $z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a + bi$ dengan $a, b$ adalah bilangan real. Nilai dari $ab$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $0$                   E. $2$
B. $-1$                   D. $1$

Pembahasan

Diketahui $z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3.$ Ubah $\dfrac{1+i}{1-i}$ menjadi bentuk umum bilangan kompleks terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \dfrac{1+i}{1-i} & = \dfrac{1+i}{1-i} {\color{red}{\times \dfrac{1+i}{1+i}}} \\ & = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1-i^2} \\ & = \dfrac{1 + 2i + (-1)}{1-(-1)} \\ & = \dfrac{2i}{2} = i \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3 = (i)^3 = -i. \end{aligned}$$Jadi, bilangan kompleks $z = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3$ dapat dinyatakan dalam bentuk $-i$ atau ditulis $0 + -1i$ sehingga nilai $a = 0$ dan $b = -1.$ Akibatnya, nilai $\boxed{ab = 0(-1) = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13

Solusi dari persamaan kuadrat $x^2 + 2 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \pm \sqrt2i$
B. $x = \pm \sqrt{2i}$
C. $x = \pm 2\sqrt{i}$
D. $x = \pm 2i$
E. $x = \pm 4i$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x^2 + 2 & = 0 \\ x^2 & = -2 \\ x & = \pm \sqrt{-2} \\ x & = \pm \sqrt2i \end{aligned}$$dengan $i = \sqrt{-1}.$
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{x = \pm \sqrt2i}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14

Persamaan kuadrat yang memiliki solusi $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1-i$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-2x+4 = 0$
B. $x^2-4x+2 = 0$
C. $x^2-2=0$
D. $x^2+2x-2=0$
E. $x^2-2x+2=0$

Pembahasan

Setiap persamaan kuadrat memiliki karakteristik berupa jumlah akar dan hasil akar akar.
Jumlah akar adalah hasil penjumlahan dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$x_1 + x_2 = (1 + i) + (1-i) = 2$$Hasil kali akar adalah hasil perkalian dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
$$\begin{aligned} x_1x_2 & = (1+i)(1-i) \\ & = 1-i+i-i^2 \\ & = 1-(-1) = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} x_2-(x_1 + x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x + 2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki solusi $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1-i$ adalah $\boxed{x^2-2x+2=0}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Manakah dari $4$ bilangan kompleks berikut yang berbeda satu dengan yang lain?
$$i^{31}, i^{87}, i^{115}, i^{221}$$

Pembahasan

Didefinisikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = i^2 \cdot i = -i \\ i^4 & = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1 \\ i^5 & = i^4 \cdot i = 1(i) = i. \end{aligned}$
Perpangkatan $i$ membentuk pola $i, -1, -i, 1$.
Sekarang, akan ditinjau $4$ bilangan tersebut satu per satu.
$\begin{aligned} i^{31} & = i^{4 \cdot 7 + 3} \\ & = (i^4)^7 \cdot i^3 \\ & = (1)^7 \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{87} & = i^{4 \cdot 21 + 3} \\ & = (i^4)^{21} \cdot i^3 \\ & = (1)^{21} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{115} & = i^{4 \cdot 28 + 3} \\ & = (i^4)^{28} \cdot i^3 \\ & = (1)^{28} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{221} & = i^{4 \cdot 55 + 1} \\ & = (i^4)^{55} \cdot i^1 \\ & = (1)^{55} \cdot i = i \end{aligned}$
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah $i^{221}$.

[collapse]

Soal Nomor 2

Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a. $(3 + 4i) + (3i -2)$
b. $(3 + 2i)(3i -2)$
c. $\dfrac{2 -3i}{4 -i}$
d. $i^{123} -4i^9 -4i$
e. $\dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}}{2 -i^5 + i^{10} -i^{15}}$

Pembahasan

Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ &  i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}} $
Jawaban a)
$$\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned} $$Jawaban b)
$$\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i -6)+(6i^2 -4i) \\ & = 9i -4i -6 -6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned} $$Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i -12i -3i^2}{16 -i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 -10i}{17}} \end{aligned} $
Jawaban d)
$$\begin{aligned} i^{123} -4i^9 -4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) -4i \\ & = -i- 4i- 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}$$Jawaban e)
$\begin{aligned} & \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} \\ & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 -(i^4)(i) + (i^8)(i^2) -(i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 -i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} = 2 + i \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 3

Dengan mengubah bentuk $(1+i)^2$ dalam $a+bi$ terlebih dahulu, hitunglah hasil dari:
a. $(1+i)^6$
b. $(1+i)^9$
c. $(1+i)^{10}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (1+i)^2 & = (1+i)(1+i) \\ & = 1 + 2i + i^2 \\ & = 1 + 2i + (-1) = 2i. \end{aligned}$
Kita akan menggunakan informasi ini untuk menentukan bentuk lainnya.
Jawaban a)
$\begin{aligned} (1+i)^6 & = ((1+i)^2)^3 \\ & = (2i)^3 = 8i^3 = -8i \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (1+i)^9 & = ((1+i)^2)^4 \cdot (1+i) \\ & = (2i)^4 \cdot (1+i) \\ & = 16i^4 \cdot (1+i) \\ & = 16 \cdot (1+i) = 16+16i \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} (1+i)^{10} & = ((1+i)^2)^5 \\ & = (2i)^5 \\ & = 32i^4 \cdot i = 32i \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$.
(Petunjuk: Dimisalkan $z=a+bi$, lalu tentukan nilai $a$ dan $b$)

Pembahasan

Misalkan $z=a+bi$. Persamaan $z^2=i$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} z^2 & = i \\ (a+bi)^2 & = i \\ a^2+2abi + (bi)^2 & = i \\ a^2+2abi-b^2 & = i \\ (a^2-b^2)+(2ab)i & = 0 + i. \end{aligned}$
Dengan menyamakan komponen real dan komponen imajiner, kita peroleh
$a^2-b^2 = 0$ dan $2ab = 1.$
Pada persamaan $a^2-b^2=0$, kita faktorkan menjadi $(a+b)(a-b)=0$ sehingga $a=-b$ atau $a=b$.
Misalkan $a=-b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(-b)(b) & = 1 \\ b^2 & = -\dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2i. \end{aligned}$
Nilai $b$ ini tidak memenuhi karena memuat bilangan imajiner.
Misalkan $a=b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(b)(b) & = 1 \\ b^2 & = \dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2. \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$ adalah $\boxed{z=\dfrac12\sqrt2+\dfrac12\sqrt2i}$ atau $\boxed{z=-\dfrac12\sqrt2-\dfrac12\sqrt2i}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Sederhanakan bentuk berikut.
a. $i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7$
b. $i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41}$

Pembahasan

Karena $\sqrt{-1}=i$, maka kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = (\sqrt{-1})^3 = -i \\ i^4 & = (\sqrt{-1})^4 = 1 \end{aligned}$
dan juga
$i+i^2+i^3+i^4 = 0.$
Dengan demikian:
Jawaban a)
$$\begin{aligned} & i ++i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 \\ & = i + i^2 + i^3 + i^4 + (i)^4i + (i)^4(i)^2 + (i)^4(i)^3 \\ & = i + (-1) + (-i) + 1 + 1(i) + 1(-1) + 1(-i) \\ & = (i-i+i-i)+(-1+1-1) = -1. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 = -1}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} & i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} \\ & = (i+i^2+i^3+i^4) + i^4(i+i^2+i^3+i^4) + i^8(i+i^2+i^3+i^4)+\cdots+i^{36}(i+i^2+i^3+i^4)+(i^{4})^{10}i \\ & = 0+1(0)+1(0)+\cdots+1(0)+(1)^{10}i \\ & = i. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} = i}$

[collapse]

Soal Nomor 6

Tentukan bilangan kompleks $z$ sehingga $z^2$ bernilai:
a. real;
b. imajiner murni.

Pembahasan

Misalkan $z=a+bi$ sehingga
$\begin{aligned} z^2 & = (a+bi)^2 \\ & = a^2+2abi + (bi)^2 \\ & = (a^2-b^2)+(2ab)i. \end{aligned}$
Jawaban a)
Agar $z^2$ berupa bilangan real, maka haruslah komponen imajinernya $0$ sehingga kita tulis
$2ab = 0 \iff a = 0~\text{atau}~b=0.$
Untuk $a = 0$, diperoleh $z = 0+bi = bi.$
Untuk $b = 0$, diperoleh $z = a+0i = a.$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ real adalah $\boxed{z=a}$ atau $\boxed{z=bi}$
Jawaban b)
Agar $z^2$ berupa bilangan imajiner murni (bilangan kompleks yang hanya memuat komponen imajiner saja, tidak ada komponen real), maka haruslah komponen realnya $0$ sehingga kita tulis
$$a^2-b^2 = 0 \iff (a+b)(a-b) = 0.$$Diperoleh $a=-b$ atau $a=b$.
Untuk $a = -b$, diperoleh $z = -b+bi.$
Untuk $a = b$, diperoleh $z = b+bi.$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ imajiner murni adalah $\boxed{z=-b+bi}$ atau $\boxed{z=b+bi}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Soal Nomor 7

Tunjukkan bahwa jika $z = -1 -i$, maka $z^2 + 2z + 2 = 0.$

Pembahasan

Diberikan $z = -1- i$ sehingga
$$\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 -i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i -1 -2 -2i + 2 \\ & = 0. \end{aligned}$$(Terbukti) 

[collapse]

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}~\overline{z_2}.$

Pembahasan

Misalkan $z_1 = a + bi$ dan $z_2 = c + di$ sehingga konjugatnya adalah $\overline{z_1} = a -bi$ dan $\overline{z_2} = c -di.$
$\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac -bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac -bd) -(ad + bc)i \\ & = (a -bi)(c -di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} $
(Terbukti) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur

Soal Nomor 9

Tentukan semua bilangan kompleks $x+yi$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $-1+(2+x)i = y + 2 + 5i$
b. $2+(x+y)i = y + 2xi$
c. $2+3yi = x^2+x+(x+y)i$

Pembahasan

Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{1}+\color{blue}{(2+x)}i = \color{red}{y+2}+\color{blue}{5}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$1 = y + 2 \iff y = -1$
dan
$2+x = 5 \iff x = 3.$
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 3-i}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{(x+y)}i = \color{red}{y} + \color{blue}{2x}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$2 = y$ dan $x + y = 2x$.
Substitusikan $y = 2$ pada persamaan $x+y=2x$ untuk mendapatkan
$x+2 = 2x \iff x = 2$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 2+2i}$
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{3y}i = \color{red}{x^2+x}+\color{blue}{(x+y)}i.$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} 2 & = x^2 + x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~&x=1 \end{aligned}$
dan $3y = x + y \iff 2y = x.$
Substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ pada persamaan $2y=x$ menghasilkan $y = -1$ dan $y = \dfrac12$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada $2$, yaitu $\boxed{x+yi = -2-i}$ dan $\boxed{1+\dfrac12i}$

[collapse]

Soal Nomor 10

Tentukan bilangan real $x$ dan $y$ sedemikian sehingga
$\begin{aligned} & 2x -3iy + 4ix -2y -5 -10i \\ & = (x + y -2) -(y -x + 3)i \end{aligned}$

Pembahasan

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
$\begin{aligned} & (2x -2y -5) + (-3y + 4x -10)i \\ & = (x + y -2) + (x -y -3)i \end{aligned}$
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
$\begin{cases} 2x -2y -5 & = x + y -2 \\ -3y + 4x -10 & = x -y -3 \end{cases}$
Sederhanakan kembali.
$\begin{cases} x -3y & = 3 \\ 3x -2y & = 7 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh $x =\dfrac{15}{7}$ dan $y = -\dfrac{2}{7}$.

[collapse]

Soal Nomor 11

Tunjukkan bahwa jika $(a+bi)(c+di)=0,$ maka $a+bi=0$ atau $c+di=0.$
Petunjuk:
Jika $(a+bi)(c+di)=0$, maka $(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=0.$ Tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan $(a^2+b^2)(c^2+d^2),$ kemudian simpulkan bahwa $a=b=0$ atau $c=d=0$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $(a+bi)(c+di)=0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di) & = 0 \\ (a^2-abi+abi-(bi)^2)(c^2-cdi+cdi-(di)^2) & = 0 \\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) & = 0. \end{aligned}$$Karena $a, b, c, d$ mewakili bilangan real, maka berlaku 
$a^2+b^2 = 0$ atau $c^2+d^2=0.$
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika $a = b = 0$ atau $c = d = 0.$ Dengan demikian, $(a+bi)(c+di)=0$ mengimplikasikan bahwa $a+bi = 0$ atau $c+di=0.$

[collapse]

Soal Nomor 12

Buktikan bahwa untuk setiap $z$ berlaku $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z})$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z}).$

Pembahasan

Perlu diperhatikan bahwa $\text{Re}(z)$ dan $\text{Im}(z)$ memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks $z.$
Misalkan $z = a + bi$ sehingga $\overline{z} = a -bi.$
Akan ditunjukkan bahwa $\text{Re}(z) = a$ dan $\text{Im}(z) = b$, yaitu
$\begin{aligned} \text{Re}(z) & = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2}(a + bi + a -bi) = a \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Im}(z) & = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2i}(a + bi -a + bi) = b. \end{aligned} $
(Terbukti) $\blacksquare$ 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Soal Nomor 13

Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a. $z = -1 -i$
b. $z = \dfrac{2 + 3i}{1 -i}$

Pembahasan

Definisi modulus: Jika $z = a + bi$, maka modulus atau nilai mutlak dari $z$ adalah $z = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Jawaban a)
Diberikan $z = -1 -i$, berarti $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$

Jawaban b)
Ubah bentuk $z$ yang diberikan sebagai berikut.

$\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 -i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned} $
Jadi,
$|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}$.

[collapse]

Soal Nomor 14

Tentukan nilai dari $\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right|.$

Pembahasan

Misalkan $z = a + bi$, berarti $\overline{z} = a -bi.$ Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} |z| & = \sqrt{a^2 + b^2} \\ & = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $|z| = |\overline{z}|$ sehingga $\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1.$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya

Soal Nomor 15

Hitunglah setiap bentuk berikut jika $z_1 = 1 -i, z_2 = -2 + 4i$.
a. $|2z_2 -3z_1|^2$
b. $|z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}|$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} |2z_2 -3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) -3(1 -i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 -i)(-2 -4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 -4i + 2i + 4 -2 -2i + 4i -4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}$$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments