Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). Submateri tersebut merupakan pengantar dari analisis kompleks.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2
Today Quote A
Soal Nomor 1
Manakah dari $4$ bilangan kompleks berikut yang berbeda satu dengan yang lain?
$i^{31}, i^{87}, i^{115}, i^{221}$
Didefinisikan bahwa $i = \sqrt{-1}$ yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = i^2 \cdot i = -i \\ i^4 & = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1 \\ i^5 & = i^4 \cdot i = 1(i) = i \end{aligned}$
Perpangkatan $i$ membentuk pola $i, -1, -i, 1$.
Sekarang, akan ditinjau $4$ bilangan tersebut satu per satu.
$\begin{aligned} i^{31} & = i^{4 \cdot 7 + 3} \\ & = (i^4)^7 \cdot i^3 \\ & = (1)^7 \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{87} & = i^{4 \cdot 21 + 3} \\ & = (i^4)^{21} \cdot i^3 \\ & = (1)^{21} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{115} & = i^{4 \cdot 28 + 3} \\ & = (i^4)^{28} \cdot i^3 \\ & = (1)^{28} \cdot i^3 = i^3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} i^{221} & = i^{4 \cdot 55 + 1} \\ & = (i^4)^{55} \cdot i^1 \\ & = (1)^{55} \cdot i = i \end{aligned}$
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah $i^{221}$.
Soal Nomor 2
Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a) $(3 + 4i) + (3i -2)$
b) $(3 + 2i)(3i -2)$
c) $\dfrac{2 -3i}{4 -i}$
d) $i^{123} -4i^9 -4i$
e) $\dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}}{2 -i^5 + i^{10} -i^{15}}$
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ & i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}} $
(Jawaban a)
$\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned} $
(Jawaban b)
$\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i -6)+(6i^2 -4i) \\ & = 9i -4i -6 -6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned} $
(Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i -12i -3i^2}{16 -i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 -10i}{17}} \end{aligned} $
(Jawaban d)
$\begin{aligned} i^{123} -4i^9 -4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) -4i \\ & = -i- 4i- 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}$
(Jawaban e)
$\begin{aligned} & \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} \\ & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 -(i^4)(i) + (i^8)(i^2) -(i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 -i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} = 2 + i \end{aligned}$
Soal Nomor 3
Dengan mengubah bentuk $(1+i)^2$ dalam $a+bi$ terlebih dahulu, hitunglah hasil dari:
a. $(1+i)^6$
b. $(1+i)^9$
c. $(1+i)^{10}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (1+i)^2 & = (1+i)(1+i) \\ & = 1 + 2i + i^2 \\ & = 1 + 2i + (-1) = 2i \end{aligned}$
Kita akan menggunakan informasi ini untuk menentukan bentuk lainnya.
Jawaban a)
$\begin{aligned} (1+i)^6 & = ((1+i)^2)^3 \\ & = (2i)^3 = 8i^3 = -8i \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (1+i)^9 & = ((1+i)^2)^4 \cdot (1+i) \\ & = (2i)^4 \cdot (1+i) \\ & = 16i^4 \cdot (1+i) \\ & = 16 \cdot (1+i) = 16+16i \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} (1+i)^{10} & = ((1+i)^2)^5 \\ & = (2i)^5 \\ & = 32i^4 \cdot i = 32i \end{aligned}$
Soal Nomor 4
Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$. (Petunjuk: Dimisalkan $z=a+bi$, lalu tentukan nilai $a$ dan $b$)
Misalkan $z=a+bi$. Persamaan $z^2=i$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} z^2 & = i \\ (a+bi)^2 & = i \\ a^2+2abi + (bi)^2 & = i \\ a^2+2abi-b^2 & = i \\ (a^2-b^2)+(2ab)i & = 0 + i \end{aligned}$
Dengan menyamakan komponen real dan komponen imajiner, kita peroleh
$a^2-b^2 = 0$ dan $2ab = 1$
Pada persamaan $a^2-b^2=0$, kita faktorkan menjadi $(a+b)(a-b)=0$ sehingga $a=-b$ atau $a=b$.
Misalkan $a=-b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(-b)(b) & = 1 \\ b^2 & = -\dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2i \end{aligned}$
Nilai $b$ ini tidak memenuhi karena memuat bilangan imajiner.
Misalkan $a=b$, maka
$\begin{aligned} 2ab & =1 \\ 2(b)(b) & = 1 \\ b^2 & = \dfrac12 \\ b & = \pm \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $z$ yang memenuhi persamaan $z^2=i$ adalah $\boxed{z=\dfrac12\sqrt2+\dfrac12\sqrt2i}$ atau $\boxed{z=-\dfrac12\sqrt2-\dfrac12\sqrt2i}$
Soal Nomor 5
Sederhanakan bentuk berikut.
a. $i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7$
b. $i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41}$
Karena $\sqrt{-1}=i$, maka kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} i^2 & = (\sqrt{-1})^2 = -1 \\ i^3 & = (\sqrt{-1})^3 = -i \\ i^4 & = (\sqrt{-1})^4 = 1 \end{aligned}$
dan juga
$i+i^2+i^3+i^4 = 0$
Dengan demikian:
Jawaban a)
$$\begin{aligned} & i ++i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 \\ & = i + i^2 + i^3 + i^4 + (i)^4i + (i)^4(i)^2 + (i)^4(i)^3 \\ & = i + (-1) + (-i) + 1 + 1(i) + 1(-1) + 1(-i) \\ & = (i-i+i-i)+(-1+1-1) = -1 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7 = -1}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} & i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} \\ & = (i+i^2+i^3+i^4) + i^4(i+i^2+i^3+i^4) + i^8(i+i^2+i^3+i^4)+\cdots+i^{36}(i+i^2+i^3+i^4)+(i^{4})^{10}i \\ & = 0+1(0)+1(0)+\cdots+1(0)+(1)^{10}i \\ & = i \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{41} = i}$
Soal Nomor 6
Tentukan bilangan kompleks $z$ sehingga $z^2$ bernilai:
a. real
b. imajiner murni
Misalkan $z=a+bi$ sehingga
$\begin{aligned} z^2 & = (a+bi)^2 \\ & = a^2+2abi + (bi)^2 \\ & = (a^2-b^2)+(2ab)i \end{aligned}$
Jawaban a)
Agar $z^2$ berupa bilangan real, maka haruslah komponen imajinernya $0$ sehingga kita tulis
$2ab = 0 \iff a = 0~\text{atau}~b=0$
Untuk $a = 0$, diperoleh
$z = 0+bi = bi$
Untuk $b = 0$, diperoleh
$z = a+0i = a$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ real adalah $\boxed{z=a}$ atau $\boxed{z=bi}$
Jawaban b)
Agar $z^2$ berupa bilangan imajiner murni (bilangan kompleks yang hanya memuat komponen imajiner saja, tidak ada komponen real), maka haruslah komponen realnya $0$ sehingga kita tulis
$a^2-b^2 = 0 \iff (a+b)(a-b) = 0$
Diperoleh $a=-b$ atau $a=b$.
Untuk $a = -b$, diperoleh
$z = -b+bi$
Untuk $a = b$, diperoleh
$z = b+bi$
Jadi, bilangan kompleks $z$ agar $z^2$ imajiner murni adalah $\boxed{z=-b+bi}$ atau $\boxed{z=b+bi}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya
Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa jika $z = -1 -i$, maka $z^2 + 2z + 2 = 0$.
Diberikan $z = -1- i$, sehingga
$\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 -i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i -1 -2 -2i + 2 \\ & = 0 \end{aligned}$
(Terbukti)
Soal Nomor 8
Buktikan bahwa $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}~\overline{z_2}$.
Misalkan $z_1 = a + bi$ dan $z_2 = c + di$, sehingga konjugatnya adalah $\overline{z_1} = a -bi$ dan $\overline{z_2} = c -di$.
$\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac -bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac -bd) -(ad + bc)i \\ & = (a -bi)(c -di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} $
(Terbukti)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur
Soal Nomor 9
Tentukan semua bilangan kompleks $x+yi$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $-1+(2+x)i = y + 2 + 5i$
b. $2+(x+y)i = y + 2xi$
c. $2+3yi = x^2+x+(x+y)i$
Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{1}+\color{blue}{(2+x)}i = \color{red}{y+2}+\color{blue}{5}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$1 = y + 2 \iff y = -1$
dan
$2+x = 5 \iff x = 3$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 3-i}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{(x+y)}i = \color{red}{y} + \color{blue}{2x}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$2 = y$ dan $x + y = 2x$.
Substitusikan $y = 2$ pada persamaan $x+y=2x$ untuk mendapatkan
$x+2 = 2x \iff x = 2$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x+yi = 2+2i}$
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$\color{red}{2}+\color{blue}{3y}i = \color{red}{x^2+x}+\color{blue}{(x+y)}i$
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} 2 & = x^2 + x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~&x=1 \end{aligned}$
dan $3y = x + y \iff 2y = x$
Substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ pada persamaan $2y=x$ menghasilkan $y = -1$ dan $y = \dfrac12$.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada $2$, yaitu $\boxed{x+yi = -2-i}$ dan $\boxed{1+\dfrac12i}$
Soal Nomor 10
Tentukan bilangan real $x$ dan $y$ sedemikian sehingga
$\begin{aligned} & 2x -3iy + 4ix -2y -5 -10i \\ & = (x + y -2) -(y -x + 3)i \end{aligned}$
Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
$\begin{aligned} & (2x -2y -5) + (-3y + 4x -10)i \\ & = (x + y -2) + (x -y -3)i \end{aligned}$
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
$\begin{cases} 2x -2y -5 & = x + y -2 \\ -3y + 4x -10 & = x -y -3 \end{cases}$
Sederhanakan kembali.
$\begin{cases} x -3y & = 3 \\ 3x -2y & = 7 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh $x =\dfrac{15}{7}$ dan $y = -\dfrac{2}{7}$.
Soal Nomor 11
Tunjukkan bahwa jika $(a+bi)(c+di)=0$, maka $a+bi=0$ atau $c+di=0$.
Petunjuk:
Jika $(a+bi)(c+di)=0$, maka $(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=0$. Tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$, kemudian simpulkan bahwa $a=b=0$ atau $c=d=0$.
Perhatikan bahwa $(a+bi)(c+di)=0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di) & = 0 \\ (a^2-abi+abi-(bi)^2)(c^2-cdi+cdi-(di)^2) & = 0 \\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) & = 0 \end{aligned}$$Karena $a, b, c, d$ mewakili bilangan real, maka berdasarkan aksioma lapangan dalam analisis real, berlaku
$a^2+b^2 = 0$ atau $c^2+d^2=0$.
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika $a = b = 0$ atau $c = d = 0$. Dengan demikian, $(a+bi)(c+di)=0$ mengimplikasikan bahwa $a+bi = 0$ atau $c+di=0$.
Soal Nomor 12
Buktikan bahwa untuk setiap $z$ berlaku $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z})$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z})$.
Perlu diperhatikan bahwa $\text{Re}(z)$ dan $\text{Im}(z)$ memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dalam $z$ ($z$ adalah bilangan kompleks)
Misalkan $z = a + bi$ sehingga $\overline{z} = a -bi$
Akan ditunjukkan bahwa $\text{Re}(z) = a$ dan $\text{Im}(z) = b$, yaitu
$\begin{aligned} \text{Re}(z) & = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2}(a + bi + a -bi) = a \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Im}(z) & = \dfrac{1}{2i}(z -\overline{z}) \\ & = \dfrac{1}{2i}(a + bi -a + bi) = b \end{aligned} $
(Terbukti) $\blacksquare$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks
Soal Nomor 13
Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a) $z = -1 -i$
b) $z = \dfrac{2 + 3i}{1 -i}$
Definisi modulus: Jika $z = a + bi$, maka modulus atau nilai mutlak dari $z$ adalah $z = \sqrt{a^2 + b^2}$
(Jawaban a)
Diberikan $z = -1 -i$, berarti $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
(Jawaban b)
Ubah bentuk $z$ yang diberikan sebagai berikut.
$\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 -i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned} $
Jadi,
$|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}$.
Soal Nomor 14
Tentukan $\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right|$.
Misalkan $z = a + bi$, berarti $\overline{z} = a – bi$. Perhatikan bahwa,
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|$
Jadi, diperoleh $|z| = |\overline{z}|$, sehingga
$\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1$.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya
Soal Nomor 15
Hitunglah setiap bentuk berikut jika $z_1 = 1 -i, z_2 = -2 + 4i$
a) $|2z_2 -3z_1|^2$
b) $|z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}|$
(Jawaban a)
$\begin{aligned} |2z_2 -3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) -3(1 -i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}$
(Jawaban b)
$$\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 -i)(-2 -4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 -4i + 2i + 4 -2 -2i + 4i -4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}$$
Soal Nomor 16
Gambarkan grafik dari bilangan kompleks berikut.
a) $z = 3 + 2i$
b) $z = -2 -i$
(Jawaban a) Diketahui $\text{Re}(z) = 3$ dan $\text{Im}(z) = 2$, sehingga titik koordinatnya adalah $(3, 2)$
(Jawaban b) Diketahui $\text{Re}(z) = -2$ dan $\text{Im}(z) = -1$, sehingga titik koordinatnya adalah $(-2, -1)$
Gambar grafiknya berupa titik koordinat sebagai berikut. Perhatikan bahwa sumbu $X$ dan sumbu $Y$ diganti menjadi sumbu real dan sumbu imajiner dalam sistem bilangan kompleks.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks
Soal Nomor 17 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika $z = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i}$, maka nilai dari $\text{Re}(z), \text{Im}(z)$, dan $|z|$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
B. $-\frac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
C. $-\dfrac{1}{4}, -\dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
D. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
E. $-\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
Sederhanakan $z$ dengan mengalikan konjugat dari penyebutnya.
$\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i -6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}$
Diperoleh $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{4}$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{7}{4}$.
$|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks