Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

    Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 1
Di antara rumus barisan berikut ini, yang merupakan barisan geometri adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 4^n-5$
B. $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$
C. $\text{U}_n = 2n^3-1$
D. $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$
E. $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$

Pembahasan

Barisan geometri memiliki rumus umum $\text{U}_n = ar^{n-1}$. Perhatikan bahwa rumus barisan geometri hanya terdiri dari $1$ suku (tidak ada penjumlahan dan pengurangan).
Opsi A: $\text{U}_n = 4^n-5$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi B: $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi C: $\text{U}_n = 2n^3-1$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi D: $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi E: $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$
Perhatikan bahwa rumus barisan di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2^{n} \cdot 2^1 \cdot \dfrac{1}{3^n} \\ & = 2\left(\dfrac23\right)^n \end{aligned}$
Bentuk rumus terakhir menunjukkan bahwa ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 2$ dan rasio $r = \dfrac23$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{8}{3}$                   C. $\dfrac{8}{18}$                    E. $\dfrac{8}{36}$
B. $\dfrac{8}{9}$                   D. $\dfrac{8}{27}$     

Pembahasan

Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24}  \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$
(Jawaban D)
 

[collapse]

Soal Nomor 3
Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $80$                   C. $25$                 E. $-80$
B. $50$                   D. $-25$          

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = ar^5 \\ & = \dfrac{5}{2} \times 2^5 \\ & = 80 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-$5 = 162$ dan suku ke-$2 =-6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                   C. $-\dfrac{1}{3}$                E. $3$
B. $-2$                   D. $\dfrac{1}{2}$          
                              

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 =-6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & =-27 \\ r^3 & =-27 \\ r & =-3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                        C. $32$                  E. $64$
B. $31,5$                    D. $63$           

Pembahasan

Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1- \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $(2x-5), (x-4), (-3x+10)$ merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai $x$ yang bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                       C. $9$                   E. $13$
B. $7$                       D. $10$         

Pembahasan

Dalam barisan geometri, berlaku
$\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (x- 4)^2 & = (2x-5)(-3x+10) \\ x^2-8x+16 & =-6x^2 + 35x-50 \\ 7x^2-43x + 66 & = 0 \\ (7x-22)(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = \dfrac{22}{7}$ atau $x = 3$. Karena nilai $x$ yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai $x$ yang diambil adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 7
Jika $\text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $\text{U}_3-\text{U}_6 = x$ dan $\text{U}_2-\text{U}_4 = y$, serta $r$ merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka $\dfrac{x} {y} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{r^3-r^2-r} {r-1}$                  D. $\dfrac{r^3+r^2-r} {r-1}$
B. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r-1}$                  E. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r+1}$
C. $\dfrac{r^3+r^2+r} {r+1}$ 

Pembahasan

Dalam barisan geometri, rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh $\text{U}_n = ar^{n-1}$ di mana $a$ sebagai suku pertama. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3-\text{U}_6}{\text{U}_2- \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2-ar^5}{ar-ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} (r- r^4)}{\cancel{ar} (1-r^2)} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{(1- r)} (r+r^2+r^3)} {\cancel{(1-r)}(1+r)} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$. Bila suku ke-$4$ deret tersebut adalah $12$, maka suku ke-$6$ deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192$                  C. $16$                 E. $2$
B. $96$                    D. $12$      

Pembahasan

Diketahui: $\text{U}_4 = 12$
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \log \text{U}_1 + \log \text{U}_2 & + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 \\ & + \log \text{U}_5 = 5 \log 3 \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\log} (\text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5) & = \cancel{\log} 3^5 \\ \text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5 & = 3^5 \\ a(ar) (ar^2)(ar^3)(ar^4) & = 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ \text{U}_3 = ar^2 & = 3 \end{aligned}$
Rasio barisan geometri ini adalah
$r = \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_3} = \dfrac{12}{3} = 4$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \text{U}_4 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \\ \text{U}_6 & = \text{U}_5 \cdot r = 48 \cdot 4 = 192 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{192}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Suku ke-$n$ deret geometri adalah $\text{U}_n$. Jika $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ dan $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, maka nilai $\text{U}_{10} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{27}$                         D. $\dfrac{\sqrt{3}} {9}$
B. $\dfrac19$                           E. $\dfrac13$
C. $\dfrac{\sqrt{3}} {27}$

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ (r^2)^4 & = \left(\dfrac13\right)^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ (ar) (ar^7) & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left(\dfrac{1}{81}\right) & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{aligned}$
Karena $r^2 = \dfrac13$, maka $r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.
Dengan demikian, 

$\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = (3\sqrt{3}) \left(\dfrac{1}{81}\right) \left(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{27} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ dan $\text{U}_4- \text{U}_3 = \dfrac23$. Nilai dari $\text{U}_5 = \cdots \cdot$ 
A. $\dfrac{16}{3}$                     C. $\dfrac43$                E. $\dfrac13$
B. $\dfrac83$                       D. $\dfrac23$         

Pembahasan

Diketahui bahwa $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5- ar^3 & = 4 \\ ar^2(r^3-r) & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r} \end{aligned}$
Diketahui bahwa $\text{U}_4-\text{U}_3 = \dfrac23$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_4-\text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3-ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2(r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot (r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{(r-1)}(r^2+r)} \cdot \cancel{(r-1)} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ (r + 3)(r-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $r =-3$ atau $r = 2$. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil $r = 2$. 
Untuk itu, 
$\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5-ar^3 & = 4 \\ a(r^5-r^3) & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5-2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{ \text{U}_5 = ar^4 = \dfrac16(2)^4 = \dfrac83}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 11 (Soal SNMPTN Tahun 2009)
Misalkan $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri. Jika diketahui $\text{U}_5 = 12$ dan $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-\log \text{U}_6 = \log 3$, maka nilai $\text{U}_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $8$                      E. $4$
B. $10$                     D. $6$           

Pembahasan

Diketahui bahwa $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5- \log \text{U}_6 = \log 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-\log \text{U}_6 & = \log 3 \\ \log ar^3 + \log ar^4-\log ar^5 & = \log 3 \\ \log \left(\dfrac{ar^3 \cdot ar^4}{ar^5}\right) & = \log 3 \\ \log ar^2 & = \log 3 \\ \cancel{\log} \text{U}_3 & = \cancel{\log} 3 \\ \text{U}_3 & = 3 \end{aligned}$
Diketahui juga $\text{U}_5 = 12$. 
Untuk itu, didapat
$\text{U}_4 = \sqrt{\text{U}_3 \cdot \text{U}_5} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_4 = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika jumlah $6.036$ suku pertama deret geometri adalah $1.141$ dan jumlah $4.024$ suku pertamanya adalah $780$, maka jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $400$                    D. $1.021$
B. $600$                    E. $1.521$
C. $800$

Pembahasan

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
$\boxed{(\text{S}_{2n}-\text{S}_n)^2 = \text{S}_n(\text{S}_{3n}- \text{S}_{2n})}$
Misalkan $\text{S}_n = A$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (\text{S}_{4.024}-\text{S}_{2.012})^2 & = \text{S}_{2.012}(\text{S}_{6.036}-\text{S}_{4.024}) \\ (780- A)^2 & = A(1.141-780) \\ 608.400-1.560A + A^2 & = 361A \\ A2- 1.921A + 608.400 & = 0 \\ (A-400)(A-1.521) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $A = 400$ atau $A = 1.521$
Perhatikan bahwa $\text{S}_{6.036} = 1.141$ dan $\text{S}_{4.012} = 780$ menunjukkan tren menurun, sehingga pilih $A = \text{S}_{2.012} = 400$
Jadi, jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\boxed{400}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika jumlah $100$ suku pertama deret geometri adalah $\pi$ dan jumlah $200$ suku pertamanya adalah $3\pi$, maka jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $125\pi$                 D. $133\pi$
B. $127\pi$                 E. $135\pi$
C. $129\pi$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{100} & = \dfrac{a(r^{100}-1)} {r-1} = \pi \\ \text{S}_{200} & = \dfrac{a(r^{200}-1)} {r-1} = 3\pi \end{aligned}$
Dari sini, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\cancel{a} (r^{100}-1)} {\bcancel{\pi}} & = \dfrac{\cancel{a}(r^{200}-1)} {3\bcancel{\pi}} \\ 3\cancel{(r^{100}-1)} & = \cancel{(r^{100}-1)} (r^{100}+1) \\ r^{100} & = 2 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa jumlah $700$ suku pertama deret geometri dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + r^{200}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{400}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{600}(a+ar^2+\cdots+ar^{99}) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita dapatkan
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + (r^{100})^2(\text{S}_{200}) \\ &+ (r^{100})^4(\text{S}_{200}) + (r^{100})^6(\text{S}_{100}) \end{aligned}$
Substitusikan $\text{S}_{100} = \pi$, $\text{S}_{200} = 3\pi$, dan $r^{100} = 2$. 
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = 3\pi + (2)^2(3\pi) + (2)^4(3\pi) + (2)^6(\pi) \\ & = 3\pi + 12\pi + 48\pi + 64\pi = 127\pi \end{aligned}$
Jadi, jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\boxed{127\pi}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui suku keenam dari suatu deret geometri adalah $162$. Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$. Rasionya adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                   E. $5$
B. $2$                    D. $4$           

Pembahasan

Diketahui suku keenam bernilai $162$, sehingga ditulis
$\text{U}_6 = ar^5 = 162$
Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$, berarti kita peroleh
$$\begin{aligned} \log \text{U}_2 + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4) & = \log (2^4 \cdot 3^6) \\ \cancel{\log} (a^4r^{10}) & =\cancel{\log} (2^43^6) \\ a^4r^{10} & = 2^43^6 \\ (a^2r^5)^2 & = (2^23^3)^2 \\ a^2r^5 & = 2^23^2 = 108 \\ r^5 & = \dfrac{108}{a^2} \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$
$\begin{aligned} a\left(\dfrac{108}{a^2}\right) & = 162 \\ a & = \dfrac{108}{162} \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$ kembali. 
$\begin{aligned} \dfrac{108}{162}r^5 & = 162 \\ r^5 & = 162 \times \dfrac{162}{108} \\ r^5 & = 243 \\ r & = \sqrt[5]{243} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh $\text{U}_n = 4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4)$         D. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1}-n)$
B. $\dfrac{1}{3}(4^{n}-4)$              E. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1} + 4)$
C. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1}-4)$ 

Pembahasan

Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$(n+1)$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-$2$ dibagi suku ke-$1$.
$r= \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4 $
Dari sini, juga didapat $\text{U}_1 = a = 4$
Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} \\ & = \dfrac{4(4^n-1)} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}(4^n-1) \\ & = \dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4) \end{aligned}$
Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4)}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suatu deret geometri mempunyai suku pertama $p^{-2}$ dan suku kedua $p^{2x}$. Jika suku kesepuluh $p^{88}$, maka nilai $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                     C. $1$                      E. $4$
B. $\dfrac12$                     D. $2$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = p^{-2} \\ \text{U}_2 & = p^{2x} \\ \text{U}_{10} & = p^{88} \end{aligned}$
Rasio deret geometri itu adalah
$r = \dfrac{p^{2x}}{p^{-2}} = p^{2x+2}$
Karena suku kesepuluh $p^{88}$, maka dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan geometri, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = p^{88} \\ ar^9 & = p^{88} \\ p^{-2} \cdot p^{18x+18} & = p^{88} \\ p^{18x+16} & = p^{88} \\ 18x+16 & = 88 \\ 18x & = 72 \\ \therefore x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 17
Jumlah $10$ suku pertama dari deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{231}{8}$                      D. $\dfrac{341}{32}$
B. $\dfrac{341}{8}$                      E. $\dfrac{361}{4}$
C. $\dfrac{341}{16}$

Pembahasan

Cara Matematis:
Diketahui deret geometri:
$16-8+4-2+\cdots$
Suku pertamanya adalah $a = 16$. Rasio barisan geometri yang bersesuaian dengan deret itu adalah $r =-\dfrac12$.
Dengan demikian, jumlah $10$ suku pertamanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{16\left(1-\left(-\dfrac12\right)^{10}\right)}{1-\left(-\dfrac12\right)} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)}{1+\dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac{1023}{64}}{\dfrac32} \\ & = \dfrac{\cancelto{341}{1023}}{\cancelto{32}{64}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$
Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri tersebut adalah $\boxed{\dfrac{341}{32}}$
Cara Manual:
Cara manual artinya kita menghitungnya satu per satu seperti yang biasanya dilakukan anak SD. Kelihatannya akan lebih efektif untuk soal ini karena yang ditanyakan hanya sampai $10$ suku pertama.
$$\begin{aligned} & (16-8+4-2+1)-\dfrac12+\dfrac14-\dfrac18+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32} \\ & = 11+\dfrac{-16+8-4+2-1}{32} \\ & = \dfrac{352}{32}-\dfrac{11}{32} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $6, x, y, z, 54$ membentuk barisan geometri, maka nilai dari $\dfrac{xz}{y} = \cdots \cdot$
A. $12$                     C. $18$                   E. $36$
B. $16$                     D. $24$

Pembahasan

Suku-suku ganjil pada barisan geometri itu adalah $6, y, 54$.
Karena kuadrat dari suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga (berlaku pada barisan geometri), maka
$\begin{aligned} y^2 & = 6 \cdot 54 \\ y^2 & = 6^2 \cdot 3^2 \\ y & = 6 \cdot 3 = 18 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, tinjau barisan geometri: $6, x, 18$.
$\begin{aligned} x^2 & = 6 \cdot 18 \\ x^2 & = 6^2 \cdot 3 \\ x & = 6\sqrt3 \end{aligned}$
Selanjutnya, kita juga akan mendapatkan $z = 18\sqrt3$.
Jadi, nilai dari $\begin{aligned} \dfrac{xz}{y} & = \dfrac{6\sqrt3 \cdot \cancel{18}\sqrt3}{\cancel{18}} \\ & = 6(\sqrt3)^2 = 18 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $x, y, z$ membentuk barisan geometri dengan suku-suku positif yang berbeda, maka nilai dari $\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = \cdots \cdot$
A. $2$                       C. $1$                   E. $\dfrac12\sqrt2$
B. $\sqrt2$                  D. $\dfrac12$

Pembahasan

Karena $x, y, z$ membentuk barisan geometri, maka berlaku sifat bahwa kuadrat suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga, ditulis
$y^2 = xz$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = ^y \log x + ^y \log z \\ & = ^y \log \color{red}{xz} \\ \text{Substitusi}~y^2 & = xz \\ & = ^y \log y^2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dar $\boxed{\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Berikut ini adalah deret geometri:
$\dfrac34+\dfrac32+3+6+\cdots+P = \dfrac{765}{4}$
Nilai $P$ yang sesuai dengan deret di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $86$                     C. $92$                   E. $102$
B. $90$                     D. $96$

Pembahasan

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac34$ dan rasio $r = 2$.
Berdasarkan formula deret geometri, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} \\ \dfrac{765}{4} & = \dfrac{\dfrac34\left(2^n-1\right)}{2-1} \\ \dfrac{765}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\cancel{4}}{3} & = 2^n-1 \\ 255 & = 2^n-1 \\ 256 & = 2^n \\ n & = 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari $\text{U}_8 = P$ dengan menggunakan formula barisan geometri $\text{U}_n = ar^{n-1}$.
$P = \text{U}_8 = \dfrac34(2)^{8-1} = \dfrac{3}{4}(2)^7 = 96 $
Jadi, nilai dari $\boxed{P = 96}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $26$ dan hasil kalinya $216$. Jumlah bilangan pertama dan ketiga dari barisan geometri itu adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $18$                     E. $22$
B. $16$                       D. $20$

Pembahasan

Misal ketiga bilangan itu membentuk barisan geometri dalam bentuk: $\dfrac{a}{r}, a, ar$.
Hasil kalinya:
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\cancel{r}} \times a \times a\cancel{r} & = 216 \\ a^3 & = 6^3 \\ a & = 6 \end{aligned}$
Sekarang, barisan geometrinya dapat ditulis dalam bentuk: $\dfrac{6}{r}, 6, 6r$.
Jumlah:
$\begin{aligned} \dfrac{6}{r}+6+6r & = 26 \\ \dfrac{6}{r}+6r & = 20 \\ 6\left(\dfrac{1}{r}+r\right) & = 20 \\ \dfrac{1}{r}+r & = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \\ r + \dfrac{1}{r} & = 3 + \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = 3$ atau $r = \dfrac13$.
Penentuan barisan geometri:
Untuk $a = 6$ dan $r = 3$, maka
barisan geometrinya: $2, 6, 18$.
Untuk $a = 6$ dan $r = \dfrac13$, maka barisan geometrinya: $18, 6, 2$.
Jumlah bilangan pertama dan ketiganya sama meskipun ditukar posisinya, yaitu $\boxed{2 + 18 = 18 + 2 = 20}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Suatu barisan geometri memiliki suku yang semuanya positif. Jika $\dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} = 9$, maka nilai dari $\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{10}$                C. $\dfrac{9}{10}$                E. $\dfrac{1}{10}$
B. $\dfrac13$                  D. $\dfrac14$

Pembahasan

Barisan geometri memiliki rumus suku ke-$n$ sebagai berikut.
$\boxed{\text{U}_n = ar^{n-1}}$
dengan $a$ sebagai suku pertama dan $r$ sebagai rasio.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} & = 9 \\ \dfrac{ar^3 + ar^2}{ar + a} \\ \dfrac{\cancel{a}(r^3+r^2)}{\cancel{a}(r + 1)} & = 9 \\ \dfrac{r^3+r^2}{r+1} & = 9 \\ \dfrac{r^2\cancel{(r+1)}}{\cancel{r+1}} & = 9 \\ r^2 & = 9 \\ r & = \pm 3 \end{aligned}$
Karena suku barisannya positif, maka kita ambil $r = 3$.
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} & = \dfrac{ar + ar^2}{a + ar + ar^2 + ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{a}(r+r^2)}{\cancel{a}(1+r+r^2+r^3)} \\ & = \dfrac{r+r^2}{1+r+r^2+r^3} \\ & = \dfrac{3 + 3^2}{1+3+3^2+3^3} \\ & = \dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \dfrac{3}{10}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Perhatikan pola gambar berikut.


Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama $x$ satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-$1000$.

Pembahasan

Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang.
Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} s & = \sqrt{\left(\dfrac12x\right)^2 + \left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12} \end{aligned}$
Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \left(x\sqrt{\dfrac12}\right)^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1.
Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$, sehingga 

$\begin{aligned} & U_{n}  = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000-1} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} \end{aligned}$
Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999}$ satuan luas.

[collapse]

Today Quote

Bad people may come to you. They want to see everything wrong with you because there are nothing right in them.