Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang soal cerita (aplikasi) mengenai barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika

Today Quote

“2get” and “2give” create many problems. So, just double it. “4get” and “4give” solve many problems.

Soal Nomor 1
Hasil produksi kerajinan seorang pengusaha setiap bulannya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada bulan pertama sebanyak $150$ unit kerajinan dan pada bulan keempat sebanyak $4.050$ kerajinan. Hasil produksi selama $5$ bulan adalah $\cdots$ unit kerajinan. 
A. $17.850$                          D. $18.850$
B. $18.150$                          E. $19.350$
C. $18.250$

Pembahasan

Diketahui: $a = 150$ dan $\text{U}_4 = 4.050$
Rasio barisan geometri ini dapat ditentukan dengan melakukan perbandingan antarsuku sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_1} & = \dfrac{4.050}{150} \\ \dfrac{\cancel{a} r^3}{\cancel{a}} & = 27 \\ r^3 & = 27 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{150(3^5 -1)} {3 -1} \\ & = \dfrac{150(243 -1)}{2} = 75 \cdot 242 = 18.150 \end{aligned}$
Jadi, hasil produksi selama $5$ bulan adalah $\boxed{18.150}$ unit kerajinan.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Seutas tali dipotong menjadi $4$ bagian, masing-masing membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah $2$ cm dan potongan tali terpanjang adalah $54$ cm, panjang tali semula adalah $\cdots$ cm. 
A. $60$                  C. $80$                 E. $100$
B. $70$                  D. $90$           

Pembahasan

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan $\text{U} _1 = a = 2$ dan $\text{U}_4 = 54$. Dalam hal ini, akan dicari $\text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4$
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat
$\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6$
dan
$\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$
Dengan demikian,
$\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80$
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah $\boxed{80~\text{cm}}$  (Jawaban C) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 3
Pesawat terbang melaju dengan kecepatan $300$ km/jam pada menit pertama. Kecepatan pada menit berikutnya $1\dfrac12$ kali dari kecepatan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya dalam $4$ menit pertama adalah $\cdots \cdot$
A. $2.437,50$ km                 D. $2.439,00$ km
B. $2.438,00$ km                 E. $2.439,50$ km
C. $2.438,50$ km

Pembahasan

Kecepatan pesawat tiap menitnya membentuk barisan geometri
Diketahui: $a = 300$ dan $r= 1\dfrac12 = \dfrac32$. 
Ditanya: $\text{S}_4$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_4 & = \dfrac{300\left(\left(\dfrac32\right)^4 -1\right)} {\dfrac32 -1} \\ & = \dfrac{300\left(\dfrac{81}{16} -\dfrac{16}{16}\right)} {\dfrac12} \\ & = 300 \cdot \dfrac{65}{16} \cdot 2 = 2.437,50~\text{km}\end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan seluruhnya dalam $4$ menit pertama adalah $\boxed{2.437,50~\text{km}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sejak tahun $2018$, terjadi penurunan pengiriman surat dari kantor pos. Setiap tahunnya banyak surat yang dikirim berkurang sebesar $\dfrac15$ dari banyak surat yang dikirim pada tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2018$ dikirim sekitar $1$ juta surat, maka jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu $2018 – 2022$ adalah $\cdots$ juta surat. 
A. $\dfrac{2101}{625}$                    D. $\dfrac{365}{125}$
B. $\dfrac{369}{125}$                      E. $\dfrac{360}{125}$
C. $\dfrac{2100}{625}$

Pembahasan

Kasus di atas merupakan kasus barisan dan deret geometri
Diketahui: $a = 1$ (dalam satuan juta). 
Karena banyak surat berkurang sebesar $\dfrac15$ tiap tahunnya, maka pada tahun berikutnya, banyak surat menjadi $1 -\dfrac15 = \dfrac45$, sehingga rasionya adalah $r = \dfrac45$. 
Kurun waktu dari tahun $2018$ sampai $2022$ (selama $5$ tahun), sehingga $n = 5$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(1-r^n)} {1-r} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{1\left(1 -\left(\dfrac45\right)^5 \right)} {1 – \dfrac45} \\ & = \dfrac{1- \dfrac{1.024}{3.125}} {\dfrac15} \\ & = \dfrac{2.101}{\cancelto{625}{3.125}} \times \cancel{5} = \dfrac{2.101}{625} \end{aligned}$
Jadi, jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu $2018 -2022$ adalah $\boxed{\dfrac{2.101}{625}}$ juta surat.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 5
Dua orang anak sedang melakukan percobaan matematika dengan menjatuhkan sebuah bola dari lantai $2$ rumah mereka. Ketinggian bola dijatuhkan adalah $9$ meter dari atas tanah. Dari pengamatan, diketahui bahwa pantulan bola mencapai $\dfrac89$ dari tinggi pantulan sebelumnya. Ketinggian bola setelah pantulan ke-$5$ yang paling mendekati adalah $\cdots$ m. 
A. $4,00$                          D. $4,75$
B. $4,25$                          E. $5,00$
C. $4,50$

Pembahasan

Kasus ini merupakan kasus barisan geometri.
Tinggi pantulan pertama adalah $9 \times \dfrac89 = 9$ meter. Dengan demikian, diketahui
$\text{U}_1 = 9$ dan $r = \dfrac89$
Ditanya: $\text{U}_5$
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_5 & = 9\left(\dfrac89 \right)^{5-1} \\ & = \dfrac{8^5}{9^4} \approx 5 \end{aligned}$
Ketinggian bola setelah pantulan ke-$5$ yang paling mendekati adalah $\boxed{5~\text{m}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Bakteri A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Setelah $15$ menit, banyak bakteri ada $400$. Banyak bakteri setelah $30$ menit adalah $\cdots \cdot$
A. $800$                               D. $3.200$
B. $1.200$                            E. $6.400$
C. $1.600$

Pembahasan

Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyaknya bakteri mula-mula ($0$ menit), $\text{U}_2$ saat $5$ menit, $\text{U}_3$ saat $10$ menit, dan seterusnya. 
Diketahui: $\text{U}_4 = ar^3 = 400$ dan $r = 2$
Ditanya: $\text{U}_7$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_7 & = ar^6 \\ & = (ar^3)r^3 \\ & = (400)(2)^3 = 400(8) = 3.200 \end{aligned}$
Banyak bakteri setelah $30$ menit adalah $\boxed{3.200}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Keuntungan sebuah percetakan setiap bulannya bertambah menjadi dua kali lipat dari keuntungan bulan sebelumnya. Jika keuntungan bulan pertama Rp600.000,00, maka keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah $\cdots \cdot$
A. Rp17.000.000,00            
B. Rp19.200.000,00            
C. Rp19.850.000,00
D. Rp20.200.000,00
E. Rp20.450.000,00

Pembahasan

Kasus di atas adalah masalah kontekstual terkait barisan geometri dengan $a = 600.000$ dan $r = 2$. Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $\text{U}_6$.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_6 & = 600.000 \cdot 2^{6-1} \\ & = 600.000 \cdot 2^5 \\ & = 600.000 \cdot 32 = 19.200.000 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah Rp19.200.000,00.
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Pertambahan penduduk setiap tahun suatu desa mengikuti aturan barisan geometri. Pertambahan penduduk pada tahun $2010$ sebesar $24$ orang dan pada tahun $2012$ sebesar $96$ orang. Pertambahan penduduk pada tahun $2015$ adalah $\cdots$ orang.
A. $687$                  C. $766$                   E. $876$
B. $768$                  D. $867$   

Pembahasan

Misalkan pertambahan penduduk pada tahun $2010$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 24$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 24r^2 & = 96 \\ r^2 & = \dfrac{96}{24} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Pertambahan penduduk pada tahun $2015$ adalah $\boxed{\text{U}_6 = ar^5 = 24(2)^5 = 768~\text{orang}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pertambahan pengunjung sebuah hotel mengikuti deret geometri. Pada tahun $2015$ pertambahannya $42$ orang dan pada tahun $2017$ pertambahannya $168$ orang. Pertambahan pengunjung hotel tersebut pada tahun $2020$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.344$ orang             D. $472$ orang
B. $762$ orang                E. $336$ orang
C. $672$ orang

Pembahasan

Misalkan pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2015$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 42$. Dengan demikian, pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2017$ adalah $\text{U}_3 = 168$. Selanjutnya, akan dicari rasio deret geometri tersebut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 42r^2 & = 168 \\ r^2 & = \dfrac{168}{42} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2020$ adalah
$\text{U}_6 = ar^5 = 42(2)^5 = \boxed{1344~\text{orang}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Hasil observasi pada penderita suatu penyakit tertentu, ditemukan bakteri yang menyebabkan luka pada bagian kaki penderita akan semakin melebar. Untuk mencegah pertumbuhan dan sekaligus mengurangi jumlah bakteri hingga sembuh, penderita diberikan obat khusus yang diharapkan dapat mengurangi bakteri sebanyak $20\%$ pada setiap tiga jamnya. Jika pada awal observasi (jam 09.00) terdapat sekitar $6.250$ bakteri dan langsung diberikan obat yang pertama, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul 21.00 adalah $\cdots \cdot$
A. $100$ bakteri                   D. $3.200$ bakteri
B. $2.048$ bakteri                E. $3.680$ bakteri
C. $2.560$ bakteri

Pembahasan

Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyak bakteri pada saat jam 09.00, $\text{U}_2$ saat jam 12.00, sampai $\text{U}_5$ saat jam 21.00.
Karena jumlah bakteri berkurang sebesar $20\%$, maka jumlah bakteri saat jam tertentu dapat ditentukan dengan menggunakan konsep barisan geometri dengan suku pertama $\text{U}_1 = 6.250$ dan $r = 1-20\% = 80\% = \dfrac45$.
Akan dicari $\text{U}_5$.
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 6.250 \times \left(\dfrac45\right)^4 \\ & = (\cancel{5^4} \times 10) \times \dfrac{4^4}{\cancel{5^4}} \\ & = 10 \times 256 = 2.560 \end{aligned}$
Jadi, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul 21.00 adalah $2.560$ bakteri.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

CategoriesBarisan dan DeretTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *