Soal dan Pembahasan – Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

Berikut ini disajikan soal beserta pembahasan mengenai uji konvergensi deret yang dipelajari dalam mata kuliah Analisis Real

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ konvergen.

Penyelesaian

Kita ketahui bahwa pertidaksamaan $0 < \dfrac{1}{n^2+n} < \dfrac{1}{n^2}$ berlaku untuk $n \in \mathbb{N}$. Karena $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ konvergen, maka dengan menggunakan Uji Banding (Comparison Test), kita memperoleh kesimpulan bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ juga konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}$ divergen.

Penyelesaian

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen.
Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k \ln k}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$. Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk$
Untuk mengintegralkannya, substitusikan $u = \ln k$ berarti $du = \dfrac{1}{k}~dk$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \int \dfrac{1}{u}~du = \ln u$
(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai $u$, diperoleh
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \ln(\ln k)$
(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena $k$ sudah didefinisikan positif).
Jadi, jika kita kembalikan pada soal, ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk & = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b} \\ & =  \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) -\ln(\ln 2)\right] \\ & = \infty \end{aligned}$$
(Jika $b$ diperbesar sampai tak hingga, maka $\ln b$ akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, jika ditanya $e$ pangkat berapa hasilnya tak hingga, maka jawabannya adalah tak hingga/besar sekali)
Jadi, deret tersebut terbukti divergen

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

Penyelesaian

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen. Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k^2}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$. Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2}~dk$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

Penyelesaian

Dua soal sebelumnya menunjukkan bahwa dengan uji integral, kita dapat dengan mudah menentukan kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk $\dfrac{n}{2^n}$ akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk menunjukkan kekonvergenannya, akan lebih mudah bila menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{n}{2^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}}$ $ = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$
Jelas bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{2} = L$
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

Penyelesaian

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}$
$ = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2}{n+1}$
Jelas bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ konvergen.

Penyelesaian

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{n!}{n^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
Berarti,
$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!} \\ & = \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} \\ & = \dfrac{n^n}{(n+1)^n} \\ & = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}  \\ & =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} \end{aligned}$
Limit pada bentuk penyebutnya adalah limit barisan euler, yaitu
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Jadi,
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L$
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ konvergen.

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Barisan Euler

Soal Nomor 7
Dengan menggunakan uji rasio, periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen.
a) $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots$
b) $1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} + \cdots$

Penyelesaian

(Jawaban a) Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{n + 1}$, sehingga nilai mutlak rasionya adalah
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n+1}{1} = \dfrac{n+1}{n}$
Dengan demikian,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1 = L$
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya divergen)
(Jawaban b) Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n^2}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{(n + 1)^2}$, sehingga nilai mutlak rasionya adalah
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n^2} \times \dfrac{(n+1)^2}{1} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2}$
Dengan demikian,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 = L$
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya konvergen).
Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika menggunakan uji rasio dan kita memperoleh nilai $L = 1$, maka kita tidak dapat menentukan kekonvergenan deretnya (tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai $L$ sama)

[collapse]

CategoriesAnalisis Real, Barisan dan DeretTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *