Soal dan Pembahasan – Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n} konvergen.

Penyelesaian

Kita ketahui bahwa pertidaksamaan 0 < \dfrac{1}{n^2+n} < \dfrac{1}{n^2} berlaku untuk n \in \mathbb{N}. Karena \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} konvergen, maka dengan menggunakan Uji Banding (Comparison Test), kita memperoleh kesimpulan bahwa \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n} juga konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa deret \displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k} divergen.

Penyelesaian

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen.
Misalkan f(k) = \dfrac{1}{k \ln k} kontinu pada selang [2, \infty). Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk
Untuk mengintegralkannya, substitusikan u = \ln k berarti du = \dfrac{1}{k}~dk
\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \int \dfrac{1}{u}~du = \ln u
(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai u, diperoleh
\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \ln(\ln k)
(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena k sudah didefinisikan positif).
Jadi, jika kita kembalikan pada soal, ditulis
\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b} = \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right] = \infty
(Jika b diperbesar sampai tak hingga, maka \ln b akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, jika ditanya e pangkat berapa hasilnya tak hingga, maka jawabannya adalah tak hingga/besar sekali)
Jadi, deret tersebut terbukti divergen. 

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa deret \displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} konvergen.

Penyelesaian

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen. Misalkan f(k) = \dfrac{1}{k^2} kontinu pada selang [2, \infty). Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2}~dk
= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}
= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}
Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret \displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa deret \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n} konvergen.

Penyelesaian

Dua soal sebelumnya menunjukkan bahwa dengan uji integral, kita dapat dengan mudah menentukan kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk \dfrac{n}{2^n} akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk menunjukkan kekonvergenannya, akan lebih mudah bila menggunakan uji rasio. Misalkan x_n = \dfrac{n}{2^n} dan x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}
Berarti,
\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)
Jelas bahwa
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{2} = L
Karena L < 1, maka menurut Teorema Uji Rasio, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n} konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa deret \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!} konvergen.

Penyelesaian

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan x_n = \dfrac{2^n}{n!} dan x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}
Berarti,
\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}
= \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2}{n+1}
Jelas bahwa
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L
Karena L < 1, maka menurut Teorema Uji Rasio, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!} konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tunjukkan bahwa deret \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n} konvergen.

Penyelesaian

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan x_n = \dfrac{n!}{n^n} dan x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}
Berarti,
\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!}
= \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \dfrac{n^n}{(n+1)^n}
= \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n} =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}
Limit pada bentuk penyebutnya adalah limit barisan euler, yaitu
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e
Jadi,
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L
Karena L < 1, maka menurut Teorema Uji Rasio, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n} konvergen.

[collapse]

Soal Nomor 7
Dengan menggunakan uji rasio, periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen.
a) 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots
b) 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} + \cdots

Penyelesaian

(Jawaban a) Misalkan a_n = \dfrac{1}{n} dan a_{n + 1} = \dfrac{1}{n + 1}, sehingga nilai mutlak rasionya adalah
\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n+1}{1} = \dfrac{n+1}{n}
Dengan demikian,
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1 = L
Karena L = 1 (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya divergen)
(Jawaban b) Misalkan a_n = \dfrac{1}{n^2} dan a_{n + 1} = \dfrac{1}{(n + 1)^2}, sehingga nilai mutlak rasionya adalah
\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n^2} \times \dfrac{(n+1)^2}{1} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2}
Dengan demikian,
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 = L
Karena L = 1 (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya konvergen).
Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika menggunakan uji rasio dan kita memperoleh nilai L = 1, maka kita tidak dapat menentukan kekonvergenan deretnya (tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai L sama)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

2 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *