Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 2 (Deret dan Uji Konvergensinya)

       Berikut ini adalah 4 soal UAS Analisis Real II (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 9 Januari 2018 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si. Materi yang diujikan mengenai deret dan uji konvergensinya. 
Download Soal (Docx/PDF)

Soal Nomor 1
Diketahui barisan X = (x_n) dengan
\x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k
Selidiki apakah barisan di atas konvergen? Tunjukkan.

Penyelesaian

Beberapa suku pertama dari barisan X adalah sebagai berikut.
\displaystyle x_1 = \sum_{k=1}^{1} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3}
\displaystyle x_2 = \sum_{k=1}^{2} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9}
\displaystyle x_3 = \sum_{k=1}^{3} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27}
\cdots
Konvergensi barisan X ditentukan oleh
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k= \sum_{k = 1}^{\infty} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k
Gunakan rumus jumlah parsial deret geometri tak hingga
S_{\infty} = \dfrac{a} {1 - r}
Jadi, diperoleh
2\left(\dfrac{\frac{1}{3}} {1 - \frac{1}{3}}\right)= 1
Berarti, barisan X konvergen ke 1.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah!
a. 2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550
b. \displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)}
c. \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1)

Penyelesaian

Ingat!
\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n = \dfrac{k(k+1)}{2} \\ &  \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{aligned}}
(Jawaban a)
2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550 = 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275)
Ekspresi dalam kurung merupakan deret yang terbentuk dari barisan segitiga dengan rumus u_n = \dfrac{1}{2}(n)(n+1), sehingga dapat ditulis

\begin{aligned} 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275) & = 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{50} \dfrac{1}{2}(n)(n-1)} \\ & =  \sum_{n=1}^{50} (n^2 - n) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} n^2 -  \sum_{n=1}^{50}  n \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6} - \dfrac{(50)(51)}{2} \\ & = 43.925 - 1.275 = 42650 \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} & = 2018 \sum_{n=1}^{2018} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n} \right) \\ & = 2018\left(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \cdots - \dfrac{1}{2019}\right) \\ & = 2018\left(\dfrac{2018}{2019}\right) \end{aligned}

(Jawaban c)
\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1) & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n^2 - 1) \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} n^2 - \sum_{n=1}^{50} 1 \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6} - 50 = 42.875 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan didefinisikan S = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots

a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.
b) Kapan S konvergen? Tentukan nilai limit S jika ada.

Penyelesaian

(Jawaban a) S = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n
(Jawaban b) Dengan menggunakan uji banding (ratio test), yang redaksinya:
“misalkan \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L. Deret akan konvergen apabila L < 1 atau divergen apabila L > 1“. Sekarang, misalkan u_n = \dfrac{1}{n}r^n, sedangkan u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}, sehingga
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}  = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} = r. Jadi, agar konvergen, maka L = r < 1.  Menentukan limitnya sebagai berikut
Ingat bahwa \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}, dan perhatikan bahwa
\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\right) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}
Jadi,
1 + \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n} = 1 + \displaystyle \int \dfrac{dx}{1-x} = 1 - \log (1 - x)
Jadi, S memiliki limit \boxed{1 - \log (1 - x)}

[collapse]

Soal Nomor 4
Selidiki apakah deret berikut konvergen.
a. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2 + n + 1}
b. \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!} 

Penyelesaian

(Jawaban a) Kita akan menggunakan uji banding.
Misalkan x_n =  \dfrac{3}{n^2 + n + 1} dan barisan lain yang konvergen yaitu y_n  = \dfrac{3}{n^2}. Karena pertidaksamaan
0 \leq \dfrac{3}{n^2 + n + 1} \leq \dfrac{3}{n^2}
berlaku untuk semua n \in \mathbb{N} dan juga \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2} konvergen, maka dengan menggunakan uji banding,  \dfrac{3}{n^2 + n + 1} konvergen.
(Jawaban b) Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan x_n = \dfrac{2^n}{n!} dan x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}
Berarti,
\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}
= \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2}{n+1}
Jelas bahwa
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L
Karena L < 1, maka menurut Teorema Uji Rasio, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!} konvergen.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini