Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang soal cerita (aplikasi) mengenai barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Quote by Paul Dirac

God used beautiful mathematics in creating the world. 

Soal Nomor 1
Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan $80$ setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak $10$ setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama $6$ bulan pertama adalah $\cdots$ setel.
A. $530$                C. $625$              E. $840$
B. $620$                D. $630$       

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 80$ dan $b = 10$.
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama $6$ bulan pertama adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630 \end{aligned}$
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama $6$ bulan adalah $\boxed{630~\text{setel}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 2 
Sebuah perusahaan pada bulan pertama memproduksi $8.000$ unit barang dan menaikkan produksinya tiap bulan sebanyak $300$ unit. Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah $\cdots \cdot$
A. $57.000$ unit                   D. $29.400$ unit
B. $53.400$ unit                   E. $28.500$ unit
C. $52.500$ unit  

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 8.000$ dan $b = 300$.
Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester ($6$ bulan) adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 8.000 + (6-1) \cdot 300) \\ & =3(16.000 + 1.500) \\ & = 3(17.500) =52.500\end{aligned}$
Jadi, jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah $\boxed{52.500~\text{unit}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah $\cdots \cdot$
A. Rp2.640.000,00             D. Rp1.320.000,00
B. Rp2.580.000,00             E. Rp1.315.000,00
C. Rp2.040.000,00

Penyelesaian

Karena selisih antarsuku tetap (konstan), maka kasus di atas tergolong masalah kontekstual yang melibatkan barisan aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 50.000$ dan $b = 5.000$.
Akan dicari nilai dari $\text{S}_{24}$ (2 tahun = 24 bulan).
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{24} & = \dfrac{24}{2}(2 \times 50.000 + (24 -1) \times 5.000) \\ & = 12(100.000 + 115.000) \\ & = 12 \times 215.000 = 2.580.000 \end{aligned}$
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp2.580.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 4
Jumlah produksi suatu pabrik pada setiap bulannya membentuk deret aritmetika. Jika banyak produksi pada bulan keempat $17$ ton dan jumlah produksi selama empat bulan pertama $44$ ton, maka banyak produksi pada bulan kelima adalah $\cdots$ ton.
A. $24$                      C. $22$                   E. $20$
B. $23$                      D. $21$           

Penyelesaian

Diketahui $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{S}_4 = 44$. Dengan menggunakan formula jumlah deret aritmetika, yaitu
$\boxed{\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n)}$
diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_4 & = \dfrac{4}{2}(a + \text{U}_4) \\ 44 & = 2(a + 17) \\ \dfrac{44}{2} & = a + 17 \\ 22 & = a + 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari selisih tiap suku yang berdekatan, yaitu $b$.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ 5 + 3b & = 17 \\ 3b & = 12 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, banyak produksi pada bulan kelima adalah
$\boxed{\text{U}_5 = a + 4b = 5 + 4(4) = 21~\text{ton}}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada bulan Januari, Asep mulai menyisihkan uang sakunya untuk disimpan dalam sebuah tabungan. Mula-mula ia menyimpan Rp2.000,00, kemudian Februari Rp2.500,00, Maret Rp3.000,00, dan seterusnya. Jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah $\cdots \cdot$
A. Rp29.500,00            D. Rp57.000,00
B. Rp30.000,00            E. Rp57.500,00
C. Rp48.500,00

Penyelesaian

Jumlah uang yang ditabung tiap bulannya oleh Asep membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 2.000$ dan beda $b = 500$. Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $\text{S}_{12}$ (1 tahun = 12 bulan). 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}(2(2.000) + (12-1) \times 500) \\ & = 6(4.000 + 5.500) \\ & = 6(9.500) = 57.000 \end{aligned}$
Jadi, jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah Rp57.000,00 (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih $4$ kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan itu terdapat $15$ baris kursi dan baris terdepan ada $20$ kursi, kapasitas gedung tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.200$ kursi               D. $600$ kursi
B. $800$ kursi                  E. $300$ kursi
C. $720$ kursi

Penyelesaian

Dari masalah di atas, jumlah kursi pada tiap barisnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 20, b = 4$, dan $n=15$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{15} & = \dfrac{15}{2}(2 \cdot 20 + (15-1) \cdot 4)\\ & = \dfrac{15}{2}(40 + 56) \\ & = \dfrac{15}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{48}{96} \\ & = 15 \cdot 48 = 720 \end{aligned}$
Jadi, kapasitas gedung tersebut adalah $\boxed{720~\text{kursi}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar $1.960$ unit. Tiap tahun produksi turun sebesar $120$ unit sampai tahun ke-$16$. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-$16$ adalah $\cdots$ unit. 
A. $45.760$                   D. $16.000$
B. $45.000$                   E. $9.760$
C. $16.960$

Penyelesaian

Dari masalah di atas, banyak produksi barang jenis A pabrik itu setiap tahunnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 1.960, b = -120$ (negatif karena jumlah produksinya berkurang), dan $n=16$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{\cancelto{8}{16}}{\cancel{2}}(2 \cdot 1.960 + (16 -1) \cdot (-120)) \\ & = 8(3.920 – 1.800) \\ & = 8 \cdot 2.120 = 16.960 \end{aligned}$
Jadi, total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-$16$ adalah $\boxed{16.960~\text{unit}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00, maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-$12$ adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00

Penyelesaian

Dari masalah di atas, jumlah keuntungan yang diperoleh setiap bulannya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 46.000, b = 18.000$, dan $n=12$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} (2 \cdot 46.000 + (12-1) \cdot 18.000) \\ & = 6(92.000 + 198.000) \\ & = 6(290.000) = 1.740.000 \end{aligned}$
Jadi, jumlah keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-$12$ adalah $\boxed{\text{Rp}1.740.000,00}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Sebuah pizza berbentuk lingkaran dengan diameter $20$ cm dipotong menjadi $10$ bagian berbentuk juring. Sudut pusat dari $10$ potongan pizza tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika besar sudut pusat potongan pizza terkecil sama dengan $\dfrac{1}{5}$ dari besar sudut pusat potongan pizza terbesar, maka berapakah luas potongan pizza terbesar?

Penyelesaian

Dari masalah di atas, diketahui
$\text{U}_1 = \dfrac{1}{5}\text{U}_{10} \Leftrightarrow 5\text{U}_1 = \text{U}{10}$
atau dapat ditulis
$5a = a + 9b \Leftrightarrow 20a = 45b~~~~(1)$
Jumlah kesepuluh sudut pusat itu akan menjadi jumlah derajat dalam satu putaran (lingkaran), yaitu $360^{\circ}$, sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots + \text{U}_{10} & = 360^{\circ} \\ a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a+9b) & = 360^{\circ} \\ 10a + (1+2+3+\cdots 9)b & = 360^{\circ} \\ 10a + 45b & = 360^{\circ} && (\cdots 2) \end{aligned}$$
Substitusikan persamaan $(1)$ ke persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 10a + 45b & = 360^{\circ} \\ 10a + 20a & = 360^{\circ} \\ 30a & = 360^{\circ} \\ \text{U}_1 & = a = 12^{\circ} \end{aligned}$
Besar sudut pusat potongan pizza terbesar adalah
$\text{U}_{10} = 5\text{U}_1 = 5(12^{\circ}) = 60^{\circ}$
Luas juring lingkaran dengan sudut pusat $60^{\circ}$ dan berjari-jari $\dfrac{20}{2} = 10~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L & = \dfrac{60^{\circ}} {360^{\circ}} \pi r^2 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 3,14 \cdot 100 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 314 = 52\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, luas potongan pizza terbesar adalah $\boxed{52\dfrac13~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada tahun $2019$, populasi sapi di kota A adalah $1.600$ ekor dan kota B $500$ ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan $25$ ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota A adalah $\cdots \cdot$
A. $2.550$ ekor              D. $2.100$ ekor
B. $2.400$ ekor              E. $1.900$ ekor
C. $2.250$ ekor

Penyelesaian

Banyaknya populasi sapi akan membentuk barisan aritmetika
Kota A: Diketahui $a = 1.600$ dan $b = 25$, sehingga jumlah populasi sapi di kota A pada bulan ke-$n$ terhitung dari Januari 2019 adalah
$\begin{aligned} A_n & = a + (n-1)b \\ & = 1.600 + (n – 1) \cdot 25 \\ & = 1.575 – 25n \end{aligned}$
Kota B: Diketahui $a = 500$ dan $b = 10$, sehingga jumlah populasi sapi di kota B pada bulan ke-$n$ terhitung dari Januari 2019 adalah
$\begin{aligned} B_n & = a + (n-1)b \\ & = 500 + (n-1) \cdot 10 \\ & = 490 + 10n \end{aligned}$
Karena populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, maka diperoleh
$\begin{aligned} A_n & = 3B_n \\ 1.575 + 25n & = 3(490 + 10n) \\ 1.575 + 25n & = 1.470 + 30n \\ 5n & = 105 \\ n & = 21 \end{aligned}$
Ini berarti, $21$ bulan kemudian terhitung dari bulan Januari $2019$, populasi sapi di kota A akan menjadi $3$ kali populasi sapi di kota B. Jumlah populasi sapi di kota A adalah
$A_{21} = 1.600 + (21-1) \cdot 25 = 2.100$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Selama $30$ hari, Sukardi berhasil mengumpulkan telur ayam sebanyak $19.050$ butir. Jika banyak telur ayam yang dapat ia kumpulkan pada setiap harinya membentuk suatu barisan aritmetika, dan pada hari pertama ia hanya mendapatkan $20$ butir telur, maka pada hari terakhir ia mendapatkan telur sebanyak $\cdots$ butir. 
A. $1.210$                        D. $1.240$
B. $1.220$                        E. $1.250$
C. $1.230$

Penyelesaian

Diketahui:
$a = 20, n = 30$, dan $\text{S}_n = 19.050$
Ditanya: $\text{U}_n$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ 19.050 & = \dfrac{30}{2}(20 + \text{U}_n) \\ 19.050 & = 15(20 + \text{U}_n) \\ 20 + \text{U} _n & = \dfrac{19.050}{15} = 1.270 \\ \text{U}_n & = 1.270 -20 = 1.250 \end{aligned}$
Jadi, telur yang ia kumpulkan pada hari terakhir sebanyak $\boxed{1.250~\text{butir}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 12
Ibu membagi uang sebanyak Rp200.000,00 kepada $5$ orang anaknya. Jika selisih uang yang diterima dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp10.000,00 dan si bungsu menerima uang paling sedikit, maka anak ke-$3$ mendapat uang sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp30.000,00            D. Rp45.000,00
B. Rp35.000,00            E. Rp50.000,00
C. Rp40.000,00

Penyelesaian

Berdasarkan keterangan yang diberikan, diketahui bahwa banyaknya uang yang diterima anak membentuk barisan aritmetika dengan beda $b = 10.000$ dan $\text{S}_5 = 200.000$. 
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)\cdot 10.000) \\ 200.000 & = \dfrac{5}{2}(2a + 40.000) \\ 200.000 \cdot \dfrac25 & = 2a + 40.000 \\ 80.000 & = 2a + 40.000 \\ 2a & = 40.000 \\ a & = 20.000 \end{aligned}$
Nilai dari $\text{U}_3$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = a + 2b \\ & = 20.000+2(10.000) = 40.000 \end{aligned}$
Jadi, anak ke-$3$ mendapat uang sebesar Rp40.000,00.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan sketsa gambar berikut!


Aturan main: Dalam kotak tersedia $10$ bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol nomor $10$ untuk mengambil bendera dalam kotak.
Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah $\cdots \cdot$
A. $164$ meter                 D. $1.000$ meter
B. $880$ meter                 E. $1.840$ meter  
C. $920$ meter

Penyelesaian

Kasus ini merupakan kasus barisan aritmetika.
Dari posisi botol nomor $10$, peserta bergerak menuju kotak sejauh $9 \times 8 + 10 = 82~\text{m}$
Dimulai dari posisi kotak:
$\text{U}_1$ adalah jarak kotak ke botol nomor $1$.
$\text{U}_2$ adalah jarak kotak ke botol nomor $2$, dan seterusnya, sehingga
$\text{U}_1 = 10, \text{U}_2 = 18, \text{U}_3 = 26$,
sampai $\text{U}_{10} = 10 + 8 \times 9 = 82$.
Dengan demikian, jumlah jarak tempuh bolak balik (sehingga dikali dua) yang dilakukan peserta adalah
$\begin{aligned} 2 \text{S}_n & = 2 \times \dfrac{n}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 2 \text{S}_{10} & = 10(10 + 82) = 10 \times 92 = 920 \end{aligned}$
Tetapi perhatikan bahwa ketika peserta memegang bendera terakhir dan bergegas menuju botol nomor $10$, ia tidak perlu lagi kembali ke kotak karena ia sudah menyelesaikan permainan. Dengan demikian, total jarak tempuhnya adalah $\boxed{s = 82 + 920 – (8 \times 9 + 10) = 920~\text{m}}$
(Jawaban C)

[collapse]

CategoriesBarisan dan DeretTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *