Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai turunan fungsi trigonometri yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Semoga bermanfaat untuk dijadikan bahan belajar. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 191 KB).
Teorema turunan fungsi trigonometri berikut akan sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan turunan di sini.
Turunan Fungsi Trigonometri
$$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~f(x) = \sin x,~\text{maka}~f'(x) = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~f(x) = \cos x,~\text{maka}~f'(x) = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~f(x) = \tan x,~\text{maka}~f'(x) = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~f(x) = \csc x,~\text{maka}~f'(x) = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~f(x) = \sec x,~\text{maka}~f'(x) = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~f(x) = \cot x,~\text{maka}~f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$$Perhatikan bahwa setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan huruf c pasti memiliki turunan bertanda negatif.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)
Quote by Confucius
Jika berencana untuk sepuluh tahun, tanamlah pohon.
Jika berencana untuk seratus tahun, didiklah generasi penerus.
Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar
Versi Inggris: Problems of Differentiation of Trigonometric Functions with Solutions
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Turunan dari $y = 3 \sin x-\cos x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3 \cos x-\sin x$
B. $3 \cos x+\sin x$
C. $\cos x-\sin x$
D. $\cos x+\sin x$
E. $5 \cos x-\sin x$
Ingat kembali bahwa
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{3 \sin x}-\color{blue}{\cos x} \\ \implies y’ & = \color{red}{3 \cos x}-\color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 3 \cos x + \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = 3 \sin x-\cos x$ adalah $\boxed{3 \cos x+\sin x}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Jika $g(x) = 3x^2-\dfrac{1}{2x^2}+2 \cos x$, maka $g'(x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x$
B. $6x-\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x$
C. $6x-\dfrac{1}{4x}-2 \sin x$
D. $6x+\dfrac{4}{x^3}+2 \sin x$
E. $6x+\dfrac{1}{x^3}+2 \sin x$
Ingat kembali bahwa
$f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x$
Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} g(x) & = 3x^2-\dfrac{1}{2x^2}+2 \cos x \\ & = 3x^2-\dfrac12x^{-2}+2 \cos x \\ g'(x) & = 3(2)x-\dfrac12(-2)x^{-3}+2(-\sin x) \\ & = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{g'(x) = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Jika $h(x) = 2 \sin x + \cos x$ ($x$ dalam satuan radian), maka nilai dari $h’\left(\dfrac12\pi\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$ C. $0$ E. $2$
B. $-1$ D. $1$
Ingat kembali bahwa
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} h(x) & = \color{red}{\sin x} + \color{blue}{\cos x} \\ \implies h'(x) & = 2 \color{red}{\cos x} + \color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 2 \cos x-\sin x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac12\pi$, kita peroleh
$\begin{aligned} h’\left(\dfrac12\pi\right) & = 2 \cos \dfrac12\pi-\sin \dfrac12\pi \\ & = 2(0)-1 = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{h’\left(\dfrac12\pi\right) = -1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Hasil diferensial dari $T(x) = (\sin x + 1)(\sin x-2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin 2x + \cos x$
B. $\sin 2x-\sin x$
C. $\sin 2x-\cos x$
D. $\cos 2x+\cos x$
E. $\cos 2x-\cos x$
Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $T(x) = (\sin x + 1)(\sin x-2).$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin x + 1 \implies u’ = \cos x \\ v & = \sin x-2 \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} T'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (\cos x)(\sin x-2)+(\sin x+1)(\cos x) \\ & = \color{red}{\cos x \sin x}\color{blue}{-2 \cos x} \color{red}{+ \cos x \sin x} \color{blue}{+ \cos x} \\ & = 2 \sin x \cos x-\cos x \\ & = \sin 2x-\cos x \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$
Jadi, hasil diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{T'(x) =\sin 2x-\cos x}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Jika $h(\theta) = \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) \sin \theta$, maka $h'(\theta)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-\sin \theta-\theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
B. $-\sin \theta-\theta \cos \theta -\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
C. $-\sin \theta+\theta \cos \theta -\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
D. $-\sin \theta+\theta \cos \theta +\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
E. $\sin \theta+\theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $h(\theta) = \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) \sin \theta.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \theta + \dfrac{\pi}{2} \implies u’ = 1 \\ v & = \sin \theta \implies v’= \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(\theta) & = u’v+uv’ \\ & = 1(\sin \theta)+\left( \theta + \dfrac{\pi}{2}\right)(\cos \theta) \\ & = \sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{h'(\theta) =\sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 6
Hasil bagi diferensial dari fungsi $g(\theta) = \dfrac{1-\sin \theta}{\sin \theta-3}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{-2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}$
B. $-2 \cos \theta$
C. $-2 \sin \theta$
D. $2 \sin \theta$
E. $\dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}$
Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $g(\theta) = \dfrac{1-\sin \theta}{\sin \theta-3}.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 1-\sin \theta \implies u’ = -\cos \theta \\ v & = \sin \theta-3 \implies v’ = \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\cos \theta)(\sin \theta-3)-(1-\sin \theta)(\cos \theta)}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{\cancel{-\sin \theta \cos \theta} +3 \cos \theta-\cos \theta+\cancel{\sin \theta \cos \theta}}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2} \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar
Soal Nomor 7
Turunan dari $R(t) = \dfrac{\sin t-\cos t}{\cos t + \sin t}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1+\sin 2t$
B. $1-\sin 2t$
C. $1+\cos 2t$
D. $\dfrac{2}{1+\sin 2t}$
E. $\dfrac{-2}{1+\sin 2t}$
Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $R(t) = \dfrac{\sin t-\cos t}{\cos t + \sin t}.$
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = \sin t-\cos t \implies u’ = \cos t+\sin t \\ v & = \cos t+\sin t \implies v’ = -\sin t+\cos t \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} R'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\cos t + \sin t)(\cos t + \sin t)-(\sin t-\cos t)(-\sin t+\cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} \\ & = \dfrac{(\color{red}{\cos^2 t} + \sin t \cos t + \sin t \cos t \color{red}{+ \sin^2 t})-(\color{red}{-\sin^2 t}+\sin t \cos t+\sin t \cos t\color{red}{-\cos^2 t})}{\color{red}{\cos^2 t} + 2 \sin t \cos t + \color{red}{\sin^2 t}} \\ & = \dfrac{1 + \cancel{2 \sin t \cos t}-(-1)-\cancel{2 \sin t \cos t}}{1 + 2 \sin t \cos t} \\ & = \dfrac{2}{1+ \sin 2t} \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\begin{aligned} \sin 2t & = 2 \sin t \cos t \\ \sin^2 t + \cos^2 t & = 1 \end{aligned}}$
Jadi, turunan dari fungsi itu adalah $\boxed{R'(t) = \dfrac{2}{1+ \sin 2t}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Jika $y = \tan x-\cot x$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\rvert_{x = \frac{\pi}{4}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$ C. $1$ E. $4$
B. $\dfrac12$ D. $2$
Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x \\ f(x) & = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{\tan x}-\color{blue}{\cot x} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \color{red}{\sec^2 x}-(\color{blue}{-\csc^2 x}) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4},$ kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\rvert_{x = \frac{\pi}{4}} & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Catatan: $\boxed{\sec \dfrac{\pi}{4} = \csc \dfrac{\pi}{4} = \sqrt2}$
Jadi, turunan pertama dari fungsi $y$ saat $x = \dfrac{\pi}{4}$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)
Soal Nomor 9
Turunan dari $y = \sec t-\csc t$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin^3 t + \cos^3 t$
B. $\sin^3 t-\cos^3 t$
C. $\sin^2 t \cdot \cos^2 t$
D. $\dfrac{1}{(\sin t \cos t)^2}$
E. $\dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2}$
Ingat kembali bahwa:
$$\begin{aligned} f(x) & = \sec t \implies f'(x) = \sec t \tan t \\ f(x) & = \csc t \implies f'(x) = -\csc t \cot t \end{aligned}$$Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{blue}{\sec t}-\color{red}{\csc t} \\ y’ & = \color{blue}{(\sec t \tan t)}-\color{red}{(-\csc t \cot t)} \\ & = \dfrac{1}{\cos t} \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t} + \dfrac{1}{\sin t} \cdot \dfrac{\cos t}{\sin t} \\ & = \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} + \dfrac{\cos t}{\sin^2 t} \\ & = \dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2} \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = \sec t-\csc t$ adalah $\boxed{\dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Jika $y = x^3 \tan x$, maka $y’$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3$
B. $x^3 \tan^2 x + x^2 \tan x + 3x$
C. $x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + 3x$
D. $3x^3 \tan^2 x + x^2 \tan x + x^3$
E. $3x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3$
Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $y = x^3 \tan x.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^3 \implies u’ = 3x^2 \\ v & = \tan x \implies v’ = \sec^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} y’ &= u’v+uv’ \\ & = (3x^2)(\tan x)+(x^3)(\sec^2 x) \\ & = 3x^2 \tan x + (x^3)(\tan^2 x + 1) \\ & = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3 \end{aligned}$
Uretan: $\boxed{\sec^2 x = \tan^2 x + 1}$
Jadi, hasil dari $\boxed{y’ = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 11
Jika $h(x) = x^2 \cot x$, maka $h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\pi}{8}(4+\pi)$ D. $\dfrac{\pi}{4}(8-\pi)$
B. $\dfrac{\pi}{8}(4-\pi)$ E. $\dfrac{\pi}{4}(8+\pi)$
C. $\dfrac{\pi}{8}(\pi-4)$
Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $h(x) = x^2 \cot x.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \cot x \implies v’ = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (2x)(\cot x)+(x^2)(-\csc^2 x) \\ & = 2x \cot x-x^2 \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, diperoleh
$$\begin{aligned} h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot \cot \dfrac{\pi}{4}-\left(\dfrac{\pi}{4}\right)^2 \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot 1-\dfrac{\pi^2}{16} \cdot (\sqrt2)^2 \\ & = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi^2}{8} \\ & = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi) \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi)}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 12
Jika $g(x) = \dfrac{\cos x + 2}{\sin x}$ dengan $\sin x \neq 0,$ maka nilai dari $g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$ C. $0$ E. $2$
B. $-1$ D. $1$
Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $g(x) = \dfrac{\cos x + 2}{\sin x}.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \cos x + 2 \implies u’ = -\sin x \\ v & = \sin x \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x + 2)(\cos x)}{(\sin x)^2} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x -\cos^2 x-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-(\color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x})-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-1-2 \cos x}{\sin^2 x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & = \dfrac{-1-2 \cos \dfrac{\pi}{2}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{-1-2(0)}{(1)^2} \\ & = \dfrac{-1-0}{1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 13
Jika $f(x) = \sin x(2+\cos x)$, maka nilai $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cdots \cdot$
A. $2\sqrt2$ D. $\dfrac12\sqrt2$
B. $2$ E. $\dfrac14\sqrt2$
C. $\sqrt2$
Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $f(x) = \sin x(2+\cos x).$
Misalkan:
$\begin{aligned} u = \sin x & \implies u’ = \cos x \\ v = 2 + \cos x & \implies v’ & = -\sin x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = u’v + uv’ \\ & = (\cos x)(2+\cos x)+(\sin x)(-\sin x) \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos^2 x-\sin^2 x} \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos 2x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, kita peroleh
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \cancel{2}\left(\dfrac{\pi}{\cancelto{2}{4}}\right) \\ & = \cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt2 + 0 = \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 14
Turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2x^3-x^4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y’ = \sin (2x^3-x^4)$
B. $y’ = -\sin (2x^3-x^4)$
C. $y’ = (6x^2-4x^3) \cos (2x^3-x^4)$
D. $y’ = (6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)$
E. $y’ = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)$
Diketahui $y = \cos (2x^3-x^4).$
Gunakan aturan rantai.
Misalkan $u = 2x^3-x^4 \implies u’ = 6x^2-4x^3.$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} y & = \cos u \\ \implies y’ & = -\sin u \cdot u’ \\ & = -\sin (2x^3-x^4) \cdot (6x^2-4x^3) \\ & = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4) \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2x^3-x^4)$ adalah $\boxed{y’ = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 15
Turunan dari $g(\theta) = \cos^3 \theta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\cos \theta \sin \theta$
B. $3 \cos^2 \theta \sin \theta$
C. $-3 \cos^2 \theta \sin \theta$
B. $3 \sin^2 \theta \cos \theta$
E. $\cos^3 \theta \sin \theta$
Diketahui $g(\theta) = \cos^{3} \theta = (\underbrace{\cos \theta}_{u})^3.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \color{red}{3} \cos^2 \theta \cdot \underbrace{(-\sin \theta)}_{u’} \\ & = -3 \cos^2 \theta \sin \theta \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{g'(\theta) = -3 \cos^2 \theta \sin \theta}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 16
Turunan dari $y = \tan (2\theta-3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin^2 (2\theta-3)$
B. $\cos^2 (2\theta-3)$
C. $\sec^2 (2\theta-3)$
D. $2 \sec^2 (2\theta-3)$
E. $3 \sec^2 (2\theta-3)$
Diketahui $y = \tan \underbrace{(2\theta-3)}_{u}.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = \sec^2 (2\theta-3) \cdot \underbrace{2}_{u’} \\ & = 2 \sec^2 (2\theta-3) \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{y’= 2 \sec^2 (2\theta-3)}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 17
Turunan pertama dari $g(x) = \dfrac{\sin 2x-\cos x}{\cos 4x}$ adalah $g'(x)$. Nilai dari $g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cdots \cdot$
A. $4$ C. $\dfrac12\sqrt2$ E. $-1$
B. $2$ D. $-\dfrac12\sqrt2$
Diketahui $g(x) = \dfrac{\sin 2x-\cos x}{\cos 4x}$.
Gunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin 2x-\cos x \\ \implies u’ & = 2 \cos 2x+\sin x \\ v & = \cos 4x \\ \implies v’ & = -4 \sin 4x \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(2 \cos 2x + \sin x)(\cos 4x)-(\sin 2x-\cos x)(-4 \sin 4x)}{(\cos 4x)^2} \\ g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \dfrac{\left(2 \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{4}\right)(\cos \pi)-\left(\sin \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{4}\right)(-4 \sin \pi)}{(\cos \pi)^2} \\ & = \dfrac{\left(2 \cdot 0 + \dfrac12\sqrt2\right)(-1)-\left(1-\dfrac12\sqrt2\right)(-4 \cdot 0)}{(-1)^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac12\sqrt2-0}{1} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 18
Turunan pertama fungsi $h(\theta) = \sec^4 (p\theta+q)$ dengan $p \neq 0$ dan $p, q$ bilangan real positif adalah $\cdots \cdot$
A. $4p \sec (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
B. $4p \tan (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
C. $4p \sec^4 (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
D. $4p \tan^4 (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
E. $4p \sec^3 (p\theta+q) \cdot \tan(p\theta + q)$
Diketahui $\color{red}{h(\theta) = \sec^4 (p\theta+q) = (\underbrace{\sec (p\theta + q)}_{u})^4}.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} h'(\theta) & = 4 \sec^3 (p\theta+q) \cdot \underbrace{\sec (p\theta + q) \tan (p\theta+q) \cdot p}_{u’} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \color{red}{\sec^4 (p\theta+q)} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \cdot \color{red}{h(\theta)} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(\theta) = 4p \tan (p\theta+q) \cdot h(\theta)}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 19
Jika $y = \sin 3x-\cos 3x$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-2$ C. $0$ E. $2$
B. $-1$ D. $1$
Diketahui $y = \sin 3x-\cos 3x$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar beserta aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = 3 \cos 3x-(-3 \sin 3x) \\ & = 3 \cos 3x + 3 \sin 3x \end{aligned}$
Untuk $x = 45^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} & = 3 \cos 3(45^{\circ}) + 3 \sin 3(45^{\circ}) \\ & = 3 \cos 135^{\circ} + 3 \sin 135^{\circ} \\ & = 3 \cdot \left(-\dfrac12\sqrt2\right) + 3 \cdot \dfrac12\sqrt2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} = 0}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 20
Turunan dari $f(x) = x \sin x \cos x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $f'(x) = \dfrac12 \sin 2x + x \cos 2x$
B. $f'(x) = x \sin 2x + x \cos 2x$
C. $f'(x) = x \sin 2x + \dfrac12 \cos 2x$
D. $f'(x) = \dfrac12 \sin 2x-x \cos 2x$
E. $f'(x) = x \sin 2x-\cos 2x$
Diketahui $f(x) = \underbrace{x \sin x}_{u} \underbrace{\cos x}_{v}$.
Gunakan aturan hasil kali dengan $u’ = 1(\sin x) + x(\cos x)$ $= \sin x + x \cos x$ dan $v’ = -\sin x.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = u’v + uv’ \\ & = (\sin x+x \cos x)(\cos x)+(x \sin x)(-\sin x) \\ & = \sin x \cos x + x \cos^2 x-x \sin^2 x \\ & = \dfrac12(2 \sin x \cos x) + x(\cos^2 x-\sin^2 x) \\ & = \dfrac12 \sin 2x + x \cos 2x \end{aligned}$$Catatan: Ingat bahwa $\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$ dan $\boxed{\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x}$
Jadi, turunan dari $f(x)$ adalah $\boxed{f'(x) = \dfrac12 \sin 2x + x \cos 2x}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 21
Diketahui $y = (x \cos x)^2$, maka $y’ = \cdots \cdot$
A. $2x \cos^2 x-2x^2 \sin x \cos x$
B. $2x \cos^2 x+2x^2 \sin x \cos x$
C. $2x \cos x+2x^2 \sin x \cos x$
D. $\cos 2x-2x^2 \sin x \cos x$
E. $\cos^2 x+2x^2 \sin x \cos x$
Diketahui $y = (\underbrace{x \cos x}_{a})^2$.
Pertama, akan dicari turunan dari $a$ menggunakan aturan hasil kali.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x \implies u’ = 1 \\ v & = \cos x \implies v’ = -\sin x \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} a’ & = u’v + uv’ \\ & = 1(\cos x)+x(-\sin x) \\ & = \cos x-x \sin x \end{aligned}$
Sekarang dengan aturan rantai, didapat
$\begin{aligned} y’ & = 2a \cdot a’ \\ & = 2(x \cos x)(\cos x-x \sin x) \\ & = 2x \cos^2 x-2x^2 \sin x \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{y’ = 2x \cos^2 x-2x^2 \sin x \cos x}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 22
Hasil bagi diferensial dari $y = \sin^3 (2x+3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac32(\cos (6x + 9)-\cos (2x+3))$
B. $\dfrac94(\cos (2x+3)-\cos (6x+9))$
C. $\dfrac34(\cos (2x+3)-\cos (6x+9))$
D. $\dfrac34(\cos (6x + 9)-\cos (2x+3))$
E. $\dfrac32(\cos (6x + 9)-\cos (2x+3))$
Diketahui $y = \sin^3 (2x+3) = (\underbrace{\sin (2x+3)}_{u})^3$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = 3 \sin^2 (2x+3) \cdot \underbrace{(2 \cos (2x + 3))}_{u’} \\ & = 6 \sin (2x+3) \sin (2x+3) \cos (2x+3) \\ & = \cancelto{3}{6} \sin (2x+3) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \sin 2(2x+3) && (\sin A \cos A = \dfrac12 \sin 2A) \\ & = 3 \sin (2x+3) \sin (4x+6) \\ & = -\dfrac32\left[\cos ((2x+3)+(4x+6))-\cos ((2x+3)-(4x+6))\right] && (\sin A \sin B = -\dfrac12[\cos (A+B)-\cos(A-B)]) \\ & = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (-2x-3)) \\ & = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (2x+3)) \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial dari $y$ adalah $$\boxed{y’ = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (2x+3))}$$(Jawaban A)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Soal Nomor 23
Diketahui $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$, maka $y’ = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{\sin x + \cos x}{1+\sin^2 x}$
B. $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$
C. $\dfrac{\sin x-\cos x}{1+\sin^2 x}$
D. $\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$
E. $\dfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$
Diketahui $y = \sqrt{1+\sin^2 x} = (1+\sin^2 x)^{\frac12}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = \dfrac12(1+\sin^2 x)^{-\frac12} \cdot D_x(1+\sin^2 x) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}}(1+\sin^2 x)^{-\frac12} \cdot (\cancel{2} \sin x) D_x(\sin x) \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-\frac12} \sin x \cos x \\ & = \dfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama $y$ adalah $\boxed{y’ = \dfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 24
Suatu mesin diprogram untuk menggerakkan sebuah alat penggores sedemikian hingga posisi alat tersebut dinyatakan dengan $x = 3 \cos 4t$ dan $y=2t$ (posisi dalam satuan cm dan $t$ dalam detik). Kecepatan alat penggores pada saat $t$ detik dinyatakan oleh $v = \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2}$ dalam satuan cm/detik. Besar kecepatan gerak alat tersebut pada saat $t = \dfrac{\pi}{2}$ adalah $\cdots$ cm/detik.
A. $2$ C. $6\sqrt5$ E. $12$
B. $\sqrt{13}$ D. $6\sqrt6$
Karena $x = 3 \cos 4t$, maka turunan pertama $x$ terhadap $t$ dinyatakan oleh $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = 3(-4 \sin 4t) = -12 \sin 4t.$
Karena $y = 2t$, maka turunan pertama $y$ terhadap $t$ dinyatakan oleh $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} = 2.$
Dengan demikian, kecepatan alat penggores dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} v(t) & = \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2} \\ & = \sqrt{(-12 \sin 4t)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{144 \sin^2 4t + 4} \end{aligned}$
Untuk $t = \dfrac{\pi}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} v\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & = \sqrt{144 \sin^2 2\pi + 4} \\ & = \sqrt{144(0)+4} = 2 \end{aligned}$
Jadi, kecepatan alat penggores itu saat $t = \dfrac{\pi}{2}$ adalah $\boxed{2~\text{cm/detik}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 25
Nilai minimum dari $y = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ dengan $0 < x < \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ C. $12$ E. $14$
B. $10$ D. $13$
Pertama, kita akan mencari turunan pertama $y$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misal:
$\begin{aligned} u & = 9x^2 \sin^2 x + 4 \\ \Rightarrow u’ & = 18x \sin^2 x + 18x^2 \sin x \cos x \\ v & = x \sin x \Rightarrow v’ = \sin x + x \cos x \end{aligned}$
Turunan pertama dari $y$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(18x \sin^2 + 18x^2 \sin x \cos x)(x \sin x)-(9x^2 \sin^2 x + 4)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} \end{aligned}$$Agar diperoleh nilai maksimum, nilai turunan pertamanya harus bernilai $0$, artinya
$$\begin{aligned} 0 & = 18x \sin^2 + 18x^2 \sin x \cos x)(x \sin x)-(9x^2 \sin^2 x + 4)(\sin x + x \cos x) \\ 0 & = \cancel{(\sin x + x \cos x)}(18x^2 \sin^2 x)-((9x^2 \sin^2 x + 4)\cancel{(\sin x + x \cos x)} \\ 9x^2 \sin^2 x + 4 & = 18x^2 \sin^2 x \\ 9x^2 \sin^2 x & = 4 \\ x^2 \sin^2 x & = \dfrac49 \\ \Rightarrow x \sin x & = \dfrac23 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\sin x$ bernilai positif di kuadran pertama dan kedua (pada interval $0 < x < \pi$) sehingga $x \sin x$ positif.
Selanjutnya, nilai $y$ akan maksimum saat $x \sin x = \dfrac23$.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ y_{\text{maks}} & = \dfrac{9\left(\dfrac23\right)^2 + 4}{\dfrac23} = \dfrac{4+4}{\dfrac23} = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum $y$ adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 26
Jika $y = \sin(\sin(\sin(\cdots \sin(\sin x))\cdots))$, maka nilai $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di $x=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\infty$ C. $0$ E. $\infty$
B. $-1$ D. $1$
Tinjau persamaan $y_1 = \sin x$.
Turunan pertamanya adalah $y_1′ = \cos x.$
Sekarang, tinjau persamaan $y_2 = \sin (\underbrace{\sin x}_{u}).$
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai, yaitu $y_2’= \underbrace{\cos x}_{u’} \cos (\sin x).$
Selanjutnya, tinjau persamaan $y_3 = \sin(\underbrace{\sin(\sin x))}_{u}).$
Turunan pertamanya juga dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai, yaitu
$y_3’= \underbrace{\cos x \cos (\sin x)}_{u’} \cos(\sin(\sin x)))$
Dengan memperhatikan pola turunannya, kita dapat mendeduksi (menyimpulkan) bahwa dari turunan pertama $y = \sin(\sin(\sin(\cdots \sin(\sin x))\cdots))$ memuat ekspresi $\color{red}{\cos x}$, $\color{red}{\cos(\sin x)}$, $\cdots,$ dan $\color{red}{\cos(\sin(\sin(\cdots \sin(\sin x))\cdots))}$.
Perhatikan bahwa $\sin 0 = 0$ dan $\cos 0 = 1$.
Substitusi $x = 0$ mengakibatkan diperolehnya
$y’_{x = 0} = \cos 0 \cdot \cos 0 \cdots \cos 0 = 1.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 27
Apabila $f(x) = \dfrac{\sec x + \csc x}{\csc x \sec x}$, maka nilai dari $f^{(2019)}(x)$ (turunan ke-$2019$) adalah $\cdots \cdots$
A. $\sin x + \cos x$
B. $\cos x-\sin x$
C. $\sec x+\csc x$
D. $-\sin x-\cos x$
E. $-\cos x+\sin x$
Sederhanakan $f(x)$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{\sec x + \csc x}{\csc x \sec x} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x \cos x}} \\ & = \dfrac{\sin x \bcancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}} + \dfrac{\cancel{\sin x} \cos x}{\cancel{\sin x}} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$
Perhatikan pola turunannya.
$\begin{aligned} f'(x) & = \cos x-\sin x \\ f^{\prime \prime}(x) & = -\sin x-\cos x \\ f^{\prime \prime \prime}(x) & = -\cos x+\sin x \\ f^{(4)}(x) & = \sin x+\cos x \end{aligned}$
Ternyata turunan keempat fungsi $f(x)$ sama dengan $f(x)$ itu sendiri.
Ini artinya, setiap turunan ke-$4n$ untuk $n$ bilangan asli, hasilnya sama dengan $f(x) = \sin x + \cos x$, begitu juga berlaku prinsip yang sama untuk turunan ke-$4n+1$, turunan ke-$4n+2$, dan turunan ke-$4n+3$.
Karena $2019$ bersisa $3$ bila dibagi $4$, maka turunan ke-$2019$ fungsi $f$ sama dengan turunan ketiganya, yaitu $$\boxed{f^{(2019})(x) = f^{\prime \prime \prime}(x) = -\cos x+\sin x}$$(Jawaban E)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Carilah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ untuk setiap fungsi berikut ini.
a. $y = 2x + \sin x$
b. $y = 5 \sin x-6 \cos x$
c. $y = 8x^3-\sin x +6$
d. $y = 6 \cos x-8(x^2+x)$
e. $y = 2 \sin x + \tan x$
f. $y = x^2 + \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4}$
Jawaban a)
Diketahui $y = 2x + \sin x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(2x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) \\ & = 2 + \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 + \cos x}$
Jawaban b)
Diketahui $y = 5 \sin x-6 \cos x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 5 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)-6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) \\ & = 5 \cos x-6(-\sin x) \\ & = 5 \cos x + 6 \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 5 \cos x + 6 \sin x}$
Jawaban c)
Diketahui $y = 8x^3-\sin x + 6$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 8 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^3)- \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (6) \\ & = 8(3x^2)-\cos x+0 \\ & = 24x^2-\cos x \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 24x^2-\cos x}$
Jawaban d)
Diketahui $y = 6 \cos x-8(x^2+x)$.
Persamaan di atas ekuivalen dengan $y = 6 \cos x-8x^2-8x$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x) \\ & = 6(-\sin x)-8(2x)-8(1) \\ & = -6 \sin x-16x-8 \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -6 \sin x-16x-8}$
Jawaban e)
Diketahui $y = 2 \sin x + \tan x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x) \\ & = 2(\cos x)+\sec^2 x \\ & = 2 \cos x + \sec^2 x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 \cos x + \sec^2 x}$
Jawaban f)
Diketahui $y = x^2 + \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4}$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = 2x + (-\sin x) + 0 \\ & = 2x-\sin x \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x-\sin x}$
Soal Nomor 2
Hitunglah $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ untuk setiap fungsi di bawah ini.
a. $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t-\tan \dfrac{\pi}{3}$
b. $f(\theta) = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta$
c. $f(t) = \sin^2 t + \cos^2 t$
d. $f(\alpha) = \csc \alpha + \sec \alpha$
e. $f(x) = \tan x-\cot x$
Turunkan fungsi dulu, lalu substitusikan nilai variabelnya menjadi $\dfrac{\pi}{4}$.
Jawaban a)
Diketahui $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t-\tan \dfrac{\pi}{3}$.
$$\begin{aligned} f'(t) & = 2 (\sec t \tan t) + 3 (\sec^2 t)-0 \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \sec \dfrac{\pi}{4} \cdot \tan \dfrac{\pi}{4} + 3 \sec^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \sqrt2 \cdot 1 + 3 (\sqrt2)^2 \\ & = 2\sqrt2 + 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt2+6}$
Jawaban b)
Diketahui $f(\theta) = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta$.
$\begin{aligned} f'(\theta) & = 2 \cos \theta + 3(-\sin \theta) \\ & = 2 \cos \theta-3 \sin \theta \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4}-3 \sin \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \dfrac12\sqrt2-3 \cdot \dfrac12\sqrt2 \\ & = \sqrt2-\dfrac32\sqrt2 = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
Jawaban c)
Diketahui $f(t) = \sin^2 t + \cos^2 t$.
Ingat bahwa $f(t) = 1$ karena $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (Identitas Pythagoras). Dengan kata lain, fungsi $f$ merupakan fungsi konstan.
Ini artinya, $f'(t) = 0$ karena turunan fungsi konstan selalu $0$.
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban d)
Diketahui $f(\alpha) = \csc \alpha + \sec \alpha$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$$f'(\alpha) = (-\csc \alpha \cot \alpha) + (\sec \alpha \tan \alpha)$$Substitusi $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \left(-\csc \dfrac{\pi}{4} \cot \dfrac{\pi}{4}\right) + \left(\sec \dfrac{\pi}{4} \tan \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = (-\sqrt2 \cdot 1) + (\sqrt2 \cdot 1) \\ & = -\sqrt2 + \sqrt2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban e)
Diketahui $f(x) = \tan x-\cot x$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \sec^2 x-(-\csc^2 x) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2 + (\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan
Soal Nomor 3
Jika $h(x) = x \cdot g(x)$ dengan $g(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ dan $(c \sin x + d \sin x) \neq 0$, tunjukkan bahwa $x \cdot h'(x) = h(x) + x^2g'(x).$
Diketahui $h(x) = x \cdot g(x)$.
Dengan menggunakan aturan hasil kali turunan, diperoleh
$h'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$.
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} x \cdot h'(x) & = x(g(x) + x \cdot g'(x)) \\ & = x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) \\ & = h(x) + x^2 \cdot g'(x) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{x \cdot h'(x) = h(x) + x^2g'(x)}$
Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa turunan pertama dari fungsi $f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ adalah $f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}.$
Diketahui $f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, kita misalkan:
$$\begin{aligned} & u = a \sin x + b \cos x \implies u’ = a \cos x-b \sin x \\ & v = c \sin x + d \cos x \implies v’ = c \cos x-d \sin x \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(a \cos x-b \sin x) (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa untuk membuktikan pernyataan di atas, kita hanya perlu meninjau bagian pembilangnya saja, karena penyebutnya sudah sama.
Kita tuliskan pembilang $f'(x)$ sebagai
$$\begin{aligned} g'(x) & = (a \cos x-b \sin x) \cdot (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x) \\ & = \cancel{ac \sin x \cos x} + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}-(\cancel{ac \sin x \cos x}-ad \sin^2 x + bc \cos^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}) \\ & = ad \sin^2 x + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-bc \cos^2 x \\ & = ad(\sin^2 x + \cos^2 x)-bc(\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = ad(1)-bc(1) = ad-bc \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa turunan pertama fungsi $f$ tersebut adalah $\boxed{f'(x)= \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}}$
Soal Nomor 5
Dengan menggunakan formula:
$f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$
yang mempunyai turunan:
$f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}$,
carilah turunan setiap fungsi trigonometri berikut.
a. $g(\theta) = \dfrac{\sin \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$
b. $h(t) = \dfrac{2 \sin t-\cos t}{3 \sin t + \cos t}$
c. $p(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha}$
d. $k(x) = \dfrac{4 \cos x-2 \sin x}{5 \cos x + 3 \sin x}$
Jawaban a)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$g(\theta) = \dfrac{1 \sin \theta + 0 \cos \theta}{1 \sin \theta + 1 \cos \theta}$
Kita peroleh $a = c = d = 1$, sedangkan $b = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \theta + d \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1(1)-0(1)}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(t) = \dfrac{2 \sin t-\cos t}{3 \sin t + \cos t}.$
Fungsi $h$ telah dirumuskan dalam bentuk umum formula, dengan $a = 2,$ $b= -1$, $c = 3$, dan $d = 1$.
Turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} h'(t) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin t + d \cos t)^2} \\ & = \dfrac{2(1)-(-1)(3)}{(3 \sin t + \cos t)^2} \\ & = \dfrac{5}{(3 \sin t + \cos t)^2} \end{aligned}$
Jawaban c)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$p(\alpha) = \dfrac{1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha}.$
Kita peroleh $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, dan $d = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} p'(\alpha) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \alpha + d \cos \alpha)^2} \\ & = \dfrac{1(0)-(2)(3)}{(3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha)^2} \\ & = -\dfrac{6}{9 \sin^2 \alpha} = -\dfrac{2}{3 \sin^2 \alpha} \end{aligned}$
Jawaban d)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$k(x) = \dfrac{-2 \sin x + 4 \cos x}{3 \sin x + 5 \cos x}.$
Kita peroleh $a = -2$, $b = 4$, $c = 3$, dan $d = 5$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} k'(x) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2} \\ & = \dfrac{(-2)(5)-(4)(3)}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \\ & = -\dfrac{22}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \end{aligned}$
Soal Nomor 6
Diberikan fungsi-fungsi $f(\theta) = \sin \theta$ dan $g(\theta) = \cos \theta$.
Tunjukkan bahwa:
- $f'(\theta) \cdot g(\theta)-f(\theta) \cdot g'(\theta) = 1$
- $f'(\theta) \cdot g(\theta)+f(\theta) \cdot g'(\theta)$ $= 2 \cos^2 \theta-1$
Diketahui:
$f(\theta) = \sin \theta \implies f'(\theta) = \cos \theta$
$g(\theta) = \cos \theta \implies g'(\theta) = -\sin \theta$
Jawaban a)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)-f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)-\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \end{aligned}$
(Terbukti)
Jawaban b)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)+f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)+\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta- \sin^2 \theta \\ & = \cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta) \\ & = 2 \cos^2 \theta-1 \end{aligned}$
(Terbukti)
Soal Nomor 7
Jika $f(x) = \dfrac{x \sin x}{\sin x + \cos x}$ dengan $(\sin x + \cos x) \neq 0,$ buktikan bahwa $f'(x)(1+ \sin 2x) = x$ $+ \sin x(\sin x + \cos x).$
Diketahui $f(x) = \dfrac{x \sin x}{\sin x + \cos x}.$
Akan dicari turunan pertama dari $f(x)$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = x \sin x \implies u’ = \sin x + x \cos x \\ v & = \sin x + \cos x \implies v’ = \cos x-\sin x \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\sin x + x \cos x)(\sin x + \cos x)-(x \sin x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x +\cancel{ x \sin x \cos x} + x \cos^2 x- \cancel{x \sin x \cos x} + x \sin^2 x}{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x + x(\sin^2 x + \cos^2 x)}{1 + \sin 2x} \\ & = \dfrac{\sin x(\sin x + \cos x) + x(1)}{1+\sin 2x} \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{1+\sin 2x} \end{aligned}$$Selanjutnya, didapat
$$\begin{aligned} & f'(x)(1+\sin 2x) \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{\cancel{1+\sin 2x}} \cdot \cancel{(1+\sin 2x)} \\ & = x + \sin x(\sin x + \cos x) \end{aligned}$$(Terbukti)
Soal Nomor 8
Carilah turunan pertama dari fungsi pecahan trigonometri berikut ini.
$f(t) = \dfrac{2t \sin t + 3 \cos t}{\sin t + 3t \cos t}$
Gunakan aturan hasil bagi turunan.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 2t \sin t + 3 \cos t \\ u’ & = (2 \sin t + 2t \cos t)-3 \sin t \\ & = -\sin t + 2t \cos t \\ v & = \sin t + 3t \cos t \\ v’ & = \cos t + (3 \cos t -3t \sin t) \\ & = 4 \cos t-3t \sin t \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin t + 2t \cos t)(\sin t + 3t \cos t)-(2t \sin t + 3 \cos t)(4 \cos t-3t \sin t)}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{\color{red}{-\sin^2 t} -3t \sin t \cos t + 2t \sin t \cos t + \color{blue}{6t^2 \cos^2 t} + 3 \sin t \cos t + 9t \cos^2 t-8t \sin t \cos t+\color{red}{6t^2 \sin^2 t}\color{blue}{-12 \cos^2 t}+9t \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t + (-3t+2t-8t+9t) \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari fungsi itu adalah $$\boxed{f'(t) = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2}}$$
Soal Nomor 9
Diberikan $f(x) = \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x + \sin x}$ dengan $(\cos x + \sin x) \neq 0$. Buktikan bahwa $f'(x) = -1(1 + f^2(x)).$
Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$
Diketahui $f(x) = \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x + \sin x}$.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = \color{red}{\cos x} \color{blue}{-\sin x} \\ u’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{-\cos x} = -(\cos x + \sin x) \\ v & = \color{red}{\cos x}\color{blue}{+\sin x} \\ v’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{+\cos x} = \cos x-\sin x \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{-(\cos x + \sin x)(\cos x + \sin x)-(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2} + \dfrac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(1+\left(\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)^2\right) \\ f'(x) & = -1(1 + f^2(x)) \end{aligned}$$(Terbukti)
Soal Nomor 10
Carilah turunan dari fungsi trigonometri berikut ini.
$h(y) = y^3-y^2 \cos y + 2y \sin y + 2 \cos y$
Diketahui $$h(y) = y^3-\color{red}{y^2 \cos y} + \color{blue}{2y \sin y} + 2 \cos y.$$Bentuk yang diberi warna di atas merupakan hasil kali dua fungsi sehingga turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil kali: $f(x) = uv \implies f'(x) = u’v + uv’$.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} h'(y) & = 3y^2-(2y \cos y + y^2 (-\sin y)) + 2(\sin y + y \cos y) + 2 (-\sin y) \\ & = 3y^2-\cancel{2y \cos y}+y^2 \sin y + \bcancel{2 \sin y} + \cancel{2y \cos y}-\bcancel{2 \sin y} \\ & = 3y^2+y^2 \sin y \end{aligned}$$Jadi, turunan dari fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(y) = 3y^2 + y^2 \sin y}$
Soal Nomor 11
Carilah turunan pertama setiap fungsi trigonometri berikut.
a. $f(x) = \cos^7 (x^3)$
b. $g(x) = \cot (2x^4)$
c. $r(x) = (\sin 3x-9 \cos^3 x)^6$
Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(x) = \cos^7 (x^3) = (\underbrace{\cos (x^3)}_{u})^7$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = 7 (\cos^6 (x^3)) \cdot \underbrace{(-\sin (x^3)) \cdot 3x^2}_{u’} \\ & = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3) \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f'(x) = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3)}$
Jawaban b)
Diketahui $g(x) = \cot (\underbrace{2x^4}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} g'(x) & = -\csc^2 (2x^4) \cdot \underbrace{8x^3}_{u’} \\ & = -8x^3 \csc^2 (2x^4) \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama fungsi $g(x)$ adalah $\boxed{g'(x) = -8x^3 \csc^2 (2x^4)}$
Jawaban c)
Diketahui $r(x) = (\underbrace{\sin 3x-9 \cos^3 x}_{u})^6$.
Kita peroleh
$r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot$ $\underbrace{(3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}_{u’}$
Catatan: Turunan dari $v = \cos^3 x$ adalah $v’ = 3 \cos^2 x (-\sin x)$.
Jadi, turunan pertama dari fungsi $r(x)$ adalah $$\boxed{r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot (3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}$$
Soal Nomor 12
Carilah turunan pertama setiap fungsi berikut.
a. $f(\theta) = \sin (\sin \theta)$
b. $h(x) = \sin (2 \cos x)$
c. $H(x) = \sin [\sin (\sin x)]$
Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(\theta) = \sin (\underbrace{\sin \theta}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(\theta) & = \cos (\sin \theta) \cdot \underbrace{\cos \theta}_{u’} \\ & = \cos \theta \cos (\sin \theta) \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(x) = \sin (\underbrace{2 \cos x}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = \cos (2 \cos x) \cdot \underbrace{-2 \sin x}_{u’} \\ & = -2 \sin x \cos (2 \cos x) \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $H(x) = \sin [\underbrace{\sin (\underbrace{\sin x}_{v})}_{u}]$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} H'(x) & = \cos [\sin (\sin x)] \cdot \underbrace{\cos (\sin x)}_{u’} \cdot \underbrace{\cos x}_{v’} \\ & = \cos x \cos (\sin x) \cos [\sin (\sin x)] \end{aligned}$$
Soal Nomor 13
Dengan menggunakan aturan rantai, tentukan turunan pertama setiap fungsi berikut ini.
a. $y = \sin (4x^2+3x)$
b. $y = (1+\sin^2 x)(1-\sin^2 x)$
c. $y = \left(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)^3$
d. $y = \dfrac{(1+\sin x)^2}{x^3}$
e. $y = (x^2-1)^3 \cos (3x+2)$
f. $y = \dfrac{1}{\sqrt{\cos x^2}}$
Jawaban a)
Diketahui $y = \sin (\underbrace{4x^2+3x}_{u})$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertamanya:
$y’ = \underbrace{(8x + 3)}_{u’} \cos (4x^2+3x)$
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{aligned} y & = (1+\sin^2 x)(1-\sin^2 x) \\ & = 1-\sin^4 x = 1-(\underbrace{\sin x}_{u})^4 \end{aligned}$
Turunan pertamanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y’ & = 0-4 \sin^3 x \cdot \underbrace{\cos x}_{u} \\ & = -4 \sin^3 x \cos x \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $y = \left(\underbrace{\dfrac{\cos x}{1+\sin x}}_{u}\right)^3$.
Turunan dari $u$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi, sedangkan fungsi $y$ secara keseluruhan diturunkan menggunakan aturan rantai.
$$\begin{aligned} y’ & = 3 \cdot \dfrac{\cos x}{1+\sin x} \cdot \dfrac{(-\sin x)(1+\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x)}{(1+\sin x)^3} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-1)}{(1+\sin x)^3} && (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) \\ & = \dfrac{-3 \cos x\cancel{(1 + \sin x)}}{(1+\sin x)^{\cancelto{2}{3}}} \\ & = \dfrac{-3 \cos x}{(1+\sin x)^2} \end{aligned}$$Jawaban d)
Diketahui $y = \dfrac{(1+\sin x)^2}{x^3}$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil bagi untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai dan aturan hasil kali.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = (1+\sin x)^2 \\ \implies u’ & = 2(1+\sin x)(\cos x) \\ v & = x^3 \\ \implies v’ & = 3x^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{2(1+\sin x)(\cos x)(x^3)-(1+\sin x)^2(3x^2)}{(x^3)^2} \\ & = \dfrac{2x^3(1+\sin x)(\cos x)-3x^2(1+\sin x)^2}{x^6} \end{aligned}$$Jawaban e)
Diketahui $y = (x^2-1)^3 \cos (3x+2)$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = (x^2-1)^3 \\ \implies u’ & = 3(x^2-1)^2(2x) = 6x(x^2-1)^2 \\ v & = \cos (3x+2) \\ \implies v’ & = -3 \sin (3x+2) \end{aligned}$$Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = u’v + uv’ \\ & = 6x(x^2-1)^2 \cos (3x+2) + (x^2-1)^3(-3 \sin (3x+2)) \\ & = (x^2-1)^2(6x \cos (3x+2)-3(x^2-1) \sin (3x+2)) \end{aligned}$$Jawaban f)
Diketahui:
$y = \dfrac{1}{\sqrt{\cos x^2}} = (\underbrace{\cos x^2}_{u})^{-\frac12}.$
Dengan menggunakan aturan pangkat beserta aturan rantai (untuk menurunkan $u$), diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = -\dfrac{1}{\cancel{2}}(\cos x^2)^{-\frac32} \cdot \underbrace{(-\sin x^2 \cdot \cancel{2}x)}_{u’} \\ & = \dfrac{x \sin x^2}{\cos x^2 \cdot \sqrt{\cos x}} \end{aligned}$$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit
Soal Nomor 14
Jika $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \dfrac{\sin x}{x}$ dan $u(x) = \cot x$, tentukanlah $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}u}$.
Diketahui $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \dfrac{\sin x}{x}$.
Karena $u(x) = \cot x$, maka kita dapat nyatakan $x$ sebagai suatu fungsi bagi $u$, yaitu dengan cara invers: $x = \text{arccot}~u$.
Catatan: Arcus (ditulis $\text{arc}$) merupakan notasi untuk menyatakan fungsi invers dari trigonometri.
Turunan $x$ terhadap $u$ adalah $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} = -\dfrac{1}{1+x^2}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}u} & = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} \cdot \dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} \\ & = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{1+x^2}\right) \\ & = -\dfrac{\sin x}{x + x^3} \end{aligned}$
salaam pak, ijin belajar dan mengambil manfaat dari webnya bapak ya, terima kasih! Biar ilmunya barokah! Terima kasih dari pak Anto di Jatim
Terima kasih kembali, Pak. Sukses yaaa
Pak itu yang nomor 4 essay kok ada sinx nya ya??
Maaf maksudnya nomor 4 pilhan ganda pak 🙏, itu kenapa ada sin x nya ya pak?
Di bagian mana ya yg dimaksud, kalau boleh tau?
Trm ksh sekali pak, sangat bermanfaat.
Semoga menjadi amal Sholeh.
Saya do’a kan semoga Allah menjadikan
Umurmu berkah
Ilmumu bermanfaat
Allah mudahkan segala urusan dan rezeki mu. Aamiin
Terima kasih kembali, Pak. Sukses selalu. Semoga bermanfaat 🙂