Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai turunan fungsi trigonometri yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Semoga bermanfaat untuk dijadikan bahan belajar. Teorema turunan fungsi trigonometri berikut akan sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan turunan di sini.

Turunan Fungsi Trigonometri

Misalkan $f(x)$ menyatakan suatu fungsi dan $f'(x)$ menyatakan turunan pertamanya.
$$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~f(x) = \sin x,~\text{maka}~f'(x) = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~f(x) = \cos x,~\text{maka}~f'(x) = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~f(x) = \tan x,~\text{maka}~f'(x) = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~f(x) = \csc x,~\text{maka}~f'(x) = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~f(x) = \sec x,~\text{maka}~f'(x) = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~f(x) = \cot x,~\text{maka}~f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$$Perhatikan bahwa setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan huruf c pasti memiliki turunan bertanda negatif.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

Quote by Confucius

Jika berencana untuk satu tahun, tanamlah padi.
Jika berencana untuk sepuluh tahun, tanamlah pohon.
Jika berencana untuk seratus tahun, didiklah generasi penerus.

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Turunan dari $y = 3 \sin x-\cos x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3 \cos x-\sin x$
B. $3 \cos x+\sin x$
C. $\cos x-\sin x$
D. $\cos x+\sin x$
E. $5 \cos x-\sin x$

Pembahasan

Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{3 \sin x}-\color{blue}{\cos x} \\ \implies y’ & = \color{red}{3 \cos x}-\color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 3 \cos x + \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = 3 \sin x-\cos x$ adalah $\boxed{3 \cos x+\sin x}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $g(x) = 3x^2-\dfrac{1}{2x^2}+2 \cos x$, maka $g'(x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x$
B. $6x-\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x$
C. $6x-\dfrac{1}{4x}-2 \sin x$
D. $6x+\dfrac{4}{x^3}+2 \sin x$
E. $6x+\dfrac{1}{x^3}+2 \sin x$

Pembahasan

Ingat kembali bahwa:
$f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x$
Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
$\begin{aligned} g(x) & = 3x^2-\dfrac{1}{2x^2}+2 \cos x \\ & = 3x^2-\dfrac12x^{-2}+2 \cos x \\ g'(x) & = 3(2)x-\dfrac12(-2)x^{-3}+2(-\sin x) \\ & = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{g'(x) = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $h(x) = 2 \sin x + \cos x$ ($x$ dalam satuan radian), maka nilai dari $h’\left(\dfrac12\pi\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                     C. $0$                  E. $2$
B. $-1$                     D. $1$

Pembahasan

Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} h(x) & = \color{red}{\sin x} + \color{blue}{\cos x} \\ \implies h'(x) & = 2 \color{red}{\cos x} + \color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 2 \cos x-\sin x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac12\pi$, kita peroleh
$\begin{aligned} h’\left(\dfrac12\pi\right) & = 2 \cos \dfrac12\pi-\sin \dfrac12\pi \\ & = 2(0)-1 = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{h’\left(\dfrac12\pi\right) = -1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Hasil diferensial dari $T(x) = (\sin x + 1)(\sin x-2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin 2x + \cos x$
B. $\sin 2x-\sin x$
C. $\sin 2x-\cos x$
D. $\cos 2x+\cos x$
E. $\cos 2x-\cos x$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’$
Diketahui $T(x) = (\sin x + 1)(\sin x-2)$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin x + 1 \implies u’ = \cos x \\ v & = \sin x-2 \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} T'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (\cos x)(\sin x-2)+(\sin x+1)(\cos x) \\ & = \color{red}{\cos x \sin x}\color{blue}{-2 \cos x} \color{red}{+ \cos x \sin x} \color{blue}{+ \cos x} \\ & = 2 \sin x \cos x-\cos x \\ & = \sin 2x-\cos x \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$
Jadi, hasil diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{T'(x) =\sin 2x-\cos x}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $h(\theta) = \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) \sin \theta$, maka $h'(\theta)$ sama dengan
$\cdots \cdot$
A. $-\sin \theta-\theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
B. $-\sin \theta-\theta \cos \theta -\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
C. $-\sin \theta+\theta \cos \theta -\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
D. $-\sin \theta+\theta \cos \theta +\dfrac{\pi}{2} \cos \theta$
E. $\sin \theta+\theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’$
Diketahui $h(\theta) = \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) \sin \theta$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \theta + \dfrac{\pi}{2} \implies u’ = 1 \\ v & = \sin \theta \implies v’= \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(\theta) & = u’v+uv’ \\ & = 1(\sin \theta)+\left( \theta + \dfrac{\pi}{2}\right)(\cos \theta) \\ & = \sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{h'(\theta) =\sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Hasil bagi diferensial dari fungsi $g(\theta) = \dfrac{1-\sin \theta}{\sin \theta-3}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{-2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}$
B. $-2 \cos \theta$
C. $-2 \sin \theta$
D. $2 \sin \theta$
E. $\dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}$
Diketahui $g(\theta) = \dfrac{1-\sin \theta}{\sin \theta-3}$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 1-\sin \theta \implies u’ = -\cos \theta \\ v & = \sin \theta-3 \implies v’ = \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\cos \theta)(\sin \theta-3)-(1-\sin \theta)(\cos \theta)}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{\cancel{-\sin \theta \cos \theta} +3 \cos \theta-\cos \theta+\cancel{\sin \theta \cos \theta}}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2} \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Turunan dari $R(t) = \dfrac{\sin t-\cos t}{\cos t + \sin t}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1+\sin 2t$
B. $1-\sin 2t$
C. $1+\cos 2t$
D. $\dfrac{2}{1+\sin 2t}$
E. $\dfrac{-2}{1+\sin 2t}$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}$
Diketahui $R(t) = \dfrac{\sin t-\cos t}{\cos t + \sin t}$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin t-\cos t \implies u’ = \cos t+\sin t \\ v & = \cos t+\sin t \implies v’ = -\sin t+\cos t \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} R'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\cos t + \sin t)(\cos t + \sin t)-(\sin t-\cos t)(-\sin t+\cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} \\ & = \dfrac{(\color{red}{\cos^2 t} + \sin t \cos t + \sin t \cos t \color{red}{+ \sin^2 t})-(\color{red}{-\sin^2 t}+\sin t \cos t+\sin t \cos t\color{red}{-\cos^2 t})}{\color{red}{\cos^2 t} + 2 \sin t \cos t + \color{red}{\sin^2 t}} \\ & = \dfrac{1 + \cancel{2 \sin t \cos t}-(-1)-\cancel{2 \sin t \cos t}}{1 + 2 \sin t \cos t} \\ & = \dfrac{2}{1+ \sin 2t} \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\begin{aligned} \sin 2t & = 2 \sin t \cos t \\ \sin^2 t + \cos^2 t & = 1 \end{aligned}}$
Jadi, turunan dari fungsi itu adalah $\boxed{R'(t) = \dfrac{2}{1+ \sin 2t}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $y = \tan x-\cot x$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\rvert_{x = \frac{\pi}{4}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                    C. $1$                  E. $4$
B. $\dfrac12$                    D. $2$

Pembahasan

Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x \\ f(x) & = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{\tan x}-\color{blue}{\cot x} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \color{red}{\sec^2 x}-(\color{blue}{-\csc^2 x}) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\rvert_{x = \frac{\pi}{4}} & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Catatan: $\boxed{\sec \dfrac{\pi}{4} = \csc \dfrac{\pi}{4} = \sqrt2}$
Jadi, turunan pertama dari fungsi $y$ saat $x = \dfrac{\pi}{4}$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Soal Nomor 9
Turunan dari $y = \sec t-\csc t$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin^3 t + \cos^3 t$
B. $\sin^3 t-\cos^3 t$
C. $\sin^2 t \cdot \cos^2 t$
D. $\dfrac{1}{(\sin t \cos t)^2}$
E. $\dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2}$

Pembahasan

Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \sec t \implies f'(x) = \sec t \tan t \\ f(x) & = \csc t \implies f'(x) = -\csc t \cot t \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{blue}{\sec t}-\color{red}{\csc t} \\ y’ & = \color{blue}{(\sec t \tan t)}-\color{red}{(-\csc t \cot t)} \\ & = \dfrac{1}{\cos t} \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t} + \dfrac{1}{\sin t} \cdot \dfrac{\cos t}{\sin t} \\ & = \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} + \dfrac{\cos t}{\sin^2 t} \\ & = \dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2} \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = \sec t-\csc t$ adalah $\boxed{\dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $y = x^3 \tan x$, maka $y’$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3$
B. $x^3 \tan^2 x + x^2 \tan x + 3x$
C. $x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + 3x$
D. $3x^3 \tan^2 x + x^2 \tan x + x^3$
E. $3x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’$
Diketahui $y = x^3 \tan x$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^3 \implies u’ = 3x^2 \\ v & = \tan x \implies v’ = \sec^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} y’ &= u’v+uv’ \\ & = (3x^2)(\tan x)+(x^3)(\sec^2 x) \\ & = 3x^2 \tan x + (x^3)(\tan^2 x + 1) \\ & = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3 \end{aligned}$
Uretan: $\boxed{\sec^2 x = \tan^2 x + 1}$
Jadi, hasil dari $\boxed{y’ = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $h(x) = x^2 \cot x$, maka $h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\pi}{8}(4+\pi)$                   D. $\dfrac{\pi}{4}(8-\pi)$
B. $\dfrac{\pi}{8}(4-\pi)$                    E. $\dfrac{\pi}{4}(8+\pi)$
C. $\dfrac{\pi}{8}(\pi-4)$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’$
Diketahui $h(x) = x^2 \cot x$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \cot x \implies v’ = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (2x)(\cot x)+(x^2)(-\csc^2 x) \\ & = 2x \cot x-x^2 \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, diperoleh
$\begin{aligned} h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot \cot \dfrac{\pi}{4}-\left(\dfrac{\pi}{4}\right)^2 \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot 1-\dfrac{\pi^2}{16} \cdot (\sqrt2)^2 \\ & = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi^2}{8} \\ & = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi) \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $g(x) = \dfrac{\cos x + 2}{\sin x}$ dengan $\sin x \neq 0$, maka nilai dari $g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}$
Diketahui $g(x) = \dfrac{\cos x + 2}{\sin x}$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \cos x + 2 \implies u’ = -\sin x \\ v & = \sin x \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x + 2)(\cos x)}{(\sin x)^2} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x -\cos^2 x-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-(\color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x})-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-1-2 \cos x}{\sin^2 x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & = \dfrac{-1-2 \cos \dfrac{\pi}{2}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{-1-2(0)}{(1)^2} \\ & = \dfrac{-1-0}{1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $f(x) = \sin x(2+\cos x)$, maka nilai $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cdots \cdot$
A. $2\sqrt2$                            D. $\dfrac12\sqrt2$
B. $2$                                    E. $\dfrac14\sqrt2$
C. $\sqrt2$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’$
Diketahui $f(x) = \sin x(2+\cos x)$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin x \implies u’ & = \cos x \\ v & = 2 + \cos x \implies v’ & = -\sin x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = u’v + uv’ \\ & = (\cos x)(2+\cos x)+(\sin x)(-\sin x) \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos^2 x-\sin^2 x} \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos 2x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, kita peroleh
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \cancel{2}\left(\dfrac{\pi}{\cancelto{2}{4}}\right) \\ & = \cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt2 + 0 = \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2x^3-x^4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y’ = \sin (2x^3-x^4)$
B. $y’ = -\sin (2x^3-x^4)$
C. $y’ = (6x^2-4x^3) \cos (2x^3-x^4)$
D. $y’ = (6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)$
E. $y’ = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)$

Pembahasan

Diketahui $y = \cos (2x^3-x^4)$.
Gunakan aturan rantai.
Misalkan $u = 2x^3-x^4 \implies u’ = 6x^2-4x^3$.
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} y & = \cos u \\ \implies y’ & = -\sin u \cdot u’ \\ & = -\sin (2x^3-x^4) \cdot (6x^2-4x^3) \\ & = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4) \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2x^3-x^4)$ adalah $\boxed{y’ = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Turunan dari $g(\theta) = \cos^3 \theta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\cos \theta \sin \theta$
B. $3 \cos^2 \theta \sin \theta$
C. $-3 \cos^2 \theta \sin \theta$
B. $3 \sin^2 \theta \cos \theta$
E. $\cos^3 \theta \sin \theta$

Pembahasan

Diketahui $g(\theta) = \cos^{3} \theta = (\underbrace{\cos \theta}_{u})^3$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \color{red}{3} \cos^2 \theta \cdot \underbrace{(-\sin \theta)}_{u’} \\ & = -3 \cos^2 \theta \sin \theta \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{g'(\theta) = -3 \cos^2 \theta \sin \theta}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Turunan dari $y = \tan (2\theta-3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin^2 (2\theta-3)$
B. $\cos^2 (2\theta-3)$
C. $\sec^2 (2\theta-3)$
D. $2 \sec^2 (2\theta-3)$
E. $3 \sec^2 (2\theta-3)$

Pembahasan

Diketahui $y = \tan \underbrace{(2\theta-3)}_{u}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = \sec^2 (2\theta-3) \cdot \underbrace{2}_{u’} \\ & = 2 \sec^2 (2\theta-3) \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{y’= 2 \sec^2 (2\theta-3)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Turunan pertama dari $g(x) = \dfrac{\sin 2x-\cos x}{\cos 4x}$ adalah $g'(x)$. Nilai dari $g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cdots \cdot$
A. $4$                  C. $\dfrac12\sqrt2$                   E. $-1$
B. $2$                  D. $-\dfrac12\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui $g(x) = \dfrac{\sin 2x-\cos x}{\cos 4x}$.
Gunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin 2x-\cos x \\ \implies u’ & = 2 \cos 2x+\sin x \\ v & = \cos 4x \\ \implies v’ & = -4 \sin 4x \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(2 \cos 2x + \sin x)(\cos 4x)-(\sin 2x-\cos x)(-4 \sin 4x)}{(\cos 4x)^2} \\ g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \dfrac{\left(2 \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{4}\right)(\cos \pi)-\left(\sin \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{4}\right)(-4 \sin \pi)}{(\cos \pi)^2} \\ & = \dfrac{\left(2 \cdot 0 + \dfrac12\sqrt2\right)(-1)-\left(1-\dfrac12\sqrt2\right)(-4 \cdot 0)}{(-1)^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac12\sqrt2-0}{1} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Turunan pertama fungsi $h(\theta) = \sec^4 (p\theta+q)$ dengan $p \neq 0$ dan $p, q$ bilangan real positif adalah $\cdots \cdot$
A. $4p \sec (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
B. $4p \tan (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
C. $4p \sec^4 (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
D. $4p \tan^4 (p\theta+q) \cdot h(\theta)$
E. $4p \sec^3 (p\theta+q) \cdot \tan(p\theta + q)$

Pembahasan

Diketahui $\color{red}{h(\theta) = \sec^4 (p\theta+q) = (\underbrace{\sec (p\theta + q)}_{u})^4}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} h'(\theta) & = 4 \sec^3 (p\theta+q) \cdot \underbrace{\sec (p\theta + q) \tan (p\theta+q) \cdot p}_{u’} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \color{red}{\sec^4 (p\theta+q)} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \cdot \color{red}{h(\theta)} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(\theta) = 4p \tan (p\theta+q) \cdot h(\theta)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $y = \sin 3x-\cos 3x$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui $y = \sin 3x-\cos 3x$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar beserta aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = 3 \cos 3x-(-3 \sin 3x) \\ & = 3 \cos 3x + 3 \sin 3x \end{aligned}$
Untuk $x = 45^{\circ}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} & = 3 \cos 3(45^{\circ}) + 3 \sin 3(45^{\circ}) \\ & = 3 \cos 135^{\circ} + 3 \sin 135^{\circ} \\ & = 3 \cdot \left(-\dfrac12\sqrt2\right) + 3 \cdot \dfrac12\sqrt2 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Persamaan garis singgung pada kurva $y = \tan x$ di titik $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 2x + \left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)$
B. $y = 2x + \left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$
C. $y = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right)$
D. $y = 2x + (2-\pi)$
E. $y = 2x + (2+\pi)$

Pembahasan

Diketahui $y = \tan x$ dan titik singgungnya $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$.
Pertama, akan dicari turunan dari $y$, yaitu:
$y’ = \sec^2 x$.
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ pada $y’$ sehingga kita peroleh gradien garis singgungnya.
$m = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} = (\sqrt2)^2 = 2$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ & = 2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+1 \\ & = 2x-\dfrac{\pi}{2}+1 \\ & = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $\boxed{y = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Persamaan garis singgung yang melalui kurva $y = \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{2}$ akan memotong sumbu-$Y$ dengan ordinatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{\pi}{2} + 1$                      D. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $-\dfrac{\pi}{2}$                            E. $\dfrac{\pi}{2} + 1$
C. $-\dfrac{\pi}{2}- 1$

Pembahasan

Diketahui $y = \sin x + \cos x$.
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{2}$ untuk memperoleh
$y  = \sin \dfrac{\pi}{2} + \cos \dfrac{\pi}{2}= 1 + 0 = 1 $
Titik singgungnya di $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$.
Turunan dari $y$ adalah $y’ = \cos x-\sin x$.
Gradien garis singgung $(m)$ adalah nilai $y’$ saat $x = \dfrac{\pi}{2}$, yakni
$y’ = m = \cos \dfrac{\pi}{2}-\sin \dfrac{\pi}{2} = 0-1 = -1$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ dan bergradien $m = -1$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = -1\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) \\ y & = -x + \dfrac{\pi}{2} + 1 \end{aligned}}$
Garis ini memotong sumbu-$Y$ saat nilai $x = 0$ sehingga didapat
$\boxed{y = 0 + \dfrac{\pi}{2} + 1 = \dfrac{\pi}{2} + 1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ untuk setiap fungsi berikut ini.
a. $y = 2x + \sin x$
b. $y = 5 \sin x-6 \cos x$
c. $y = 8x^3-\sin x +6$
d. $y = 6 \cos x-8(x^2+x)$
e. $y = 2 \sin x + \tan x$
f. $y = x^2 + \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $y = 2x + \sin x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(2x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) \\ & = 2 + \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 + \cos x}$
Jawaban b)
Diketahui $y = 5 \sin x-6 \cos x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 5 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)-6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) \\ & = 5 \cos x-6(-\sin x) \\ & = 5 \cos x + 6 \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 5 \cos x + 6 \sin x}$
Jawaban c)
Diketahui $y = 8x^3-\sin x + 6$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 8 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^3)- \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (6) \\ & = 8(3x^2)-\cos x+0 \\ & = 24x^2-\cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 24x^2-\cos x}$
Jawaban d)
Diketahui $y = 6 \cos x-8(x^2+x)$.
Persamaan di atas ekuivalen dengan $y = 6 \cos x-8x^2-8x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x) \\ & = 6(-\sin x)-8(2x)-8(1) \\ & = -6 \sin x-16x-8 \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -6 \sin x-16x-8}$
Jawaban e)
Diketahui $y = 2 \sin x + \tan x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x) \\ & = 2(\cos x)+\sec^2 x \\ & = 2 \cos x + \sec^2 x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 \cos x + \sec^2 x}$
Jawaban f)
Diketahui $y = x^2 + \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4}$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = 2x + (-\sin x) + 0 \\ & = 2x-\sin x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x-\sin x}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ untuk setiap fungsi di bawah ini.
a. $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t-\tan \dfrac{\pi}{3}$
b. $f(\theta) = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta$
c. $f(t) = \sin^2 t + \cos^2 t$
d. $f(\alpha) = \csc \alpha + \sec \alpha$
e. $f(x) = \tan x-\cot x$

Pembahasan

Turunkan fungsi dulu, lalu substitusikan nilai variabelnya menjadi $\dfrac{\pi}{4}$.
Jawaban a)
Diketahui $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t-\tan \dfrac{\pi}{3}$.
$\begin{aligned} f'(t) & = 2 (\sec t \tan t) + 3 (\sec^2 t)-0 \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \sec \dfrac{\pi}{4} \cdot \tan \dfrac{\pi}{4} + 3 \sec^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \sqrt2 \cdot 1 + 3 (\sqrt2)^2 \\ & = 2\sqrt2 + 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt2+6}$
Jawaban b)
Diketahui $f(\theta) = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta$.
$\begin{aligned} f'(\theta) & = 2 \cos \theta + 3(-\sin \theta) \\ & = 2 \cos \theta-3 \sin \theta \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4}-3 \sin \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \dfrac12\sqrt2-3 \cdot \dfrac12\sqrt2 \\ & = \sqrt2-\dfrac32\sqrt2 = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
Jawaban c)
Diketahui $f(t) = \sin^2 t + \cos^2 t$.
Ingat bahwa $f(t) = 1$ karena $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (Identitas Pythagoras). Dengan kata lain, fungsi $f$ merupakan fungsi konstan.
Ini artinya, $f'(t) = 0$ karena turunan fungsi konstan selalu $0$.
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban d)
Diketahui $f(\alpha) = \csc \alpha + \sec \alpha$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$f'(\alpha) = (-\csc \alpha \cot \alpha) + (\sec \alpha \tan \alpha)$
Substitusi $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \left(-\csc \dfrac{\pi}{4} \cot \dfrac{\pi}{4}\right) + \left(\sec \dfrac{\pi}{4} \tan \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = (-\sqrt2 \cdot 1) + (\sqrt2 \cdot 1) \\ & = -\sqrt2 + \sqrt2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban e)
Diketahui $f(x) = \tan x-\cot x$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \sec^2 x-(-\csc^2 x) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2 + (\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $h(x) = x \cdot g(x)$ dengan
$g(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$,
dan $(c \sin x + d \sin x) \neq 0$, tunjukkan bahwa $x \cdot h'(x) = h(x) + x^2g'(x)$.

Pembahasan

Diketahui $h(x) = x \cdot g(x)$.
Dengan menggunakan aturan hasil kali turunan, diperoleh
$h'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$.
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} x \cdot h'(x) & = x(g(x) + x \cdot g'(x)) \\ & = x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) \\ & = h(x) + x^2 \cdot g'(x) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{x \cdot h'(x) = h(x) + x^2g'(x)}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa turunan pertama dari fungsi
$f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$
adalah
$f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, kita misalkan:
$$\begin{aligned} & u = a \sin x + b \cos x \implies u’ = a \cos x-b \sin x \\ & v = c \sin x + d \cos x \implies v’ = c \cos x-d \sin x \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(a \cos x-b \sin x) (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa untuk membuktikan pernyataan di atas, kita hanya perlu meninjau bagian pembilangnya saja, karena penyebutnya sudah sama.
Kita tuliskan pembilang $f'(x)$ sebagai
$$\begin{aligned} g'(x) & = (a \cos x-b \sin x) \cdot (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x) \\ & = \cancel{ac \sin x \cos x} + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}-(\cancel{ac \sin x \cos x}-ad \sin^2 x + bc \cos^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}) \\ & = ad \sin^2 x + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-bc \cos^2 x \\ & = ad(\sin^2 x + \cos^2 x)-bc(\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = ad(1)-bc(1) = ad-bc \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa turunan pertama fungsi $f$ tersebut adalah $\boxed{f'(x)= \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Dengan menggunakan formula:
$f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$
yang mempunyai turunan:
$f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}$,
carilah turunan setiap fungsi trigonometri berikut.
a. $g(\theta) = \dfrac{\sin \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$
b. $h(t) = \dfrac{2 \sin t-\cos t}{3 \sin t + \cos t}$
c. $p(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha}$
d. $k(x) = \dfrac{4 \cos x-2 \sin x}{5 \cos x + 3 \sin x}$

Pembahasan

Jawaban a)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$g(\theta) = \dfrac{1 \sin \theta + 0 \cos \theta}{1 \sin \theta + 1 \cos \theta}$
Kita peroleh $a = c = d = 1$, sedangkan $b = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \theta + d \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1(1)-0(1)}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(t) = \dfrac{2 \sin t-\cos t}{3 \sin t + \cos t}$.
Fungsi $h$ telah dirumuskan dalam bentuk umum formula, dengan $a = 2$, $b= -1$, $c = 3$, dan $d = 1$.
Turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} h'(t) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin t + d \cos t)^2} \\ & = \dfrac{2(1)-(-1)(3)}{(3 \sin t + \cos t)^2} \\ & = \dfrac{5}{(3 \sin t + \cos t)^2} \end{aligned}$
Jawaban c)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$p(\alpha) = \dfrac{1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha}$
Kita peroleh $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, dan $d = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} p'(\alpha) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \alpha + d \cos \alpha)^2} \\ & = \dfrac{1(0)-(2)(3)}{(3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha)^2} \\ & = -\dfrac{6}{9 \sin^2 \alpha} = -\dfrac{2}{3 \sin^2 \alpha} \end{aligned}$
Jawaban d)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$k(x) = \dfrac{-2 \sin x + 4 \cos x}{3 \sin x + 5 \cos x}$
Kita peroleh $a = -2$, $b = 4$, $c = 3$, dan $d = 5$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} k'(x) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2} \\ & = \dfrac{(-2)(5)-(4)(3)}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \\ & = -\dfrac{22}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan fungsi-fungsi $f(\theta) = \sin \theta$ dan $g(\theta) = \cos \theta$.
Tunjukkan bahwa:
a. $f'(\theta) \cdot g(\theta)-f(\theta) \cdot g'(\theta) = 1$
b. $f'(\theta) \cdot g(\theta)+f(\theta) \cdot g'(\theta) = 2 \cos^2 \theta-1$

Pembahasan

Diketahui:
$f(\theta) = \sin \theta \implies f'(\theta) = \cos \theta$
$g(\theta) = \cos \theta \implies g'(\theta) = -\sin \theta$
Jawaban a)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)-f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)-\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \end{aligned}$
(Terbukti)
Jawaban b)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)+f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)+\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta- \sin^2 \theta \\ & = \cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta) \\ & = 2 \cos^2 \theta-1 \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = \dfrac{x \sin x}{\sin x + \cos x}$, dengan $(\sin x + \cos x) \neq 0$, buktikan bahwa $f'(x)(1+ \sin 2x) = x + \sin x(\sin x + \cos x)$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x \sin x}{\sin x + \cos x}$.
Akan dicari turunan pertama dari $f(x)$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x \sin x \implies u’ = \sin x + x \cos x \\ v & = \sin x + \cos x \implies v’ = \cos x-\sin x \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\sin x + x \cos x)(\sin x + \cos x)-(x \sin x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x +\cancel{ x \sin x \cos x} + x \cos^2 x- \cancel{x \sin x \cos x} + x \sin^2 x}{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x + x(\sin^2 x + \cos^2 x)}{1 + \sin 2x} \\ & = \dfrac{\sin x(\sin x + \cos x) + x(1)}{1+\sin 2x} \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{1+\sin 2x} \end{aligned}$$Selanjutnya, didapat
$\begin{aligned} & f'(x)(1+\sin 2x) \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{\cancel{1+\sin 2x}} \cdot \cancel{(1+\sin 2x)} \\ & = x + \sin x(\sin x + \cos x) \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 8
Carilah turunan pertama dari fungsi pecahan trigonometri berikut ini.
$f(t) = \dfrac{2t \sin t + 3 \cos t}{\sin t + 3t \cos t}$

Pembahasan

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 2t \sin t + 3 \cos t \\ u’ & = (2 \sin t + 2t \cos t)-3 \sin t  \\ & = -\sin t + 2t \cos t \\ v & = \sin t + 3t \cos t \\ v’ & = \cos t + (3 \cos t -3t \sin t) \\ & = 4 \cos t-3t \sin t \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin t + 2t \cos t)(\sin t + 3t \cos t)-(2t \sin t + 3 \cos t)(4 \cos t-3t \sin t)}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{\color{red}{-\sin^2 t} -3t \sin t \cos t + 2t \sin t \cos t + \color{blue}{6t^2 \cos^2 t} + 3 \sin t \cos t + 9t \cos^2 t-8t \sin t \cos t+\color{red}{6t^2 \sin^2 t}\color{blue}{-12 \cos^2 t}+9t \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t + (-3t+2t-8t+9t) \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari fungsi itu adalah $\boxed{f'(t) = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Diberikan $f(x) = \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x + \sin x}$ dengan $(\cos x + \sin x) \neq 0$. Buktikan bahwa $f'(x) = -1(1 + f^2(x))$.

Pembahasan

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$
Diketahui $f(x) = \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x + \sin x}$.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \color{red}{\cos x} \color{blue}{-\sin x} \\ u’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{-\cos x} = -(\cos x + \sin x) \\ v & = \color{red}{\cos x}\color{blue}{+\sin x} \\ v’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{+\cos x} = \cos x-\sin x \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{-(\cos x + \sin x)(\cos x + \sin x)-(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2} + \dfrac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(1+\left(\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)^2\right) \\ f'(x) & = -1(1 + f^2(x)) \end{aligned}$$(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 10
Carilah turunan dari fungsi trigonometri berikut ini.
$h(y) = y^3-y^2 \cos y + 2y \sin y + 2 \cos y$

Pembahasan

Diketahui $h(y) = y^3-\color{red}{y^2 \cos y} + \color{blue}{2y \sin y} + 2 \cos y$.
Bentuk yang diberi warna di atas merupakan hasil kali dua fungsi sehingga turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil kali: $f(x) = uv \implies f'(x) = u’v + uv’$.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} h'(y) & = 3y^2-(2y \cos y + y^2 (-\sin y)) + 2(\sin y + y \cos y) + 2 (-\sin y) \\ & = 3y^2-\cancel{2y \cos y}+y^2 \sin y + \bcancel{2 \sin y} + \cancel{2y \cos y}-\bcancel{2 \sin y} \\ & = 3y^2+y^2 \sin y \end{aligned}$$Jadi, turunan dari fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(y) = 3y^2 + y^2 \sin y}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan.

  1. $f(x) = \sin x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{6}$.
  2. $f(x) = \cot x-2 \csc x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{6}$, diperoleh
$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x)= \sin x$ adalah $f'(x) = \cos x$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{6}$, yaitu
$m = f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12\sqrt3$.
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right)$ dan bergradien $m = \dfrac12\sqrt3$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac12\sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac12 \\ 2y & = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya dinyatakan oleh $\boxed{2y = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1}$
Jawaban b)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \cot \dfrac{\pi}{3}-2 csc \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\sqrt3}{3}-2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \\ & = (1-4)\dfrac{\sqrt3}{3} = -\sqrt3 \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x)= \cot x-2 \csc x$ adalah
$\begin{aligned}vf'(x) & = -\csc^2 x-2(-\csc x \cot x) \\ & = 2 \csc x \cot x-\csc^2 x \end{aligned}$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = 2 \csc \dfrac{\pi}{3} \cot \dfrac{\pi}{3} -\csc^2 \dfrac{\pi}{3} \\ & = 2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \cdot \dfrac13\sqrt3-\left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 \\ & = \dfrac43-\dfrac{4}{9}(3)  = 0 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right)$ dan bergradien $m = 0$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = 0\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + (-\sqrt3) \\ y & = -\sqrt3 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan persamaan garis normal pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan.

  1. $h(\theta) = \theta + \sin \theta$ di titik yang berordinat $0$.
  2. $f(x) = x \cos x$ di titik yang berabsis $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $h(\theta) = \theta + \sin \theta$.
Untuk $y = 0$, diperoleh $0 = \theta + \sin \theta$ sehingga haruslah $\theta = 0$.
Titik singgung di $(0, 0)$.
Turunan pertama fungsi $f(\theta)= \theta + \sin \theta$ adalah $f'(\theta) = 1 + \cos \theta$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $\theta = 0$, yaitu
$m = f'(0) = 1 + \cos 0 = 2$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya:
$m_n = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac12$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = (0, 0)$ dan bergradien $m_n = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = -\dfrac12(x-0) + 0 \\ y & = -\dfrac12x \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = -\dfrac12x}$
Jawaban b)
Diketahui $f(x) = x \cos x$.
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x) = x \cos x$ adalah $f'(x) = \cos x-x \sin x$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x= \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = \cos \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac12-\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi}{6} \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya:
$m_n = -\dfrac{1}{m} = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$ dan bergradien $m_n = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6}}$ 

[collapse]

Soal Nomor 13
Carilah turunan pertama setiap fungsi trigonometri berikut.
a. $f(x) = \cos^7 (x^3)$
b. $g(x) = \cot (2x^4)$
c. $r(x) = (\sin 3x-9 \cos^3 x)^6$

Pembahasan

Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(x) = \cos^7 (x^3) = (\underbrace{\cos (x^3)}_{u})^7$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(x) & = 7 (\cos^6 (x^3)) \cdot \underbrace{(-\sin (x^3)) \cdot 3x^2}_{u’} \\ & = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3) \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f'(x) = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3)}$
Jawaban b)
Diketahui $g(x) = \cot (\underbrace{2x^4}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} g'(x) & = -\csc^2 (2x^4) \cdot \underbrace{8x^3}_{u’} \\ & = -8x^3 \csc^2 (2x^4) \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama fungsi $g(x)$ adalah $\boxed{g'(x) = -8x^3 \csc^2 (2x^4)}$
Jawaban c)
Diketahui $r(x) = (\underbrace{\sin 3x-9 \cos^3 x}_{u})^6$.
Kita peroleh
$r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot$ $\underbrace{(3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}_{u’}$
Catatan: Turunan dari $v = \cos^3 x$ adalah $v’ = 3 \cos^2 x (-\sin x)$.
Jadi, turunan pertama dari fungsi $r(x)$ adalah $$\boxed{r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot (3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}$$ 

[collapse]

Soal Nomor 14
Carilah turunan pertama setiap fungsi berikut.
a. $f(\theta) = \sin (\sin \theta)$
b. $h(x) = \sin (2 \cos x)$
c. $H(x) = \sin [\sin (\sin x)]$

Pembahasan

Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(\theta) = \sin (\underbrace{\sin \theta}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(\theta) & = \cos (\sin \theta) \cdot \underbrace{\cos \theta}_{u’} \\ & = \cos \theta \cos (\sin \theta) \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(x) = \sin (\underbrace{2 \cos x}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = \cos (2 \cos x) \cdot \underbrace{-2 \sin x}_{u’} \\ & = -2 \sin x \cos (2 \cos x) \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $H(x) = \sin [\underbrace{\sin (\underbrace{\sin x}_{v})}_{u}]$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} H'(x) & = \cos [\sin (\sin x)] \cdot \underbrace{\cos (\sin x)}_{u’} \cdot \underbrace{\cos x}_{v’} \\ & = \cos x \cos (\sin x) \cos [\sin (\sin x)] \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Dengan menggunakan aturan rantai, tentukan turunan pertama setiap fungsi berikut ini.
a. $y = \sin (4x^2+3x)$
b. $y = (1+\sin^2 x)(1-\sin^2 x)$
c. $y = \left(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)^3$
d. $y = \dfrac{(1+\sin x)^2}{x^3}$
e. $y = (x^2-1)^3 \cos (3x+2)$
f. $y = \dfrac{1}{\sqrt{\cos x^2}}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $y = \sin (\underbrace{4x^2+3x}_{u})$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertamanya:
$y’ = \underbrace{(8x + 3)}_{u’} \cos (4x^2+3x)$
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{aligned} y & = (1+\sin^2 x)(1-\sin^2 x) \\ & = 1-\sin^4 x = 1-(\underbrace{\sin x}_{u})^4 \end{aligned}$
Turunan pertamanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y’ & = 0-4 \sin^3 x \cdot \underbrace{\cos x}_{u} \\ & = -4 \sin^3 x \cos x \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $y = \left(\underbrace{\dfrac{\cos x}{1+\sin x}}_{u}\right)^3$.
Turunan dari $u$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi, sedangkan fungsi $y$ secara keseluruhan diturunkan menggunakan aturan rantai.
$$\begin{aligned} y’ & = 3 \cdot \dfrac{\cos x}{1+\sin x} \cdot \dfrac{(-\sin x)(1+\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x)}{(1+\sin x)^3} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-1)}{(1+\sin x)^3} && (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) \\ & = \dfrac{-3 \cos x\cancel{(1 + \sin x)}}{(1+\sin x)^{\cancelto{2}{3}}} \\ & = \dfrac{-3 \cos x}{(1+\sin x)^2} \end{aligned}$$Jawaban d)
Diketahui $y = \dfrac{(1+\sin x)^2}{x^3}$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil bagi untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai dan aturan hasil kali.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = (1+\sin x)^2 \\ \implies u’ & = 2(1+\sin x)(\cos x) \\ v & = x^3 \\ \implies v’ & = 3x^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{2(1+\sin x)(\cos x)(x^3)-(1+\sin x)^2(3x^2)}{(x^3)^2} \\ & = \dfrac{2x^3(1+\sin x)(\cos x)-3x^2(1+\sin x)^2}{x^6} \end{aligned}$$Jawaban e)
Diketahui $y = (x^2-1)^3 \cos (3x+2)$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = (x^2-1)^3 \\ \implies u’ & = 3(x^2-1)^2(2x) = 6x(x^2-1)^2 \\ v & = \cos (3x+2) \\ \implies v’ & = -3 \sin (3x+2) \end{aligned}$
Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = u’v + uv’ \\ & = 6x(x^2-1)^2 \cos (3x+2) + (x^2-1)^3(-3 \sin (3x+2)) \\ & = (x^2-1)^2(6x \cos (3x+2)-3(x^2-1) \sin (3x+2)) \end{aligned}$$Jawaban f)
Diketahui:
$y = \dfrac{1}{\sqrt{\cos x^2}} = (\underbrace{\cos x^2}_{u})^{-\frac12} $
Dengan menggunakan aturan pangkat beserta aturan rantai (untuk menurunkan $u$), diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = -\dfrac{1}{\cancel{2}}(\cos x^2)^{-\frac32} \cdot \underbrace{(-\sin x^2 \cdot \cancel{2}x)}_{u’} \\ & = \dfrac{x \sin x^2}{\cos x^2 \cdot \sqrt{\cos x}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 16 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jika $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \dfrac{\sin x}{x}$ dan $u(x) = \cot x$, tentukanlah $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}u}$.

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \dfrac{\sin x}{x}$.
Karena $u(x) = \cot x$, maka kita dapat nyatakan $x$ sebagai suatu fungsi bagi $u$, yaitu dengan cara invers: $x = \text{arccot}~u$.
Catatan: Arcus (ditulis $\text{arc}$) merupakan notasi untuk menyatakan fungsi invers dari trigonometri.
Turunan $x$ terhadap $u$ adalah $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} = -\dfrac{1}{1+x^2}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}u} & = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} \cdot \dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} \\ & = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{1+x^2}\right) \\ & = -\dfrac{\sin x}{x + x^3} \end{aligned}$

[collapse]

CategoriesKalkulus Diferensial, TrigonometriTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *