Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kalimat yang berbentuk “jika maka”. Kalimat seperti itu umumnya dipakai jika seseorang ingin menyatakan  suatu kejadian/perlakuan yang disertai oleh akibat dari kejadian/perlakuan tersebut. Dengan kata lain, kalimat yang berbentuk “jika maka” mengandung unsur sebab dan unsur akibat. Dalam matematika, tepatnya pada logika matematika, kalimat tersebut dinamakan implikasi (implication) yang secara umum berbunyi: “Jika A, maka B”. A disebut sebagai anteseden (sebab/dugaan awal/hipotesis), sedangkan B disebut sebagai konsekuen (akibat/kesimpulan).

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Operasi Logika dan Tabel Kebenaran

Implikasi $p \Rightarrow q$ memainkan peran yang sangat penting dalam penalaran. Implikasi tidak hanya diekspresikan dengan pernyataan baku “jika $p,$ maka $q,$” tetapi juga dapat diekspresikan dengan bahasa lain yang memiliki maksud yang sama, yakni sebagai berikut.
$$\begin{array}{lll} \hline 1. & \text{Jika}~p, q & \text{If}~p, q \\ 2. & p~\text{mengakibatkan}~q & p~\text{implies}~q \\ 3. & q~\text{jika}~p & q~\text{if}~p \\ 4. & p~\text{hanya jika}~q & p~\text{only if}~q \\ 5. & p~\text{syarat cukup agar}~q & p~\text{is sufficient for}~q \\ 6. & q~\text{syarat perlu bagi}~p & q~\text{is necessary for}~p \\ 7. & q~\text{bilamana}~p & q~\text{whenever}~p \\ \hline \end{array}$$

Today Quote

Guru memiliki tiga cinta. Pertama, cinta pada peserta didiknya. Kedua, cinta pada belajar. Ketiga, cinta untuk menghubungkan cinta pertama dan cinta keduanya tadi.

Sebagai contoh:

  1. Jika kamu mengerjakan semua tugas, maka nilaimu tuntas.
  2. Jika hari ini hujan, maka jalanan akan becek.

Kalimat 1 menunjukkan bahwa “Kamu mengerjakan semua tugas” bertindak sebagai anteseden, sedangkan “nilaimu tuntas” merupakan konsekuen. Apabila anteseden terjadi/tercapai, maka konsekuen akan terjadi pula. Kalimat 2 juga demikian halnya. “Hari ini hujan” merupakan anteseden, sedangkan “jalanan akan becek” merupakan konsekuen.

1. Syarat Cukup (Sufficiency Condition)

Syarat cukup adalah kondisi yang mengakibatkan kejadian lain dapat berlangsung/terjadi.  Sesuai dengan contoh di atas, “kamu mengerjakan semua tugas” dan “hari ini hujan” disebut sebagai syarat cukup. Kenapa dikatakan cukup? Karena kondisi ketika kamu mengerjakan semua tugas dianggap cukup untuk membuat nilaimu tuntas. Dengan kata lain, mengerjakan semua tugas akan membuat nilai kamu sudah pasti (100%) tuntas. Begitu juga untuk kalimat 2, hari ini hujan sudah cukup untuk membuat jalanan becek. Dengan struktur kalimat yang lain, jalanan becek akan terjadi jika hari ini hujan.

Sekarang, perhatikan syarat kenaikan kelas di suatu sekolah berikut.

  1. Maksimal 2 mapel yang tidak tuntas.
  2. Jumlah alpa tidak lebih dari 6 kali dalam satu tahun.
  3. Memiliki rata-rata nilai sikap B.

Berdasarkan syarat tersebut, seandainya kita mengatakan “Jika memiliki rata-rata nilai sikap B, maka kamu naik kelas.” Kalimat ini sudah jelas salah karena “memiliki rata-rata nilai sikap B” tidak dapat digolong sebagai syarat cukup agar dapat naik kelas. Ia harus memenuhi ketiga syarat di atas secara sekaligus. Perbaikan kalimat yang tepat adalah: “Jika memiliki rata-rata nilai sikap B, jumlah alpa tidak lebih dari 6 kali dalam satu tahun, dan paling banyak 2 mapel yang tidak tuntas, maka kamu naik kelas.

2. Syarat Perlu (Necessity)

Syarat perlu adalah kondisi yang pasti bakal terjadi ketika “syarat cukup” tercapai. Di lain sisi, “nilaimu tuntas” dan “jalanan akan becek” disebut sebagai syarat perlu. Kenapa dikatakan perlu? Karena nilai tuntas merupakan kejadian yang perlu terjadi ketika semua tugasmu sudah selesai, sedangkan jalanan becek merupakan kejadian yang perlu terjadi ketika terjadi hujan pada hari ini.

Jadi, jika bertemu dengan kalimat “Jika A, maka B“, maka A akan menjadi syarat cukup, sedangkan B menjadi syarat perlu. Namun, perlu diperhatikan bahwa ada beberapa kasus bahwa syarat perlu belum tentu dapat digolongkan sebagai syarat cukup. Contohnya sebagai berikut.

  1. Jika ada ayam, maka mereka tergolong unggas.
  2. Jika ada unggas, maka mereka tergolong ayam.

Kondisi “ada ayam” cukup menunjukkan bahwa mereka tergolong unggas, tetapi kondisi “ada unggas” tidak cukup menunjukkan bahwa mereka tergolong ayam karena bisa saja hewan lain, misalnya burung, bebek, itik, dan sebagainya. Ini menandakan bahwa “mereka tergolong unggas” (yang merupakan syarat perlu) belum cukup untuk menunjukkan bahwa mereka adalah ayam.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

3. Contoh Kasus Syarat Cukup dan Perlu

Adapun beberapa contoh penggunaan istilah syarat cukup dan syarat perlu adalah sebagai berikut.

  1. Laki-laki adalah syarat perlu untuk menjadi seorang abang, tetapi ini bukan termasuk syarat cukup. Saudara laki-laki yang berusia lebih tua barulah merupakan syarat cukup untuk menjadi seorang abang.
  2. Posisi matahari yang berada di atas cakrawala adalah syarat perlu untuk memancarkan sinarnya secara langsung, tetapi ini bukan syarat cukup. Sebagai contoh, terjadi gerhana matahari sehingga meskipun matahari sudah berada di atas cakrawala, sinarnya tidak bisa dipancarkan langsung.
  3. Menjadi warga negara Indonesia adalah syarat perlu untuk menjadi seorang presiden Indonesia. Perhatikan bahwa ini bukan syarat cukup karena masih ada hal lain yang harus dipenuhi untuk menjadi seorang presiden.
  4. Wesley adalah seorang pramugara. Ini menandakan bahwa Wesley seorang laki-laki. Jadi, menjadi pramugara adalah syarat cukup untuk mengatakan bahwa dia seorang laki-laki.
  5. Mengetahui bahwa binatang itu ayam adalah syarat cukup untuk mengatakan bahwa binatang itu ovipar (bertelur). Perhatikan bahwa ini bukan syarat perlu karena tidak semua binatang yang berkembang biak secara ovipar merupakan ayam.
  6. Memiliki kartu tanda penduduk (KTP) adalah syarat cukup bagi seseorang untuk berumur minimal 17 tahun. Perhatikan bahwa ini bukan syarat perlu karena tidak semua orang yang berumur minimal 17 tahun sudah memiliki KTP.
  7. Menjadi YouTuber bukan syarat cukup dan juga bukan syarat perlu untuk menjadi orang yang terkenal. Tidak semua YouTuber adalah orang yang terkenal dan tidak semua orang yang terkenal merupakan seorang YouTuber.
  8. Mengetahui bahwa seseorang sudah pernah menonton film Spider-man: No Way Home bukan syarat cukup dan juga bukan syarat perlu untuk mengatakan bahwa orang itu pernah menonton di bioskop. Yang menonton film tersebut bisa saja menontonnya melalui media tontonan yang lain, misalnya melalui Netflix. Yang menonton di bioskop juga belum tentu ia menonton film Spider-man tersebut (ada kemungkinan dia menonton film lain).
  9. Menjadi pengurus suatu organisasi adalah syarat cukup untuk mengatakan bahwa ia merupakan anggota organisasi itu. Perhatikan bahwa ini bukan syarat perlu karena tidak semua anggota organisasi berperan sebagai pengurus.
  10. Memakai masker bukan syarat cukup untuk menghindari penularan virus SARS-CoV-2 karena masih ada potensi/kemungkinan penularan masih dapat terjadi. Memakai masker juga bukan syarat perlu karena ada orang yang dapat menghindari penularan virus tersebut, tetapi tidak menggunakan masker, misalnya karena orang itu tinggal di daerah terisolasi.
  11. Untuk bilangan bulat yang lebih besar dari 2, bilangan ganjil adalah syarat perlu untuk mendapatkan bilangan prima, tetapi ini bukan syarat cukup. Ini dikarenakan ada bilangan ganjil yang memiliki lebih dari 2 faktor.
  12. Suatu bilangan yang habis dibagi oleh 4 merupakan syarat cukup untuk mengatakan bahwa bilangan itu genap. Perhatikan bahwa ini bukan syarat perlu, artinya tidak semua bilangan genap habis dibagi oleh 4. Lebih lanjut, suatu bilangan yang habis dibagi 2 adalah syarat cukup sekaligus syarat perlu untuk mengatakan bahwa bilangan itu genap.
  13. Bilangan habis dibagi 10 merupakan syarat cukup untuk mengatakan bahwa bilangan itu habis dibagi 5. Perhatikan bahwa ini bukan syarat perlu karena tidak semua bilangan yang habis dibagi 5 mengakibatkan bilangan itu juga habis dibagi 10, contohnya 5, 15, 25, 35, dan seterusnya.
  14. Menjadi bilangan rasional termasuk syarat cukup untuk menjadi bilangan real, tetapi bukan syarat perlu. Ini dikarenakan ada bilangan real yang bukan termasuk bilangan rasional.
  15. Suatu matriks yang berdeterminan 0 merupakan syarat cukup sekaligus syarat perlu untuk mengatakan bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers. Dengan kata lain, matriks berdeterminan 0 jika dan hanya jika matriks tersebut tidak memiliki invers.

Istilah “syarat perlu” dan “syarat cukup” memang jarang terdengar mengingat istilah tersebut hanya ada di dalam logika matematika. Namun, perlu ditekankan bahwa ketika sedang berbahasa, nalar harus tetap digunakan. Logika matematika seperti ini akan membantu kita untuk bernalar ketika sedang berbahasa dan menjauhkan kita dari kesesatan berpikir (fallacy).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Adapun contoh kesesatan berpikir akibat kesalahan bernalar yang sering terjadi dalam kehidupan sekitar kita dan dalam matematika adalah sebagai berikut.

  1. Jika kamu selalu berdoa, maka kamu pasti akan menjadi orang yang sukses. Kalimat ini kadang-kadang dapat diterima, tetapi bila kita berpikir lebih kritis, kita tahu bahwa “berdoa” saja tidak cukup untuk menjadikan seseorang itu sukses. Selain berdoa, ia juga harus berusaha. Jadi, kita katakan bahwa “kamu selalu berdoa” belum dapat disebut sebagai syarat cukup. Kalimat ini akan masuk akal secara nalar jika diubah menjadi seperti berikut: Jika kamu selalu berdoa dan berusaha, maka kamu pasti akan menjadi orang yang sukses.
  2. Jika $\pmb{x^2 = 4},$ maka $\pmb{x = 2}.$
    Pernyataan ini kurang tepat karena ada nilai $x$ lain yang dapat diterima, yaitu $x = -2.$ Dengan kata lain, $x^2 = 4$ tidak selalu mengakibatkan nilai $x = 2,$ tetapi bisa juga mengakibatkan $x = -2.$ Pernyataan akan benar jika ditulis sebagai berikut: Jika $\pmb{x^2 = 4},$ maka $\pmb{x = 2}$ atau $\pmb{x = -2}.$ Di lain sisi, $x = 2$ adalah syarat cukup untuk mengatakan $x^2 = 4.$

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *