Mengenal Istilah Aksioma, Postulat, Definisi, Teorema, Dalil, Lema, Korolari, dan Konjektur

Saat mempelajari matematika secara lebih mendalam, kita bakal sering menemukan istilah-istilah, seperti aksioma, postulat, definisi, teorema, dalil, dan sebagainya. Semua istilah tersebut berkaitan erat dengan logika proposisi, yaitu mengenai pembuktian kebenaran suatu pernyataan. Istilah-istilah tersebut barangkali belum dimunculkan di buku matematika SD, tetapi dipastikan muncul di buku matematika SMP dan jenjang di atasnya. Kadang-kadang istilah tersebut tidak dijelaskan pengertiannya secara detail. Oleh karena itu, simak baik-baik penjelasan tentang istilah-istilah tersebut.

Quote by Fiersa Besari

Nyatakan perasaan, hentikan penyesalan, maafkan kesalahan, tertawakan kenangan, dan kejar impian. Hidup terlalu singkat untuk dipakai meratap.

 

1. Aksioma/Postulat

Aksioma (axiom) adalah pernyataan yang diasumsikan (dianggap) benar dan bersifat umum sehingga tidak perlu dibuktikan lagi. Aksioma juga bisa diartikan sebagai prinsip/aturan yang berlaku secara universal.  Selain itu, aksioma bisa dipandang sebagai suatu pernyataan yang kebenarannya sudah mutlak dan tidak perlu diragukan lagi. Aksioma tidak perlu dibuktikan karena tidak memuat kontradiksi atau bisa juga karena kita jelas tahu bahwa pernyataan itu pasti benar.

Aksioma dipakai dalam ilmu eksak, sedangkan postulat dipakai dalam ilmu sosial, tetapi keduanya memiliki kesamaan arti sehingga penggunaannya dapat saling ditukar. 
Contoh aksioma:

  1. Untuk semua bilangan real $x$ dan $y,$ berlaku $x + y = y + x.$ Pernyataan ini selanjutnya dikenal sebagai hukum komutatif penjumlahan.
  2. Jika diberikan dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik tersebut.
  3. Apabila suatu garis dan suatu bidang memiliki dua atau lebih titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
  4. Garis lurus dapat dibuat dengan panjang sembarang.
  5. Besar sudut yang bersesuaian (berkorespondensi) yang dibentuk oleh perpotongan sebuah garis dan dua garis sejajar adalah sama.

2. Definisi

Definisi (definition) adalah pernyataan terkait konsep tertentu yang merupakan hasil kesepakatan bersama. Sebelumnya, perlu diketahui bahwa ada beberapa konsep yang tidak diberi definisinya. Sebagai contoh, titik, garis, dan bidang tidak memiliki definisi dalam kajian geometri. Contoh lain adalah $1 \div 0$ yang barangkali banyak menyesatkan orang.
Contoh definisi:

  1. Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai $0.$
  2. Nilai dari $0!$ (baca: nol faktorial) adalah $1.$

3. Teorema/Dalil

Teorema (theorem) adalah pernyataan yang kebenarannya dapat ditunjukkan melalui suatu pembuktian. Teorema umumnya terdiri dari dua bagian, yakni dugaan (hipotesis) dan kesimpulan (konklusi). Teorema muncul dari asumsi yang telah dibuat sebelumnya atau dari keterhubungan definisi yang satu terhadap definisi yang lain pada konsep tertentu. Teorema dan dalil adalah sinonim dan dapat saling ditukar penggunaannya, tetapi ada beberapa kasus penggunaannya cenderung menggunakan istilah tertentu. Sebagai contoh, istilah Dalil L’Hospital lebih lazim dipakai dibandingkan Teorema L’Hospital. Namun, perlu diperhatikan bahwa ini bukanlah suatu kesalahan, tetapi hanya kecenderungan preferensi pemakaian. Saat mempelajari matematika, teorema pasti sudah sangat lazim ditemui. Rumus-rumus yang kita kenal juga merupakan bagian dari teorema.  
Contoh teorema:

  1. Jika terdapat persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \ne 0,$ maka akar-akarnya adalah $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
  2. Teorema Pythagoras: Kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari panjang dua sisi lainnya.
  3. Identitas Pythagoras dalam trigonometri: Untuk setiap $x,$ berlaku $\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$

4. Lema

Lema (lemma) adalah teorema sederhana yang digunakan untuk membuktikan teorema lain yang lebih besar. Lema umumnya tidak terlalu menarik, tetapi penting karena dapat digunakan untuk membuktikan hal-hal yang lebih kompleks. Setiap lema dibuktikan secara individual (sendiri-sendiri), tetapi pembuktian teorema terkadang memerlukan beberapa lema sekaligus.
Contoh:

  1. Jika $n$ adalah bilangan bulat positif, maka $n-1 \geq 0.$
  2. Jika $n$ adalah bilangan real positif, maka $\dfrac{1}{n} > 0.$
  3. Lema Jabat Tangan (Handshaking Lemma) dalam Teori Graf: Jumlah derajat semua simpul pada setiap graf adalah genap, yaitu 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut.

5. Korolari

Korolari (corollary) atau konsekuensi/akibat adalah teorema yang dibentuk langsung dari teorema lain yang sudah ada. Dapat juga dikatakan bahwa korolari adalah teorema yang mengikuti dari teorema lain.
Contoh teorema:

  1. Jika dua sisi suatu segitiga panjangnya sama, maka sudut di hadapan kedua sisi tersebut sama besar.

Contoh korolari (sebagai akibat dari teorema di atas):

  1. Jika terdapat segitiga sama sisi, maka ketiga sudut pada segitiga tersebut sama besar.

6. Konjektur

Konjektur (conjecture) adalah pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui secara pasti. Biasanya konjektur diajukan secara terbuka dalam suatu forum untuk dibuktikan nilai kebenarannya: benar atau salah. Jika terbukti benar, maka konjektur tersebut secara otomatis berubah menjadi teorema.
Contoh:
Konjektur Goldbach: Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari dua dapat ditulis sebagai penjumlahan dari dua bilangan prima. Pernyataan tersebut berlaku untuk bilangan genap sampai $4 \times 10^{18},$ tetapi tidak ada bukti formal yang membuat pernyataan tersebut berlaku umum untuk setiap bilangan bulat genap.

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments