Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika pada Deret dan Ketaksamaan Bilangan

Induksi matematika (kadang juga disebut sebagai induksi matematis, atau dalam bahasa Inggris, mathematical induction) pada awalnya adalah salah satu metode pembuktian pernyataan matematika yang melibatkan bilangan asli dan proses pembuktiannya menggunakan dua langkah utama: langkah basis (basis step) dan langkah induktif (inductive step).  

Les Matematika Online

Teorema yang berlaku untuk setiap bilangan asli (atau hanya tidak berlaku untuk bilangan asli tertentu) memiliki kemungkinan untuk dapat dibuktikan kebenarannya dengan induksi matematika. Tidak terbatas pada itu, induksi matematika bahkan dapat diperluas untuk pembuktian yang melibatkan bilangan bulat. Namun, perlu diperhatikan bahwa penggunaan induksi matematika sebagai salah satu metode pembuktian tidak secara khusus untuk memproduksi pernyataan baru lainnya, melainkan untuk memverifikasi kebenaran dari suatu dugaan (konjektur) kita. 

Baca: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

Induksi matematika bekerja layaknya efek domino yang memiliki prinsip bahwa ketika satu domino jatuh, domino yang lain juga akan jatuh. Prinsip yang sama dengan efek domino juga terjadi pada mekanisme Rube Goldberg Machine. Ada dua langkah utama dalam proses membuktikan suatu proposisi dengan menggunakan induksi matematika.

Mekanisme Rube Goldberg Machine
Mekanisme Rube Goldberg Machine

Tahap I: Langkah Basis

Tunjukkan bahwa $P(n)$ benar untuk $n = n_0$ dengan $n_0$ adalah bilangan terkecil dari himpunan pembicaraan.

Tahap II: Langkah Induktif

Tunjukkan bahwa untuk sembarang $k,$  jika $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ juga benar. Secara matematis ditulis, $\forall k \, (P(k) \Rightarrow P(k+1)).$

Perhatikan bahwa kita dapat memodifikasi prinsip induksi matematika melalui perubahan langkah basis dan langkah induktif seperti beberapa contoh berikut.

$P(n)$ benar untuk semua bilangan genap positif $n.$

Langkah Basis:
Tunjukkan bahwa $P(2)$ benar.

Langkah Induktif:
Untuk sembarangan bilangan genap positif $k,$ tunjukkan bahwa jika $P(k)$ benar, maka $P(k + 2)$ benar.

$P(n)$ benar untuk semua bilangan ganjil positif $n.$

Langkah Basis:
Tunjukkan bahwa $P(1)$ benar.

Langkah Induktif:
Untuk sembarang bilangan ganjil positif $k,$ tunjukkan bahwa jika $P(k)$ benar, maka $P(k + 2)$ benar.

$P(n)$ benar untuk $n = -7, -2, 3, 8,$ $13, 18, \cdots$

Langkah Basis:
Tunjukkan bahwa $P(-7)$ benar.

Langkah Induktif:
Untuk $k =  -7, -2, 3, 8, 13, 18, \cdots,$ tunjukkan bahwa jika $P(k)$ benar, maka $P(k + 5)$ benar.

$P(n)$ benar untuk semua bilangan bulat $n.$

Langkah Basis:
Tunjukkan bahwa $P_{0}$ benar  dan tunjukkan bahwa $P(-1)$ benar.

Langkah Induktif:
Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif $k,$ tunjukkan bahwa jika $P(k)$ benar, maka $P(k + 1)$ benar dan untuk setiap bilangan bulat negatif $k,$ tunjukkan bahwa jika $P(k)$ benar, maka $P(k-1)$ benar.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Today Quote

Beberapa orang seperti lilin, yang membakar diri mereka sendiri untuk memberi cahaya kepada benda di sekitarnya.

Soal-soal induksi matematika berikut mengenai pembuktian deret dan ketaksamaan bilangan. Soal juga tersedia dalam PDF yang dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 110 KB). Untuk soal mengenai keterbagian bilangan, dapat dilihat di tautan berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika pada Keterbagian Bilangan


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Induksi Matematika} & \text{Mathematical Induction} \\ 2. & \text{Langkah Basis} & \text{Basis Step} \\ 3. & \text{Langkah Induktif} & \text{Inductive Step} \\ 4. & \text{Barisan} & \text{Sequence} \\ 5. & \text{Deret} & \text{Series} \\ 6. & \text{Bilangan Asli} & \text{Natural Number} \\ 7. & \text{Bilangan Cacah} & \text{Whole Number} \\ 8. & \text{Bilangan Bulat Nonnegatif} & \text{Nonnegative Integer} \\ 9. & \text{Suku} & \text{Term} \\ 10. & \text{Ketaksamaan} & \text{Inequality} \\ \hline \end{array}$$


Soal Nomor 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$P(n) : 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)} {2}$$bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n) : 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)} {2}.$ 
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1) : 1 = \dfrac{1(1+1)} {2}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k) : 1 + 2+ 3 + \cdots + k= \dfrac{k(k+1)} {2}.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$\begin{aligned} P(k+1) & : \, 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)} {2}. \bigstar \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + k}_{P(k)} + (k+1) & = \dfrac{k(k+1)} {2} + \dfrac{2(k+1)} {2} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 2

Buktikan bahwa
$$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n^2+n$$untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n^2+n.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 1,$ diperoleh
$P(1): 2 = 1^2 + 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k= k^2+k.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): &~ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k + 2(k+1) \\ & = (k+1)^2+(k+1) && \bigstar \end{aligned} $$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{2 + 4 + 6 + \cdots + 2k}_{P(k)} + 2(k+1) & = (k^2 + k) + (2k+2) \\ & = (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) \\ & = (k+1)^2+(k+1). \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

Soal Nomor 3

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$P(n): 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)} {6}$$bernilai benar untuk semua bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)} {6}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = \dfrac{1(1+1)(2+1)} {6} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1):~& 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2}_{P(k)} + (k+1)^2  & = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6} + (k+1)^2 \\ & = (k+1) \times \dfrac{k(2k+1)+6(k+1)} {6} \\ & = (k+1) \times \dfrac{2k^2 + 7k+ 6}{6} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$P(n): 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$$bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)= n^2.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1 = 1^2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)= k^2.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) &: 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) \\ & = (k+1)^2. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned}  \underbrace{1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)}_{P(k)} + (2k+1) &  = k^2 + 2k+1\\ & = (k+1)^2. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} {3}$$bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} {3}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1(2) = \dfrac{1(1+1)(1+2)} {3} = 2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1)= \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1)}_{P(k)} + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3} + \dfrac{3(k+1)(k+2)} {3} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan dengan induksi matematika bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{n} {2n+1}$$berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n): \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{n} {2n+1}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} P(1): \dfrac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)} & = \dfrac{1}{2(1)+1} \\ & = \dfrac{1}{3}. \end{aligned}$
Pernyataan di atas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$P(m) : \displaystyle \sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m} {2m+1}.$
Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1) : \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m+1}{2m+3}}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}  & = \underbrace{\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}} _{P(m)} + \sum_{k=m+1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} \\ & = \dfrac{m} {2m+1}+ \dfrac{1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{m(2m+3)+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{2m^2+3m+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2m+1)}(m+1)}{\cancel{(2m+1)}(2m+3)} \\ & = \boxed{\dfrac{m+1}{2m+3}}. \end{aligned}$$Jadi, $P(m+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$  

[collapse]

Soal Nomor 7

Tunjukkan bahwa dalam barisan aritmetika berlaku $$S_n = \dfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b), n \in \mathbb{N}$$dengan $a$ dan $b$ berturut-turut adalah suku pertama dan beda antarsuku.

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): S_n = \dfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b).$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, didapat $P(1): S_1 = \dfrac{1}{2}(1)(2a) = a.$
Pernyataan ini benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): S_k = \dfrac{1}{2}k(2a + (k-1)b).$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): S_{k+1} = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a + kb).~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & = \dfrac{1}{2}(k) (2a+(n-1)b) + (a + kb) \\ & = ak + \dfrac{1}{2}bk^2 + a + \dfrac{1}{2}bk \\ & = \left(\dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{2}\right) (2a+kb) \\ & = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a+kb). && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan:
Dalam barisan aritmetika, suku ke-$n$ adalah $U_n = a + (n -1)b$ dengan $a$ merupakan suku pertama, sedangkan $b$ adalah beda antarsuku.

[collapse]

Soal Nomor 8

Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku
$$S_n = \dfrac{a(r^n-1)} {r -1}, r > 1, n \in \mathbb{N}$$dengan $a$ dan $r$ berturut-turut adalah suku pertama dan rasio barisan.

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): S_n = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): S_1 = \dfrac{a(r^1-1)} {r -1} = a.$
Pernyataan di atas benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): S_k = \dfrac{a(r^k-1)} {r-1}.$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): S_{k+1} = \dfrac{a(r^{k+1} -1)}{r -1}.~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & =  \dfrac{a(r^k-1)} {r-1} + ar^k \\ & = \dfrac{a(r^k -1) + ar^k (r -1)}{r -1} \\ & = \dfrac{a(\cancel{r^k} -1 + r^{k+1} \cancel{-r^k})}{r-1} \\ & = \dfrac{a(r^{k+1} -1)}{r-1}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan:
Dalam barisan geometri, suku ke-$n$ adalah $U_n = ar^{n-1}.$

[collapse]

Soal Nomor 9

Buktikan bahwa
$$1^2 -2^2 + 3^2 -\cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)} {2}$$untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):  1^2 -2^2 + 3^2 -\cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)}{2}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = (-1)^{1+1}\dfrac{1(1+1)} {2} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k) : 1^2 -2^2 + 3^2 -\cdots + (-1)^{k+1}  = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1^2 -2^2 +3^2-\cdots + (-1)^{k+1}k^2 + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+2}\dfrac{(k+1)(k+2)} {2} && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^2 -2^2 +3^2-\cdots + (-1)^{k+1}k^2}_{P(k)} + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2} + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2} + \dfrac{2(-1)^{k+2}(k+1)^2}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^k(k+1)(-k + 2(k+1))}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^k(k+1)(k+2)}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^{k+2}(k+1)(k+2)}{2}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan: $$\boxed{(-1)^{k+2} = (-1)^k(-1)^2 = (-1)^k(1) = (-1)^k}$$

[collapse]

Soal Nomor 10

Buktikan bahwa untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, berlaku
$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n -1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)} {3}.$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)} {3}.$$Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = \dfrac{1(2(1)-1)(2(1)+1)} {3} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2 = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan

$$\begin{aligned} P(k+1) & :  1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2 + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2}_{P(k)} + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{k(2k-1) + 3(2k+1)} {3}\right) \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{2k^2+5k+3}{3}\right) \\& = (2k+1)\left(\dfrac{(2k+3)(k+1)} {3}\right) \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 11

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa $$1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$$untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1).$$Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^3 = 1^2(2(1)^2-1) = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$\begin{aligned} P(k): 1^3 + 3^3 & + 5^3 + \cdots + \\ & (2k-1)^3 = \color{blue}{k^2(2k^2-1)}. \end{aligned}$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): 1^3 + 3^3 + & 5^3 + \cdots + (2k-1)^3 + (2k + 1)^3 \\ &  = \color{red}{(k+1)^2(2(k+1)^2-1)}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2k-1)^3}_{P(k)} + (2k + 1)^3 \\ & = \color{blue}{k^2(2k^2-1)} + (2k+1)^3 \\ & = 2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1 \\ &= 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1 \\ & = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) \\ & = \color{red}{(k+1)^2(2(k+1)^2-1)}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 12

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n}{n+1}$$untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n}{n+1}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1 \cdot 2} = \dfrac{1} {1+1} = \dfrac{1}{2}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{k}{k+1}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar  dengan
$$P(k+1): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k+1}{k+2}.~~\bigstar$$Perhatikan bahwa
$$ \begin{aligned} \underbrace{\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)}}_{P(k)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}  & = \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{k+2}. &&  \bigstar\end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 13

Buktikan dengan induksi matematika bahwa proposisi berikut ini benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. 
$$\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots +\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(n+3)} {4(n+1)(n+2)}$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$\begin{aligned} P(n): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}&+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \\ & \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(n+3)} {4(n+1)(n+2)}. \end{aligned}$$Langkah Basis:
Untuk $n=1,$ diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{1(1+3)} {4(1+1)(1+2)} = \dfrac{1}{6}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{aligned} P(k): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}&+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \\ & \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{k(k+3)} {4(k+1)(k+2)}. \end{aligned}$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): & \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} \\ & + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \dfrac{(k+1)(k+4)} {4(k+2)(k+3)}.~~\bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$ \begin{aligned} & \underbrace{\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}_{P(k)}  + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k(k+3)} {4(k+1)(k+2)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k(k+3)^2}{4(k+1)(k+2)(k+3)} + \dfrac{4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k^3 + 6k^2 + 9k + 4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{\cancel{(k+1)} (k+1)(k+4)}{4\cancel{(k+1)} (k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+4)} {4(k+2)(k+3)}.~~ \bigstar\end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 14

Temukan rumus untuk menentukan hasil penjumlahan dari
$$\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots m} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdots (m+1)} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-1)}$$dengan $n, m \in \mathbb{N}.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-1)} & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \dfrac{(n+m-1)-n}{n(n+1)\cdots (n+m-1)} \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-2)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)}\right). \end{aligned}$$Misalkan $f(n, m) = \dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-1)}$ sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n f(k, m) & = \dfrac{1}{m-1} \sum_{k=1}^n (f(k, m-1)-f(k+1, m-1)) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\sum_{k=1}^n f(k, m-1)-\sum_{k=2}^{n+1} f(k, m-1)\right) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot (f(1, m-1)-f(n+1, m-1)) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdots (m-1)} -\dfrac{1}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)}\right). \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 15

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
$$\displaystyle \sum_{k = 1}^n k \cdot 3^k = \dfrac{(2n-1) \cdot 3^{n+1}+ 3}{4}$$berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n) : \displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k = \dfrac{(2n-1) \cdot  3^{n+1}+3}{4}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$$P(1): 1 \cdot 3^1 = \dfrac{(2(1)-1) \cdot 3^{1+1}+3}{4} = 3.$$Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$$P(m): \displaystyle \sum_{k=1}^m k \cdot 3^k = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4}.$$Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1): \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} k \cdot 3^k = \dfrac{(2m+1) \cdot 3^{m+2}+3}{4}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} k \cdot 3^k & = \underbrace{\sum_{k=1}^m k \cdot 3^k} _{P(m)} + \sum_{k=m+1}^{m+1} k \cdot 3^k \\ & = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4} + (m+1). 3^{m+1} \\ & = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4} + \dfrac{4(m+1) \cdot 3^{m+1}} {4} \\ & = \dfrac{(2m-1+4m+4) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{(6m + 3) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{3(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \boxed{\dfrac{(2m+1) \cdot 3^{m+2} + 3}{4}} \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 16

Buktikan bahwa $$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n = 2^{n+1} -1$$untuk setiap bilangan cacah $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan cacah. Definisikan $$P(n): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n = 2^{n+1} -1.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 0$, diperoleh
$P(0) : 1 = 2^{0+1}-1 = 1.$
Pernyataan $P(0)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan cacah $k,$ berlaku
$$P(k): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k= 2^{k+1} -1.$$Asumsikan $ P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k + 2^{k+1} = 2^{k+2} -1.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k}_{2^{k+1} -1} + 2^{k+1} \\ & = 2^{k+1} -1 + 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k+1} -1 \\ & =2^{k+2} -1. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(0)$ benar dan untuk sembarang bilangan cacah $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan cacah $n.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 17

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku
$$\displaystyle \sum_{i = 1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^3 = \left[\dfrac{1(1+1)}{2}\right]^2 = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left[\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3}_{P(k)} + (k+1)^3 & = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3 \\ & = \dfrac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} \\ & = (k+1)^2\dfrac{k^2+4(k+1)}{4} \\ & = (k+1)^2\dfrac{(k+2)^2}{4} \\ & =  \left[\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 18

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^n i^4 & = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 \\ & = \dfrac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}. \end{aligned}$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \dfrac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}.$$Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$$P(1): 1^4 =\dfrac{1(1+1)(6(1)^3+9(1)^2+(1)-1)}{30} = 1.$$Pernyataan di atas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 + (k+1)^4 \\ &  = \dfrac{(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+(k+1)-1)}{30}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4}_{P(k)} + (k+1)^4 \\ & = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30} + (k+1)^4 \\ & = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30} + \dfrac{30(k+1)^4}{30} \\ & = (k+1)\dfrac{6k^4+9k^3+k^2-k+30k^3+90k^2+90k+30}{30} \\ & = (k+1)\dfrac{6k^4+39k^3+91k^2+89k+30}{30} \\ & = (k+1)(k+2)\dfrac{6k^3+27k^2+37k+15}{30} \\ & =  \dfrac{(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+(k+1)-1)}{30}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 19

Carilah dan buktikan melalui induksi matematika suatu rumus sesuai dengan pengamatan pola berikut.
$$\begin{aligned} 1^3 & = 1 \\ 2^3 & = 3 + 5 \\ 3^3 & = 7 + 9 + 11 \\ 4^3 & = 13 + 15 + 17 + 19 \end{aligned}$$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 1^3 & = 1 \cdot 0 + 1 \\ 2^3 & = (2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 1 + 3) \\ 3^3 & = (3 \cdot 2 + 1) + (3 \cdot 2 + 3) + (3 \cdot 2 + 5) \\ 4^3 & = (4 \cdot 3 + 1) + (4 \cdot 3 + 3) + (4 \cdot 3 + 5) + (4 \cdot 3 + 7). \end{aligned}$$Dari sini, kita bisa membuat konjektur bahwa
$$n^3= (n(n-1) + 1) + (n(n-1) + 3) + \cdots + (n(n-1) + (2n-1))$$berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$
Kita akan membuktikan kebenaran konjektur ini dengan menggunakan induksi matematika.
Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan

$$P(n) : n^3 = (n(n-1) + 1) + (n(n-1) + 3) + \cdots + (n(n-1) + (2n-1)).$$Langkah Basis:
$P(1)$ benar karena $1^3 = 1(1-1) + 1 = 1.$ Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$P(k)$ benar, yaitu $$k^3 = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)).$$Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ benar, yaitu $$(k+1)^3 = ((k+1)(k) + 1) + ((k+1)(k) + 3) + \cdots + ((k+1)(k) + (2k-1)) + ((k+1)(k) + (2k+1)).$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (k+1)^3 & = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \\ & = {\color{red}{(k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1))}} + 3k^2 + 3k + 1 \\ & = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)) + 2k^2 + (k^2 + k) + (2k + 1) \\ & = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)) + \underbrace{2k + 2k + \cdots + 2k}_{\text{Sebanyak}~k} + k(k + 1) + (2k + 1) \\ & = (k(k-1+2) + 1) + (k(k-1+2) + 3) + \cdots + (k(k-1+2) + (2k-1)) + k(k + 1) + (2k + 1) \\ & = ((k+1)k + 1) + ((k+1)k + 3) + \cdots + ((k+1)k + (2k-1)) + ((k+1)k + (2k + 1)). \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 20

Buktikan bahwa jika $n \in \mathbb{N}$, maka $n > 0.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): n > 0.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1): 1 > 0$.
Pernyataan ini jelas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k): k > 0.$
Asumsikan $P(k)$ benar sehingga harus ditunjukkan bahwa $P(k+1): k + 1 > 0$ juga benar.
Perhatikan bahwa $k > 0$ (berdasarkan asumsi) menunjukkan $k$ merupakan elemen dari himpunan bilangan positif $\mathbb{P}$, atau ditulis $k \in \mathbb{P}.$ Ini juga sama untuk $1 > 0$ sehingga $1 \in \mathbb{P}$. Untuk itu, berdasarkan definisi kepositivan bilangan: jika $a, b \in \mathbb{P}$, maka $a + b \in \mathbb{P},$ terbukti bahwa $k + 1 > 0.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Komentar: Anda tidak boleh menerka bahwa setiap bilangan asli adalah bilangan positif dengan hanya melihat anggota/elemen himpunan bilangan asli itu. Konsep yang ditegaskan dalam hal ini adalah kepositivan bilangan. Konsep ini dipelajari untuk menjawab definisi kepositivan, bagaimana suatu bilangan bisa dikatakan positif atau negatif, dan sebagainya.

[collapse]

Soal Nomor 21

Buktikan bahwa $P(n): 2^n > n + 20$ bernilai benar untuk setiap bilangan bulat $n \geq 5.$

Pembahasan

Misalkan $n \ge 5$ merupakan bilangan bulat. Diberikan $P(n): 2^n > n + 20.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 5$, diperoleh
$P(5): 2^5 = 32 > 5 + 20 = 25.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 5$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan bulat $k \ge 5 ,$ berlaku $P(k): 2^k > k + 20.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): 2^{k+1} > (k+1) + 20.~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2^{k+1} & = 2^k \times 2 \\ & > 2(k + 20) \\ & = 2k + 40 \\ & > 2k + 21 \\ & > k + 21 \\ & = (k+1) + 20. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(5)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 5,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n \ge 5.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 22

Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli $n$, berlaku
$$\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}.$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}.$$Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1} < 2\sqrt{1} \Leftrightarrow 1 < 2.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) : \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}  < 2\sqrt{k+1}. \end{aligned} $$Sekarang perhatikan bahwa ekspresi di atas memberlakukan
$$\begin{aligned} 2\sqrt{k} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & < 2\sqrt{k+1} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\  2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} & < 2\sqrt{k+1} \\  2\sqrt{k^{2}+k}+1 & < 2k+2 \\  2\sqrt{k^{2}+k} & < 2k+1 \\  4k^{2}+4k & < 4k^{2}+4k+1 \\  0 & < 1. \end{aligned}$$Ketaksamaan terakhir jelas benar (berdasarkan teorema kepositivan dalam analisis real). Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 23

Jika diberikan $a > 1$, buktikan bahwa $a^n > 1$ untuk setiap bilangan asli $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli dan $a > 1.$ Definisikan $P(n) : a^n > 1.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1) : a^1 = a > 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k) : a^k > 1.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan $P(k+1) : a^{k+1} > 1.$
Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian analisis real) yang menyatakan bahwa jika $a > b$ dan $x > y$, maka $ax > by$ untuk $a, b, x, y \in \mathbb{R}.$ 
Diketahui bahwa $a > 1$ dan juga dari asumsi bahwa $a^k > 1.$ Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat
$a \cdot a^k > 1 \times 1 \Leftrightarrow a^{k+1} > 1.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 24

Diketahui $0 < a < 1$. Buktikan $0 < a^n < 1$ untuk bilangan bulat positif $n.$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat positif dan $0 < a < 1.$ Definisikan $P(n) : 0 < a^n < 1.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1) : 0 < a^1 < 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k) : 0 < a^k < 1.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan $P(k+1) : 0 < a^{k+1} < 1.$
Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian analisis real) yang menyatakan bahwa jika $0 < a < b$ dan $0 < x < y,$ maka $0 < ax < by$ untuk $a, b, x, y \in \mathbb{R}.$ 
Diketahui bahwa $0<a<1$ dan juga dari asumsi bahwa $0<a^k <1$. Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat
$0 < a \cdot a^k < 1 \times 1 \Leftrightarrow 0 < a^{k+1} < 1.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 25

Untuk setiap bilangan asli $n,$ buktikan bahwa
$$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq 2-\dfrac{1}{n}.$$

Pembahasan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n)$: $1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq 2-\dfrac{1}{n}.$ 
Langkah Basis:

Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1)$: $1 \leq 2 -\dfrac{1}{1} = 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} \leq 2-\dfrac{1}{k}.$$Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}\leq 2-\dfrac{1}{k+1}.$$Perhatikan bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & k(k+1) \leq (k+1)(k+1) \\ & \dfrac{1}{k(k+1)} \geq \dfrac{1}{(k+1)(k+1)} \\ & \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1}. \end{aligned}}$
Pada pertidaksamaan
$1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} \leq 2-\dfrac{1}{k},$
tambahkan $\dfrac{1}{(k+1)^2}$ pada kedua ruasnya sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \underbrace{1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2}}_{\leq 2 -\frac{1}{k}} \color{blue}{+\dfrac{1}{(k+1)^2}} \leq 2-\dfrac{1}{k} \color{blue}{+\dfrac{1}{(k+1)^2}}.  \end{aligned}$$Dengan menggunakan ketaksamaan $\dfrac{1}{(k+1)(k+1)} \leq \dfrac{1}{k(k+1)}$, didapat
$$2 -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2 -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k(k+1)}.$$Tambahkan bilangan positif $\dfrac{1}{k}$ di ruas kanan sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah. 
$$2-\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2 -\dfrac{1}{k} \color{blue}{+ \dfrac{1}{k}} + \dfrac{1}{k(k+1)}.$$Dari bentuk di atas, diperoleh
$$2-\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\dfrac{1}{k(k+1)}$$atau dikembalikan sebagai
$$\begin{aligned} 1+\dfrac{1}{2^2} +\cdots+\dfrac{1}{k^2}+ \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\dfrac{1}{k(k+1)}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 26

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan $2^n < n!$ untuk setiap bilangan asli $n \geq 4.$

Pembahasan

Misalkan $n \ge 4$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n) : 2^n < n!.$
Langkah Basis:

Untuk $n = 4$, diperoleh
$P(4) : 2^4 = 16 < 4! = 24.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 4$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 4,$ berlaku $P(k): 2^k < k!.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar untuk $k \geq 4.$ Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$P(k+1): 2^{k+1} < (k+1)!.$
Perhatikanlah fakta yang dapat digunakan untuk menjalankan induksi sebagai berikut. 
$$k \geq 4 \Rightarrow k > 1 \Leftrightarrow k + 1 > 2$$ Sekarang perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2^k & < k! \\ \color{blue}{2} \cdot 2^k & < \color{blue}{(k+1)} \cdot k! \\ 2^{k+1} & < (k+1)!. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(4)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 4,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n \ge 4.$ $\blacksquare$ 

[collapse]

Soal Nomor 27

Sebuah kios penukaran uang hanya mempunyai pecahan uang senilai Rp2.000,00 dan Rp5.000,00. Untuk uang senilai berapa saja yang dapat ditukar dengan kedua pecahan uang tersebut? Buktikan jawaban Anda dengan menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Jumlah uang dengan kombinasi pecahan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00 dapat ditulis sebagai $2a + 5b$ dengan $m$ dan $n$ berturut-turut menyatakan banyak pecahan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00. Penukaran uang tentunya dilakukan saat uang yang kita miliki lebih besar. Jadi, kita membuat konjektur bahwa uang senilai $n$ ribu rupiah dapat ditukar untuk setiap bilangan asli $n \ge 6.$
Misalkan $P(n)$ menyatakan uang senilai $n$ ribu rupiah dapat ditukar dengan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00.
Langkah Basis:
$P(6)$ benar karena 6 ribu rupiah dapat ditukar oleh 3 lembar pecahan uang Rp2.000,00.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 6,$ $P(k)$ benar, yaitu uang senilai $k$ ribu rupiah dapat ditukar dengan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ benar, yaitu uang senilai $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Ada dua kemungkinan yang harus ditinjau.
Kemungkinan 1:
Jika kita menukar $k$ ribu rupiah dengan pecahan uang Rp2.000,00 saja, paling sedikit dibutuhkan 3 lembar pecahan uang tersebut (karena $k \ge 6$). Ganti 2 lembar pecahan uang Rp2.000,00 dengan $1$ lembar pecahan uang Rp5.000,00 sehingga $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Kemungkinan 2:
Jika kita menukar $k$ ribu rupiah dengan pecahan uang Rp5.000,00 saja, paling sedikit dibutuhkan 2 lembar pecahan uang tersebut (karena $k \ge 6$). Ganti 1 lembar pecahan uang Rp5.000,00 dengan $3$ lembar pecahan uang Rp2.000,00 sehingga $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Karena dua kemungkinan itu terpenuhi, kita simpulkan bahwa $P(k+1)$ benar.
Karena $P(6)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 6,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n\ge 6.$ $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Blog Edukasi Indonesia