Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika

   Tahukah Anda mengenai keping domino? Keping domino terbuat dari plastik resin, yang tebalnya kurang lebih 7 mm dan ukurannya sekitar 5 x 2,5 cm. Ketika keping-keping domino dibariskan dalam jumlah banyak dengan diberi jarak beberapa sentimeter, maka ketika keping domino terdepan dijatuhkan ke keping domino dibelakangnya, akan terlihat bahwa semua keping domino yang dibariskan akan jatuh. Kejadian ini disebut efek domino.

        Efek domino tidak hanya berlaku untuk keping-keping yang sama besarnya. Pada tahun 2001, seorang fisikawan dari Exploratorium San Fransisco, melakukan eksperimen dengan membuat keping domino dari kayu lapis sebanyak 8 keping, masing-masing 50% lebih besar dari keping sebelumnya. Keping yang pertama ukurannya 5 cm, keping yang kedua ukurannya 7,5 cm. Domino yang pertama menyentuh dengan bunyi “tik” yang lembut, tetapi berakhir dengan suara “bum” yang keras. Bayangkan apa yang terjadi bila rangkaian ini diteruskan. Jika dibuat, keping domino ke-18 sudah menandingi tinggi Menara Pisa, keping ke-31 lebih tinggi 900 meter dengan Mount Everest, dan keping ke-57 sudah menyamai jarak Bumi ke Bulan (dikutip dari: http://handojowibowo.blogspot.com/).

      Prinsip induksi matematika dapat dianalogikan seperti efek domino yang telah dijelaskan sebelumnya. Induksi matematika (atau induksi lengkap) adalah metode pembuktian matematika bahwa setiap pernyataan benar untuk setiap bilangan asli (atau tidak berlaku hanya untuk bilangan asli tertentu). Suatu rumus atau lema umum yang berlaku untuk setiap bilangan asli (atau hanya tidak berlaku untuk bilangan asli tertentu) dapat dibuktikan kebenarannya dengan induksi matematika. Langkah-langkah dalam membuktikannya secara induksi adalah:
Tahap I: Basis Induksi 
Lakukan pemisalan bahwa pernyataan yang diberikan adalah P_n, dengan n sebagai variabel induksi. Tunjukkan bahwa rumus atau pernyataan benar jika n = 1 (atau bilangan asli terkecil yang diberikan). Jika benar, lanjutkan ke tahap kedua.
Tahap II: Langkah Induksi
Tunjukkan bahwa jika rumus atau pernyataan benar untuk P_k (hipotesis induksi), maka juga benar untuk P_{k+1}. Secara matematis ditulis, P_k \Rightarrow P_{k+1}  (kedua pernyataannya harus BENAR).
Catatan: Prinsip yang sama dengan efek domino juga terjadi pada mekanisme Rube Goldberg Machine.

Mekanisme Rube Goldberg Machine
Mekanisme Rube Goldberg Machine

Soal Nomor 1
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
P_n: 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)} {2}
bernilai benar untuk setiap n \geq 1

Penyelesaian

Basis Induksi:
Diberikan
P_n: 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)} {2}

Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1 = \dfrac{1(1+1)} {2}
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 1 + 2+ 3 + \cdots + k= \dfrac{k(k+1)} {2}
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} P_{k+1}: & 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)} {2} \bigstar \end{aligned}
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut.
\begin{aligned} & \underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + k}_{P_k} + (k+1) \\ & = \dfrac{k(k+1)} {2} + \dfrac{2(k+1)} {2} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 2
Buktikan bahwa
2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n^2+n
untuk n bilangan asli.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
P_n: 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n^2+n
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 2 = 1^2 + 1
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Mis
P_k: 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k= k^2+k
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} P_{k+1}: & 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k + 2(k+1) \\ & = (k+1)^2+2(k+1) \end{aligned} \bigstar
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
\begin{aligned} & \underbrace{2 + 4 + 6 + \cdots + 2k}_{P_k} + 2(k+1) \\ & = (k^2 + k) + (2k+2) \\ & = (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) \\ & = (k+1)^2+(k+1) \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
P_n: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)} {6}
bernilai benar untuk semua n \geq 1.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Diberikan
P_n: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)} {6}
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1^2 = \dfrac{1(1+1)(2+1)} {6} = 1
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6}
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} P_{k+1}: & 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6} \bigstar \end{aligned}
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
\begin{aligned} & \underbrace{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2}_{P_k} + (k+1)^2 \\ & = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6} + (k+1)^2 \\ & = (k+1) \times \dfrac{k(2k+1)+6(k+1)} {6} \\ & = (k+1) \times \dfrac{2k^2 + 7k+ 6}{6} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6} \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa P_n: 2^n > n + 20 bernilai benar untuk setiap bilangan bulat n \geq 5.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Diberikan
P_n: 2^n > n + 20
Ambil n = 5, diperoleh
P_1: 2^5 = 32 > 5 + 20 = 25
Jelas bahwa 32 > 25, berarti persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 5, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 2^k > k + 20
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
P_{k+1}: 2^{k+1} > (k+1) + 20 \bigstar
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri lebih besar dari ruas kanan sebagai berikut.
\begin{aligned} & 2^{k+1} = 2^k \times 2 > 2(k + 20) \\ & = 2k + 40 > 2k + 21 > k + 21 = (k+1) + 20 \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \geq 5, n \in \mathbb{Z}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 5
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
P_n: 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2
bernilai benar untuk setiap n \geq 1.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Diberikan
P_n: 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)= n^2
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1 = 1^2
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)= k^2
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} P_{k+1} & = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) \\ & = (k+1)^2 \bigstar \end{aligned}
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut.
\begin{aligned} & \underbrace{1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)}_{P_k} + (2k+1) \\ &  = k^2 + 2k+1\\ & = (k+1)^2 \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 6 
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
P_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} {3}
bernilai benar untuk setiap n \geq 1.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Diberikan
P_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} {3}
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1(2) = \dfrac{1(1+1)(1+2)} {3} = 2
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k+1)= \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3}
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} & P_{k+1} \\ & = 1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3} \bigstar \end{aligned}
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut
\begin{aligned} & \underbrace{1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k+1)}_{P_k} + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3} + \dfrac{3(k+1)(k+2)} {3} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3} \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 7
Buktikan n^3 - n habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan asli.

Penyelesaian

Basis induksi:
Misalkan
P_n: n^3 - n habis dibagi 6.
Ambil n = 1, sehingga diperoleh
P_1: 1^3 - 1 = 0 habis dibagi 6. Pernyataan ini jelas benar. Jadi, P_n benar untuk n = 1.
Langkah induksi:
Misalkan
P_k: k^3 - k habis dibagi 6, merupakan pernyataan yang diasumsikan benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar. Dalam hal ini,
P_{k+1}: (k+1)^3 - (k+1) habis dibagi 6.
Ekspresi pada P_{k+1} dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} (k+1)^3 - (k+1) & = k^3 + 3k^2 + 2k \\ & = (n^3 - n) + (3n^2 + 3n) \\ & = (n^3 - n) + 3n(n+1) \end{aligned}
Ekspresi terakhir terdiri dari dua suku. Suku pertama adalah (n^3 - n), habis dibagi 6, berdasarkan asumsi sebelumnya. Suku kedua adalah 3n(n+1), juga habis dibagi 6, karena mengandung faktor 3 dan salah satu di antara n atau n+1 merupakan bilangan genap sehingga mengandung faktor 2. Oleh karenanya, P_{k+1} benar.
Jadi, dapat disimpulkan kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare
Catatan: Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan itu habis dibagi 2 (genap) sekaligus habis dibagi 3.

[collapse]

Soal Nomor 8
Untuk semua bilangan asli n \geq 1, buktikan bahwa n^3 + 2n adalah kelipatan 3.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Perhatikan bahwa n^3 + 2n merupakan kelipatan 3 atau dengan kata lain, n^3 + 2n habis dibagi 3.
Misalkan
P_n: 3~|~n^3 + 2n
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 3~|~1^3 + 2(1)
Jelas bahwa 3 membagi habis dirinya sendiri, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 3~|~k^3+2k
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
P_{k+1}: 3~|~(k+1)^3+2(k+1) \bigstar
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa (k+1)^3 + 2(k+1) juga merupakan kelipatan 3. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
\begin{aligned} & (k+1)^3+ 2(k+1) \\ & = (k^3+3k^2+3k+1)+(2k+2) \\ & = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1) \end{aligned}
Karena k^3+2k merupakan kelipatan 3 (berdasarkan asumsi) dan 3(n^2+n+1) jelas habis dibagi 3 (karena mengandung faktor 3), maka (k^3+2k) + 3(k^2+k+1) juga merupakan kelipatan 3.
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 9
Buktikan bahwa
1^2 - 2^2 + 3^2 - \cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)} {2}
untuk semua n \in \mathbb{N}

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
\begin{aligned}P_n: & 1^2 - 2^2 + 3^2 - \cdots + (-1)^{n+1}n^2 \\ & = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)}{2} \end{aligned}
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1^2 = (-1)^{1+1}\dfrac{1(1+1)} {2} = 1
Persamaan di atas bernilai benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan dibuktikan di atas BENAR. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
\begin{aligned} P_k: & 1^2 - 2^2 + 3^2 + \cdots + (-1)^{k+1} \\ & = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2} \end{aligned}
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} & P_{k+1}: \\ & 1^2 -2^2 +3^2+ \cdots + (-1)^{n+1}n^2 + (-1)^{n+2}(n+1)^2 \\ & = (-1)^{n+2}\dfrac{(n+1)(n+2)} {2} \bigstar \end{aligned}
Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 10
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku
\displaystyle \sum_{i = 1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]

Penyelesaian

Download Jawaban (PDF) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^n i^4 & = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 \\ & = \dfrac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30} \end{aligned}

Penyelesaian

Download Jawaban (PDF) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Buktikan bahwa untuk n \in \mathbb{N}, berlaku
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots (2n -1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)} {3}

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
P_n: 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)} {3}

Misalkan n = 1, berarti didapat
P_1: 1^2 = \dfrac{1(2(1)-1)(2(1)+1)} {3} = 1
Pernyataan di atas benar, sehingga untuk n = 1, pernyataan yang akan kita buktikan benar. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k - 1)^2 = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}

Asumsikan P_k benar, sehingga harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar. Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} & P_{k+1}: \\ &  1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3} \bigstar \end{aligned}
Akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
\begin{aligned} & \underbrace{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2}_{P_k} + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{k(2k-1) + 3(2k+1)} {3}\right) \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{2k^2+5k+3}{3}\right) \\& = (2k+1)\left(\dfrac{(2k+3)(k+1)} {3}\right) \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3} \bigstar \end{aligned}
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 13
Buktikan bahwa jika n \in \mathbb{N}, maka n > 0

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan P_n: n > 0 dengan n bilangan asli.
Ambil n = 1, sehingga didapat
P_1: 1 > 0. Pernyataan ini jelas benar (1 lebih besar dari 0).
Jadi, P_n benar untuk n = 1. Basis induksi selesai.
Langkah induksi:
Misalkan P_k: k > 0 dengan k bilangan asli. Asumsikan P_k benar dan harus ditunjukkan bahwa P_{k+1}: k + 1 > 0 juga benar.
Perhatikan bahwa k > 0 (berdasarkan asumsi) menunjukkan k elemen bilangan positif \mathbb{P}, atau ditulis k \in \mathbb{P}. Ini juga sama untuk 1 > 0, berarti 1 \in \mathbb{P}. Untuk itu, berdasarkan definisi kepositivan bilangan: Jika a, b \in \mathbb{P}, maka a + b \in \mathbb{P}, ini berarti terbukti bahwa k + 1 > 0.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n bilangan asli. \blacksquare
Komentar: Anda tidak boleh menerka bahwa setiap bilangan asli adalah bilangan positif, dengan hanya melihat anggota/elemen himpunan bilangan asli itu. Konsep yang ditegaskan dalam hal ini adalah kepositivan bilangan. Konsep ini dipelajari untuk menjawab definisi kepositivan, bagaimana suatu bilangan bisa dikatakan positif atau negatif, dan sebagainya.

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa 7^n - 2^n habis dibagi 5 untuk setiap n \in \mathbb{N}

Penyelesaian

Basis induksi:
Misalkan P_n: 7^n - 2^n habis dibagi 5.
Ambil n = 1, berarti diperoleh
P_1: 7^1 - 2^1=5, yang jelas habis dibagi 5 sehingga pernyataannya benar. Basis induksi selesai.
Langkah induksi:
Misalkan P_k: 7^k - 2^k habis dibagi 5 diasumsikan merupakan pernyataan yang benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, di mana P_{k+1}: 7^{k+1} - 2^{k+1} habis dibagi 5.
Bentuk P_{k+1} di atas dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} 7^k. 7 - 2^k. 2 & = 7^k. 7 - 7.2^k + 7.2^k - 2^k. 2 \\ & = 7(7^k - 2^k) + 2^k(7-2) \\ & = 7(7^k - 2^k) + 2^k(5) \end{aligned}
Ekspresi terakhir di atas terdiri dari 2 suku. Suku pertama adalah 7(7^k - 2^k) habis dibagi 5 karena faktor 7^k - 2^k habis dibagi 5 berdasarkan asumsi sebelumnya. Suku kedua adalah 2^k(5) jelas habis dibagi 5 karena mengandung faktor 5. Jadi, P_{k+1} dapat dibagi 5.
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, a^{2n-1} + b^{2n-1} habis dibagi oleh a + b dengan menggunakan induksi matematika.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan P_n: a^{2n-1} + b^{2n-1} habis dibagi oleh a + b.
Ambil n = 1, sehingga
P_1: a + b habis dibagi oleh a +b (dirinya sendiri) jelas merupakan pernyataan yang benar. Langkah induksi:
Misalkan P_k: a^{2k-1} + b^{2k-1} habis dibagi oleh a + b. Asumsikan pernyataan ini benar. Harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, di mana
P_{k+1}: a^{2k+1} + b^{2k+1} habis dibagi oleh a + b.
Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} & a^{2k+1} + b^{2k+1} \\ & = a^{2k-1}. a^2 + b^{2k-1}. b^2 \\ & = (a^{2k-1} + b^{2k-1}) (a^2) - b^{2k-1}(a^2-b^2) \\ & = (a^{2k-1} + b^{2k-1}) (a^2) - b^{2k-1}(a+b) (a-b) \end{aligned}
Ekspresi di atas terdiri dari dua suku. Suku pertama adalah (a^{2k-1}+b^{2k-1})(a^2), habis dibagi oleh a + b karena faktor pertamanya telah diasumsikan habis dibagi oleh a + b. Sedangkan suku keduanya, yaitu -b^{2k-1}(a+b) (a-b) jelas habis dibagi a + b karena mengandung faktor tersebut. Jadi, P_{k+1} bernilai benar.
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan bahwa n^3 + 5n habis dibagi 6 untuk n bilangan asli dengan menggunakan induksi matematika.

Penyelesaian

Basis induksi:
Misalkan
P_n: n^3 + 5n habis dibagi 6.
Ambil n = 1, berarti diperoleh
P_1: 1^3 + 5(1) = 6 habis dibagi 6. Pernyataan ini jelas benar. Jadi, P_n benar untuk n = 1.
Langkah induksi:
Sekarang, misalkan
P_k: k^3 + 5k habis dibagi 6.
Asumsikan pernyataan di atas benar. Akan ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, dengan
P_{k+1}: (k+1)^3 + 5(k+1) habis dibagi 6.
Ekspresi P_{k+1} di atas dapat ditulis menjadi
(k+1)^3 + 5(k+1) = (k^3+ 5k) + 3(k^2 + k + 1)
jika diuraikan pangkatnya.
Sekarang, dua suku pada ekspresi terakhir akan kita tinjau sebagai berikut. Suku pertama yaitu k^3 + 5k habis dibagi 6 berdasarkan asumsi sebelumnya. Suku kedua yaitu 3(k^2 + k + 1) juga habis dibagi 6, karena ekspresi ini habis dibagi 3 (mengandung faktor 3) serta habis dibagi 2 (k^2 + k + 1) merupakan bilangan genap untuk setiap k \in \mathbb{N}. Karena kedua sukunya habis dibagi 6, maka P_{k+1} telah terbukti kebenarannya.
Dari sini, disimpulkan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, pernyataan P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 17
Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, berlaku
\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} 

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
P_n: \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}
Ambil n = 1, sehingga diperoleh
P_1: \dfrac{1}{1} < 2\sqrt{1} \Leftrightarrow 1 < 2
Pernyataan di atas jelas benar (1 kurang dari 2), sehingga untuk n = 1, P_n bernilai benar. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan
P_k: \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k}
Asumsikan P_k benar, sehingga harus ditunjukkan P_{k+1} juga benar.
Diketahui bahwa
\begin{aligned} P_{k+1} & : \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\ & < 2\sqrt{k+1} \end{aligned}
Sekarang, perhatikan bahwa ekspresi di atas memberlakukan
\begin{aligned} & 2\sqrt{k} + + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{k^{2}+k}+1 < 2k+2 \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{k^{2}+k}< 2k+1 \Leftrightarrow 4k^{2}+4k < 4k^{2}+4k+1 \\ & \Leftrightarrow 0 < 1 \end{aligned}
Ketaksamaan terakhir jelas benar (berdasarkan teorema kepositivan dalam analisis real), sehingga dapat dikatakan bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n bilangan asli. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 18
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 2^{4n-1} habis dibagi 8 untuk n bilangan asli.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan P_n: 2^{4n-1} habis dibagi 8. 
Misalkan n = 1, berarti
P_1: 2^{4(1)-1} = 8 habis dibagi 8. Pernyataan ini benar. Untuk itu, P_n bernilai benar untuk n = 1. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan n = k, berarti
P_k: 2^{4k-1} habis dibagi 8.
Asumsikan pernyataan ini benar, sehingga harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, dengan
P_{k+1}: 2^{4(k+1)-1} = 2^{4k+3} habis dibagi 8.
Perhatikanlah bahwa, 
\begin{aligned} 2^{4k + 3} & = 2^{4k - 1 + 4} \\ & = 2^{4k - 1} \times 2^{4} \\ & = 2^{4k - 1} \times 16 \end{aligned}
Karena 2^{4k-1} atau 16 habis dibagi 8, maka pernyataan P_{k+1} terbukti benar. Ini berarti, kebenaran P_{k} mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk setiap n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 19
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
\displaystyle \sum_{k = 1}^n k. 3^k = \dfrac{(2n-1). 3^{n+1}+ 3}{4} berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
P_n: \displaystyle \sum_{k=1}^n k. 3^k = \dfrac{(2n-1). 3^{n+1}+3}{4}
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: 1.3^1 = \dfrac{(2(1)-1). 3^{1+1}+3}{4} = 3
Pernyataan di atas benar. Jadi, P_n benar untuk n = 1. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan n = m (jangan menggunakan k lagi karena sudah dipakai sebagai indeks notasi sigma), berarti
P_m: \displaystyle \sum_{k=1}^m k. 3^k = \dfrac{(2m-1). 3^{m+1}+3}{4}
Asumsikan P_m benar, maka harus ditunjukkan bahwa P_{m+1} juga benar, dengan
P_{m+1}: \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} k.3^k = \dfrac{(2m+1). 3^{m+2}+3}{4}}
Akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. 
\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} k. 3^k & = \underbrace{\sum_{k=1}^m k. 3^k} _{P_m} + \sum_{k=m+1}^{m+1} k. 3^k \\ & = \dfrac{(2m-1). 3^{m+1}+3}{4} + (m+1). 3^{m+1} \\ & = \dfrac{(2m-1). 3^{m+1}+3}{4} + \dfrac{4(m+1). 3^{m+1}} {4} \\ & = \dfrac{(2m-1+4m+4). 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{(6m + 3). 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{3(2m+1). 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \boxed{\dfrac{(2m+1). 3^{m+2} + 3}{4}} \end{aligned}
Dari sini, terbukti bahwa kebenaran P_m mengimplikasikan kebenaran P_{m+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 20
Buktikan dengan induksi matematika bahwa \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{n} {2n+1}
berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan
P_n: \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{n} {2n+1}
Ambil n = 1, diperoleh
P_1: \dfrac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)} = \dfrac{1}{2(1)+1} = \dfrac{1}{3}
Pernyataan di atas benar. Jadi, P_n benar untuk n = 1. Basis induksi selesai.
Langkah Induksi:
Misalkan n = m (jangan menggunakan k lagi karena sudah dipakai sebagai indeks notasi sigma), berarti
P_m: \displaystyle \sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m} {2m+1}
Asumsikan P_m benar, maka harus ditunjukkan bahwa P_{m+1} juga benar, dengan
P_{m+1}: \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m+1}{2m+3}}
Akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. 
\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\\  & = \underbrace{\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}} _{P_m} + \sum_{k=m+1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} \\ & = \dfrac{m} {2m+1}+ \dfrac{1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{m(2m+3)+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{2m^2+3m+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{(2m+1)(m+1)}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \boxed{\dfrac{m+1}{2m+3}} \end{aligned}
Dari sini, terbukti bahwa kebenaran P_m mengimplikasikan kebenaran P_{m+1} sehingga berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n \in \mathbb{N}. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah ATM (Automated Teller Machine) hanya menyediakan pecahan uang Rp20.000,00 dan Rp50.000,00. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan dengan induksi matematika.

Penyelesaian

Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah membentuk model matematika yang sesuai dengan kasus tersebut. Misalkan a = 20000x + 50000y untuk setiap x, y bilangan cacah, di mana x, y masing-masing menyatakan banyaknya uang pecahan Rp20.000,00 dan Rp50.000,00. Sekarang, perhatikan bahwa
\begin{aligned} 20000x+50000y &  = 10000(2x + 5y) \\ & = 10000(2(x + y) + y) \end{aligned}
Dari bentuk terakhir, dapat dilihat bahwa 2(x+y) (suku pertama) adalah genap, sedangkan y (suku kedua) bisa bernilai genap/ganjil tergantung nilainya sendiri. Untuk itu, 2(x+y) + y dapat bernilai bilangan cacah (0,1,2,3, dan seterusnya). 
Jadi, dapat ditulis secara matematis, 
20000x + 50000y = 10000n
Selanjutnya, kita akan melakukan induksi terhadap variabel n. Untuk n = 1 atau n = 3, tak akan ditemukan x, y yang membuat persamaan itu bernilai benar. Tetapi, untuk n = 2, ditemukan x = 1 dan y = 0 agar persamaan itu benar. Bila dilanjutkan untuk n \geq 4, kita akan menemukan bahwa selalu ditemukan pasangan nilai (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Dengan kata lain, kita perlu menunjukkan bahwa Rp10.000,00 adalah kelipatan uang yang dapat dikeluarkan ATM itu. Untuk membuktikan ini, perlu dilakukan proses induksi sebagai berikut. 
Basis Induksi:
Misalkan P_n: 20000x + 50000y = 10000n, n \geq 4
Pernyataan matematis di atas dapat disederhanakan menjadi
P_n: 2x + 5y = n, n \geq 4
Untuk n = 4, didapat 
P_4: 2x+5y = 4
Pasangan (x, y) = (2,0) memenuhi persamaan itu, sehingga P_4 bernilai benar untuk x, y demikian. Basis induksi selesai. 
Langkah Induksi:
Sekarang, misalkan n = k, berarti
P_k: 2x + 5y = k, k\geq 4
Asumsikan P_k benar, maka harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, dengan
P_{k+1}: 2x' + 5y' = k + 1
Akan ditunjukkan bahwa ada x', y' demikian yang memenuhi persamaan di atas. 
\begin{aligned} k + 1 & = \underbrace{k}_{k = 2x + 5y} + (5 - 4) \\ & = 2x + 5y + (5(1) - 2(2)) \\ & = 2(x - 2) + 5(y + 1) \end{aligned}
Ditemukan pasangan nilai (x', y') = (x - 2, y +1) yang membuat pernyataan itu benar untuk k+1 tertentu. Jadi, kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n terbukti benar untuk n \geq 4. Dengan kata lain, kelipatan pecahan uang Rp10.000,00 dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut untuk pengambilan uang paling kecil Rp40.000,00. \blacksquare
Catatan:
P_k bernilai benar apabila terdapat pasangan nilai (x, y) yang memenuhi persamaan itu saat k tertentu. 

[collapse]

Soal Nomor 22
Tunjukkan bahwa dalam barisan aritmetika berlaku
S_n = \dfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b), n \geq 1, n \in \mathbb{N}
dengan a dan b berturut-turut adalah suku pertama dan beda/selisih tiap suku yang berdekatan dalam barisan itu.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan P_n: S_n = \dfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b)
Untuk n = 1, didapat
P_1: S_1 = \dfrac{1}{2}(1)(2a) = a
Pernyataan ini benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, P_n benar untuk n = 1. Basis induksi selesai. 
Langkah induksi:
Misalkan
P_k: S_k = \dfrac{1}{2}k(2a + (k-1)b), k \geq 1,k \in \mathbb{N}
Asumsikan P_k benar. Harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, dengan
P_{k+1}: S_{k+1} = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a + kb) \bigstar
Akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut. 
\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & = \dfrac{1}{2}(k) (2a+(n-1)b) + (a + kb) \\ & = ak + \dfrac{1}{2}bk^2 + a + \dfrac{1}{2}bk \\ & = \left(\dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{2}\right) (2a+kb) \\ & = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a+kb) \bigstar \end{aligned}
Terbukti bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n \geq 1. \blacksquare
Catatan:
Dalam barisan aritmetika, suku ke-n adalah U_n = a + (n - 1)b.

[collapse]

Soal Nomor 23
Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku
S_n = \dfrac{a(r^n-1)} {r - 1}, r > 1, n \geq 1, n \in \mathbb{N}
dengan r adalah rasio barisan.

Penyelesaian

Basis Induksi:
Misalkan P_n: S_n = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1}, sehingga untuk n = 1, ditulis
P_1: S_1 = \dfrac{a(r^1-1)} {r - 1} = a
Pernyataan di atas benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, P_n benar untuk n = 1. Basis induksi selesai. 
Langkah induksi:
Misalkan n = k, berarti diperoleh
P_k: S_k = \dfrac{a(r^k-1)} {r-1}
Asumsikan P_k benar, maka harus ditunjukkan bahwa P_{k+1} juga benar, dengan
P_{k+1}: S_{k+1} = \dfrac{a(r^{k+1} - 1)}{r - 1} \bigstar
Akan ditunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan sebagai berikut.
\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & =  \dfrac{a(r^k-1)} {r-1} + ar^k \\ & = \dfrac{a(r^k - 1) + ar^k (r - 1)}{r - 1} \\ & = \dfrac{a(r^k - 1 + r^{k+1} - r^k)}{r-1} \\ & = \dfrac{a(r^{k+1} - 1)}{r-1} \bigstar \end{aligned}
Terbukti bahwa kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran P_{k+1}. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P_n benar untuk n \geq 1. \blacksquare
Catatan:
Dalam barisan geometri, suku ke-n adalah U_n = ar^{n-1}.

[collapse]

Soal Nomor 24
Tunjukkan bahwa jika a \in \mathbb{R} dan m, n \in \mathbb{N}, maka
a^{m+n} = a^ma^n dan (a^m)^n = a^{mn}.
Buktikan dengan induksi matematika.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *