Soal dan Pembahasan – Pengantar Sistem Persamaan Linear (Bidang Aljabar Linear)

Berikut ini merupakan soal-soal yang telah disertai pembahasan terkait sistem persamaan linear yang merupakan awal bab dari aljabar linear elementer. Kebanyakan soal diambil dari buku “Dasar-Dasar Aljabar Linear” karya Howard Anton. Semoga dapat dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya.

Today Quote

Hidup bukan tentang mendapatkan apa yang kamu inginkan, tetapi tentang menghargai apa yang kamu miliki.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Manakah dari persamaan berikut ini yang bukan tergolong persamaan linear?
A. $x_1 + 5x_2-\sqrt{2}x_3 = 1$
B. $x_1 + 3x_2 + x_1x_3 = 2$
C. $x_1 = -7x^2 + 3x_3$
D. $\pi x_1-\sqrt2x_2 + \dfrac13x_3 = 7^{1/3}$
E. $x_1 + x_2 + x_3 = \sqrt2$

Pembahasan

Persamaan linear dengan variabel (peubah) $x_1, x_2, \cdots, x_n$ didefinisikan sebagai persamaan dalam bentuk $$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$$dengan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ merupakan bilangan real yang tidak semuanya nol dan $b$ adalah konstanta real. Perlu diperhatikan bahwa ketika $a_1, a_2, \cdots, a_n$ semuanya bernilai nol, maka ruas kiri tidak mengandung variabel apa pun lagi sehingga tidak memenuhi makna “linear”. Selain itu, persamaan linear tidak melibatkan hasil kali/bagi variabel dan setiap variabelnya harus berpangkat satu.
Dari kelima opsi jawaban, semua persamaannya menggunakan variabel $x_1, x_2,$ dan $x_3.$ Persamaan pada opsi B, $x_1 + 3x_2 + \color{red}{x_1x_3} = 2,$ bukanlah persamaan linear karena adanya suku $\color{red}{x_1x_3}$ yang merupakan hasil kali dua variabel. Persamaan lainnya termasuk persamaan linear. Hal yang perlu diingat bahwa koefisien variabel adalah bilangan real dan satu-satunya syarat adalah semua koefisiennya tidak boleh serentak bernilai nol. Contohnya, $\pi x_1$ memenuhi sebagai salah satu suku dalam persamaan linear karena $\pi$ merupakan bilangan real.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2

Jika $k$ adalah sembarang konstanta real, manakah persamaan berikut yang tidak selalu termasuk persamaan linear?
A. $x_1 + x_2 + x_3 = \sin k$
B. $kx_1-\dfrac{1}{k}x_2 = 9$
C. $2^kx_1+7x_2-x_3=1$
D. $(k + 7)x_1 + (2k-10)x_2 = 4$
E. $(k-10)x_1 + (\log (|k|+1))x_2 + x_3 = 0$

Pembahasan

Cek opsi A:
Konstanta $\sin k$ akan selalu bernilai real berapa pun nilai $k$ yang dipilih. Persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi B:
Persamaan pada opsi B, yaitu $kx_1-\dfrac{1}{k}x_2 = 9,$ memberi batas nilai $k \neq 0$ karena adanya koefisien $\dfrac{1}{k}.$ Jadi, $k = 0$ membuat persamaannya menjadi tidak terdefinisi. Persamaan ini tidak selalu termasuk persamaan linear.
Cek opsi C:
Koefisien $2^k$ akan selalu bernilai real berapa pun nilai $k$ yang dipilih. Persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi D:
$k$ muncul di dua suku berbeda dan perlu diperiksa apakah ada nilai $k$ yang membuat kedua koefisien variabel menjadi nol. $k + 7$ bernilai nol jika $k = -7,$ tetapi substitusi $k = -7$ pada $2k-10$ tidak membuatnya bernilai nol. Jadi, setiap $k$ diterima dan membuat persamaannya selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi E:
$k$ juga muncul di dua suku berbeda. $k + 10$ bernilai nol jika $k = -10,$ tetapi substitusi $k = -10$ pada $\log (|k|+1)$ menghasilkan $\log (|10| + 1) = \log 11 \ne 0.$ Selain itu, bentuk $\log (|k| + 1)$ juga memenuhi syarat agar nilai logaritma terdefinisi, yaitu numerusnya harus positif, karena jelas bahwa $|k| + 1 > 0$ untuk setiap bilangan real $k.$ Jadi, persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Penyelesaian parametris dari persamaan linear $3x_1-5x_2 + 4x_3 = 7$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x_1 = t; x_2 = s; x_3 = \dfrac{5s-3t+7}{4}$
B. $x_1 = s; x_2 = t; x_3 = \dfrac{5s-3t+7}{4}$
C. $x_1 = t; x_2 = s; x_3 = 5s-3t+7$
D. $x_1 = t; x_2 = s; x_3 = \dfrac54s-3t+7$
E. $x_1 = s; x_2 = t; x_3 = \dfrac{3t-5s+7}{4}$

Pembahasan

Misalkan $x_1 = t$ dan $x_2 = s$ untuk $t, s \in \mathbb{R}.$ Substitusi pada persamaan $3x_1-5x_2 + 4x_3 = 7$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} 3t-5s+4x_3 & = 7 \\ 4x_3 & = 5s-3t+7 \\ x_3 & = \dfrac{5s-3t+7}{4}. \end{aligned}$$Jika permisalannya $x_1 = s$ dan $x_2 = t,$ maka dengan cara yang serupa, kita akan peroleh $$x_3 = \dfrac{5t-3s+7}{4}$$ yang sebenarnya ekuivalen dengan sebelumnya.
Jadi, (salah satu bentuk) penyelesaian parametrisnya adalah $x_1 = t,$ $x_2 = s,$ dan $x_3 = \dfrac{5t-3s+7}{4}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan $$\begin{cases} x_1 + 2x_2-x_4+x_5 & = 1 \\ 3x_2 + x_3-x_5 & = 2 \\ x_3+7x_4 & = 5 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1  & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1  & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 7 & 0 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1  \\ 0 & 3 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa SPL tersebut dapat ditulis ulang seperti berikut.
$$\begin{cases} 1x_1 + 2x_2+0x_3-1x_4+1x_5 & = 1 \\ 0x_1+3x_2 + 1x_3+0x_4-1x_5 & = 2 \\ 0x_1 + 0x_2 + 1x_3+7x_4+0x_5 & = 5 \end{cases}$$Dengan melihat koefisien variabel pada setiap persamaan beserta konstantanya, kita dapat membuat matriks yang diperbesar yang setiap barisnya merupakan koefisien variabel yang disusun berurutan, sedangkan kolom terakhirnya merupakan konstanta yang ada di ruas kanan persamaan.
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1  & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV 

Soal Nomor 5

Sistem persamaan linear dengan variabel $x_i$ untuk $i = 1, 2, 3, \cdots$ yang berpadanan dengan matriks yang diperbesar $\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 + 5x_5 & = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_4 & = 0 \end{cases}$
B. $\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_4 & = 1 \end{cases}$
C. $\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 & = 0 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_4 & = 1 \end{cases}$
E. $\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 & = 1 \end{cases}$

Pembahasan

Diketahui $\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa matriks yang diperbesar tersebut memiliki $2$ baris dan $5$ kolom, artinya kita punya $2$ persamaan linear dengan $5-1=4$ variabel. Entri kolom ke-$5$ merupakan konstanta persamaan.
Dengan demikian, persamaan pertama yang berpadanan dengan baris pertama matriks adalah 
$$7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 = 5$$dan persamaan kedua yang berpadanan dengan baris kedua matriks adalah
$$x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 0x_4 = 1$$yang ekuivalen dengan
$$x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 1.$$Jadi, sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks yang diperbesar tersebut adalah $$\boxed{\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 & = 1 \end{cases}}$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6

Persamaan linear dengan variabel $x$ dan $y$ yang mempunyai penyelesaian umum $x = 5 + 2t$ dan $y = t$ untuk $t \in \mathbb{R}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2y + x = 5$
B. $2y-x = 5$
C. $2y + x = -5$
D. $2y-x = -5$
E. $y-2x = 5$

Pembahasan

Diketahui penyelesaian umum suatu persamaan linear adalah
$$\begin{cases} x & = 5 + 2t && (\cdots 1) \\ y & = t && (\cdots 2) \end{cases}$$untuk $t \in \mathbb{R}.$ Substitusikan $(1)$ pada $(2)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} x & = 5 + 2y \\ 2y-x & = 5. \end{aligned}$$Jadi, persamaan linear yang memiliki penyelesaian umum tersebut adalah $\boxed{2y-x = 5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7

Nilai $k$ agar $\begin{cases} x-y = 3 \\ 2x-2y = k \end{cases}$ memiliki penyelesaian adalah $\cdots \cdot$
A. $k = -6$
B. $k = -3$
C. $k = 0$
D. $k = 3$
E. $k = 6$

Pembahasan

Diketahui $$\begin{cases} x-y & = 3 && (\cdots 1) \\ 2x-2y & = k && (\cdots 2) \end{cases}$$Bagi $2$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh $x-y = \dfrac{k}{3}.$Dengan demikian, ruas kiri dan kanan persamaan $(1)$ dan $(2)$ sama sehingga agar SPL memiliki penyelesaian, maka ruas kanannya harus dibuat sama, yakni
$$\begin{aligned} \dfrac{k}{2} & = 3 \\ k & = 2(3) = 6. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{k = 6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8

Sistem persamaan $\begin{cases} x+y+2z = a \\ x + z = b \\ 2x+y+3z = c \end{cases}$ akan konsisten apabila $\cdots \cdot$
A. $c = a + b$
B. $c = a-b$
C. $a = b = c$
D. $a = b + c$
E. $b = a + c$

Pembahasan

$$\begin{cases} x+y+2z & = a && (\cdots 1) \\ x + z & = b && (\cdots 2) \\ 2x+y+3z & = c && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa dengan persamaan $(3)$ adalah kombinasi linear dari persamaan $(1)$ dan $(2),$ yakni $(1) + (2) = (3)$ sehingga sistem dapat disederhanakan menjadi dua persamaan saja.
$$\begin{cases} 2x+y+3z & = a+b && (\cdots 4) \\ 2x+y+3z & = c && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa ruas kiri kedua persamaan adalah sama. Agar sistem konsisten, yang dalam kasus ini harus memiliki penyelesaian sebanyak takberhingga, maka nilai ekspresi di ruas kanan haruslah sama, yaitu $\boxed{a + b = c}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV 

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Kurva $y = ax^2 + bx + c$ yang ditunjukkan oleh gambar di bawah melalui titik $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ dan $(x_3, y_3).$ Tunjukkan bahwa koefisien $a, b,$ dan $c$ merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear yang matriks diperbesarnya sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 & y_1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 & y_2 \\ x_3^2 & x_3 & 1 & y_3 \end{pmatrix}$$

Pembahasan

Diketahui kurva $y = ax^2 + bx + c.$
Karena titik $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ dan $(x_3, y_3)$ dilalui oleh kurva, maka substitusi nilai $x$ dan $y$ memenuhi persamaan kurva tersebut. Dengan demikian, SPLTV akan terbentuk dengan variabel $a, b,$ dan $c.$
$$\begin{cases} y_1 & = ax_1^2 + bx_1 + c \\ y_2 & = ax_2^2 + bx_2 + c \\ y_3 & = ax_3^2 + bx_3 + c \end{cases}$$Jadi, matriks diperbesarnya adalah sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 & y_1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 & y_2 \\ x_3^2 & x_3 & 1 & y_3 \end{pmatrix}$$Dengan demikian, penyelesaiannya adalah $a, b,$ dan $c$ dalam kasus ini.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) SPLTV 

Soal Nomor 2

Kaji sistem persamaan berikut.
$$\begin{cases} ax + by & = k \\ cx + dy & = \ell \\ ex + fy & = m \end{cases}$$Tunjukkan bahwa jika sistem persamaan tersebut konsisten, maka paling tidak satu persamaan dapat diabaikan dari sistem tersebut tanpa mengubah himpunan penyelesaiannya.

Pembahasan

Pilih sembarang dua dari tiga persamaan pada sistem. Karena sistem persamaan konsisten, artinya pasti memiliki penyelesaian (baik tunggal maupun takberhingga), maka dua persamaan yang kita pilih tadi juga konsisten dengan penyelesaian yang sama pula (karena merupakan bagian dari sistem).
Kita bagi menjadi dua kasus.
Kasus 1: Penyelesaiannya tunggal
Dua persamaan yang dipilih memiliki penyelesaian tunggal, artinya kita akan menemukan hanya satu pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Karena sistem konsisten, maka persamaan ketiga (yang tidak dipilih) juga pasti terpenuhi oleh nilai $(x, y)$ tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya tetap $\{(x, y)\}.$
Kasus 2: Penyelesaiannya sebanyak takberhingga
Dua persamaan yang dipilih memiliki penyelesaian sebanyak takberhingga, artinya akan banyak sekali pasangan nilal $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Karena sistem konsisten, maka persamaan ketiga (yang tidak dipilih) juga pasti terpenuhi oleh semua pasangan nilai $(x, y)$ tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya bakal tetap.

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat 

Soal Nomor 3

Buktikan bahwa jika persamaan linear $x_1 + kx_2 = c$ dan $x_1 + \ell x_2 = d$ mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, maka kedua persamaan tersebut identik (ekuivalen).

Pembahasan

Misalkan himpunan penyelesaian dari $x_1 + kx_2 = c$ adalah $x_2 = t$ dan $x_1 = c-kt$ untuk setiap $t \in \mathbb{R}.$ Karena memiliki himpunan penyelesaian yang sama, substitusikan pada persamaan $x_1 + \ell x_2 = d$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (c-kt) + \ell t & = d \\ (\ell-k)t & = d-c. \end{aligned}$$Karena $t = 0$ memenuhi persamaan, maka nilai $d-c$ harusnya nol sehingga $c = d.$ Berikutnya, ketika $t = 1,$ maka $(\ell-k)(1) = 0$ sehingga mengharuskan $k = \ell.$
Jadi, kita telah berhasil membuktikan bahwa $x_1 + kx_2 = c$ dan $x_1 + \ell x_2 = d$ identik (ekuivalen) karena $k = \ell$ dan $c = d.$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Operasi Baris Elementer dan Eliminasi Gauss-Jordan

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments