Saat mempelajari matematika secara lebih mendalam, kita bakal sering menemukan istilah-istilah, seperti aksioma, postulat, definisi, teorema, dalil, dan sebagainya. Semua istilah tersebut berkaitan erat dengan logika proposisi, yaitu mengenai pembuktian kebenaran suatu pernyataan. Istilah-istilah tersebut barangkali belum dimunculkan di buku matematika SD, tetapi dipastikan muncul di buku matematika SMP dan jenjang di atasnya. Kadang-kadang istilah tersebut tidak dijelaskan pengertiannya secara detail. Oleh karena itu, kita akan sama-sama mempelajarinya di sini. Oh, ya! Kita juga akan menyinggung sedikit tentang paradoks yang sering membuat pikiran setiap orang ketar-ketir karena eksistensinya.
Quote by Fiersa Besari
1. Aksioma/Postulat
Aksioma (axiom) adalah pernyataan yang diasumsikan (dianggap) benar dan bersifat umum sehingga tidak perlu dibuktikan lagi. Aksioma juga bisa diartikan sebagai prinsip/aturan yang berlaku secara universal. Selain itu, aksioma bisa dipandang sebagai suatu pernyataan yang kebenarannya sudah mutlak dan tidak perlu diragukan lagi. Aksioma tidak perlu dibuktikan karena tidak memuat kontradiksi atau bisa juga karena kita jelas tahu bahwa pernyataan itu pasti benar.
Aksioma dipakai dalam ilmu eksak, sedangkan postulat dipakai dalam ilmu sosial, tetapi keduanya memiliki kesamaan arti sehingga penggunaannya dapat saling ditukar.
Contoh aksioma:
- Untuk semua bilangan real $x$ dan $y,$ berlaku $x + y = y + x.$ Pernyataan ini selanjutnya dikenal sebagai hukum komutatif penjumlahan.
- Jika diberikan dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik tersebut.
- Apabila suatu garis dan suatu bidang memiliki dua atau lebih titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
- Garis lurus dapat dibuat dengan panjang sembarang.
- Besar sudut yang bersesuaian (berkorespondensi) yang dibentuk oleh perpotongan sebuah garis dan dua garis sejajar adalah sama.
2. Definisi
Definisi (definition) adalah pernyataan terkait konsep tertentu yang merupakan hasil kesepakatan bersama. Sebelumnya, perlu diketahui bahwa ada beberapa konsep yang tidak diberi definisinya. Sebagai contoh, titik, garis, dan bidang tidak memiliki definisi dalam kajian geometri. Contoh lain adalah $1 \div 0$ yang barangkali banyak menyesatkan orang.
Contoh definisi:
- Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai $0.$
- Nilai dari $0!$ (baca: nol faktorial) adalah $1.$
- Suatu bilangan bulat $n$ membagi habis bilangan bulat $m,$ dinotasikan $n \mid m,$ jika terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $m = kn.$
- Suatu segitiga disebut segitiga sama kaki jika dua sisinya sama panjang.
- Suatu bilangan bulat $n$ disebut bilangan genap jika dan hanya jika sisa hasil bagi $n$ oleh $2$ adalah $0.$
- Pernyataan $A~\text{DAN}~B$ (ditulis $A \wedge B$) benar jika dan hanya jika $A$ benar dan $B$ benar secara bersamaan.
- Suatu bilangan bulat $p > 1$ disebut prima jika bilangan bulat positif lain yang membagi habis $p$ hanyalah $1$ dan $p$ itu sendiri.
3. Teorema/Dalil
Teorema (theorem) adalah pernyataan yang kebenarannya dapat ditunjukkan melalui suatu pembuktian. Teorema umumnya terdiri dari dua bagian, yakni dugaan (hipotesis) dan kesimpulan (konklusi). Teorema muncul dari asumsi yang telah dibuat sebelumnya atau dari keterhubungan definisi yang satu terhadap definisi yang lain pada konsep tertentu. Teorema dan dalil adalah sinonim dan dapat saling ditukar penggunaannya, tetapi ada beberapa kasus penggunaannya cenderung menggunakan istilah tertentu. Sebagai contoh, istilah dalil L’Hospital lebih lazim dipakai dibandingkan teorema L’Hospital. Namun, perlu diperhatikan bahwa ini bukanlah suatu kesalahan, tetapi hanya kecenderungan preferensi pemakaian. Saat mempelajari matematika, teorema pasti sudah sangat lazim ditemui. Rumus-rumus yang kita kenal juga merupakan bagian dari teorema.
Contoh teorema:
- Jika terdapat persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \ne 0,$ maka akar-akarnya adalah $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
- Teorema Pythagoras: Kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari panjang dua sisi lainnya.
- Identitas Pythagoras dalam trigonometri: Untuk setiap $x,$ berlaku $\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$
4. Lema
Lema (lemma) adalah teorema sederhana yang digunakan untuk membuktikan teorema lain yang lebih besar. Lema umumnya tidak terlalu menarik, tetapi penting karena dapat digunakan untuk membuktikan hal-hal yang lebih kompleks. Setiap lema dibuktikan secara individual (sendiri-sendiri), tetapi pembuktian teorema terkadang memerlukan beberapa lema sekaligus.
Contoh:
- Jika $n$ adalah bilangan bulat positif, maka $n-1 \geq 0.$
- Jika $n$ adalah bilangan real positif, maka $\dfrac{1}{n} > 0.$
- Lema jabat tangan (handshaking lemma) dalam teori graf: Jumlah derajat semua simpul pada setiap graf adalah genap, yaitu 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut.
5. Korolari
Korolari (corollary) atau konsekuensi/akibat adalah teorema yang dibentuk langsung dari teorema lain yang sudah ada. Dapat juga dikatakan bahwa korolari adalah teorema yang mengikuti dari teorema lain.
Contoh teorema:
- Jika dua sisi suatu segitiga panjangnya sama, maka sudut di hadapan kedua sisi tersebut sama besar.
Contoh korolari (sebagai akibat dari teorema di atas):
- Jika terdapat segitiga sama sisi, maka ketiga sudut pada segitiga tersebut sama besar.
6. Konjektur
Konjektur (conjecture) adalah pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui secara pasti. Biasanya konjektur diajukan secara terbuka dalam suatu forum untuk dibuktikan nilai kebenarannya: benar atau salah. Jika terbukti benar, maka konjektur tersebut secara otomatis berubah menjadi teorema.
Contoh:
Konjektur Goldbach: Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari dua dapat ditulis sebagai penjumlahan dari dua bilangan prima. Pernyataan tersebut berlaku untuk bilangan genap sampai $4 \times 10^{18},$ tetapi tidak ada bukti formal yang membuat pernyataan tersebut berlaku umum untuk setiap bilangan bulat genap.
Sekilas tentang Paradoks
Paradoks (paradox) dalam matematika adalah pernyataan yang memuat unsur kontradiksi ketika diturunkan/dijelaskan lebih lanjut. Jika kita menganggap pernyataan itu benar, kita akan menemukan hal-hal yang bertentangan dengan konsep matematika sebelumnya ataupun intuisi kita. Namun, jika kita menganggap pernyataan itu salah, kita juga akan menemukan kasus serupa. Hal ini sejalan dengan ungkapan “Maju kena, mundur pun kena”.
Paradoks banyak dijadikan meme di media sosial karena cenderung menarik seperti contoh berikut.
Penjelasan: Memilih satu jawaban secara acak artinya memilih tepat satu huruf (A, B, C, atau D), masing-masing memiliki peluang kebenaran $\dfrac14 = 25\%.$
- Jika pilihan A atau D adalah jawaban yang tepat, berarti kita punya $25\%$ untuk menjawab tepat. Artinya, hanya ada $1$ dari $4$ pilihan jawaban yang tepat, padahal ada $2$ pilihan jawaban yang berbunyi $25\%$ sehingga tidak sesuai.
- Jika pilihan B adalah jawaban yang tepat, berarti tidak mungkin peluang kita menjawab pertanyaan ini dengan tepat adalah $0\%,$ yang artinya kita tidak akan bisa menjawab dengan tepat. Terjadi kontradiksi.
- Jika pilihan C adalah jawaban yang tepat, artinya peluang kita menjawab tepat adalah $50\%.$ Dengan kata lain, ada $2$ dari $4$ pilihan jawaban yang tepat, padahal pilihan jawaban “$50\%$” hanya muncul sekali.