Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Aljabar Linear

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Aljabar Linear beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat dan salam sukses, pejuang ON MIPA! 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Struktur Aljabar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Kompleks

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Real

Today Quote

Rezeki orang berbeda-beda. Ada yang rezekinya duit banyak, ada yang rezekinya teman-teman yang baik. Ada yang rezekinya anak-anak yang sehat dan cerdas. Ada juga yang rezekinya waktu luang yang banyak. Semua ada rezekinya masing-masing. Gak perlu iri, gak perlu komentar miring atas rezeki orang lain. 

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix}$
Nilai dari $A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $O$                   D. $2017A+2I$
B. $2I$                  E. $A+2I$
C. $A$

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}$
(Jawaban B) 

Catatan:
$O$ merupakan notasi matriks nol, sedangkan $I$ adalah notasi matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 2

Jika $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, maka $A^{2009} = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks $A$ berikut. 
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari uraian di atas, ditemukan pola
$A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}$
untuk $n$ genap dan
$A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}$
untuk $n$ ganjil. 
Karena $2009$ adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
$\begin{aligned} A^{2009} & = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}. \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Isian/Uraian

Soal Nomor 1

Misalkan $K$ dan $L$ adalah dua subruang berbeda dari ruang vektor real $V$. Jika $\dim(K) = \dim(L) = 4$, maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $K$ dan $L$ merupakan subruang dari $V$ sehingga berlaku  $\dim(K) \leq \dim (V)$ dan $\dim(L) \leq \dim(V)$ dengan $\dim(V) \geq 4$.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\dim(V) \neq 4$. Andaikan demikian, maka $\dim(K) = \dim(L) = \dim(V)$. Subruang $K$ dan $L$ memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor $V$ sehingga $K = L = V$. Terjadi kontradiksi sebab $K$ dan $L$ dikatakan merupakan dua subruang yang berbeda.
Jadi, dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\boxed{5}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Untuk $f, g \in \mathbb{C}[0,1]$, didefinisikan hasil kali dalam 
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)g(x)~\text{d}x.$
Agar fungsi $f(x) =-3x + 2k^2$ dan $g(x) = x$ ortogonal pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta $k$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Karena $f(x)$ dan $g(x)$ ortogonal pada RHKD tersebut, haruslah berlaku
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_0^1 (-3x+2k^2)(x)~\text{d}x = 0.$
Lakukan proses integrasi sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 (-3x^2+2k^2x)~\text{d}x & = 0 \\ \left[-x^3+k^2x^2\right]_0^1 & = 0 \\ (-1 + k^2)- 0 & = 0 \\ k & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai konstanta $k$ adalah $\boxed{\pm 1}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Misalkan $V$ ruang vektor fungsi-fungsi $ae^{3x}\sin x + be^{3x}\cos x$. Transformasi $T: V \mapsto V$ didefinisikan $T(f) = f’+f$ untuk $\forall f \in V$. Matriks representasi $T$ terhadap basis $\{e^{3x}\sin x, e^{3x}\cos x\}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Didefinisikan transformasi $T(f) = f’+f$ (perhatikan bahwa $f’$ menyatakan turunan pertama fungsi $f$) sehingga
$$\begin{aligned} T(e^{3x}\sin x) & = (3e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x) + e^{3x}\sin x \\ & = 4e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} T(e^{3x}\cos x) & = (3e^{3x}\cos x- e^{3x} \sin x) + e^{3x} \cos x \\ & =- e^{3x} \sin x + 4e^{3x}\cos x. \end{aligned}$$Dengan memperhatikan koefisien $e^{3x}\sin x$ dan $e^{3x}\cos x$ dari masing-masing hasil transformasi yang merupakan basis matriks representasi $T$ (misal kita beri nama himpunannya $B$), diperoleh
$$\boxed{T = \begin{pmatrix} T(e^{3x} \sin x)_B & T(e^{3x} \cos x)_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &- 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}}$$

[collapse]

Soal Nomor 4

Misalkan $A, B, C, D$ matriks-matriks berukuran $n \times n$. Misalkan pula $A$ memiliki balikan dan $AC = CA$. Buktikan bahwa $\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(AD-CB)$.

Pembahasan

Langkah pertama yang cukup tricky untuk membuktikan persamaan itu adalah menuliskan ekspresi determinan pada ruas kirinya dalam 2 faktor. 
$$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}$$dengan $O$ dan $I$ berturut-turut menyatakan matriks nol dan matriks identitas perkalian. 
Dengan menggunakan teorema determinan $|AB| = |A||B|$, diperoleh
$$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{vmatrix}.$$Jika diperhatikan, bentuk matriks pada ruas kanan merupakan matriks segitiga atas dan bawah. Teorema determinan pada submatriks memperbolehkan perhitungan determinan seperti biasa.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} & = \det(I) \times \det(A(D- CA^{-1}B)-O) \\ & = \det(AD- ACA^{-1}B) \end{aligned}$$Karena $AC = CA$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} & = \det(AD- CAA^{-1}B) \\ & = \det(AD- CB). \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5

Didefinisikan hasil kali dalam $\langle A, B \rangle = \text{tr}(B^TA), A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. 
$\left\{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix}\right\}$ adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika $a = \cdots \cdot$

Pembahasan

Himpunan matriks yang diberikan itu ortogonal dalam ruang hasil kali dalam yang diberikan, ditulis
$$\left \langle \begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix} \right \rangle = \text{tr}\left(\begin{bmatrix} 1 &a \\ 1 & 0  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}\right) = 0.$$Dengan mengalikan matriksnya, didapat
$\text{tr}\left(\begin{bmatrix}-a & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0.$
Berdasarkan definisi trace, 
$-a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1$. 
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{1}$
Catatan: Trace dari matriks $A$, dinotasikan $\text{tr}(A)$ didefinisikan sebagai jumlah dari entri-entri diagonal utama matriks $A$. 

[collapse]

Soal Nomor 6

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{n \times n}$ yang memenuhi persamaan $AB^2- 2BAB + B^2A = O$. Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks $AB- BA$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & AB^2- 2BAB + B^2A = O\\ & AB^2- BAB- BAB + B^2A = O \\ & (AB-BA)B- B(AB- BA) = O \\ & (AB-BA)B = B(AB-BA). \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa matriks $B$ dan $AB- BA$ komutatif satu sama lain. Dua kemungkinan untuk kedua matriks ini adalah matriks nol atau matriks identitas perkalian (karena kedua matriks ini selalu komutatif). Jika $AB- BA = O$, maka nilai eigennya jelas $0$ (nol), sedangkan jika $AB- BA = I$, maka nilai eigennya adalah $1$ (satu). Jadi, nilai eigen terbesar dari matriks $AB-BA$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 7

Misalkan $P_1$ ruang polinom real berderajat paling tinggi $1$ dengan hasil kali dalam $\displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \int_0^1 p(x) q(x)~dx$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan $\{1,x\}$ di $P_1$ akan menghasilkan himpunan ortonormal $\cdots \cdot$

Pembahasan

Misalkan $p_1 = 1,p_2=x$ sehingga
$\displaystyle p_1 \bullet p_2 = \int_0^1 x~dx = \dfrac{1}{2}$
dan juga
$\displaystyle ||p_1||^2 = \int_0^1~1~dx = 1.$
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misalkan  $u_1 = p_1 = 1$ dan
$\displaystyle \begin{aligned} u_2 & = p_2- \dfrac{p_2 \cdot u_1}{||u_1||^2}u_1 \\ & = x- \dfrac{\frac{1}{2}}{1}(1) = x- \dfrac{1}{2}. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal $\left \{1, x- \dfrac{1}{2}\right\}.$
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya. 
$\displaystyle \begin{aligned} & ||u_1|| = \int_0^1~dx = 1 \\ & ||u_2|| = \int_0^1 \left(x- \dfrac{1}{2}\right)^2~dx = \dfrac{1}{12} \end{aligned}$
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
$\boxed{\left\{1, \dfrac{x- \frac{1}{2}} {\frac{1}{12}} \right\} = \left\{1, 12x-6\right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 8

Contoh matriks real simetris $2 \times 2$ yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Misalkan matriks real simetris berukuran $2 \times 2$ yang dimaksud adalah $\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$ dengan $a, b \in \mathbb{R}$ sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a- \lambda & b \\ b & a- \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\  (a- \lambda)^2 & = b^2 \\ a- \lambda & =\pm b. \end{aligned}$
Diperoleh $\lambda = a \pm b.$
Karena $\lambda < 0$, maka salah satu kombinasi nilai $a, b$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a =-2$ dan $b = 1$, yaitu $-2 + 1 =-1.$
Jadi, contoh matriksnya adalah $\begin{bmatrix}-2& 1 \\ 1&-2 \end{bmatrix}.$
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri. 
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan $\displaystyle W = \left\{f \in C[1,2] | \int_1^2 f(x)~dx = a\right\}$
Agar $W$ merupakan subruang dari vektor $C[1,2]$, haruslah $a = \cdots \cdot$

Pembahasan

Subruang $W$ haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar. 
Misal $\displaystyle \int_1^2 kf(x)~dx = a.$
Ambil $k = 1$ dan $k = 2$, berturut-turut diperoleh
$\displaystyle \begin{cases} F(2)- F(1) & = a \\ 2F(2)- 2F(1) & = a \end{cases}$
Kalikan persamaan pertama dengan $2,$ lalu dikurangi persamaan kedua sehingga diperoleh $2a- a = 0$, yang berarti $a=0$.

Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{0}$

[collapse]

Soal Nomor 10

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{2017\times 2017}$ yang memenuhi persamaan-persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$ dan $\det(A^{-1}) = 2017$. Tentukan $\det(B)$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{A} +\dfrac{1}{B}&  = \dfrac{A+B} {AB} \\ & = A^{-1}(A+B)B^{-1}. \end{aligned}$
Dalam hal ini, didapat $A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A+B)B^{-1}.$
Dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, diperoleh
$$\begin{aligned} A^{-1} + B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ A^{-1}(A+B)B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ \dfrac{1}{\det (A)} \cdot \det(A+B) \cdot \dfrac{1}{\det (B)} & = \dfrac{1}{\det(A+B)} \\ \det(A) \cdot \det(B) & = \det(A+B)^2 && \bigstar \end{aligned}$$Selanjutnya, dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, kalikan $(A+B)$ pada kedua ruasnya sehingga didapat
$$\begin{aligned} A^{-1}(A+B) & = (A+B)^{-1}(A+B)- B^{-1}(A+B) \\ I + A^{-1}B & = I- B^{-1}(A+B) \\ A^{-1}B & =- B^{-1}(A+B) \\ \det(A^{-1}B) & = \det(-B^{-1}) \cdot \det(A+B) \\ \det(A+B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)}{\det(-B^{-1})}. \end{aligned}$$Substitusikan persamaan terakhir ini ke $\bigstar$
$$\begin{aligned} \det(A) \cdot \det(B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)^2}{\det(-B^{-1})^2} \\ \det(A) \cdot \det(B) & = \det(A^{-1})^2 \cdot \det(B^2) \cdot \det(B^2) \\ \det(A^3) & = \det(B^3) \\ \det(A) & = \det(B) \\ \dfrac{1}{2017} & = \det(B) \end{aligned} $$Jadi, nilai dari $\boxed{\det(B) = \dfrac{1}{2017}}$

[collapse]

Soal Nomor 11

Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x, x+1, x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Gunakan basis standar $C = \{1, x, x^2\}$ untuk menyatakan koordinat vektor $x^2$ dan setiap elemen basis itu. 
Dalam kasus ini, dapat ditulis suatu kombinasi linear untuk skalar $k_1, k_2, k_3$, yaitu 
$$k_1(x^2+x) + k_2(x+1)+ k_3(x^2+1)=x^2.$$Jika ditulis dalam koordinat vektor menjadi
$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Selesaikan persamaan ini dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya (Eliminasi Gauss-Jordan). 
$\begin{aligned} & \displaystyle \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \\ & \overset{r_1 \leftrightarrow r_3} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_2- r_1} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &-1 &-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_3- r_2} {\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \end{aligned}$
Diperoleh $k_3 = \dfrac{1}{2}, k_2=-\dfrac{1}{2}$, dan $k_3 = \dfrac{1}{2}$. 
Jadi, koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x, x+1, x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\displaystyle \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} \\- \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$ 

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$, maka $A^{2006} = \cdots \cdot$

Pembahasan

Dengan menggunakan prinsip diagonalisasi matriks, pertama-tama tentukan dulu nilai eigen $A$. 
$\begin{aligned} |A- I\lambda| & = 0 \\ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2- \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\ (2-\lambda)^2-1 & = 0 \\ (\lambda- 3)(\lambda- 1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai eigen $A$, yaitu $\lambda = 3$ atau $\lambda = 1$. 
Berikutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 3$.
$\begin{aligned} (A-3I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}- 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases}-x_1 + x_2 & = 0 \\ x_1- x_2 & = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 = t$ dengan $t \in \mathbb{R}$ sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$
Selanjutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 1$.
$\begin{aligned} (A-1I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 =-t$ dengan $t \in \mathbb{R}$ sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\-t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}.$
Jadi, dari bentuk $P^{-1}AP = D$, untuk $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}$ dan $D$ matriks diagonal, diperoleh
$$\begin{aligned} P^{-1}AP & =-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 &-1 \\-1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \\ D & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, 
$$\begin{aligned} A^{2006} & = PD^{2006}P^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{2006} & 0 \\ 0 & 1^{2006} \end{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right) \begin{pmatrix}-1 &-1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \\ & =-\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-3^{2006}-1 &-3^{2006}+1 \\-3^{2006}+1 &-3^{2006}-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

[collapse]

Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006- Sekarang)

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

7 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Ahmad Zakiyudin

Soal nomor 7 harusnya norm dari u_2 adalah sqrt(1/12)

Ahmad Zakiyudin

Norm u_2 kan definisinya adalah sqrt(), jadi harusnya ada akarnya

Hamtaro

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Tahun 2017 Tingkat Nasional)
Bro, dua persamaan sebelum bintang itu akan berlaku BA = (A+B)^2 kalau ring-nya komutatif, tapi kasus ini kan tidak? Bgmn penjelasannya?

Alfa

Bro, pembahasan soal 7

Integral ((x-1/2)^2) dari 0 sampai 1 = 1/12

7
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x