Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Aljabar Linear beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat dan salam sukses, pejuang ON MIPA!
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Struktur Aljabar
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Kompleks
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Bidang Analisis Real
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix}$
Nilai dari $A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $O$ D. $2017A+2I$
B. $2I$ E. $A+2I$
C. $A$
Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}$
(Jawaban B)
Catatan:
$O$ merupakan notasi matriks nol, sedangkan $I$ adalah notasi matriks identitas.
Soal Nomor 2
Jika $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, maka $A^{2009} = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks $A$ berikut.
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari uraian di atas, ditemukan pola
$A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}$
untuk $n$ genap dan
$A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}$
untuk $n$ ganjil.
Karena $2009$ adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
$\begin{aligned} A^{2009} & = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}. \end{aligned}$
(Jawaban B)
Bagian Isian/Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan $K$ dan $L$ adalah dua subruang berbeda dari ruang vektor real $V$. Jika $\dim(K) = \dim(L) = 4$, maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $K$ dan $L$ merupakan subruang dari $V$ sehingga berlaku $\dim(K) \leq \dim (V)$ dan $\dim(L) \leq \dim(V)$ dengan $\dim(V) \geq 4$.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\dim(V) \neq 4$. Andaikan demikian, maka $\dim(K) = \dim(L) = \dim(V)$. Subruang $K$ dan $L$ memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor $V$ sehingga $K = L = V$. Terjadi kontradiksi sebab $K$ dan $L$ dikatakan merupakan dua subruang yang berbeda.
Jadi, dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\boxed{5}$
Soal Nomor 2
Untuk $f, g \in \mathbb{C}[0,1]$, didefinisikan hasil kali dalam
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)g(x)~\text{d}x.$
Agar fungsi $f(x) =-3x + 2k^2$ dan $g(x) = x$ ortogonal pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta $k$ adalah $\cdots \cdot$
Karena $f(x)$ dan $g(x)$ ortogonal pada RHKD tersebut, haruslah berlaku
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_0^1 (-3x+2k^2)(x)~\text{d}x = 0.$
Lakukan proses integrasi sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 (-3x^2+2k^2x)~\text{d}x & = 0 \\ \left[-x^3+k^2x^2\right]_0^1 & = 0 \\ (-1 + k^2)- 0 & = 0 \\ k & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai konstanta $k$ adalah $\boxed{\pm 1}$
Soal Nomor 3
Misalkan $V$ ruang vektor fungsi-fungsi $ae^{3x}\sin x + be^{3x}\cos x$. Transformasi $T: V \mapsto V$ didefinisikan $T(f) = f’+f$ untuk $\forall f \in V$. Matriks representasi $T$ terhadap basis $\{e^{3x}\sin x, e^{3x}\cos x\}$ adalah $\cdots \cdot$
Didefinisikan transformasi $T(f) = f’+f$ (perhatikan bahwa $f’$ menyatakan turunan pertama fungsi $f$) sehingga
$$\begin{aligned} T(e^{3x}\sin x) & = (3e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x) + e^{3x}\sin x \\ & = 4e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} T(e^{3x}\cos x) & = (3e^{3x}\cos x- e^{3x} \sin x) + e^{3x} \cos x \\ & =- e^{3x} \sin x + 4e^{3x}\cos x. \end{aligned}$$Dengan memperhatikan koefisien $e^{3x}\sin x$ dan $e^{3x}\cos x$ dari masing-masing hasil transformasi yang merupakan basis matriks representasi $T$ (misal kita beri nama himpunannya $B$), diperoleh
$$\boxed{T = \begin{pmatrix} T(e^{3x} \sin x)_B & T(e^{3x} \cos x)_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &- 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}}$$
Soal Nomor 4
Misalkan $A, B, C, D$ matriks-matriks berukuran $n \times n$. Misalkan pula $A$ memiliki balikan dan $AC = CA$. Buktikan bahwa $\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(AD-CB)$.
Langkah pertama yang cukup tricky untuk membuktikan persamaan itu adalah menuliskan ekspresi determinan pada ruas kirinya dalam 2 faktor.
$$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}$$dengan $O$ dan $I$ berturut-turut menyatakan matriks nol dan matriks identitas perkalian.
Dengan menggunakan teorema determinan $|AB| = |A||B|$, diperoleh
$$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{vmatrix}.$$Jika diperhatikan, bentuk matriks pada ruas kanan merupakan matriks segitiga atas dan bawah. Teorema determinan pada submatriks memperbolehkan perhitungan determinan seperti biasa.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} & = \det(I) \times \det(A(D- CA^{-1}B)-O) \\ & = \det(AD- ACA^{-1}B) \end{aligned}$$Karena $AC = CA$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} & = \det(AD- CAA^{-1}B) \\ & = \det(AD- CB). \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$
Soal Nomor 5
Didefinisikan hasil kali dalam $\langle A, B \rangle = \text{tr}(B^TA), A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$.
$\left\{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix}\right\}$ adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika $a = \cdots \cdot$
Himpunan matriks yang diberikan itu ortogonal dalam ruang hasil kali dalam yang diberikan, ditulis
$$\left \langle \begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix} \right \rangle = \text{tr}\left(\begin{bmatrix} 1 &a \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}\right) = 0.$$Dengan mengalikan matriksnya, didapat
$\text{tr}\left(\begin{bmatrix}-a & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0.$
Berdasarkan definisi trace,
$-a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1$.
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{1}$
Catatan: Trace dari matriks $A$, dinotasikan $\text{tr}(A)$ didefinisikan sebagai jumlah dari entri-entri diagonal utama matriks $A$.
Soal Nomor 6
Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{n \times n}$ yang memenuhi persamaan $AB^2- 2BAB + B^2A = O$. Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks $AB- BA$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & AB^2- 2BAB + B^2A = O\\ & AB^2- BAB- BAB + B^2A = O \\ & (AB-BA)B- B(AB- BA) = O \\ & (AB-BA)B = B(AB-BA). \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa matriks $B$ dan $AB- BA$ komutatif satu sama lain. Dua kemungkinan untuk kedua matriks ini adalah matriks nol atau matriks identitas perkalian (karena kedua matriks ini selalu komutatif). Jika $AB- BA = O$, maka nilai eigennya jelas $0$ (nol), sedangkan jika $AB- BA = I$, maka nilai eigennya adalah $1$ (satu). Jadi, nilai eigen terbesar dari matriks $AB-BA$ adalah $\boxed{1}$
Soal Nomor 7
Misalkan $P_1$ ruang polinom real berderajat paling tinggi $1$ dengan hasil kali dalam $\displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \int_0^1 p(x) q(x)~dx$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan $\{1,x\}$ di $P_1$ akan menghasilkan himpunan ortonormal $\cdots \cdot$
Misalkan $p_1 = 1,p_2=x$ sehingga
$\displaystyle p_1 \bullet p_2 = \int_0^1 x~dx = \dfrac{1}{2}$
dan juga
$\displaystyle ||p_1||^2 = \int_0^1~1~dx = 1.$
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misalkan $u_1 = p_1 = 1$ dan
$\displaystyle \begin{aligned} u_2 & = p_2- \dfrac{p_2 \cdot u_1}{||u_1||^2}u_1 \\ & = x- \dfrac{\frac{1}{2}}{1}(1) = x- \dfrac{1}{2}. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal $\left \{1, x- \dfrac{1}{2}\right\}.$
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya.
$\displaystyle \begin{aligned} & ||u_1|| = \int_0^1~dx = 1 \\ & ||u_2|| = \int_0^1 \left(x- \dfrac{1}{2}\right)^2~dx = \dfrac{1}{12} \end{aligned}$
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
$\boxed{\left\{1, \dfrac{x- \frac{1}{2}} {\frac{1}{12}} \right\} = \left\{1, 12x-6\right\}}$
Soal Nomor 8
Contoh matriks real simetris $2 \times 2$ yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah $\cdots \cdot$
Misalkan matriks real simetris berukuran $2 \times 2$ yang dimaksud adalah $\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$ dengan $a, b \in \mathbb{R}$ sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a- \lambda & b \\ b & a- \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\ (a- \lambda)^2 & = b^2 \\ a- \lambda & =\pm b. \end{aligned}$
Diperoleh $\lambda = a \pm b.$
Karena $\lambda < 0$, maka salah satu kombinasi nilai $a, b$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a =-2$ dan $b = 1$, yaitu $-2 + 1 =-1.$
Jadi, contoh matriksnya adalah $\begin{bmatrix}-2& 1 \\ 1&-2 \end{bmatrix}.$
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri.
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.
Soal Nomor 9
Misalkan $\displaystyle W = \left\{f \in C[1,2] | \int_1^2 f(x)~dx = a\right\}$
Agar $W$ merupakan subruang dari vektor $C[1,2]$, haruslah $a = \cdots \cdot$
Subruang $W$ haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Misal $\displaystyle \int_1^2 kf(x)~dx = a.$
Ambil $k = 1$ dan $k = 2$, berturut-turut diperoleh
$\displaystyle \begin{cases} F(2)- F(1) & = a \\ 2F(2)- 2F(1) & = a \end{cases}$
Kalikan persamaan pertama dengan $2,$ lalu dikurangi persamaan kedua sehingga diperoleh $2a- a = 0$, yang berarti $a=0$.
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{0}$
Soal Nomor 10
Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{2017\times 2017}$ yang memenuhi persamaan-persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$ dan $\det(A^{-1}) = 2017$. Tentukan $\det(B)$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{A} +\dfrac{1}{B}& = \dfrac{A+B} {AB} \\ & = A^{-1}(A+B)B^{-1}. \end{aligned}$
Dalam hal ini, didapat $A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A+B)B^{-1}.$
Dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, diperoleh
$$\begin{aligned} A^{-1} + B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ A^{-1}(A+B)B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ \dfrac{1}{\det (A)} \cdot \det(A+B) \cdot \dfrac{1}{\det (B)} & = \dfrac{1}{\det(A+B)} \\ \det(A) \cdot \det(B) & = \det(A+B)^2 && \bigstar \end{aligned}$$Selanjutnya, dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, kalikan $(A+B)$ pada kedua ruasnya sehingga didapat
$$\begin{aligned} A^{-1}(A+B) & = (A+B)^{-1}(A+B)- B^{-1}(A+B) \\ I + A^{-1}B & = I- B^{-1}(A+B) \\ A^{-1}B & =- B^{-1}(A+B) \\ \det(A^{-1}B) & = \det(-B^{-1}) \cdot \det(A+B) \\ \det(A+B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)}{\det(-B^{-1})}. \end{aligned}$$Substitusikan persamaan terakhir ini ke $\bigstar$
$$\begin{aligned} \det(A) \cdot \det(B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)^2}{\det(-B^{-1})^2} \\ \det(A) \cdot \det(B) & = \det(A^{-1})^2 \cdot \det(B^2) \cdot \det(B^2) \\ \det(A^3) & = \det(B^3) \\ \det(A) & = \det(B) \\ \dfrac{1}{2017} & = \det(B) \end{aligned} $$Jadi, nilai dari $\boxed{\det(B) = \dfrac{1}{2017}}$
Soal Nomor 11
Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x, x+1, x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\cdots \cdot$
Gunakan basis standar $C = \{1, x, x^2\}$ untuk menyatakan koordinat vektor $x^2$ dan setiap elemen basis itu.
Dalam kasus ini, dapat ditulis suatu kombinasi linear untuk skalar $k_1, k_2, k_3$, yaitu
$$k_1(x^2+x) + k_2(x+1)+ k_3(x^2+1)=x^2.$$Jika ditulis dalam koordinat vektor menjadi
$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Selesaikan persamaan ini dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya (Eliminasi Gauss-Jordan).
$\begin{aligned} & \displaystyle \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \\ & \overset{r_1 \leftrightarrow r_3} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_2- r_1} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &-1 &-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_3- r_2} {\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \end{aligned}$
Diperoleh $k_3 = \dfrac{1}{2}, k_2=-\dfrac{1}{2}$, dan $k_3 = \dfrac{1}{2}$.
Jadi, koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x, x+1, x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\displaystyle \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} \\- \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$
Soal Nomor 12
Jika $A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$, maka $A^{2006} = \cdots \cdot$
Dengan menggunakan prinsip diagonalisasi matriks, pertama-tama tentukan dulu nilai eigen $A$.
$\begin{aligned} |A- I\lambda| & = 0 \\ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2- \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\ (2-\lambda)^2-1 & = 0 \\ (\lambda- 3)(\lambda- 1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai eigen $A$, yaitu $\lambda = 3$ atau $\lambda = 1$.
Berikutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 3$.
$\begin{aligned} (A-3I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}- 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases}-x_1 + x_2 & = 0 \\ x_1- x_2 & = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 = t$ dengan $t \in \mathbb{R}$ sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$
Selanjutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 1$.
$\begin{aligned} (A-1I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 =-t$ dengan $t \in \mathbb{R}$ sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\-t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}.$
Jadi, dari bentuk $P^{-1}AP = D$, untuk $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}$ dan $D$ matriks diagonal, diperoleh
$$\begin{aligned} P^{-1}AP & =-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 &-1 \\-1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \\ D & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi,
$$\begin{aligned} A^{2006} & = PD^{2006}P^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{2006} & 0 \\ 0 & 1^{2006} \end{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right) \begin{pmatrix}-1 &-1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \\ & =-\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-3^{2006}-1 &-3^{2006}+1 \\-3^{2006}+1 &-3^{2006}-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006- Sekarang)
Anda melakukan kesalahan fatal saat menulis solusi nomor 6. Persamaan $B(AB-BA) = (AB-BA)B$ tidak serta merta menyebabkan $AB-BA = O$ atau $AB-BA = I$. Ya, memang $B$ bisa bernilai $O$, tetapi masih ada kemungkinan lain, yaitu $AB-BA$ berupa matriks nilpoten. Sedangkan $AB-BA = I$ justru tidak mungkin terjadi karena $\text{tr}(AB-BA) = \text{tr}(AB) – \text{tr}(BA) = 0$ berdasarkan sifat trace, sedangkan $\text{tr}(I) = n$. Kenapa $AB-BA$ akan berbentuk matriks nilpoten bisa dijelaskan menurut Lemma Jacobson. Buktinya sendiri tidak begitu sulit karena hanya menggunakan hal-hal elementer di teori matriks. Karena matriks nilpoten adalah matriks yang semua nilai eigennya 0, berarti jawaban yang semestinya dari nomor 6 adalah 0, bukan 1.
Soal nomor 7 harusnya norm dari u_2 adalah sqrt(1/12)
Mohon maaf, Kak. Bisa dirincikan perhitungannya sehingga bisa dapat $\sqrt{\dfrac{1}{12}}$?
Norm u_2 kan definisinya adalah sqrt(), jadi harusnya ada akarnya
Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Tahun 2017 Tingkat Nasional)
Bro, dua persamaan sebelum bintang itu akan berlaku BA = (A+B)^2 kalau ring-nya komutatif, tapi kasus ini kan tidak? Bgmn penjelasannya?
Terima kasih atas koreksiannya, Bro. Sudah diperbaiki. Langsung ubah saja menjadi persamaan determinan.
Bro, pembahasan soal 7
Integral ((x-1/2)^2) dari 0 sampai 1 = 1/12
Siap, sudah diperbaiki. Terima kasih atas koreksinya.