Soal ON MIPA-PT dan Pembahasan – Bidang Aljabar Linear

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Aljabar Linear beserta pembahasannya. Beberapa soal mungkin belum disediakan penyelesaiannya. Jika Anda dapat memberi solusi, silakan kirimkan argumentasi Anda di email: shanedizzy6@gmail.com. Tentunya, kami mengucapkan terima kasih atas hal tersebut.
Jika ada pertanyaan, silakan ajukan di kolom komentar.

Soal Nomor 1 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan $K$ dan $L$

adalah dua subruang berbeda dari ruang vektor real $V$ . Jika $\dim(K) = \dim(L) = 4$ , maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Jika $K, L$ dua subruang berbeda dari ruang vektor $V$ , maka haruslah
$\dim(K) = \dim(L) < \dim(V)$
Karena $\dim(K) = \dim(L) = 4$ , maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $5$ .

[collapse]

Soal Nomor 2
Untuk $f, g \in \mathbb{C}[0,1]$ , didefinisikan hasil kali dalam
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)g(x)~dx$
Agar fungsi $f(x) = -3x + 2k^2$ dan $g(x) = x$ ortogonal pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta $k$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Karena $f(x)$ dan $g(x)$ ortogonal pada RHKD tersebut, haruslah berlaku
$\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_0^1 (-3x+2k^2)(x)~dx = 0$
Lakukan proses integrasi sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 (-3x^2+2k^2x)~dx & = 0 \\ \left[-x^3+k^2x^2\right]_0^1 & = 0 \\ (-1 + k^2) - 0 & = 0 \\ k & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai konstanta $k$ adalah $\pm 1$

[collapse]

Soal Nomor 3 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan $V$ ruang vektor fungsi-fungsi $ae^{3x}\sin x + be^{3x}\cos x$ . Transformasi $T: V \mapsto V$ didefinisikan $T(f) = f'+f$ untuk $\forall f \in V$ . Matriks representasi $T$ terhadap basis $\{e^{3x}\sin x, e^{3x}\cos x\}$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Didefinisikan transformasi $T(f) = f'+f$ (perhatikan bahwa $f'$ menyatakan turunan pertama fungsi $f$ ), sehingga
$\begin{aligned} T(e^{3x}\sin x) & = (3e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x) + e^{3x}\sin x \\ & = 4e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} T(e^{3x}\cos x) & = (3e^{3x}\cos x - e^{3x} \sin x) + e^{3x} \cos x \\ & = - e^{3x} \sin x + 4e^{3x}\cos x \end{aligned}$
Dengan memperhatikan koefisien $e^{3x}\sin x$ dan $e^{3x}\cos x}$ dari masing-masing hasil transformasi yang merupakan basis matriks representasi $T$ (misal kita beri nama himpunannya $B$ ), diperoleh
$\boxed{T = \begin{pmatrix} T(e^{3x} \sin x)_B & T(e^{3x} \cos x)_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & - 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} }$

[collapse]

Soal Nomor 4 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan $A, B, C, D$ matriks-matriks berukuran $n \times n$ . Misalkan pula $A$ memiliki balikan dan $AC = CA$ . Buktikan bahwa
$\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(AD-CB)$

Penyelesaian

Langkah pertama yang cukup tricky untuk membuktikan persamaan itu adalah menuliskan ekspresi determinan pada ruas kirinya dalam 2 faktor.
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}$
di mana $O$ dan $I$ berturut-turut menyatakan matriks nol dan matriks identitas perkalian.
Dengan menggunakan teorema determinan $|AB| = |A||B|$ , diperoleh
$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I & O & CA^{-1} & I \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{vmatrix}$
Jika diperhatikan, bentuk matriks pada ruas kanan merupakan matriks segitiga atas dan bawah. Teorema determinan pada submatriks memperbolehkan perhitungan determinan seperti biasa,
$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} \\ & = \det(I) \times \det(A(D - CA^{-1}B) -O) = \det(AD - ACA^{-1}B) \end{aligned}$
Karena $AC = CA$ , maka dapat ditulis
$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \det(AD - CAA^{-1}B) = \det(AD - CB)$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Didefinisikan hasil kali dalam $\langle A, B \rangle = \text{tr}(B^TA), A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ .
$\left\{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix}\right\}$
adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika $a = \cdots$

Penyelesaian

Himpunan matriks yang diberikan itu ortogonal dalam ruang hasil kali dalam yang diberikan, ditulis
$\left \langle \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix} \right \rangle = \text{tr}\left(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix}\right) = 0$
Dengan mengalikan matriksnya, didapat
$\text{tr}\left(\begin{bmatrix} -a & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0$
Berdasarkan definisi trace,
$-a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1$ .
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $1$ .
Catatan: Trace dari matriks $A$ , dinotasikan $\text{tr}(A)$ didefinisikan sebagai jumlah dari entri-entri diagonal utama matriks $A$ .

[collapse]

Soal Nomor 6 (Seleksi Nasional ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks dalam $\mathbb{R}^{n \times n}$ yang memenuhi persamaan
$AB^2 - 2BAB + B^2A = O$
Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks $AB - BA$ .

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & AB^2 - 2BAB + B^2A = O\\ & AB^2 - BAB - BAB + B^2A = O \\ & (AB-BA)B - B(AB - BA) = O \\ & (AB-BA)B = B(AB-BA) \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa matriks $B$ dan $AB - BA$ komutatif satu sama lain. Dua kemungkinan untuk kedua matriks ini adalah matriks nol atau matriks identitas perkalian (karena kedua matriks ini selalu komutatif). Jika $AB - BA = O$ , maka nilai eigennya jelas $0$ (nol), sedangkan jika $AB - BA = I$ , maka nilai eigennya adalah $1$ (satu). Jadi, nilai eigen terbesar dari matriks $AB-BA$ adalah $1$ .

[collapse]

Soal Nomor 7 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2009)
Misalkan $P_1$ ruang polinom real berderajat paling tinggi 1 dengan hasil kali dalam
$\displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \int_0^1 p(x) q(x)~dx$
Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan $\{1,x\}$ di $P_1$ akan menghasilkan himpunan ortonormal $\cdots$

Penyelesaian

Misalkan $p_1 = 1,p_2=x$ , sehingga
$\displaystyle p_1 \bullet p_2 = \int_0^1 x~dx = \dfrac{1}{2}$
dan juga
$\displaystyle ||p_1||^2 = \int_0^1~1~dx = 1$
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misal $u_1 = p_1 = 1$ dan
$\displaystyle \begin{aligned} u_2 & = p_2 - \dfrac{p_2 \bigdot u_1}{||u_1||^2}u_1 \\ & = x - \dfrac{\frac{1}{2}}{1}(1) = x - \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal $\left \{1, x - \dfrac{1}{2}\right\}$
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya.
$\displaystyle \begin{aligned} & ||u_1|| = \int_0^1~dx = 1 \\ & ||u_2|| = \int_0^1 \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2~dx = \dfrac{11}{24} \end{aligned}$
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
$\boxed{\left\{1, \dfrac{x - \frac{1}{2}} {\frac{11}{24}} \right\} = \left\{1, \dfrac{24x-12}{11}\right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 8 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT)
Contoh matriks real simetris $2 \times 2$ yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah $\cdots$

Penyelesaian

Misalkan matriks real simetris berukuran $2 \times 2$ yang dimaksud adalah
$\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$
dengan $a, b \in \mathbb{R}$
sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ b & a - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ & (a - \lambda)^2 = b^2 \\ & a - \lambda =\pm b \end{aligned}$
Diperoleh $\lambda = a \pm b$
Karena $\lambda < 0$ , maka salah satu kombinasi nilai $a, b$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a = -2$ dan $b = 1$ , yaitu
$-2 + 1 = -1$
Jadi, contoh matriksnya adalah
$\begin{bmatrix} -2& 1 \\ 1& -2 \end{bmatrix}$
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri.
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.

[collapse]

Soal Nomor 9 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2013)
Misalkan $\displaystyle W = \left\{f \in C[1,2] | \int_1^2 f(x)~dx = a\right\}$
Agar $W$ merupakan subruang dari vektor $C[1,2]$ , haruslah $a = \cdots$

Penyelesaian

Subruang $W$ haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Misal $\displaystyle \int_1^2 kf(x)~dx = a$
Ambil $k = 1$ dan $k = 2$ , berturut-turut diperoleh
$\displaystyle \begin{cases} F(2) - F(1) = a \\ 2F(2) - 2F(1) = a \end{cases}$
Kalikan persamaan pertama dengan 2, lalu dikurangi persamaan kedua, sehingga diperoleh $2a - a = 0$ , yang berarti $\boxed{a = 0}$ .
Jadi, nilai $a$ adalah $0$

[collapse]

More from my site

Ayo Beri Rating Postingan Ini

More from my site

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan