Diposkan pada oleh Sukardi

Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Aljabar Linear

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Aljabar Linear beserta pembahasannya yang dikumpulkan oleh penulis. Semoga dapat dijadikan referensi belajar menghadapi ON MIPA-PT. Selamat berjuang, para pejuang ON MIPA!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Struktur Aljabar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Analisis Kompleks

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Analisis Real

 Soal Nomor 1 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan K dan L

adalah dua subruang berbeda dari ruang vektor real V. Jika \dim(K) = \dim(L) = 4, maka dimensi minimal yang mungkin untuk V adalah \cdots

Penyelesaian

Jika K, L dua subruang berbeda dari ruang vektor V, maka haruslah
\dim(K) = \dim(L) < \dim(V)
Karena \dim(K) = \dim(L) = 4, maka dimensi minimal yang mungkin untuk V adalah 5.

[collapse]

Soal Nomor 2
Untuk f, g \in \mathbb{C}[0,1], didefinisikan hasil kali dalam 
\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)g(x)~dx
Agar fungsi f(x) = -3x + 2k^2 dan g(x) = x ortogonal pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta k adalah \cdots

Penyelesaian

Karena f(x) dan g(x) ortogonal pada RHKD tersebut, haruslah berlaku
\langle f, g \rangle = \displaystyle \int_0^1 (-3x+2k^2)(x)~dx = 0
Lakukan proses integrasi sebagai berikut. 
\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 (-3x^2+2k^2x)~dx & = 0 \\ \left[-x^3+k^2x^2\right]_0^1 & = 0 \\ (-1 + k^2) - 0 & = 0 \\ k & = \pm 1 \end{aligned}
Jadi, nilai konstanta k adalah \pm 1

[collapse]

Soal Nomor 3 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan V ruang vektor fungsi-fungsi ae^{3x}\sin x + be^{3x}\cos x. Transformasi T: V \mapsto V didefinisikan T(f) = f'+f untuk \forall f \in V. Matriks representasi T terhadap basis \{e^{3x}\sin x, e^{3x}\cos x\} adalah \cdots

Penyelesaian

Didefinisikan transformasi T(f) = f'+f (perhatikan bahwa f' menyatakan turunan pertama fungsi f), sehingga
\begin{aligned} T(e^{3x}\sin x) & = (3e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x) + e^{3x}\sin x \\ & = 4e^{3x}\sin x + e^{3x} \cos x \end{aligned}
dan
\begin{aligned} T(e^{3x}\cos x) & = (3e^{3x}\cos x - e^{3x} \sin x) + e^{3x} \cos x \\ & = - e^{3x} \sin x + 4e^{3x}\cos x \end{aligned}
Dengan memperhatikan koefisien e^{3x}\sin x dan e^{3x}\cos x} dari masing-masing hasil transformasi yang merupakan basis matriks representasi T (misal kita beri nama himpunannya B), diperoleh
\boxed{T = \begin{pmatrix} T(e^{3x} \sin x)_B & T(e^{3x} \cos x)_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & - 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} }

[collapse]

Soal Nomor 4 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan A, B, C, D matriks-matriks berukuran n \times n. Misalkan pula A memiliki balikan dan AC = CA. Buktikan bahwa
\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(AD-CB)

Penyelesaian

Langkah pertama yang cukup tricky untuk membuktikan persamaan itu adalah menuliskan ekspresi determinan pada ruas kirinya dalam 2 faktor. 
\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}
di mana O dan I berturut-turut menyatakan matriks nol dan matriks identitas perkalian. 
Dengan menggunakan teorema determinan |AB| = |A||B|, diperoleh
\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{vmatrix}
Jika diperhatikan, bentuk matriks pada ruas kanan merupakan matriks segitiga atas dan bawah. Teorema determinan pada submatriks memperbolehkan perhitungan determinan seperti biasa, 
\begin{aligned} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} & = \det(I) \times \det(A(D - CA^{-1}B) -O) \\ & = \det(AD - ACA^{-1}B) \end{aligned}
Karena AC = CA, maka dapat ditulis
\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = \det(AD - CAA^{-1}B) = \det(AD - CB)
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 5 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Didefinisikan hasil kali dalam \langle A, B \rangle = \text{tr}(B^TA), A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}. 
\left\{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix}\right\}
adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika a = \cdots

Penyelesaian

Himpunan matriks yang diberikan itu ortogonal dalam ruang hasil kali dalam yang diberikan, ditulis
\left \langle \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 &1 \\ a & 0 \end{bmatrix} \right \rangle = \text{tr}\left(\begin{bmatrix} 1 &a \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\right) = 0
Dengan mengalikan matriksnya, didapat
\text{tr}\left(\begin{bmatrix} -a & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0
Berdasarkan definisi trace, 
-a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1. 
Jadi, nilai a yang memenuhi kondisi tersebut adalah 1.
Catatan: Trace dari matriks A, dinotasikan \text{tr}(A) didefinisikan sebagai jumlah dari entri-entri diagonal utama matriks A. 

[collapse]

Soal Nomor 6 (Seleksi Nasional ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan A dan B adalah matriks dalam \mathbb{R}^{n \times n} yang memenuhi persamaan
AB^2 - 2BAB + B^2A = O
Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks AB - BA.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & AB^2 - 2BAB + B^2A = O\\ & AB^2 - BAB - BAB + B^2A = O \\ & (AB-BA)B - B(AB - BA) = O \\ & (AB-BA)B = B(AB-BA) \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa matriks B dan AB - BA komutatif satu sama lain. Dua kemungkinan untuk kedua matriks ini adalah matriks nol atau matriks identitas perkalian (karena kedua matriks ini selalu komutatif). Jika AB - BA = O, maka nilai eigennya jelas 0 (nol), sedangkan jika AB - BA = I, maka nilai eigennya adalah 1 (satu). Jadi, nilai eigen terbesar dari matriks AB-BA adalah 1.

[collapse]

Soal Nomor 7 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2009)
Misalkan P_1 ruang polinom real berderajat paling tinggi 1 dengan hasil kali dalam
\displaystyle \langle p(x), q(x) \rangle = \int_0^1 p(x) q(x)~dx
Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan \{1,x\} di P_1 akan menghasilkan himpunan ortonormal \cdots

Penyelesaian

Misalkan p_1 = 1,p_2=x, sehingga
\displaystyle p_1 \bullet p_2 = \int_0^1 x~dx = \dfrac{1}{2}
dan juga
\displaystyle ||p_1||^2 = \int_0^1~1~dx = 1
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misal  u_1 = p_1 = 1 dan
\displaystyle \begin{aligned} u_2 & = p_2 - \dfrac{p_2 \bigdot u_1}{||u_1||^2}u_1 \\ & = x - \dfrac{\frac{1}{2}}{1}(1) = x - \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal \left \{1, x - \dfrac{1}{2}\right\}
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya. 
\displaystyle \begin{aligned} & ||u_1|| = \int_0^1~dx = 1 \\ & ||u_2|| = \int_0^1 \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2~dx = \dfrac{11}{24} \end{aligned}
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
\boxed{\left\{1, \dfrac{x - \frac{1}{2}} {\frac{11}{24}} \right\} = \left\{1, \dfrac{24x-12}{11}\right\}}

[collapse]

Soal Nomor 8 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT)
Contoh matriks real simetris 2 \times 2 yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan matriks real simetris berukuran 2 \times 2 yang dimaksud adalah
\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}
dengan a, b \in \mathbb{R}
sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ b & a - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ & (a - \lambda)^2 = b^2 \\ & a - \lambda =\pm b \end{aligned}
Diperoleh \lambda = a \pm b
Karena \lambda < 0, maka salah satu kombinasi nilai a, b yang memenuhi persamaan di atas adalah a = -2 dan b = 1, yaitu
-2 + 1 = -1
Jadi, contoh matriksnya adalah 
\begin{bmatrix} -2& 1 \\ 1& -2 \end{bmatrix}
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri. 
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.

[collapse]

Soal Nomor 9 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2013)
Misalkan \displaystyle W = \left\{f \in C[1,2] | \int_1^2 f(x)~dx = a\right\}
Agar W merupakan subruang dari vektor C[1,2], haruslah a = \cdots

Penyelesaian

Subruang W haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar. 
Misal \displaystyle \int_1^2 kf(x)~dx = a
Ambil k = 1 dan k = 2, berturut-turut diperoleh
\displaystyle \begin{cases} F(2) - F(1) = a \\ 2F(2) - 2F(1) = a \end{cases}
Kalikan persamaan pertama dengan 2, lalu dikurangi persamaan kedua, sehingga diperoleh 2a - a = 0, yang berarti \boxed{a = 0}.
Jadi, nilai a adalah 0

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Tahun 2017 Tingkat Nasional) 
Misalkan A dan B adalah matriks dalam \mathbb{R}^{2017\times 2017} yang memenuhi persamaan-persamaan
A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}
dan
\det(A^{-1}) = 2017
Tentukan \det(B).

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\dfrac{1}{A} +\dfrac{1}{B} = \dfrac{A+B} {AB} = A^{-1}(A+B)B^{-1}
Dalam hal ini, didapat A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A+B)B^{-1}
Dari persamaan A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}, diperoleh
\begin{aligned} A^{-1} + B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ A^{-1}(A+B)B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ BA & = (A+B)^2\\ \det(B) \cdot \det(A) & = \det(A+B)^2 && \bigstar \end{aligned}
Selanjutnya, dari persamaan A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}, kalikan (A+B) pada kedua ruasnya, sehingga didapat
\begin{aligned} A^{-1}(A+B) & = (A+B)^{-1}(A+B) - B^{-1}(A+B) \\ I + A^{-1}B & = I - B^{-1}(A+B) \\ A^{-1}B & = - B^{-1}(A+B) \\ \det(A^{-1}B) & = \det(-B^{-1}) \cdot \det(A+B) \\ \det(A+B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)}{\det(-B^{-1})} \end{aligned}
Substitusikan persamaan terakhir ini ke \bigstar, 
\begin{aligned} \det(B) \cdot \det(A) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)^2}{\det(-B^{-1})^2} \\ \det(B) \cdot \det(A) & = \det(A^{-1})^2 \cdot \det(B^2) \cdot \det(B^2) \\ \det(A^3) & = \det(B^3) \\ \det(A) & = \det(B) \\ \dfrac{1}{2017} & = \det(B) \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\det(B) = \dfrac{1}{2017}}

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal ON MIPA-PT Tahun 2006 Tingkat Wilayah) 
Koordinat x^2 terhadap basis \{x^2+x, x+1, x^2+1\} di P_2 adalah \cdots

Penyelesaian

Gunakan basis standar C = \{1, x, x^2\} untuk menyatakan koordinat vektor x^2 dan setiap elemen basis itu. 
Dalam kasus ini, dapat ditulis suatu kombinasi linear untuk skalar k_1, k_2, k_3, yaitu 
k_1(x^2+x) + k_2(x+1)+ k_3(x^2+1)=x^2
Jika ditulis dalam koordinat vektor menjadi
k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
Selesaikan persamaan ini dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya (Eliminasi Gauss-Jordan). 
\begin{aligned} & \displaystyle \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \\ & \overset{r_1 \leftrightarrow r_3} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_2 - r_1} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_3 - r_2} {\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \end{aligned}
Diperoleh k_3 = \dfrac{1}{2}, k_2= -\dfrac{1}{2}, dan k_3 = \dfrac{1}{2}. 
Jadi, koordinat x^2 terhadap basis \{x^2+x, x+1, x^2+1\} di P_2 adalah \displaystyle \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} \\ - \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} 

[collapse]

Soal Nomor 12 (Soal ON MIPA-PT Tahun 2006 Tingkat Wilayah) 
Jika A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}, maka A^{2006} = \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan prinsip diagonalisasi matriks, pertama-tama tentukan dulu nilai eigen A. 
\begin{aligned} |A - I\lambda| & = 0 \\ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\ (2-\lambda)^2-1 & = 0 \\ (\lambda - 3)(\lambda - 1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh nilai eigen A, yaitu \lambda = 3 atau \lambda = 1. 
Berikutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk \lambda = 3.
\begin{aligned} (A-3I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
\begin{cases} -x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 = 0 \end{cases}
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu x_1 = t dan x_2 = t dengan t \in \mathbb{R}, sehingga
\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
Selanjutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk \lambda = 1.
\begin{aligned} (A-1I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu x_1 = t dan x_2 = -t dengan t \in \mathbb{R}, sehingga
\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
Jadi, dari bentuk P^{-1}AP = D, untuk P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} dan D matriks diagonal, diperoleh
\begin{aligned} P^{-1}AP & = -\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ D & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, 
\begin{aligned} A^{2006} & = PD^{2006}P^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{2006} & 0 \\ 0 & 1^{2006} \end{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right) \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = -\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3^{2006} -1 & -3^{2006}+1 \\ -3^{2006}+1 & -3^{2006}-1 \end{pmatrix} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}
Nilai dari A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} adalah \cdots
A. O             D. 2017A+2I
B. 2I             E. A+2I
C. A

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}
(Jawaban B) 
Catatan:
O merupakan notasi matriks nol, sedangkan I adalah notasi matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 14 
Jika A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, maka A^{2009} = \cdots
A. \begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004) \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui: A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks A berikut. 
\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari uraian di atas, ditemukan pola
A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}
untuk n genap. 
A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}
untuk n ganjil. 
Karena 2009 adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
A^{2009} = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}
(Jawaban B)

[collapse]

Artikel Terkait

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriAljabar Linear, ON MIPATag, , , , , , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *