Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Aljabar Linear

Misalkan $p_1 = 1,p_2=x$, sehingga
$\displaystyle p_1 \bullet p_2 = \int_0^1 x~dx = \dfrac{1}{2}$
dan juga
$\displaystyle ||p_1||^2 = \int_0^1~1~dx = 1$
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misal  $u_1 = p_1 = 1$ dan
$\displaystyle \begin{aligned} u_2 & = p_2 – \dfrac{p_2 \cdot u_1}{||u_1||^2}u_1 \\ & = x – \dfrac{\frac{1}{2}}{1}(1) = x – \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal $\left \{1, x – \dfrac{1}{2}\right\}$
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya. 
$\displaystyle \begin{aligned} & ||u_1|| = \int_0^1~dx = 1 \\ & ||u_2|| = \int_0^1 \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2~dx = \dfrac{11}{24} \end{aligned}$
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
$\boxed{\left\{1, \dfrac{x – \frac{1}{2}} {\frac{11}{24}} \right\} = \left\{1, \dfrac{24x-12}{11}\right\}}$

Misalkan matriks real simetris berukuran $2 \times 2$ yang dimaksud adalah
$\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$
dengan $a, b \in \mathbb{R}$
sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a – \lambda & b \\ b & a – \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ & (a – \lambda)^2 = b^2 \\ & a – \lambda =\pm b \end{aligned}$
Diperoleh $\lambda = a \pm b$
Karena $\lambda < 0$, maka salah satu kombinasi nilai $a, b$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a = -2$ dan $b = 1$, yaitu
$-2 + 1 = -1$
Jadi, contoh matriksnya adalah 
$\begin{bmatrix} -2& 1 \\ 1& -2 \end{bmatrix}$
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri. 
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.

Subruang $W$ haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar. 
Misal $\displaystyle \int_1^2 kf(x)~dx = a$
Ambil $k = 1$ dan $k = 2$, berturut-turut diperoleh
$\displaystyle \begin{cases} F(2) – F(1) = a \\ 2F(2) – 2F(1) = a \end{cases}$
Kalikan persamaan pertama dengan $2$, lalu dikurangi persamaan kedua, sehingga diperoleh $2a – a = 0$, yang berarti $\boxed{a = 0}$.
Jadi, nilai $a$ adalah $0$

Perhatikan bahwa
$\dfrac{1}{A} +\dfrac{1}{B} = \dfrac{A+B} {AB} = A^{-1}(A+B)B^{-1}$
Dalam hal ini, didapat $A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A+B)B^{-1}$
Dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, diperoleh
$\begin{aligned} A^{-1} + B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ A^{-1}(A+B)B^{-1} & = (A+B)^{-1} \\ BA & = (A+B)^2\\ \det(B) \cdot \det(A) & = \det(A+B)^2 && \bigstar \end{aligned}$
Selanjutnya, dari persamaan $A^{-1} = (A+B)^{-1}-B^{-1}$, kalikan $(A+B)$ pada kedua ruasnya, sehingga didapat
$$\begin{aligned} A^{-1}(A+B) & = (A+B)^{-1}(A+B) – B^{-1}(A+B) \\ I + A^{-1}B & = I – B^{-1}(A+B) \\ A^{-1}B & = – B^{-1}(A+B) \\ \det(A^{-1}B) & = \det(-B^{-1}) \cdot \det(A+B) \\ \det(A+B) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)}{\det(-B^{-1})} \end{aligned}$$
Substitusikan persamaan terakhir ini ke $\bigstar$, 
$$\begin{aligned} \det(B) \cdot \det(A) & = \dfrac{\det(A^{-1}B)^2}{\det(-B^{-1})^2} \\ \det(B) \cdot \det(A) & = \det(A^{-1})^2 \cdot \det(B^2) \cdot \det(B^2) \\ \det(A^3) & = \det(B^3) \\ \det(A) & = \det(B) \\ \dfrac{1}{2017} & = \det(B) \end{aligned} $$
Jadi, nilai dari $\boxed{\det(B) = \dfrac{1}{2017}}$

Gunakan basis standar $C = \{1, x, x^2\}$ untuk menyatakan koordinat vektor $x^2$ dan setiap elemen basis itu. 
Dalam kasus ini, dapat ditulis suatu kombinasi linear untuk skalar $k_1, k_2, k_3$, yaitu 
$k_1(x^2+x) + k_2(x+1)+ k_3(x^2+1)=x^2$
Jika ditulis dalam koordinat vektor menjadi
$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Selesaikan persamaan ini dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya (Eliminasi Gauss-Jordan). 
$\begin{aligned} & \displaystyle \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \\ & \overset{r_1 \leftrightarrow r_3} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_2 – r_1} {\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ &\overset{r_3 – r_2} {\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \end{aligned}$
Diperoleh $k_3 = \dfrac{1}{2}, k_2= -\dfrac{1}{2}$, dan $k_3 = \dfrac{1}{2}$. 
Jadi, koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x, x+1, x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\displaystyle \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} \\ – \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$ 

Dengan menggunakan prinsip diagonalisasi matriks, pertama-tama tentukan dulu nilai eigen $A$. 
$\begin{aligned} |A – I\lambda| & = 0 \\ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2 – \lambda \end{vmatrix} & = 0 \\ (2-\lambda)^2-1 & = 0 \\ (\lambda – 3)(\lambda – 1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai eigen $A$, yaitu $\lambda = 3$ atau $\lambda = 1$. 
Berikutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 3$.
$\begin{aligned} (A-3I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} – 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases} -x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 – x_2 = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 = t$ dengan $t \in \mathbb{R}$, sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Selanjutnya, akan ditentukan vektor eigen untuk $\lambda = 1$.
$\begin{aligned} (A-1I)\overline{x} & = \overline{0} \\ \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = \overline{0} \end{aligned}$
Persamaan matriks di atas dapat diubah menjadi sistem persamaan linear
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian nontrivial, yaitu $x_1 = t$ dan $x_2 = -t$ dengan $t \in \mathbb{R}$, sehingga
$\overline{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
Jadi, dari bentuk $P^{-1}AP = D$, untuk $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ dan $D$ matriks diagonal, diperoleh
$$\begin{aligned} P^{-1}AP & = -\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ D & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, 
$$\begin{aligned} A^{2006} & = PD^{2006}P^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{2006} & 0 \\ 0 & 1^{2006} \end{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right) \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = -\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3^{2006} -1 & -3^{2006}+1 \\ -3^{2006}+1 & -3^{2006}-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}$
(Jawaban B) 
Catatan:
$O$ merupakan notasi matriks nol, sedangkan I adalah notasi matriks identitas.

Diketahui: $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks $A$ berikut. 
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Dari uraian di atas, ditemukan pola
$A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}$
untuk $n$ genap. 
$A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}$
untuk $n$ ganjil. 
Karena $2009$ adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
$\begin{aligned} A^{2009} & = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban B)