Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Aljabar Linear beserta pembahasannya. Beberapa soal mungkin belum disediakan penyelesaiannya. Jika Anda dapat memberi solusi, silakan kirimkan argumentasi Anda di email: shanedizzy6@gmail.com. Tentunya, kami mengucapkan terima kasih atas hal tersebut.
Jika ada pertanyaan, silakan ajukan di kolom komentar.
Soal Nomor 1 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan dan
adalah dua subruang berbeda dari ruang vektor real
. Jika
, maka dimensi minimal yang mungkin untuk
adalah
Jika dua subruang berbeda dari ruang vektor
, maka haruslah
Karena , maka dimensi minimal yang mungkin untuk
adalah
.
Soal Nomor 2
Untuk , didefinisikan hasil kali dalam
Agar fungsi dan
ortogonal pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta
adalah
Karena dan
ortogonal pada RHKD tersebut, haruslah berlaku
Lakukan proses integrasi sebagai berikut.
Jadi, nilai konstanta adalah
Soal Nomor 3 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan ruang vektor fungsi-fungsi
. Transformasi
didefinisikan
untuk
. Matriks representasi
terhadap basis
adalah
Didefinisikan transformasi (perhatikan bahwa
menyatakan turunan pertama fungsi
), sehingga
dan
Dengan memperhatikan koefisien dan
dari masing-masing hasil transformasi yang merupakan basis matriks representasi
(misal kita beri nama himpunannya
), diperoleh
Soal Nomor 4 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan matriks-matriks berukuran
. Misalkan pula
memiliki balikan dan
. Buktikan bahwa
Langkah pertama yang cukup tricky untuk membuktikan persamaan itu adalah menuliskan ekspresi determinan pada ruas kirinya dalam 2 faktor.
di mana dan
berturut-turut menyatakan matriks nol dan matriks identitas perkalian.
Dengan menggunakan teorema determinan , diperoleh
Jika diperhatikan, bentuk matriks pada ruas kanan merupakan matriks segitiga atas dan bawah. Teorema determinan pada submatriks memperbolehkan perhitungan determinan seperti biasa,
Karena , maka dapat ditulis
(Terbukti)
Soal Nomor 5 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2017)
Didefinisikan hasil kali dalam .
adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika
Himpunan matriks yang diberikan itu ortogonal dalam ruang hasil kali dalam yang diberikan, ditulis
Dengan mengalikan matriksnya, didapat
Berdasarkan definisi trace,
.
Jadi, nilai yang memenuhi kondisi tersebut adalah
.
Catatan: Trace dari matriks , dinotasikan
didefinisikan sebagai jumlah dari entri-entri diagonal utama matriks
.
Soal Nomor 6 (Seleksi Nasional ON MIPA-PT Tahun 2017)
Misalkan dan
adalah matriks dalam
yang memenuhi persamaan
Tentukan nilai eigen terbesar dari matriks .
Perhatikan bahwa
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa matriks dan
komutatif satu sama lain. Dua kemungkinan untuk kedua matriks ini adalah matriks nol atau matriks identitas perkalian (karena kedua matriks ini selalu komutatif). Jika
, maka nilai eigennya jelas
(nol), sedangkan jika
, maka nilai eigennya adalah
(satu). Jadi, nilai eigen terbesar dari matriks
adalah
.
Soal Nomor 7 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2009)
Misalkan ruang polinom real berderajat paling tinggi 1 dengan hasil kali dalam
Proses ortonomalisasi Gram-Schmidt pada himpunan di
akan menghasilkan himpunan ortonormal
Misalkan , sehingga
dan juga
Terapkan Proses Gram-Schmidt. Misal dan
Jadi, diperoleh himpunan ortogonal
Selanjutnya, kita akan mencari himpunan ortonormalnya dengan membagi masing-masing anggota himpunan dengan normanya.
Berarti himpunan ortonormal yang dimaksud adalah
Soal Nomor 8 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun ????)
Contoh matriks real simetris yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah
Misalkan matriks real simetris berukuran yang dimaksud adalah
dengan
sehingga persamaan karakteristiknya memenuhi
Diperoleh
Karena , maka salah satu kombinasi nilai
yang memenuhi persamaan di atas adalah
dan
, yaitu
Jadi, contoh matriksnya adalah
Catatan: Matriks real simetris adalah matriks dengan komponen/entrinya bilangan real dan transpos matriksnya sama dengan matriks itu sendiri.
Soal ini termasuk soal open-ended, karena jawaban yang diharapkan bisa berbeda-beda.
Soal Nomor 9 (Seleksi Wilayah ON MIPA-PT Tahun 2013)
Misalkan
Agar merupakan subruang dari vektor
, haruslah
Subruang haruslah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Misal
Ambil dan
, berturut-turut diperoleh
Diperoleh