Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Analisis Kompleks beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat dan salam sukses, pejuang ON MIPA!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Struktur Aljabar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Analisis Real

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Aljabar Linear

Today Quote

Math tells us three of the saddest love stories. Tangent lines who had one chance to meet and then parted together. Parallel lines who were never meant to meet. Asymptotes who can get closer and closer but will never be together.

Soal Nomor 1 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika $z = \dfrac{4 + 3i}{2 – 2i}$, maka nilai dari $\text{Re}(z),\text{Im}(z)$, dan $|z|$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
B. $-\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
C. $-\dfrac{1}{4}, -\dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
D. $\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
E. $-\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}$

Penyelesaian

$\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 -2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i -6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}$
Diperoleh $\text{Re}(z) = \dfrac{1}{4}$ dan $\text{Im}(z) = \dfrac{7}{4}$
$|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Hitunglah $(i -1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10}$.

Penyelesaian

Ingat: $\boxed{\cos \theta + i~\sin \theta = \text{cis}~\theta = e^{i\theta}}$
Tinjau ekspresi $(i -1)^{49}$
Ubah dalam bentuk polar sebagai berikut.
$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\arctan \dfrac{1}{-1} = \arctan -1 = \dfrac{3\pi}{4}$ (kuadran II)
Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} (i –1)^{49} & = (\sqrt{2})^{49}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i~\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)^{49} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}  \end{aligned}$

Diperoleh
$\begin{aligned} & (i – 1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10} \\ & = (\sqrt{2}^{49})(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}(e^{\frac{\pi}{40}})^{10} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{37i\pi}{4}}) \\ & = (\sqrt{2})^{49}(\cos \pi + 37i~\sin \pi) \\ & = \boxed{-(\sqrt{2})^{49}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{it}~dt$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$\boxed{e^{it} = \cos t + i~\sin t} $
Jadi, integrannya dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} (\cos t + i~\sin t) \\ & = [\sin t -i~\cos t)]_{0}^{\frac{\pi} {4}} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}- i~\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) + i \\ & =\boxed{ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} +i \left(1-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)} \end{aligned} $

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2009) 
Hitunglah nilai $\displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z$.

Penyelesaian

Lingkaran $|z|=2$ memuat pole sederhana dari integral di $z = 0$ dan $z = 1$ (terindentifikasi melalui pembuat nol pada penyebut fungsi kompleksnya). Untuk itu, residu dari masing-masing titik itu adalah
$\displaystyle \lim_{z \to 0} \dfrac{z(z+2)} {z^2-z} = \lim_{z \to 0} \dfrac{z+2}{z-1} = -2$
$\displaystyle \lim_{z \to 1} \dfrac{(z-1)(z+2)} {z^2-z} = \lim_{z \to 1} \dfrac{z+2}{z} = 3$
Berdasarkan Teorema Residu, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z & = 2\pi i(\sum \text{Res}) \\ & = 2\pi i(-2+3) = 2 \pi i \end{aligned}$
Jadi, 
$\boxed{\displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z = 2\pi i}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $z$ terletak pada lingkaran $|z| = 2$. Estimasi nilai dari $\left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right|$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| & = \left|\dfrac{z} {(z^2-2)(z-1)}\right| \\ & = \dfrac{|z|} {|z^2-2||z-1|} \\ & \leq \dfrac{|z|} {||z|^2-2| \cdot ||z|-1|} \\ & \text{Substitusi}~|z|=2 \\ & = \dfrac{2}{|2^2-2| \cdot |2-1|} \\ & = \dfrac{2}{2 \cdot 1} = 1 \end{aligned}$
Jadi, estimasi nilai dari $\left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| = 1$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $P(z) = z^3-3z^2+4z-5$ dan $Q(z) = z^2(1+Q(z))$ dengan $Q(0) \neq -1$. Tentukan residu dari $f(z) = \dfrac{P(z)} {Q(z)}$ di $z = 0$.

Penyelesaian

Diberikan
$\begin{aligned} Q(z) & = z^2(1+Q(z)) \\ Q(z) & = z^2 + z^2Q(z) \\ Q(z)(1 -z^2) & = z^2 \\ Q(z) & = \dfrac{z^2}{1-z^2} \end{aligned}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{P(z)} {Q(z)} \\ & = \dfrac{(z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)} {z^2} \end{aligned}$
Titik $z = 0$ merupakan pole ganda dari $f(z)$ karena 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to 0} z^2f(z) & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\cancel{z^2}(z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)} {\cancel{z^2}} \\ & = -5 \neq 0 \end{aligned}$$Jadi, residu di $z = 0$ adalah
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} (z^2f(z)) & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} ((z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)) \\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} (-z^5+3z^4-3z^3+2z^2+4z-5) \\ & = \lim_{z \to 0} (-5z^4 + 12z^3 -9z^2 + 4z + 4) = 4 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentikan nilai maksimum dan minimum dari modulus $z^2-z$ pada cakram $|z| \leq 1$.

Penyelesaian

Nilai maksimum dari $|z^2-z|$ adalah
$\begin{aligned} |z^2-z| & \leq ||z|^2 + |-z|| \\ & \leq |z^2| + |z| \\ & \leq 1^2+1 = 2 \end{aligned}$
Nilai minimum dari $|z^2-z|$ adalah
$\begin{aligned} |z^2-z| & \leq ||z|^2 -|-z|| \\ & \leq |z^2| -|z| \\ & \leq 1^2-1 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum dan minimum dari modulus $z^2-z$ pada cakram $|z| \leq 1$ berturut-turut adalah $2$ dan $0$.

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2007) 
Diketahui $F: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ analitik. Untuk $a \in \mathbb{C}$ didefinisikan sebagai
$F(z) = \begin{cases} \dfrac{F(z) – F(a)} {z-a}, & z \neq a \\ A, & z = a \end{cases}$
Tentukan nilai $A$ agar $F$ kontinu di $\mathbb{C}$.

Penyelesaian

Agar $F$ kontinu pada $z=a$, maka haruslah
$\displaystyle \lim_{z \to a} \dfrac{F(z)- F(a)} {z-a} = A$
Dengan menggunakan Dalil L’Hospital, diperoleh
$\displaystyle \lim_{z \to a} \dfrac{F'(z)} {1} = F'(a) = A$
Jadi, nilai $\boxed{A = F'(a)}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitung nilai $\displaystyle \int_C z^2e^{\frac{1}{z}}~\text{d}z$ dengan $C$ adalah lengkungan lingkaran $|z|=3$ yang searah jarum jam.

Penyelesaian

Asumsikan bahwa lengkungan dalam arah positif. Dengan melakukan ekspansi deret pada $e^{\frac{1}{z}}$, diperoleh
$\begin{aligned} z^2e^{\frac{1}{z}} & = z^2 \left(1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{2!z^2} + \dfrac{1}{3!z^3} + \cdots\right) \\ & = z^2+z+\dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!z} + \cdots \end{aligned}$
Karena fungsi integral memuat pole esensial di $z = 0$, maka residu di titik tersebut adalah koefisien dari $\dfrac{1}{z-z_0}=\dfrac{1}{z-0} = \dfrac{1}{z}$, yakni $\dfrac{1}{3!}$, sehingga
$\boxed{\displaystyle \int_C z^2e^{\frac{1}{z}}~\text{d}z = \dfrac{-2\pi i} {3!} = -\dfrac{\pi i} {3}}$

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2006) 
Diketahui fungsi analitik $f(z) = \dfrac{2(z-2)} {z(z-4)} $ dapat ditulis sebagai $f(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_n(z-1)^n$. 
Nilai $a_{100}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{2(z-2)} {z(z-4)} \\& = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z-4} \\ & = \dfrac{1}{1+(z-1)} + \dfrac{1}{-3+(z-1)} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(z-1)^n -\dfrac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{z-1}{3}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{3^{n+1}} + (-1)^n\right)(z-1)^n \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$a_n = -\dfrac{1}{3^{n+1}} + (-1)^n$
sehingga
$\boxed{a_{100} = -\dfrac{1}{3^{100+1}} + (-1)^{100} = -\dfrac{1}{3^{101}} + 1}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan daerah konvergensi deret $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \left(z^n + \dfrac{1}{2^nz^n}\right)$

Penyelesaian

Deret $z^n$ konvergen untuk $|z|<1$, sedangkan deret $\dfrac{1}{2^nz^n} = \left(\dfrac{1}{2z}\right)^n$ konvergen untuk $\left|\dfrac{1}{2z}\right| < 1$ atau disederhanakan menjadi $z > \dfrac{1}{2}$. 
Jadi, deret $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \left(z^n + \dfrac{1}{2^nz^n}\right)$ konvergen untuk $\boxed{\dfrac{1}{2} < z < 1}$, yang merupakan daerah konvergensinya.

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z)$ jiks $z = (3-3i)^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $(3,-3)$ berada di kuadran IV. Untuk itu, 
$\begin{aligned} z & = (3-3i)^{2018} \\ & = (\sqrt{3^2+(-3)^2} \cdot \text{cis}~(-315^{\circ}))^{2018} \\ & = \left(3\sqrt{2} \cdot \text{cis}~\left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right)^{2018} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema de Moivre, diperoleh
$\begin{aligned} z & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(2018\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(-504\dfrac{1}{2}\pi\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \left(\cos -\dfrac{1}{2}\pi + i \sin -\dfrac{1}{2}\pi \right) \\ & =(3\sqrt{2})^{2018}(0-i) \\ & = -(3\sqrt{2})^{2018}i \end{aligned}$
Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $\text{Re}~z = 0$ dan $\text{Im}~z = -(3\sqrt{2})^{2018}$. 
Jadi, 
$\begin{aligned} & 5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z)\\ & = 5(0) + 7(-1) (3\sqrt{2})^{2018} \\ & = -7\cdot 3^{2018} \cdot 2^{1009} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2015) 
Hitung nilai $\displaystyle \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z$

Penyelesaian

Menurut Teorema Cauchy, 
$f^n(z_0)= \dfrac{n!} {2\pi i} \displaystyle \oint_C \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~\text{d}z$
jika $z_0$ analitik dalam kurva $C$. 
Karena $z_0 = -\pi i$ berada dalam $C$ dan dari integral di atas diketahui bahwa $f(z) = e^z$, maka berlaku
$\begin{aligned} f^2(-\pi i) & = \dfrac{2!} {2\pi i} \displaystyle \oint \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z \\ \pi i \cdot e^{-2\pi i} & = \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z \\ \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z & = \pi i(\cos -2\pi + i \sin -2\pi) \\ & = \pi i(1 + 0) = \pi i \end{aligned}$
Jadi, didapat $\boxed{\oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z = \pi i}$

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2008) 
Prapeta dari garis $x+y=1$ oleh transformasi linear $T(z) = 2iz + 2 -i$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Misalkan $z = x + iy$, sehingga
$\begin{aligned} T(x+iy) & = 2i(x+iy) + 2 -i \\ & = (2 -2y) + (2x -1)i \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$x + y = 1 \Rightarrow (2 -2y) + (2x -1) = 1$
yang bila disederhanakan lebih lanjut, didapat $y = x$. 
Jadi, prapeta dari garis $x+y=1$ oleh transformasi linear $T(z) = 2iz + 2 -i$ adalah $\boxed{y = x}$

[collapse]

Soal Nomor 15 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial $p(z)$ dan $q(z)$ sehingga berlaku
$p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$
untuk setiap $z \in \mathbb{C}$.
Hitunglah $p(1) + q(1)$.

Penyelesaian

Diketahui $p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$
Misalkan $z = n\pi, n \in \mathbb{Z}$, berarti diperoleh
$p(n\pi) \cos^2 (n\pi) + q(n \pi) \sin^2 (n \pi) = 2$
Perhatikan bahwa $\cos^2 (n\pi) = 1$ dan $\sin^2 (n \pi) = 0$, maka selanjutnya didapat
$\begin{aligned} p(n\pi) (1) + q(n \pi) (0) & = 2 \\ p(n \pi) & = 2 \end{aligned}$
Karena ada tak hingga banyaknya $n$ yang memenuhi persamaan di atas, maka dengan kata lain ada tak hingga $z$ yang memenuhi $p(z) = 2$.
Setiap polinomial tak konstan $f(z)$ memenuhi
$\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = \pm \infty$
sehingga $z$ haruslah berhingga
banyaknya dan ini berarti $p(z)$ pasti konstan. Jadi, didapat $p(1) = 2$.
Dengan prinsip yang sama, misalkan $z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$, jika disubstitusikan ke persamaan awal, maka didapat
$q\left(\dfrac{\pi} {2} + n \pi \right) = 2$
Karena $q(z)$ konstan, maka haruslah
$q(1) = 2$
Jadi, $\boxed{p(1) + q(1) = 2 + 2 = 4}$.

[collapse]

Soal Nomor 16 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika $C:$ persegi panjang dengan titik sudut $2 + 2i, -2 + 2i, -2 -2i$, dan $2 -2i$, dengan $C$ berorientasi positif, nilai dari
$\displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$C$ adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu $z = 0$ berada dalam $C$, sedangkan $z^2 -8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8}$ tidak berada dalam $C$, jadi dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{dz}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2- 8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 -8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 17 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Uraian deret Laurent dari fungsi $f(z) = \dfrac{3}{z^2 -iz}$ pada daerah $|z + i| < 1$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \dfrac{3}{z^2 – iz} = \dfrac{3}{z(z- i)}$
Titik singular fungsi ini adalah $z = 0$ dan $z = i$ yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi $|z + i| < 1$ (lingkaran dengan pusat di $(0,1)$ dan berjari-jari $1$), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{z(z + i)} = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z -i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} – \dfrac{1}{i^n}\right)} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2017) 
Berapa banyak akar berbeda dari persamaan $z^{12} = 1$ yang bukan merupakan bilangan real?

Penyelesaian

Gunakan rumus pemfaktoran berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} a^2-b^2 & =(a+b) (a-b) \\ a^3+b^3 & =(a+b) (a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 & = (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}}$
Dari persamaan $z^{12} = 1$, kita peroleh
$$\begin{aligned} & z^{12} -1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^6+1)(z^6-1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^2+1)(z^4-z^2+1)(z^3-1)(z^3+1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^2+1)(z^4-z^2+1)(z-1)(z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1) = 0 \end{aligned}$$Kita dapatkan $6$ bentuk faktor berbeda yang harus ditinjau satu per satu. 
Bentuk: $z^2+1=0$
Penyelesaian untuk persamaan ini adalah $z = \pm \sqrt{-1} = \pm i$ (ada 2)
Bentuk: $z^4-z^2+1 = 0$
Misalkan $z^2 = x$, maka diperoleh persamaan kuadrat $x^2-x+1=0$. Diskriminannya adalah $D = (-1)^2-4(1)(1) = 1 -4 = -3$. Karena bernilai negatif, maka penyelesaian persamaan itu berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
$z = \pm \sqrt{\dfrac{1 \pm i\sqrt{3}} {2}}$ (ada 4)
Bentuk: $z-1=0$
Jelas bahwa persamaan di atas memiliki penyelesaian real, yaitu $z=1$. 
Bentuk: $z^2+z+1=0$
Diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah $D=1^2-4(1)(1)=-3$, sehingga penyelesaiannya berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
$z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}} {2}$ (ada 2)
Bentuk: $z+1=0$
Jelas bahwa persamaan di atas memiliki penyelesaian real, yaitu $z=-1$. 
Bentuk: $z^2-z+1=0$
Diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah $D=(-1)^2-4(1)(1)=-3$, sehingga penyelesaiannya berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
$z = \dfrac{1 \pm i\sqrt{3}} {2}$  (ada 2)
Dengan demikian, ada $\boxed{2+4+2+2=10}$ akar tak real berbeda yang memenuhi persamaan tersebut. 
Alternatif Lain: Menggunakan Konsep Roots of Unity
$z^n = 1$ untuk $n$ genap selalu memiliki $n$ solusi, di mana dua di antaranya berupa akar real, yaitu $1$ dan $-1$, dan sisanya berupa akar tidak real. 
Untuk itu, persamaan $z^{12} = 1$ memiliki $12$ solusi, di mana dua di antaranya merupakan $z=1$ dan $z=-1$, dan sisanya, yaitu sebanyak $\boxed{12-2 = 10}$ solusi merupakan akar tak real.

[collapse]

Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006 – Sekarang)

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *