Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Analisis Kompleks beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat dan salam sukses, pejuang ON MIPA!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Struktur Aljabar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Analisis Real

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Bidang Aljabar Linear

 Soal Nomor 1 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika z = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i}, maka nilai dari \text{Re}(z),\text{Im}(z), dan |z| berturut-turut adalah \cdots
A. \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
B. -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
C. -\frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
D. \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}\sqrt{2}
E. -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}\sqrt{2}

Penyelesaian

\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i - 6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}
Diperoleh \text{Re}(z) = \dfrac{1}{4} dan \text{Im}(z) = \dfrac{7}{4}
|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Hitunglah (i - 1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10}

Penyelesaian

Ingat: \boxed{\cos \theta + i~\sin \theta = \text{cis}~\theta = e^{i\theta}}
Tinjau ekspresi (i - 1)^{49}
Ubah dalam bentuk polar sebagai berikut.
r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\arctan \dfrac{1}{-1} = \arctan -1 = \dfrac{3\pi}{4} (kuadran II)
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} (i - 1)^{49} & = (\sqrt{2})^{49}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i~\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)^{49} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}  \end{aligned}
Diperoleh
\begin{aligned} & (i - 1)^{49}\left(\cos \dfrac{\pi}{40} + i~\sin \dfrac{\pi}{40}\right)^{10} \\ & = (\sqrt{2}^{49})(e^{\frac{3\pi}{4}})^{49}(e^{\frac{\pi}{40}})^{10} \\ & = (\sqrt{2})^{49}(e^{\frac{37i\pi}{4}}) \\ & = (\sqrt{2})^{49}(\cos \pi + 37i~\sin \pi) \\ & = \boxed{-(\sqrt{2})^{49}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Nilai dari \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{it}~dt adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{e^{it} = \cos t + i~\sin t}
Jadi, integrannya dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} (\cos t + i~\sin t) & = [\sin t - i~\cos t)]_{0}^{\frac{\pi} {4}} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} - i~\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) + i \\ & =\boxed{ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} +i \left(1 - \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2009) 
Hitunglah nilai \displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z

Penyelesaian

Lingkaran |z|=2 memuat pole sederhana dari integral di z = 0 dan z = 1 (terindentifikasi melalui pembuat nol pada penyebut fungsi kompleksnya). Untuk itu, residu dari masing-masing titik itu adalah
\displaystyle \lim_{z \to 0} \dfrac{z(z+2)} {z^2-z} = \lim_{z \to 0} \dfrac{z+2}{z-1} = -2
\displaystyle \lim_{z \to 1} \dfrac{(z-1)(z+2)} {z^2-z} = \lim_{z \to 1} \dfrac{z+2}{z} = 3
Berdasarkan Teorema Residu, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z & = 2\pi i(\sum \text{Res}) \\ & = 2\pi i(-2+3) = 2 \pi i \end{aligned}
Jadi, 
\boxed{\displaystyle \oint_{|z|=2} \dfrac{z+2}{z^2-z}~\text{d}z = 2\pi i}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan z terletak pada lingkaran |z| = 2. Estimasi nilai dari \left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} \left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| & = \left|\dfrac{z} {(z^2-2)(z-1)}\right| \\ & = \dfrac{|z|} {|z^2-2||z-1|} \\ & \leq \dfrac{|z|} {||z|^2-2| \cdot ||z|-1|} \\ & \text{Substitusi}~|z|=2 \\ & = \dfrac{2}{|2^2-2| \cdot |2-1|} \\ & = \dfrac{2}{2 \cdot 1} = 1 \end{aligned}
Jadi, estimasi nilai dari \left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| = 1

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui P(z) = z^3-3z^2+4z-5 dan Q(z) = z^2(1+Q(z)) dengan Q(0) \neq -1. Tentukan residu dari f(z) = \dfrac{P(z)} {Q(z)} di z = 0

Penyelesaian

Diberikan
\begin{aligned} Q(z) & = z^2(1+Q(z)) \\ Q(z) & = z^2 + z^2Q(z) \\ Q(z)(1 - z^2) & = z^2 \\ Q(z) & = \dfrac{z^2}{1-z^2} \end{aligned}
Untuk itu, 
f(z) = \dfrac{P(z)} {Q(z)} = \dfrac{(z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)} {z^2}
Titik z = 0 merupakan pole ganda dari f(z) karena 
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{z \to 0} z^2f(z) \\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\cancel{z^2}(z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)} {\cancel{z^2}} = -5 \neq 0 \end{aligned}
Jadi, residu di z = 0 adalah
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} (z^2f(z)) \\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} ((z^3-3z^2+4z-5)(1-z^2)) \\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\text{d}} {\text{d}z} (-z^5+3z^4-3z^3+2z^2+4z-5) \\ & = \lim_{z \to 0} (-5z^4 + 12z^3 - 9z^2 + 4z + 4) = 4 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentikan nilai maksimum dan minimum dari modulus z^2-z pada cakram |z| \leq 1

Penyelesaian

Nilai maksimum dari |z^2-z| adalah
\begin{aligned} |z^2-z| & \leq ||z|^2 + |-z|| \\ & \leq |z^2| + |z| \\ & \leq 1^2+1 = 2 \end{aligned}
Nilai minimum dari |z^2-z| adalah
\begin{aligned} |z^2-z| & \leq ||z|^2 - |-z|| \\ & \leq |z^2| - |z| \\ & \leq 1^2-1 = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai maksimum dan minimum dari modulus z^2-z pada cakram |z| \leq 1 berturut-turut adalah 2 dan 0.

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2007) 
Diketahui F: \mathbb{C} \to \mathbb{C} analitik. Untuk a \in \mathbb{C} didefinisikan sebagai
F(z) = \begin{cases} \dfrac{F(z) - F(a)} {z-a}, & z \neq a \\ A, & z = a \end{cases}
Tentukan nilai A agar F kontinu di \mathbb{C}

Penyelesaian

Agar F kontinu pada z=a, maka haruslah
\displaystyle \lim_{z \to a} \dfrac{F(z) - F(a)} {z-a} = A
Dengan menggunakan Dalil L’Hospital, diperoleh
\displaystyle \lim_{z \to a} \dfrac{F'(z)} {1} = F'(a) = A
Jadi, nilai \boxed{A = F'(a)}

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitung nilai \displaystyle \int_C z^2e^{\frac{1}{z}}~\text{d}z dengan C adalah lengkungan lingkaran |z|=3 yang searah jarum jam.

Penyelesaian

Asumsikan bahwa lengkungan dalam arah positif. Dengan melakukan ekspansi deret pada e^{\frac{1}{z}}, diperoleh
\begin{aligned} z^2e^{\frac{1}{z}} & = z^2 \left(1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{2!z^2} + \dfrac{1}{3!z^3} + \cdots\right) \\ & = z^2+z+\dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!z} + \cdots \end{aligned}
Karena fungsi integral memuat pole esensial di z = 0, maka residu di titik tersebut adalah koefisien dari \dfrac{1}{z-z_0}=\dfrac{1}{z-0} = \dfrac{1}{z}, yakni \dfrac{1}{3!}, sehingga
\boxed{\displaystyle \int_C z^2e^{\frac{1}{z}}~\text{d}z = \dfrac{-2\pi i} {3!} = -\dfrac{\pi i} {3}}

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2006) 
Diketahui fungsi analitik f(z) = \dfrac{2(z-2)} {z(z-4)} dapat ditulis sebagai f(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_n(z-1)^n
Nilai a_{100} adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{2(z-2)} {z(z-4)} \\& = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z-4} \\ & = \dfrac{1}{1+(z-1)} + \dfrac{1}{-3+(z-1)} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(z-1)^n - \dfrac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{z-1}{3}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{3^{n+1}} + (-1)^n\right)(z-1)^n \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
a_n = -\dfrac{1}{3^{n+1}} + (-1)^n
sehingga
\boxed{a_{100} = -\dfrac{1}{3^{100+1}} + (-1)^{100} = -\dfrac{1}{3^{101}} + 1}

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan daerah konvergensi deret \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \left(z^n + \dfrac{1}{2^nz^n}\right)

Penyelesaian

Deret z^n konvergen untuk |z|<1, sedangkan deret \dfrac{1}{2^nz^n} = \left(\dfrac{1}{2z}\right)^n konvergen untuk \left|\dfrac{1}{2z}\right| < 1 atau disederhanakan menjadi z > \dfrac{1}{2}
Jadi, deret \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \left(z^n + \dfrac{1}{2^nz^n}\right) konvergen untuk \boxed{\dfrac{1}{2} < z < 1}, yang merupakan daerah konvergensinya.

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari 5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z) jiks z = (3-3i)^{2018} adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa (3,-3) berada di kuadran IV. Untuk itu, 
\begin{aligned} z & = (3-3i)^{2018} \\ & = (\sqrt{3^2+(-3)^2} \cdot \text{cis}~(-315\degree))^{2018} \\ & = \left(3\sqrt{2} \cdot \text{cis}~\left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right)^{2018} \end{aligned}
Dengan menggunakan Teorema de Moivre, diperoleh
\begin{aligned} z & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(2018\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(-504\dfrac{1}{2}\pi\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \left(\cos -\dfrac{1}{2}\pi + i \sin -\dfrac{1}{2}\pi \right) \\ & =(3\sqrt{2})^{2018}(0-i) \\ & = -(3\sqrt{2})^{2018}i \end{aligned}
Bentuk terakhir menunjukkan bahwa \text{Re}~z = 0 dan \text{Im}~z = -(3\sqrt{2})^{2018}
Jadi, 
\begin{aligned} 5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z) & = 5(0) + 7(-1) (3\sqrt{2})^{2018} \\ & = -7\cdot 3^{2018} \cdot 2^{1009} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2015) 
Hitung nilai \displaystyle \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z

Penyelesaian

Menurut Teorema Cauchy, 
f^n(z_0)= \dfrac{n!} {2\pi i} \displaystyle \oint_C \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~\text{d}z
jika z_0 analitik dalam kurva C
Karena z_0 = -\pi i berada dalam C dan dari integral di atas diketahui bahwa f(z) = e^z, maka berlaku
\begin{aligned} f^2(-\pi i) & = \dfrac{2!} {2\pi i} \displaystyle \oint \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z \\ \pi i \cdot e^{-2\pi i} & = \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z \\ \oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z & = \pi i(\cos -2\pi + i \sin -2\pi) \\ & = \pi i(1 + 0) = \pi i \end{aligned}
Jadi, didapat \boxed{\oint_C \dfrac{e^z} {(z+\pi i)^3}~\text{d}z = \pi i}

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2008) 
Prapeta dari garis x+y=1 oleh transformasi linear T(z) = 2iz + 2 - i adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy, sehingga
\begin{aligned} T(x+iy) & = 2i(x+iy) + 2 - i \\ & = (2 - 2y) + (2x - 1)i \end{aligned}
Untuk itu, diperoleh
x + y = 1 \Rightarrow (2 - 2y) + (2x - 1) = 1
yang bila disederhanakan lebih lanjut, didapat y = x
Jadi, prapeta dari garis x+y=1 oleh transformasi linear T(z) = 2iz + 2 - i adalah \boxed{y = x}

[collapse]

Soal Nomor 15 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial p(z) dan q(z) sehingga berlaku
p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
untuk setiap z \in \mathbb{C}.
Hitunglah p(1) + q(1)

Penyelesaian

Diketahui p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
Misalkan z = n\pi, n \in \mathbb{Z}, berarti diperoleh
p(n\pi) \cos^2 (n\pi) + q(n \pi) \sin^2 (n \pi) = 2
Perhatikan bahwa \cos^2 (n\pi) = 1 dan \sin^2 (n \pi) = 0, maka selanjutnya didapat
\begin{aligned} p(n\pi) (1) + q(n \pi) (0) & = 2 \\ p(n \pi) & = 2 \end{aligned}
Karena ada tak hingga banyaknya n yang memenuhi persamaan di atas, maka dengan kata lain ada tak hingga z yang memenuhi p(z) = 2.
Setiap polinomial tak konstan f(z) memenuhi
\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = \pm \infty
sehingga z haruslah berhingga
banyaknya dan ini berarti p(z) pasti konstan. Jadi, didapat p(1) = 2.
Dengan prinsip yang sama, misalkan z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}, jika disubstitusikan ke persamaan awal, maka didapat
q\left(\dfrac{\pi} {2} + n\pi) = 2
Karena q(z) konstan, maka haruslah
q(1) = 2
Jadi, \boxed{p(1) + q(1) = 2 + 2 = 4}.

[collapse]

Soal Nomor 16 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika C: persegi panjang dengan titik sudut 2 + 2i, -2 + 2i, -2 - 2i, dan 2 - 2i, dengan C berorientasi positif, nilai dari
\displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz adalah \cdots

Penyelesaian

C adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu z = 0 berada dalam C, sedangkan z^2 - 8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8} tidak berada dalam C, jadi dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{dz}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2 - 8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 - 8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 17 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Uraian deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} pada daerah |z + i| < 1 adalah…..

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} = \dfrac{3}{z(z - i)}
Titik singular fungsi ini adalah z = 0 dan z = i yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi |z + i| < 1 (lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} & \dfrac{3}{z(z + i)} = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z - i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} - \dfrac{1}{i^n}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2017) 
Berapa banyak akar berbeda dari persamaan z^{12} = 1 yang bukan merupakan bilangan real?

Penyelesaian

Gunakan rumus pemfaktoran berikut. 
\boxed{\begin{aligned} a^2-b^2 & =(a+b) (a-b) \\ a^3+b^3 & =(a+b) (a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 & = (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}}
Dari persamaan z^{12} = 1, kita peroleh
\begin{aligned} & z^{12} - 1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^6+1)(z^6-1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^2+1)(z^4-z^2+1)(z^3-1)(z^3+1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (z^2+1)(z^4-z^2+1)(z-1) \\ & (z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1) = 0 \end{aligned}
Kita dapatkan 6 bentuk faktor berbeda yang harus ditinjau satu per satu. 
Bentuk: z^2+1=0
Penyelesaian untuk persamaan ini adalah z = \pm \sqrt{-1} = \pm i (ada 2)
Bentuk: z^4-z^2+1 = 0
Misalkan z^2 = x, maka diperoleh persamaan kuadrat x^2-x+1=0. Diskriminannya adalah D = (-1)^2-4(1)(1) = 1 - 4 = -3. Karena bernilai negatif, maka penyelesaian persamaan itu berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
z = \pm \sqrt{\dfrac{1 \pm i\sqrt{3}} {2}} (ada 4)
Bentuk: z-1=0
Jelas bahwa persamaan di atas memiliki penyelesaian real, yaitu z=1
Bentuk: z^2+z+1=0
Diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah D=1^2-4(1)(1)=-3, sehingga penyelesaiannya berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}} {2} (ada 2)
Bentuk: z+1=0
Jelas bahwa persamaan di atas memiliki penyelesaian real, yaitu z=-1
Bentuk: z^2-z+1=0
Diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah D=(-1)^2-4(1)(1)=-3, sehingga penyelesaiannya berupa bilangan kompleks. Dengan rumus ABC, diperoleh
z = \dfrac{1 \pm i\sqrt{3}} {2}  (ada 2)
Dengan demikian, ada \boxed{2+4+2+2=10} akar tak real berbeda yang memenuhi persamaan tersebut. 
Alternatif Lain: Menggunakan Konsep Roots of Unity
z^n = 1 untuk n genap selalu memiliki n solusi, di mana dua di antaranya berupa akar real, yaitu 1 dan -1, dan sisanya berupa akar tidak real. 
Untuk itu, persamaan z^{12} = 1 memiliki 12 solusi, di mana dua di antaranya merupakan z=1 dan z=-1, dan sisanya, yaitu sebanyak \boxed{12-2 = 10} solusi merupakan akar tak real.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini