Materi, Soal, dan Pembahasan – Keterbagian Bilangan

Istilah kelipatan dan faktor bilangan, berikut beserta faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), kemungkinan besar sudah pernah dipelajari saat sekolah dasar. Semua istilah tersebut sebenarnya merujuk pada salah satu konsep besar dari teori bilangan yang dikenal sebagai keterbagian (divisibility). Sebelum itu, perlu diketahui bahwa notasi $\mathbb{Z}$ menyatakan himpunan bilangan bulat.

Definisi 1: Keterbagian

Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $a \neq 0.$ Jika $b$ merupakan kelipatan dari $a,$ maka kita katakan bahwa $a$ habis membagi $b$ atau dinotasikan $a \mid b.$

Definisi di atas menegaskan bahwa $b$ merupakan kelipatan dari $a$ jika terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b = ak.$ Dengan demikian, definisi di atas juga sebenarnya ekuivalen dengan definisi berikut.

Definisi 2: Keterbagian

Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $a \neq 0.$ Bilangan $a$ dikatakan habis membagi $b$ jika terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b = ak.$

Sebagai catatan, notasi $a \mid b$ dapat diartikan sebagai berikut.

  1. $a$ habis membagi $b$
  2. $a$ adalah pembagi $b$
  3. $a$ adalah faktor dari $b$
  4. $b$ adalah kelipatan dari $a$

Kebalikannya, jika $a$ tidak habis membagi $b,$ maka kita menggunakan notasi $a \nmid b.$

Teorema Keterbagian

Diberikan bilangan bulat $a, b,$ dan $c$ dengan $a \ne 0$ sehingga berlaku sifat-sifat berikut ini.

Sifat 1: Refleksif

Setiap bilangan bulat $a \neq 0$ habis membagi dirinya sendiri, ditulis $a \mid a.$
Bukti Sifat 1

Dari definisi keterbagian, terdapat bilangan bulat $k = 1$ sedemikian sehingga $a = (1)a.$ Jadi, benar bahwa $a$ habis membagi dirinya sendiri, ditulis $a \mid a.$

[collapse]

Sifat 2: Transitif

Jika $a \mid b$ dan $b \mid c$ dengan $b \ne 0,$ maka $a \mid c.$
Bukti Sifat 2

Karena $a \mid b,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b = ak.$
Karena $b \mid c,$ maka terdapat bilangan bulat $m$ sedemikian sehingga $c = bm.$
Substitusi menghasilkan $c = (ak)m = a(km).$ Karena $km$ juga merupakan bilangan bulat, maka menurut definisi keterbagian, diperoleh $a \mid c.$

[collapse]

Sifat 3: Kombinasi Lanjar

Jika $a \mid b$ dan $a \mid c,$ maka $a \mid mb + nc$ untuk setiap bilangan bulat $m$ dan $n.$
Bukti Sifat 3

Karena $a \mid b,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b = ak.$
Karena $a \mid c,$ maka terdapat bilangan bulat $\ell$ sedemikian sehingga $c = a \ell.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} mb + nc & = m(ak) + n(a \ell) \\ & = a(mk) + a(n \ell) \\ & = a(mk + n \ell). \end{aligned}$$Karena $mk + n \ell$ adalah bilangan bulat, maka berdasarkan definisi keterbagian, diperoleh $a \mid mb + nc.$

[collapse]

Sifat 4: Kelipatan Bersama

Jika $a \mid b,$ maka $ac \mid bc$ dengan $c \neq 0.$
Bukti Sifat 4

Karena $a \mid b,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b = ak.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} bc & = (ak)c \\ & = k(ac). \end{aligned}$$Jadi, kita temukan ada bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $bc = k(ac).$ Dengan kata lain, $ac$ habis membagi $bc$ sehingga terbukti bahwa $ac \mid bc.$ 

[collapse]

Sifat 5: Faktor Bersama

Jika $ac \mid bc$ dengan $c \neq 0,$ maka $a \mid b.$
Bukti Sifat 5

Karena $ac \mid bc,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $bc = k(ac)$ yang ekuivalen dengan $b = ka$ setelah kedua ruas dibagi dengan $c.$ Menurut definisi keterbagian, $a$ habis membagi $b$ karena ditemukan bilangan bulat $k$ tersebut. Jadi, terbukti bahwa $a \mid b.$ 

[collapse]

Sifat 6: Identitas Penjumlahan dan Perkalian

$1 \mid c$ dan $a \mid 0.$
Bukti Sifat 6

Dari definisi keterbagian, terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $c = k(1),$ yakni $k = c.$ Jadi, benar bahwa $1 \mid c.$
Dari definisi keterbagian, terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $0 = k(a),$ yakni $k = 0.$ Jadi, benar bahwa $a \mid 0.$ 

[collapse]

Sifat 7: Paritas

Jika $a \mid 1,$ maka $a = 1$ atau $a = -1.$
Bukti Sifat 7

Karena $a \mid 1,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $1 = k(a)$ yang ekuivalen dengan $k = \dfrac{1}{a}.$ Agar diperoleh $k$ bulat sesuai definisi keterbagian, nilai $a$ haruslah $1$ atau $-1.$ Dari sini, terbukti bahwa $a = 1$ atau $a = -1.$ 

[collapse]

Sifat 8: Ketaksamaan

Jika $a \mid b$ dan $b \neq 0,$ maka $|a| \le |b|.$
Bukti Sifat 8

Karena $a \mid b,$ maka terdapat bilangan bulat $k$ sehingga 
$$\begin{aligned} b & = ka \\ |b| & = |ka| \\ |b| & = |k| \cdot |a|. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $b \neq 0$ sehingga $|k| \geq 1.$ Fakta ini menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} |b| = |k| \cdot |a| \Rightarrow |b| & \geq |a| \\ |a| & \leq |b|. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $|a| \leq |b|.$

[collapse]

Sifat 9: Konsekuensi Komutatif

Jika $a \mid b$ dan $b \mid a,$ maka $|a| = |b|.$
Bukti Sifat 9

Karena $a \mid b$ dan $b \mid a,$ maka menurut definisi keterbagian, terdapat bilangan bulat $k$ dan $m$ sehingga
$$\begin{aligned} b & = ka && (\cdots 1) \\ a & = mb && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi $(1)$ pada $(2)$ menghasilkan 
$$\begin{aligned} \color{red}{a} & = m(k\color{red}{a}) \\ 1 & = mk. \end{aligned}$$Karena $m$ dan $k$ bulat, maka nilai yang memenuhi persamaan terakhir adalah $m = k = 1$ atau $m = k = -1.$ Akibatnya, nilai $a = b$ atau $a = -b$ yang ekuivalen dengan persamaan $|a| = |b|.$

[collapse]

Sifat 10: Relatif Prima

Jika $a \mid bc$ dan $\text{FPB}(a, c) = 1,$ maka $a \mid b.$
Bukti Sifat 10

Diketahui bahwa $a \mid bc.$ Karena $\text{FPB}(a, c) = 1,$ maka menurut Identitas Bezout, terdapat $k, m \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga
$$\begin{aligned} ka + mc & = 1 && (\text{Identitas Bezout}) \\ kab + mbc & = b && (\text{Kali}~b) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $a \mid kab$ adalah pernyataan yang benar karena $kab$ memuat faktor $a.$ Di lain sisi, $a \mid mbc$ juga adalah pernyataan yang benar karena diketahui $a \mid bc.$ Akibatnya, $a$ habis membagi $b$ (jumlah keduanya), atau ditulis $a \mid b.$

[collapse]

Sifat 11: Perkalian Pembagi

Jika $a \mid b$ dan $c \mid b$ serta $\text{FPB}(a, c) = 1,$ maka $ac \mid b.$
Bukti Sifat 11

Karena $\text{FPB}(a, c) = 1,$ maka menurut Identitas Bezout, terdapat $k, m \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga $ka + mc = 1,$ ekuivalen dengan $kab + mbc = b.$ Karena $a \mid b$ dan $c \mid b,$ maka ada bilangan bulat $p$ dan $q$ sehingga $b = pa$ dan $b = qc.$ Substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} kab + mbc = b \Rightarrow ka(qc) + m(pa)c & = b \\ kq(ac) + mp(ac) & = b \\ (kq + mp)(ac) & = b. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $kq + mp$ merupakan bilangan bulat sehingga menurut definisi keterbagian, kita simpulkan bahwa $ac \mid b.$ 

[collapse]

Berikut ini telah disajikan beberapa soal dan pembahasan terkait keterbagian bilangan. Semoga dapat dijadikan sebagai sumber untuk memantapkan pemahaman terkait salah satu materi teori bilangan ini. 

Quote by Golda Meir

Trust yourself. Create the kind of self that you will be happy to live with all your life. Make the most of yourself by fanning the tiny, inner sparks of possibility into flames of achievement.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Salah satu nilai $n$ positif yang memenuhi agar $n \mid 16$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                          C. $6$                         E. $12$
B. $5$                         D. $8$

Pembahasan

Notasi $n \mid 16$ memiliki arti bahwa $n$ habis membagi $16$ atau $n$ merupakan faktor dari $16.$ Adapun bilangan yang merupakan faktor dari $16$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\}.$ Jadi, salah satu nilai $n$ positif yang memenuhi (sesuai dengan opsi pilihan jawaban) adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2

Banyaknya nilai $m$ positif yang memenuhi agar $m \mid 24$ adalah $\cdots \cdot$
A. $7$                          C. $9$                         E. $11$
B. $8$                         D. $10$

Pembahasan

Notasi $m \mid 24$ memiliki arti bahwa $m$ habis membagi $24$ atau $m$ merupakan faktor dari $24.$ Adapun bilangan yang merupakan faktor dari $24$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2,\pm 3, \pm 4, \pm 6,$ $\pm 8, \pm 12, \pm 24\}.$ Jadi, $24$ memiliki $8$ faktor positif dan $8$ faktor negatif. Dengan kata lain, banyak nilai $m$ positif yang memenuhi agar $m \mid 24$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Sebanyak $190$ paket sembako akan disalurkan kepada setiap kepala keluarga dari suatu dusun. Agar setiap kepala keluarga mendapat jatah yang sama dan diasumsikan tidak akan ada kepala keluarga yang tidak kebagian paket sembako, maka berapa paket sembako yang diterima oleh setiap kepala keluarga?
A. $11$                         C. $19$                      E. $29$
B. $17$                        D. $23$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $190 = 2 \times 5 \times 19$ habis dibagi oleh beberapa bilangan, yaitu $1, 2, 5, 10, 19, 38, 95,$ dan $190.$ Oleh karena itu, jumlah paket sembako yang diterima oleh setiap keluarga adalah sebanyak salah satu dari bilangan-bilangan tersebut. Dari pilihan jawaban yang ada, bilangan yang diambil adalah $19.$ Dengan kata lain, setiap kepala keluarga akan menerima $\boxed{19}$ paket sembako.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4

Diberikan pernyataan:
Jika $a \mid b,$ maka $a \mid b + 2.$
Pernyataan di atas akan bernilai salah apabila $\cdots \cdot$
A. $a = 3$ dan $b = 6$
B. $a = 2$ dan $b = 2$
C. $a = 1$ dan $b = 3$
D. $a = 1$ dan $b = 5$
E. $a = 3$ dan $b = 1$

Pembahasan

Pernyataan implikasi akan bernilai salah hanya saat hipotesis benar, tetapi konklusinya salah. Untuk lebih lengkapnya, telah disajikan tabel kebenaran implikasi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{p} & \text{q} & \text{p} \Rightarrow \text{q} \\ \hline B & B & B \\ B & S & S \\ S & B & B \\ S & S & B \\ \hline \end{array}$$Opsi A:
Untuk $a = 3$ dan $b = 6,$ diperoleh $a \mid b = 3 \mid 6$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 3 \mid 8$ (salah). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai salah.
Opsi B:
Untuk $a = 2$ dan $b = 2,$ diperoleh $a \mid b = 2 \mid 2$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 2 \mid 4$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi C:
Untuk $a = 1$ dan $b = 3,$ diperoleh $a \mid b = 1 \mid 3$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 1 \mid 5$ (salah). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi D:
Untuk $a = 1$ dan $b = 5,$ diperoleh $a \mid b = 1 \mid 5$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 1 \mid 7$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi E:
Untuk $a = 3$ dan $b = 1,$ diperoleh $a \mid b = 3 \mid 1$ (salah) dan $a \mid b + 2 = 3 \mid 3$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5

Jika $3 \mid b + 7$ dan $b + 7 \mid c,$ maka pernyataan manakah yang benar?

  1. $c$ adalah bilangan kelipatan $3.$
  2. $c$ adalah bilangan kelipatan $9.$
  3. $c$ adalah bilangan kelipatan $3,$ tetapi bukan bilangan kelipatan $9.$
  4. $c$ adalah bilangan genap.
  5. $c$ adalah bilangan ganjil.

Pembahasan

$3 \mid b + 7$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b + 7 = 3k.$
$b + 7 \mid c$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $m$ sehingga
$$\begin{aligned} c & = (b+7)m \\ c & = (3k)m \\ c & = 3(mk). \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, kita mengetahui bahwa $c$ pasti merupakan kelipatan $3.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6

Diketahui $3 \mid 7-a.$ Bilangan bulat negatif terbesar yang dapat menggantikan nilai $a$ sehingga kondisi tersebut terpenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                        C. $-3$                        E. $-8$
B. $-2$                       D. $-5$

Pembahasan

$3 \mid 7-a$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga
$$\begin{aligned} 7-a & = 3k \\ a & = 7-3k. \end{aligned}$$Agar diperoleh nilai $a$ bertanda negatif dan sebesar mungkin, ambil nilai $k = 3$ sehingga didapat $a = 7-3(3) = -2.$ Jadi, $a = -2$ merupakan bilangan bulat negatif terbesar yang memenuh kondisi tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7

Diketahui $a \mid b$ dan $b \mid c$ untuk $a, b, c$ bilangan bulat taknol. Pernyataan berikut yang pasti benar adalah $\cdots \cdot$
A. $a \mid c$                                  D. $c \mid a$
B. $a \le b \le c$                       E. $c \mid ab$
C. $a \ge b \ge c$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $a \mid b$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b = ak,$ sedangkan $b \mid c$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $m$ sehingga $c = bm.$ Substitusi menghasilkan $c = (ak)m = a(km).$ Ini menunjukkan bahwa $a \mid c$ berdasarkan definisi keterbagian.
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{a \mid c}$
Opsi B, C, dan D salah. Contoh penyangkalnya adalah dengan mengambil $a = -2, b = 4,$ dan $c = -8.$
Opsi E salah. Contoh penyangkalnya adalah dengan mengambil $a = 1, b = 1,$ dan $c = 2.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8

Banyaknya nilai $k \in \mathbb{Z}$ dengan $-5 \le k \le 5$ yang memenuhi $-4 \mid 9 + k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $4$                        E. $7$
B. $3$                        D. $6$

Pembahasan

Karena $-4 \mid 9+k,$ maka ada bilangan bulat $m$ sehingga $9+k = -4m$ yang berarti $m = \dfrac{9+k}{-4}.$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $9+k$ harus merupakan kelipatan dari $-4.$ Karena $-5 \le k \le 5,$ maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = -5, -1, 3,$ berturut-turut menghasilkan $-4 \mid 4,$ $-4 \mid 8,$ dan $-4 \mid 12.$
Jadi, ada $3$ nilai $k$ yang memenuhi seluruh kondisi tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9

Diketahui $a \mid b$ dan $b \mid a$ untuk bilangan bulat $-10 \le a, b \le 10$ dan $a, b \neq 0.$ Banyak pasangan berurut $(a, b)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                       C. $60$                     E. $120$
B. $40$                      D. $80$

Pembahasan

Karena $a \mid b,$ maka ada bilangan bulat $k$ sehingga $b = ak.$
Karena $b \mid a,$ maka ada bilangan bulat $\ell$ sehingga $a = b \ell .$
Substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} a & = ak \ell \\ \text{Kedua}~&\text{ruas dibagi}~a \\ 1 & = k \ell. \end{aligned}$$Karena $k, \ell$ bilangan bulat, maka nilai yang memenuhi persamaan terakhir adalah $k = \ell = 1$ atau $k = \ell = -1.$
Dengan demikian, berakibat $a = b$ atau $a = -b.$


Kasus 1: $a = b$
Perhatikan bahwa $-10 \le a, b \le 10$ dan $a, b\neq 0$ sehingga nilai $a, b$ yang memenuhi ada sebanyak anggota dalam himpunan $\{-10, -9, -8, \cdots, -2, -1, 1, 2, \cdots, 9, 10\},$ yaitu $10 + 10 = 20.$


Kasus 2: $a = -b$
Dengan prinsip yang serupa, pasangan yang mungkin untuk $a$ positif adalah $(1, -1), (2, -2), \cdots, (10, -10).$ Jika $a$ negatif, pasangan yang memenuhi adalah $(-1, 1), (-2, 2), \cdots, (-10, 10).$
Jadi, ada $20$ pasangan yang memenuhi.


Secara keseluruhan, ada $\boxed{20 + 20 = 40}$ pasangan nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Jumlah semua nilai $n$ positif yang memenuhi $n + 1 \mid n^2+1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                            C. $2$                          E. $4$
B. $1$                            D. $3$

Pembahasan

Tinjau bahwa $n + 1 \mid n^2-1$ karena $n^2-1$ dapat difaktorkan menjadi $\color{red}{(n+1)}(n-1).$
Karena $n+1 \mid n^2-1$ dan $n+1 \mid n^2+1$ (dari soal), maka kita peroleh
$$\begin{aligned} & n+1 \mid (n^2+1)-(n^2-1) \\ & n+1 \mid 2. \end{aligned}$$Faktor dari $2$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2\}$ sehingga nilai $n$ yang memenuhi ada empat, yaitu anggota dari himpunan $\{-3, -2, 0, \color{red}{1}\}.$
Jumlah semua nilai $n$ positif yang memenuhi adalah $\boxed{1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Jika bilangan bulat $n \neq 0$ memenuhi $n^2 + 3n \mid n^2 + 6n,$ maka jumlah semua nilai $n$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-16$                        C. $-6$                       E. $6$
B. $-12$                        D. $-2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^2+3n & \mid n^2+6n \\ \color{red}{n}(n+3) & \mid \color{red}{n}(n+6) && (n \neq 0) \\ n+3 & \mid n+6 \\ n+3 & \mid (n+6)-(n+3) \\ n+3 & \mid 3. \end{aligned}$$Faktor dari $3$ adalah $\pm 1$ dan $\pm 3.$
$$\begin{array}{c|c} \hline n + 3 & n \\ \hline 3 & 0 \\ 1 & -2 \\ -1 & -4 \\ -3 & -6 \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $n \neq 0$ yang memenuhi adalah $-2, -4,$ dan $-6$ sehingga jumlahnya adalah $\boxed{-2 + (-4) + (-6) = -12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Perlihatkan bahwa jika $p, q,$ dan $r$ bilangan bulat sedemikian sehingga $pr \mid qr,$ maka $p \mid q.$

Pembahasan

Notasi $pr \mid qr$ menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $qr = k(pr).$ Asumsikan $r \neq 0$ sehingga dengan membagi kedua ruas dengan $r,$ didapat $q = kp$ yang berarti bahwa $p \mid q.$
Jadi, pernyataan terbukti dengan membatasi nilai $p, r \neq 0.$

[collapse]

Soal Nomor 2

Buktikan bahwa jika $a \mid b$ dan $a \mid c,$ maka $a^2 \mid bc.$

Pembahasan

Notasi $a \mid b$ dan $a \mid c$ berturut-turut menyatakan bahwa ada bilangan bulat $k$ dan $m$ sehingga $b = ka$ dan $c = ma.$
Kalikan persamaan itu sesuai ruasnya sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} bc & = (ka)(ma) \\ & = (km)a^2. \end{aligned}$$Karena $km$ merupakan bilangan bulat, maka menurut definisi keterbagian, $a^2$ habis membagi $bc$ sehingga ditulis $a^2 \mid bc.$
Pernyataan terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 3

Tunjukkan bahwa jika $a-c \mid ab+cd,$ maka $a-c \mid ad+bc$ dengan $a, b, c, d$ bulat serta $a-c\neq 0.$

Pembahasan

Diketahui $a-c \mid ab+cd.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (ad+bc)-(ab+cd) & = (a-c)d-b(a-c) \\ & = (a-c)(d-b). \end{aligned}$$Karena memuat faktor $(a-c),$ maka kita simpulkan bahwa $$a-c \mid (ad+bc)-(ab+cd).$$Karena $a-c \mid ab+cd,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} a-c & \mid (ad+bc)-(ab+cd)+(ab+cd) \\  \Rightarrow a-c & \mid ad+bc. \end{aligned}$$Jadi, pernyataan terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 4

Buktikan bahwa jika $a \mid b-1,$ maka $a \mid b^4-1.$

Pembahasan

Notasi $a \mid b-1$ menyatakan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b-1 = ka.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} b^4-1 & = (b^2-1)(b^2+1) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \color{red}{(b-1)}(b+1)(b^2+1) && (\text{Difaktorkan}) \end{aligned}$$Substitusi $b-1 = ka$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} b^4-1 & = \color{red}{(b-1)}(b+1)(b^2+1) \\ & = ka(b+1)(b^2+1) \\ & = \left[k(b+1)(b^2+1)\right]a. \end{aligned}$$Karena bentuk $k(b+1)(b^2+1)$ merupakan bilangan bulat, maka disimpulkan bahwa $a \mid b^4-1.$
Pernyataan terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 5

Buktikan bahwa hasil kali dari tiga bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi oleh $6.$

Pembahasan

Misalkan $f(n)$ menyatakan perkalian tiga bilangan bulat berurutan, yaitu
$$f(n) = (n-1)n(n+1)$$untuk $n \in \mathbb{Z}.$
Perhatikan bahwa $f(n)$ memuat bentuk perkalian $2$ bilangan bulat berurutan, yaitu $(n-1)n$ atau $n(n+1)$ sehingga $f(n)$ pasti habis dibagi $2.$
Di lain sisi, $f(n)$ adalah hasil kali $3$ bilangan bulat berurutan, yaitu $(n-1)n(n+1)$ sehingga $f(n)$ pasti habis dibagi $3.$
Karena $2$ dan $3$ relatif prima (memiliki FPB 1), maka $f(n)$ juga pasti habis dibagi $2 \times 3 = 6.$
Jadi, terbukti bahwa hasil kali tiga bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi $6.$

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika $n$ adalah bilangan asli, buktikan bahwa $6 \mid n^3 + 5n.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^3 + 5n & = n^3-n+6n \\ & = n(n^2-1) + 6n \\ & = n(n-1)(n+1) + 6n \\ & = (n-1)n(n+1) + 6n. \end{aligned}$$Bentuk $(n-1)n(n+1)$ merupakan tiga bilangan bulat berurutan sehingga hasilnya pasti habis dibagi $6,$ sedangkan bentuk $6n$ jelas habis dibagi $6$ karena memuat faktor $6.$ Karena kedua suku tersebut habis dibagi $6,$ maka terbukti bahwa $6 \mid n^3 + 5n.$

[collapse]

Soal Nomor 7

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat $n,$ bilangan $n^5-n$ selalu habis dibagi $5.$

Pembahasan

Suatu bilangan habis dibagi $5$ jika dan hanya jika digit/angka satuan bilangan tersebut adalah $0$ atau $5,$ termasuk perkalian faktor-faktornya.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^5-n & = n(n^4-1) \\ & = n(n^2-1)(n^2+1) \\ & = n(n-1)(n+1)(n^2+1). \end{aligned}$$Jika $n$ memiliki angka satuan $0, 1, 4, 5, 6,$ atau $9,$ bentuk $n(n-1)(n+1)$ akan membuat $n$ memiliki faktor yang memuat angka satuan $0$ atau $5.$
Jika $n$ memiliki angka satuan $2, 3, 7,$ atau $8,$ bentuk $(n^2+1)$ akan membuat $n$ memiliki faktor yang memuat angka satuan $0$ atau $5.$
Jadi, berapa pun angka satuan dari $n,$ bilangan tersebut selalu memiliki angka satuan $0$ atau $5.$ Akibatnya, dapat kita simpulkan bahwa $n^3-n$ habis dibagi $5$ atau dapat ditulis $5 \mid n^3-n.$

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat ganjil, buktikan bahwa $8 \mid a^2-b^2.$

Pembahasan

Misalkan $a = 2k+1$ dan $b = 2m+1$ untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}.$
Oleh karena itu, dapat kita tuliskan $a^2-b^2$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} a^2-b^2 & = (a+b)(a-b) \\ & = ((2k+1)+(2m+1))((2k+1)-(2m+1)) \\ & = (2k + 2m + 2)(2k-2m) \\ & = \color{blue}{4}(k+m+1)(k-m). \end{aligned}$$Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa $a^2-b^2$ habis dibagi $4.$
Perhatikan bahwa $k+m+1$ dan $k-m$ memiliki paritas yang berbeda. Ini artinya salah satu di antara bentuk tersebut adalah bilangan genap, sisanya bilangan ganjil. Jadi, ada bentuk yang habis dibagi $2$ karena salah satunya bilangan genap. Dengan demikian, $a^2-b^2$ pasti habis dibagi oleh $4 \times 2 = 8$ sehingga ditulis $8 \mid a^2-b^2.$

[collapse]

Soal Nomor 9 (OSK 2013)

Diberikan himpunan $S = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid \dfrac{x^2-2x+7}{2x-1} \in \mathbb{Z}\right\}.$ Tentukan banyak himpunan bagian dari $S.$

Pembahasan

Jika $2x-1 \mid x^2-2x+7,$ maka $2x-1 \mid 4x^2-8x+28.$
Perhatikan bahwa
$$4x^2-8x+28 = (2x-1)(2x-3) + 25$$sehingga syarat $2x-1 \mid 4x^2-8x+28$ bakal terpenuhi apabila $2x-1 \mid 25.$
Faktor dari $25$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 5, \pm 25\}.$ Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi adalah anggota dari himpunan $\{-12, -2, 0, 1, 3, 13\}.$
Untuk memvalidasi jawaban, nilai $x$ ini dapat diuji ke dalam bentuk $2x-1 \mid x^2-2x+7.$
Ternyata semuanya memenuhi sehingga banyak anggota himpunan $S$ adalah $\color{blue}{6}.$ Jadi, banyak himpunan bagiannya adalah $\boxed{2^\color{blue}{6}= 64}$

[collapse]

Soal Nomor 10

Pada papan tulis terdapat beberapa bilangan bulat positif berbeda. Setelah dihitung, ternyata rata-ratanya adalah $k + 0,2022$ dengan $k$ adalah bilangan bulat positif. Tentukan nilai $k$ terkecil yang mungkin.

Pembahasan

Misalkan $S$ dan $n$ berturut-turut adalah jumlah semua bilangan bulat positif tersebut dan banyaknya bilangan bulat positif yang ditulis. Karena rata-ratanya $k + 0,2022,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{S}{n} & = k + 0,2022 \\ \dfrac{S}{n}-k & = \dfrac{1.011}{5.000} \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~n \\ S-kn & = \dfrac{1.011n}{5.000}. \end{aligned}$$Karena $S, k, n$ semuanya bilangan bulat, maka $S-kn$ juga bulat sehingga berakibat $\dfrac{1.011n}{5.000}$ harus bulat.
Perhatikan bahwa $\text{FPB}(1.011, 5.000) = 1.$ Jadi, $n$ harus memuat seluruh faktor dari $5.000.$ Dengan kata lain, $n$ merupakan kelipatan $5.000$ dengan $n \geq 5.000.$


Kembali ke persamaan $\dfrac{S}{n} = k + 0,2022 = k + \dfrac{1.011}{5.000},$ kita peroleh $k = \dfrac{S}{n}-\dfrac{1.011}{5.000}.$
$S$ menyatakan jumlah $n$ bilangan bulat positif berbeda. Ini menunjukkan bahwa $S$ akan bernilai sekecil-kecilnya ketika kita mengambil $n$ bilangan bulat positif berurutan yang dimulai dari $1.$
$$S \geq 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$Jadi, kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = \dfrac{S}{n}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ k & \geq \dfrac{\bcancel{n}(n+1)}{2} \cdot \dfrac{1}{\bcancel{n}}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & = \dfrac{\color{red}{n}+1}{2}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & \geq \dfrac{\color{red}{5.000}+1}{2}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & = \dfrac{2.500}+\dfrac12-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & > 2.500 \\ & \geq 2.501. \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ terkecil yang mungkin adalah $2.501,$ tetapi klaim ini perlu diperkuat dengan menunjukkan bahwa memang ada beberapa bilangan bulat positif yang memiliki rata-rata $k + 0,2022 = 2.501,2022.$


Ambil $5.000$ bilangan bulat positif, yaitu $1, 2, 3, \cdots, 4.999, x.$ Akan ditunjukkan bahwa ada bilangan bulat $x$ sehingga rata-ratanya demikian.
$$\begin{aligned} \dfrac{1+2+3+\cdots +4.999 + x}{5.000} & = 2.501,2022 \\ \dfrac{1}{5.000}\left(\dfrac12(4.999)(5.000) + x\right) & = 2.501 + \dfrac{1.011}{5.000} \\ \dfrac{4.999}{2} + \dfrac{x}{5.000} & = 2.500 + \dfrac{6.011}{5.000} \\ \dfrac{x}{5.000} & = \dfrac12 + \dfrac{6.011}{5.000} \\ \dfrac{x}{5.000} & = \dfrac{8.511}{5.000} \\ x & = 8.511 \end{aligned}$$Jadi, kita berhasil menunjukkan bahwa memang ada $5.000$ bilangan bulat positif yang memiliki rata-rata $2.501,2022.$




Kita simpulkan bahwa nilai $k$ terkecil yang mungkin adalah $\boxed{2.501}$

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

2 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Didik Sadianto

Mohon maaf P.Sukardi Untuk Nomor 2 Pilihan Ganda
Karena m faktor 24 maka, kemungkinan m selain 8 yang sudah ditulis dalam pembahasan ada bilangan negatifnya. Karena di soal tidak ada pembatasan faktor positif, maka banyaknya faktor yang membagi 24 ada 2 x 8 = 24. Terima Kasih