Materi, Soal, dan Pembahasan – Keterbagian Bilangan

Notasi $n \mid 16$ memiliki arti bahwa $n$ membagi $16$ atau $n$ merupakan faktor dari $16.$ Adapun bilangan yang merupakan faktor dari $16$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\}.$ Jadi, salah satu nilai $n$ positif yang memenuhi (sesuai dengan opsi pilihan jawaban) adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

Notasi $m \mid 24$ memiliki arti bahwa $m$ membagi $24$ atau $m$ merupakan faktor dari $24.$ Adapun bilangan yang merupakan faktor dari $24$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2,\pm 3, \pm 4, \pm 6,$ $\pm 8, \pm 12, \pm 24\}.$ Jadi, $24$ memiliki $8$ faktor positif dan $8$ faktor negatif. Dengan kata lain, banyak nilai $m$ positif yang memenuhi agar $m \mid 24$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $190 = 2 \times 5 \times 19$ habis dibagi oleh beberapa bilangan, yaitu $1, 2, 5, 10, 19, 38, 95,$ dan $190.$ Oleh karena itu, jumlah paket sembako yang diterima oleh setiap keluarga adalah sebanyak salah satu dari bilangan-bilangan tersebut. Dari pilihan jawaban yang ada, bilangan yang diambil adalah $19.$ Dengan kata lain, setiap kepala keluarga akan menerima $\boxed{19}$ paket sembako.
(Jawaban C)

Pernyataan implikasi akan bernilai salah hanya saat hipotesis benar, tetapi konklusinya salah. Untuk lebih lengkapnya, telah disajikan tabel kebenaran implikasi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{p} & \text{q} & \text{p} \Rightarrow \text{q} \\ \hline B & B & B \\ B & S & S \\ S & B & B \\ S & S & B \\ \hline \end{array}$$Opsi A:
Untuk $a = 3$ dan $b = 6,$ diperoleh $a \mid b = 3 \mid 6$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 3 \mid 8$ (salah). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai salah.
Opsi B:
Untuk $a = 2$ dan $b = 2,$ diperoleh $a \mid b = 2 \mid 2$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 2 \mid 4$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi C:
Untuk $a = 1$ dan $b = 3,$ diperoleh $a \mid b = 1 \mid 3$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 1 \mid 5$ (salah). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi D:
Untuk $a = 1$ dan $b = 5,$ diperoleh $a \mid b = 1 \mid 5$ (benar) dan $a \mid b + 2 = 1 \mid 7$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
Opsi E:
Untuk $a = 3$ dan $b = 1,$ diperoleh $a \mid b = 3 \mid 1$ (salah) dan $a \mid b + 2 = 3 \mid 3$ (benar). Jadi, pernyataan implikasinya bernilai benar.
(Jawaban A)

$3 \mid b + 7$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b + 7 = 3k.$
$b + 7 \mid c$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $m$ sehingga
$$\begin{aligned} c & = (b+7)m \\ c & = (3k)m \\ c & = 3(mk). \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, kita mengetahui bahwa $c$ pasti merupakan kelipatan $3.$
(Jawaban A)

$3 \mid 7-a$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga
$$\begin{aligned} 7-a & = 3k \\ a & = 7-3k. \end{aligned}$$Agar diperoleh nilai $a$ bertanda negatif dan sebesar mungkin, ambil nilai $k = 3$ sehingga didapat $a = 7-3(3) = -2.$ Jadi, $a = -2$ merupakan bilangan bulat negatif terbesar yang memenuh kondisi tersebut.
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $a \mid b$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b = ak,$ sedangkan $b \mid c$ menunjukkan bahwa ada bilangan bulat $m$ sehingga $c = bm.$ Substitusi menghasilkan $c = (ak)m = a(km).$ Ini menunjukkan bahwa $a \mid c$ berdasarkan definisi keterbagian.
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{a \mid c}$
Opsi B, C, dan D salah. Contoh penyangkalnya adalah dengan mengambil $a = -2, b = 4,$ dan $c = -8.$
Opsi E salah. Contoh penyangkalnya adalah dengan mengambil $a = 1, b = 1,$ dan $c = 2.$
(Jawaban A)

Karena $-4 \mid 9+k,$ akan ada bilangan bulat $m$ sehingga $9+k = -4m$ yang berarti $m = \dfrac{9+k}{-4}.$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $9+k$ harus merupakan kelipatan dari $-4.$ Karena $-5 \le k \le 5,$ nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = -5, -1, 3,$ berturut-turut menghasilkan $-4 \mid 4,$ $-4 \mid 8,$ dan $-4 \mid 12.$
Jadi, ada $3$ nilai $k$ yang memenuhi seluruh kondisi tersebut.
(Jawaban B)

Karena $a \mid b,$ akan ada bilangan bulat $k$ sehingga $b = ak.$ Karena $b \mid a,$ akan ada bilangan bulat $\ell$ sehingga $a = b \ell .$
Substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} a & = ak \ell \\ \text{Kedua}~&\text{ruas dibagi}~a \\ 1 & = k \ell. \end{aligned}$$Karena $k, \ell$ merupakan bilangan bulat, nilai yang memenuhi persamaan terakhir adalah $k = \ell = 1$ atau $k = \ell = -1.$
Dengan demikian, berakibat $a = b$ atau $a = -b.$

Kasus 1: $a = b$
Perhatikan bahwa $-10 \le a, b \le 10$ dan $a, b\neq 0$ sehingga nilai $a, b$ yang memenuhi ada sebanyak anggota dalam himpunan $\{-10, -9, -8, \cdots, -2, -1, 1, 2, \cdots, 9, 10\},$ yaitu $10 + 10 = 20.$

Kasus 2: $a = -b$
Dengan prinsip yang serupa, pasangan yang mungkin untuk $a$ positif adalah $(1, -1), (2, -2), \cdots, (10, -10).$ Jika $a$ negatif, pasangan yang memenuhi adalah $(-1, 1), (-2, 2), \cdots, (-10, 10).$
Jadi, ada $20$ pasangan yang memenuhi.

Secara keseluruhan, ada $\boxed{20 + 20 = 40}$ pasangan nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban B)

Tinjau bahwa $n + 1 \mid n^2-1$ karena $n^2-1$ dapat difaktorkan menjadi $\color{red}{(n+1)}(n-1).$
Karena $n+1 \mid n^2-1$ dan $n+1 \mid n^2+1$ (dari soal), diperoleh
$$\begin{aligned} & n+1 \mid (n^2+1)-(n^2-1) \\ & n+1 \mid 2. \end{aligned}$$Faktor dari $2$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 2\}$ sehingga nilai $n$ yang memenuhi ada empat, yaitu anggota dari himpunan $\{-3, -2, 0, \color{red}{1}\}.$
Jumlah semua nilai $n$ positif yang memenuhi adalah $\boxed{1}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^2+3n & \mid n^2+6n \\ \color{red}{n}(n+3) & \mid \color{red}{n}(n+6) && (n \neq 0) \\ n+3 & \mid n+6 \\ n+3 & \mid (n+6)-(n+3) \\ n+3 & \mid 3. \end{aligned}$$Faktor dari $3$ adalah $\pm 1$ dan $\pm 3.$
$$\begin{array}{c|c} \hline n + 3 & n \\ \hline 3 & 0 \\ 1 & -2 \\ -1 & -4 \\ -3 & -6 \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $n \neq 0$ yang memenuhi adalah $-2, -4,$ dan $-6$ sehingga jumlahnya adalah $\boxed{-2 + (-4) + (-6) = -12}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\dfrac{s}{t} = 64,\!12 = 64\dfrac{12}{100} = 64\dfrac{3}{25} = \dfrac{25 \times 64 + 3}{25}.$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $3$ merupakan sisa pembagian $s = 25 \times 64 + 3$ oleh $t = 25$ yang mungkin. Namun, perhatikan bahwa akan ada banyak pecahan yang senilai dengannya dengan bentuk
$$\dfrac{25 \times 64 + 3}{25} \cdot \dfrac{k}{k} = \dfrac{25k \times 64 + 3k}{25k}$$untuk suatu bilangan bulat positif $k.$ Akibatnya, sisa pembagian $s$ oleh $t$ adalah bilangan positif kelipatan $3.$ Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, $45$ merupakan salah satu sisa pembagian yang mungkin.
(Jawaban E)

Notasi $pr \mid qr$ menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $qr = k(pr).$ Asumsikan $r \neq 0$ sehingga dengan membagi kedua ruas dengan $r,$ didapat $q = kp$ yang berarti bahwa $p \mid q.$
Jadi, pernyataan terbukti dengan membatasi nilai $p, r \neq 0.$

Notasi $a \mid b$ dan $a \mid c$ berturut-turut menyatakan bahwa ada bilangan bulat $k$ dan $m$ sehingga $b = ka$ dan $c = ma.$
Kalikan persamaan itu sesuai ruasnya sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} bc & = (ka)(ma) \\ & = (km)a^2. \end{aligned}$$Karena $km$ merupakan bilangan bulat, menurut definisi keterbagian, $a^2$ membagi $bc$ sehingga ditulis $a^2 \mid bc.$
Pernyataan terbukti.

Diketahui $a-c \mid ab+cd.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (ad+bc)-(ab+cd) & = (a-c)d-b(a-c) \\ & = (a-c)(d-b). \end{aligned}$$Karena memuat faktor $(a-c),$ disimpulkan bahwa $$a-c \mid (ad+bc)-(ab+cd).$$Karena $a-c \mid ab+cd,$ diperoleh
$$\begin{aligned} a-c & \mid (ad+bc)-(ab+cd)+(ab+cd) \\  \Rightarrow a-c & \mid ad+bc. \end{aligned}$$Jadi, pernyataan terbukti.

Notasi $a \mid b-1$ menyatakan bahwa ada bilangan bulat $k$ sehingga $b-1 = ka.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} b^4-1 & = (b^2-1)(b^2+1) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \color{red}{(b-1)}(b+1)(b^2+1) && (\text{Difaktorkan}) \end{aligned}$$Substitusi $b-1 = ka$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} b^4-1 & = \color{red}{(b-1)}(b+1)(b^2+1) \\ & = ka(b+1)(b^2+1) \\ & = \left[k(b+1)(b^2+1)\right]a. \end{aligned}$$Karena bentuk $k(b+1)(b^2+1)$ merupakan bilangan bulat, disimpulkan bahwa $a \mid b^4-1.$
Pernyataan terbukti.

Misalkan $f(n)$ menyatakan perkalian tiga bilangan bulat berurutan, yaitu
$$f(n) = (n-1)n(n+1)$$untuk $n \in \mathbb{Z}.$
Perhatikan bahwa $f(n)$ memuat bentuk perkalian $2$ bilangan bulat berurutan, yaitu $(n-1)n$ atau $n(n+1)$ sehingga $f(n)$ pasti habis dibagi $2.$
Di lain sisi, $f(n)$ adalah hasil kali $3$ bilangan bulat berurutan, yaitu $(n-1)n(n+1)$ sehingga $f(n)$ pasti habis dibagi $3.$
Karena $2$ dan $3$ relatif prima (memiliki FPB 1), $f(n)$ juga pasti habis dibagi $2 \times 3 = 6.$
Jadi, terbukti bahwa hasil kali tiga bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi $6.$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^3 + 5n & = n^3-n+6n \\ & = n(n^2-1) + 6n \\ & = n(n-1)(n+1) + 6n \\ & = (n-1)n(n+1) + 6n. \end{aligned}$$Bentuk $(n-1)n(n+1)$ merupakan tiga bilangan bulat berurutan sehingga hasilnya pasti habis dibagi $6,$ sedangkan bentuk $6n$ jelas habis dibagi $6$ karena memuat faktor $6.$ Karena kedua suku tersebut habis dibagi $6,$ terbukti bahwa $6 \mid n^3 + 5n.$

Suatu bilangan habis dibagi $5$ jika dan hanya jika digit/angka satuan bilangan tersebut adalah $0$ atau $5,$ termasuk perkalian faktor-faktornya.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n^5-n & = n(n^4-1) \\ & = n(n^2-1)(n^2+1) \\ & = n(n-1)(n+1)(n^2+1). \end{aligned}$$Jika $n$ memiliki angka satuan $0, 1, 4, 5, 6,$ atau $9,$ bentuk $n(n-1)(n+1)$ akan membuat $n$ memiliki faktor yang memuat angka satuan $0$ atau $5.$
Jika $n$ memiliki angka satuan $2, 3, 7,$ atau $8,$ bentuk $(n^2+1)$ akan membuat $n$ memiliki faktor yang memuat angka satuan $0$ atau $5.$
Jadi, berapa pun angka satuan dari $n,$ bilangan tersebut selalu memiliki angka satuan $0$ atau $5.$ Akibatnya, dapat kita simpulkan bahwa $n^3-n$ habis dibagi $5$ atau dapat ditulis $5 \mid n^3-n.$

Misalkan $a = 2k+1$ dan $b = 2m+1$ untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}.$
Oleh karena itu, dapat kita tuliskan $a^2-b^2$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} a^2-b^2 & = (a+b)(a-b) \\ & = ((2k+1)+(2m+1))((2k+1)-(2m+1)) \\ & = (2k + 2m + 2)(2k-2m) \\ & = \color{blue}{4}(k+m+1)(k-m). \end{aligned}$$Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa $a^2-b^2$ habis dibagi $4.$
Perhatikan bahwa $k+m+1$ dan $k-m$ memiliki paritas yang berbeda. Ini artinya salah satu di antara bentuk tersebut adalah bilangan genap, sisanya bilangan ganjil. Jadi, ada bentuk yang habis dibagi $2$ karena salah satunya bilangan genap. Dengan demikian, $a^2-b^2$ pasti habis dibagi oleh $4 \times 2 = 8$ sehingga ditulis $8 \mid a^2-b^2.$

Jika $2x-1 \mid x^2-2x+7,$ maka $2x-1 \mid 4x^2-8x+28.$ Perhatikan bahwa
$$4x^2-8x+28 = (2x-1)(2x-3) + 25$$sehingga syarat $2x-1 \mid 4x^2-8x+28$ bakal terpenuhi apabila $2x-1 \mid 25.$
Faktor dari $25$ adalah anggota dari himpunan $\{\pm 1, \pm 5, \pm 25\}.$ Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi adalah anggota dari himpunan $\{-12, -2, 0, 1, 3, 13\}.$
Untuk memvalidasi jawaban, nilai $x$ ini dapat diuji ke dalam bentuk $2x-1 \mid x^2-2x+7.$
Ternyata semuanya memenuhi sehingga banyak anggota himpunan $S$ adalah $\color{blue}{6}.$ Jadi, banyak himpunan bagiannya adalah $\boxed{2^\color{blue}{6}= 64}$

Misalkan $S$ dan $n$ berturut-turut adalah jumlah semua bilangan bulat positif tersebut dan banyaknya bilangan bulat positif yang ditulis. Karena rata-ratanya $k + 0,2022,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{S}{n} & = k + 0,2022 \\ \dfrac{S}{n}-k & = \dfrac{1.011}{5.000} \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~n \\ S-kn & = \dfrac{1.011n}{5.000}. \end{aligned}$$Karena $S, k, n$ semuanya bilangan bulat, $S-kn$ juga bulat sehingga berakibat $\dfrac{1.011n}{5.000}$ harus bulat.
Perhatikan bahwa $\text{FPB}(1.011, 5.000) = 1.$ Jadi, $n$ harus memuat seluruh faktor dari $5.000.$ Dengan kata lain, $n$ merupakan kelipatan $5.000$ dengan $n \geq 5.000.$

Kembali ke persamaan $\dfrac{S}{n} = k + 0,2022 = k + \dfrac{1.011}{5.000},$ kita peroleh $k = \dfrac{S}{n}-\dfrac{1.011}{5.000}.$
$S$ menyatakan jumlah $n$ bilangan bulat positif berbeda. Ini menunjukkan bahwa $S$ akan bernilai sekecil-kecilnya ketika kita mengambil $n$ bilangan bulat positif berurutan yang dimulai dari $1.$
$$S \geq 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$Jadi, kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = \dfrac{S}{n}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ k & \geq \dfrac{\bcancel{n}(n+1)}{2} \cdot \dfrac{1}{\bcancel{n}}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & = \dfrac{\color{red}{n}+1}{2}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & \geq \dfrac{\color{red}{5.000}+1}{2}-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & = \dfrac{2.500}+\dfrac12-\dfrac{1.011}{5.000} \\ & > 2.500 \\ & \geq 2.501. \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ terkecil yang mungkin adalah $2.501,$ tetapi klaim ini perlu diperkuat dengan menunjukkan bahwa memang ada beberapa bilangan bulat positif yang memiliki rata-rata $k + 0,2022 = 2.501,2022.$

Ambil $5.000$ bilangan bulat positif, yaitu $1, 2, 3, \cdots, 4.999, x.$ Akan ditunjukkan bahwa ada bilangan bulat $x$ sehingga rata-ratanya demikian.
$$\begin{aligned} \dfrac{1+2+3+\cdots +4.999 + x}{5.000} & = 2.501,2022 \\ \dfrac{1}{5.000}\left(\dfrac12(4.999)(5.000) + x\right) & = 2.501 + \dfrac{1.011}{5.000} \\ \dfrac{4.999}{2} + \dfrac{x}{5.000} & = 2.500 + \dfrac{6.011}{5.000} \\ \dfrac{x}{5.000} & = \dfrac12 + \dfrac{6.011}{5.000} \\ \dfrac{x}{5.000} & = \dfrac{8.511}{5.000} \\ x & = 8.511 \end{aligned}$$Jadi, kita berhasil menunjukkan bahwa memang ada $5.000$ bilangan bulat positif yang memiliki rata-rata $2.501,2022.$

Kita simpulkan bahwa nilai $k$ terkecil yang mungkin adalah $\boxed{2.501}$