Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Pra-Olimpiade)

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai bangun ruang yang cocok dijadikan bahan untuk persiapan kompetisi dan olimpiade matematika. Kebanyakan soal diambil dari buku “Maestro Olimpiade Matematika SMP (Seri B)” yang ditulis oleh Prof. Sukino. Alangkah baiknya apabila soal dasar tentang bangun ruang dipelajari terlebih dahulu agar lebih mudah memahami soal-soal yang ada pada pos ini. Cek tautan di bawah untuk mempelajari soal dasarnya.

Baca: Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang

Tabel rumus berikut akan sangat berguna untuk mengerjakan soal-soal tentang bangun ruang.
$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Bangun Ruang} & \text{Luas Permukaan} & \text{Luas Selimut} & \text{Volume} \\ \hline \text{Kubus} & 6s^2 & 4s^2 & s^3 \\ \text{Balok} & 2(p \ell + pt + \ell t) & 2(pt + lt) & p \ell t \\ \text{Limas segi-n} & L_A + L_{ST} & L_{ST} & \dfrac13 \cdot L_A \cdot t \\ \text{Prisma segi-n} & 2L_A + L_{ST} & L_{ST} & L_A \cdot t \\ \text{Tabung} & 2\pi r(r + t) & 2\pi r t & \pi r^2 t \\ \text{Kerucut} & \pi r(r + s) & \pi r s & \dfrac13 \pi r^2 t \\ \text{Bola (Pejal/Hampa)} & 4\pi r^2 & 4 \pi r^2  & \dfrac43 \pi r^3 \\ \text{Setengah Bola (Pejal)} & 3\pi r^2 & 3 \pi r^2  & \dfrac23 \pi r^3 \\ \text{Setengah Bola (Hampa)} & 2\pi r^2 & 2\pi r^2 & \dfrac23 \pi r^3\\ \hline \end{array}$$

Today Quote

Believe when others doubt, works when others refuse, save when others waste, stay when others quit and you will win when others lose.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui volume sebuah kubus adalah $2.744~\text{cm}^3$. Luas permukaan kubus tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192~\text{cm}^2$                    D. $2.352~\text{cm}^2$
B. $384~\text{cm}^2$                    E. $2.744~\text{cm}^2$
C. $1.176~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui $V = 2.744~\text{cm}^3.$ Misalkan $s$ adalah panjang rusuk kubus. Akan dicari nilai dari $L = 6s^2$.
$$\begin{aligned} V & = 2.744 \\ s^3 & = 2.744 \\ s & = \sqrt[3]{2.744} = 14 \\ s^2 & = 14^2 = 196 \\ 6s^2 & = 6 \cdot 196 = 1.176~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas permukaan kubus tersebut adalah $\boxed{1.176~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika luas sisi depan, sisi samping, dan sisi bawah sebuah balok masing-masing $x, y$, dan $z$, maka volume balok tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x+y+z$                        D. $xyz$
B. $xy+xz+yz$                E. $\sqrt{xyz}$
C. $(xyz)^2$

Pembahasan

Misalkan panjang, lebar, dan tingginya dinyatakan oleh $p, \ell$, dan $t$ sehingga $V = p \ell t.$
Diketahui bahwa $pt= x$, $p \ell = y$, dan $\ell t = z$. Dengan menguadratkan volume, kita peroleh
$$\begin{aligned} V^2 & = (p \ell t)^2 \\ V^2 & = (pt)(p \ell)(\ell t) \\ V^2 & = xyz \\ V & = \sqrt{xyz} \end{aligned}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{\sqrt{xyz}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika rasio panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok adalah $1 : 3 : 5$ dan luas permukaan balok adalah $4.600~\text{cm}^2$, maka volumenya adalah $\cdots \cdot$
A. $1.500~\text{cm}^3$                    D. $15.000~\text{cm}^3$
B. $3.000~\text{cm}^3$                    E. $30.000~\text{cm}^3$
C. $9.000~\text{cm}^3$

Pembahasan

Diketahui $p : \ell : t = 1 : 3 : 5$.
Dapat kita tulis $p = x$, $\ell = 3x$, dan $t = 5x$ untuk suatu bilangan asli $x$. Karena $L = 4.600~\text{cm}^2$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} 2(p \ell + pt + \ell t) & = 4.600 \\ x(3x) + x(5x) + 3x(5x) & = 2.300 \\ 3x^2 + 5x^2 + 15x^2 & = 2.300 \\ 23x^2 & = 2.300 \\ x^2 & = 100 \\ \Rightarrow x & = 10 \end{aligned}$$Ingat bahwa $x$ adalah bilangan asli sehingga $x \neq -10$.
Jadi, panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut berturut-turut adalah $p = 10~\text{cm}$, $\ell = 30~\text{cm}$, dan $t = 50~\text{cm}$.
Selanjutnya, akan dicari volume balok.
$$\begin{aligned} V & = p \ell t \\ & = 10(30)(50) \\ & = 15.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume balok tersebut adalah $\boxed{15.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan dan Skala

Soal Nomor 4
Jumlah panjang jari-jari alas dan tinggi suatu tabung adalah $37$ meter. Jika luas permukaan tabung itu adalah $1.628~\text{m}^2$ dan asumsikan $\pi = \dfrac{22}{7}$, maka volume tabung adalah $\cdots \cdot$
A. $660~\text{m}^3$                      D. $9.240~\text{m}^3$
B. $2.310~\text{m}^3$                   E. $32.340~\text{m}^3$
C. $4.620~\text{m}^3$

Pembahasan

Diketahui $r + t = 37~\text{m}$ dan $L_p = 1.628~\text{m}^2.$
Pertama, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 1.628 \\ 2 \pi r(\color{blue}{r + t}) & = 1.628 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot r(37) & = 1.628 \\ r & = \dfrac{1.628 \cdot 7}{2 \cdot 37 \cdot 22} \\ r & = 7~\text{m} \end{aligned}$$Karena $r + t = 37~\text{m}$ dan $r = 7~\text{m}$, maka $t = 30~\text{m}$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{7} \cdot 7^2 \cdot 30 \\ & = 4.620~\text{m}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{4.620~\text{cm}^3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Rasio luas permukaan dan luas selimut sebuah tabung yang alasnya berjari-jari $80~\text{cm}$ dan tingginya $20~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3 : 1$                     D. $10 : 1$
B. $4 : 1$                     E. $12 : 1$
C. $5 : 1$

Pembahasan

Diketahui $r = 80~\text{cm}$ dan $t = 20~\text{cm}.$
Perbandingan (rasio) luas permukaan dan luas selimut tabung dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p : L_s & = \cancel{2\pi r}(r + t) : \cancel{2\pi r} t \\ & = (r + t) : t \\ & = (80 + 20) : 20 \\ & = 100 : 20 \\ & = 5 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio luas permukaan dan luas selimut tabung tersebut adalah $\boxed{5 : 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dua buah tabung yang bervolume sama mempunyai tinggi dengan perbandingan $1 : 2$. Perbandingan panjang jari-jari kedua tabung tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : \sqrt2$                     D. $2 : 1$
B. $\sqrt2 : 1$                     E. $2\sqrt2 : 1$
C. $1 : 2$

Pembahasan

Misalkan tabung pertama memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r, t$, dan $V$, sedangkan tabung kedua memiliki panjang jari-jari, tinggi, dan volume berturut-turut $r’, t’$, dan $V’$ sehingga diperoleh hubungan
$$\begin{aligned} V’ & = V \\ t : t’ = 1 : 2 \Rightarrow t’ & = 2t \end{aligned}$$Karena itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \pi(r’)^2t’ & = \pi r^2t \\  (r’)^2 (2t) & = r^2t \\ 2(r’)^2 & = r^2 \\ 2 & = \left(\dfrac{r}{r’}\right)^2 \\ \sqrt2 & = \dfrac{r}{r’} \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari kedua tabung itu adalah $\boxed{\sqrt2 : 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Rasio antara luas selimut dan luas permukaan sebuah tabung adalah $1 : 2$. Jika luas permukaan tabung $616~\text{cm}^2$ dan asumsikan $\pi = \dfrac{22}{7}$, maka volume tabung tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $539~\text{cm}^3$                   D. $2.156~\text{cm}^3$
B. $1.078~\text{cm}^3$                E. $4.312~\text{cm}^3$
C. $1.617~\text{cm}^3$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} L_s : L_p & = 1 : 2 \\ L_p & = 616~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dari perbandingan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} L_s & = \dfrac12 \cdot 616 \\ & = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 616 \\ 2\pi r^2 + L_s & = 616 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7}r^2 + 308 & = 616 \\ \dfrac{44}{7}r^2 & = 308 \\ r^2 & = 49 \\ r & = 7~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_s & = 308 \\ 2\pi r t & = 308 \\ t & = \dfrac{308}{2\pi r}~\text{cm} \end{aligned}$$Selanjutnya, volume tabung $V$ dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 \cdot \dfrac{308}{2\pi r} \\ & = 154r \\ & = 154(7) = 1.078~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{1.078~\text{cm}^3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Jarak)

Soal Nomor 8
Jika tinggi suatu kerucut dikalikan dua, maka persentase pertambahan volume kerucut sebesar $\cdots \cdot$
A. $25\%$                       D. $200\%$
B. $50\%$                       E. $400\%$
C. $100\%$

Pembahasan

Anggap $r, t$, dan $V$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut sehingga $V = \dfrac13\pi r^2t$. Misalkan $t’$ adalah tinggi kerucut setelah dikalikan dua, maka $t’ = 2t$ sehingga volume setelahnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V’ & = \dfrac13\pi r^3 t’ \\ & = \dfrac13\pi r^3 (2t) \\ & = 2\left(\dfrac13\pi r^3 t’\right) \\ & = 2V \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa volumenya sama dengan 2 kali volume awal. Dengan kata lain, persentase pertambahan volumenya sebesar $\boxed{100\%}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Rasio volume 2 buah kerucut adalah $1 : 4$ dan rasio antardiameternya $4 : 5$. Rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9 : 16$                           D. $25 : 64$
B. $16 : 25$                         E. $25 : 81$
C. $25 : 36$

Pembahasan

Anggap $r_1, t_1$, dan $V_1$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut pertama sehingga $V_1 = \dfrac13\pi r_1^2t_1$, sedangkan $r_2, t_2$, dan $V_2$ berturut-turut adalah panjang jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut kedua sehingga $V_2 = \dfrac13\pi r_2^2t_2$. Dengan demikian, dapat kita tuliskan perbandingan berikut.
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2t_2 \\ V_1 : V_2 & = r_1^2t_1 : r_2^2t_2 \\ 1 : 4 & = (4)^2t_1 : (5)^2t_2 \\ 1 : 4 & = 16t_1 : 25t_2 \\ \dfrac14 & = \dfrac{16t_1}{25t_2} \\ \dfrac{25}{64} & = \dfrac{t_1}{t_2} \\ 25 : 64 & = t_1 : t_2 \end{aligned}$$Jadi, rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\boxed{25 : 64}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika rasio tinggi dua buah kerucut adalah $1 : 4$ dan rasio panjang jari-jari alasnya $4 : 1$, maka rasio volume kedua kerucut itu adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 4$                       D. $8 : 1$
B. $2 : 1$                       E. $16 : 1$
C. $4 : 1$

Pembahasan

Diketahui $t_1 : t_2 = 1 : 4$ dan $r_1 : r_2 = 4 : 1$. Perbandingan (rasio) kedua kerucut itu dinyatakan oleh $V_1 : V_2$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2 t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2 t_2 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 \\ & = (4)^2(1) : (1)^2(4) \\ & = 4 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio kedua volume kerucut itu adalah $\boxed{4 : 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah tabung yang terbuat dari besi cor (padat) dengan panjang jari-jari alas $3~\text{cm}$ dan tinggi $5~\text{cm}$ dilebur. Hasil leburan digunakan untuk membuat $n$ buah kerucut padat dengan panjang jari-jari alas $1~\text{mm}$ dan tinggi $1~\text{cm}$. Asumsikan semua besi cor terpakai. Nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.500$                       D. $13.500$
B. $4.500$                       E. $40.500$
C. $9.000$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} r_{\text{tabung}} & = 3~\text{cm} \\ t_{\text{tabung}} & = 5~\text{cm} \\ r_{\text{kerucut}} & = 1~\text{mm} = 0,1~\text{cm} \\ t_{\text{kerucut}} & = 1~\text{cm} \end{aligned}$$Banyaknya kerucut yang terbentuk dari hasil peleburan tabung tersebut sama dengan volume tabung dibagi dengan volume kerucut.
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{V_{\text{tabung}}}{V_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{\color{red}{\pi} r_{\text{tabung}}^2 t_{\text{tabung}}}{\frac13\color{red}{\pi} r_{\text{kerucut}}^2 t_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{3^2 \cdot 5}{\frac13 \cdot 0,1^2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{45}{\frac{1}{300}} = 45 \cdot 300 = 13.500 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 13.500}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika sebuah bola dimasukkan ke dalam kubus, maka perbandingan volume bola terbesar terhadap volume kubus adalah $\cdots \cdot$
A. $\pi : 3$                        D. $2\pi : 3$
B. $\pi : 4$                        E. $2\pi : 5$
C. $\pi : 6$

Pembahasan

Volume bola terbesar tercapai ketika panjang diameter bolanya sama dengan panjang rusuk kubus sehingga bola tepat bersinggungan dengan seluruh sisi kubus. Jika $s$ dan $r$ berturut-turut adalah panjang rusuk kubus dan panjang jari-jari bola, maka diperoleh hubungan $s = d = 2r$. Dengan demikian, perbandingan volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_{\text{bola}} : V_{\text{kubus}} & = \dfrac43\pi r^3 : s^3 \\ & = \dfrac43\pi r^3 : (2r)^3 \\ & = \dfrac43\pi \color{red}{r^3} : 8\color{red}{r^3} \\ & = \dfrac43\pi : 8 \\ & = \pi : 6 && (\text{Dikali 3/4}) \end{aligned}$$Jadi, perbandingan volume bola terbesar terhadap volume kubus adalah $\boxed{\pi : 6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Sebuah bola berjari-jari $5\sqrt3~\text{cm}$. Volume kubus terbesar yang berada di dalam bola itu adalah $\cdots \cdot$
A. $125~\text{cm}^3$                   D. $1.000~\text{cm}^3$
B. $375~\text{cm}^3$                   E. $3.000~\text{cm}^3$
C. $500~\text{cm}^3$

Pembahasan

Kubus terbesar itu memiliki panjang diagonal ruang yang sama dengan panjang diameter bola, seperti yang tampak pada gambar.
Karena bolanya berjari-jari $r = 5\sqrt3~\text{cm}$, maka $d = 2r = 10\sqrt3~\text{cm}.$

Panjang diagonal ruang kubus yang panjang rusuknya $a$ adalah $DR = a\sqrt3~\text{cm}$ sehingga
$$\begin{aligned} DR & = d \\ a\sqrt3 & = 10\sqrt3 \\ a & = 10~\text{cm} \end{aligned}$$Volume kubus tersebut adalah $\boxed{V = a^3 = (10)^3 = 1.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika panjang jari-jari suatu bola adalah $x~\text{cm}$, maka perbandingan luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat, dan seperempat bola padat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $6 : 3 : 2$                         D. $4 : 2 : 1$
B. $4 : 3 : 2$                         E. $3 : 2 : 1$
C. $4 : 3 : 1$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar bola, setengah bola, dan seperempat bola berikut.



Luas permukaan bola padat (pejal) utuh adalah $$L_{\oplus} = 4\pi r^2.$$Luas permukaan setengah bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah dengan luas lingkaran dalamannya (ditandai dengan warna abu-abu pada gambar), yaitu $$L_{\frac12 \oplus} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2.$$Luas permukaan seperempat bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah 2 kali luas setengah lingkaran dalamannya, yaitu $$L_{\frac14 \oplus} = \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 = 2\pi r^2.$$Jadi, perbandingan luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat, dan seperempat bola padat itu adalah
$$\begin{aligned} L_{\oplus} : L_{\frac12 \oplus} : L_{\frac14 \oplus} & = 4\color{red}{\pi r^2} : 3\color{red}{\pi r^2} : 2\color{red}{\pi r^2} \\ & = 4 : 3 : 2 \end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Jika masing-masing rusuk sebuah kubus bertambah $50\%$, hitunglah persentase pertambahan untuk:
a. luas permukaan kubus;
b. volume kubus.

Pembahasan

Mula-mula panjang rusuk kubus adalah $s$, kemudian bertambah menjadi $s’ = 150\%s$.
Jawaban a)
Mula-mula luas permukaan kubus adalah $L = 6s$. Luas permukaan kubus setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L’ & = 6s’ \\ & = 6(150\%s) \\ & = 150\%(6s) \\ & = 150\%L \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan luas permukaan kubus adalah $\boxed{50\%}$
Jawaban b)
Mula-mula volume kubus adalah $V = s^3$. Volume setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V’ & = (s’)^3 \\ & = (150\%s)^3 \\ & = 337,5\%s^3 \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan volume kubus adalah $\boxed{237,5\%}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $V$ merupakan volume dan $S$ merupakan luas permukaan balok yang berukuran $a \times b \times c$, buktikan bahwa $\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right).$

Pembahasan

Pada balok berukuran $a \times b \times c$, volume dan luas permukaannya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V & = abc \\ S & = 2(ab + ac + bc) \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$ dimulai dari ruas kanan.
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) & = \dfrac{2}{2(ab + ac + bc)}\left(\dfrac{bc}{abc} + \dfrac{ac}{abc} + \dfrac{ab}{abc}\right) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{ab + ac + bc}} \cdot \dfrac{\cancel{ab + ac + bc}}{abc} \\ & = \dfrac{1}{abc} \\ & = \dfrac{1}{V} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Soal Nomor 3
Gambar berikut menunjukkan pelat besi yang berbentuk kotak persegi panjang dengan salah satu bidangnya $FDCBGE$ dapat bergerak buka-tutup.
Lengkungan $FG$ merupakan seperempat dari keliling lingkaran yang pusatnya di $E$. Diketahui $KF = 1,5~\text{cm}$, $HK = 5~\text{cm}$, $HI = 1,5~\text{cm}$, dan $AI = 8~\text{cm}$. Hitunglah:

  1. luas $HKFGI$,
  2. volume pelat besi,
  3. luas selimut $FDBG$, dan
  4. massa benda itu apabila massa jenis besi $9.040~\text{kg/m}^3 (\pi = 3,14).$

Pembahasan

Jawaban a)
Luas $HKFGI$ sama dengan luas persegi panjang $HFEI$ dikurangi luas seperempat lingkaran $FEG$.
$$\begin{aligned} L_{HKFGI} & = L_{HFEI}-L_{FEG} \\ & = (HF \cdot FE)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2\right) \\ & = (6,5 \cdot 1,5)-\left(\dfrac14 \cdot 3.14 \cdot 1,5^2\right) \\ & = 9,75-1,76625 \\ & = 7,98375~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $HKFGI$ adalah $\boxed{7,98375~\text{cm}^2}$
Jawaban b)
Volume pelat besi sama dengan volume balok $HFDJ.IECA$ dikurangi volume seperempat tabung $FEG.DCB$.
$$\begin{aligned} V_{\text{pelat besi}} & = V_{HFDJ.IECA}-V_{FEG.DCB} \\ & = (HF \cdot HI \cdot AI)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2 \cdot EC\right) \\ & = (6,5 \cdot 1,5 \cdot 8)-\left(\dfrac14 \cdot 3,14 \cdot 1,5^2 \cdot 8\right) \\ & = 78-14,13 \\ & = 63,87~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume pelat besi adalah $\boxed{63,87~\text{cm}^3}$
Jawaban c)
Luas selimut $FDBG$ sama dengan luas persegi panjang $FDCE$ ditambah luas persegi panjang $ECBG$.
$$\begin{aligned} L_{FDBG} & = L_{FDCE} + L_{ECBG} \\ & = (FD \cdot DC) + (GE \cdot EC) \\ & = (8 \cdot 1,5) + (1,5 \cdot 8) \\ & = 12 + 12 = 24~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas selimut $FDBG$ adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}$
Jawaban d)
Karena volume pelat besi adalah $V = 63,87~\text{cm}^3$ dan diketahui bahwa $\rho = 9.040~\text{kg/m}^3 = 9,04~\text{g/cm}^3$ maka massa pelat besi dapat kita tentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \rho & = \dfrac{m}{V} \\ m & = \rho \cdot V \\ & = 9,04 \cdot 63,87 \\ & = 577,3848~\text{g} \end{aligned}$$Jadi, massa pelat besi adalah $\boxed{577,3848~\text{g}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Struktur sebuah tempat pembuangan rokok terlihat seperti gambar berikut.
Diketahui:
$$\begin{aligned} AB & = PQ = 90~\text{cm} \\ ED & = TS = 120~\text{cm} \\ AE & = PT = 220~\text{cm} \\ CD & = RS = 180~\text{cm} \\ AP & = BQ = CR = DS = ET = 200~\text{cm} \end{aligned}$$Hitunglah:

  1. panjang $BC$,
  2. luas $ABCDE$, dan
  3. volume tempat rokok tersebut dalam satuan meter kubik.

Pembahasan

Jawaban a)
Buat titik $O$, sedemikian sehingga $AO \perp OD$ dan terbentuklah segitiga siku-siku $BOC$ dengan
$$\begin{aligned} BO & = AO-AB = 120-90 = 30~\text{cm} \\ OC & = OD-CD = 220-180 = 40~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Phytagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BO^2 + OC^2} \\ & = \sqrt{30^2 + 40^2} \\ & = 50~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, paniang $\boxed{BC = 50~\text{cm}}$
Jawaban b)
Luas segilima $ABCDE$ sama dengan luas persegi panjang $AEDO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $BOC$.
$$\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{AEDO}-L_{\triangle BOC} \\ & = (AE \cdot ED)-\left(\dfrac12 \cdot BO \cdot OC\right) \\ & = (220 \cdot 120)-\left(\dfrac12 \cdot 30 \cdot 40\right) \\ & = 26.400-600 \\ & = 25.800~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $ABCDE$ adalah $\boxed{25.800~\text{cm}^2}$
Jawaban c)
Volume benda tersebut sama dengan volume balok utuh dikurangi volume prisma segitiga siku-siku hasil potongan.
$$\begin{aligned} V_{\text{benda}} & = V_{\text{balok}}-V_{\text{prisma}} \\ & = (ED \cdot AE \cdot AP)-\left(L_{\triangle BOC} \cdot BQ\right) \\ & = (120 \cdot 220 \cdot 200)-\left(600 \cdot 200\right) \\ & = 5.160.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tempat pembuangan rokok tersebut adalah $\boxed{5.160.000~\text{cm}^3}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika panjang jari-jari alas sebuah tabung bertambah $50\%$ dan tingginya berkurang dengan rasio $4 : 9$, bagaimana volume tabung itu sekarang?

Pembahasan

Misalkan $r$ dan $t$ adalah panjang jari-jari dan tinggi tabung mula-mula sehingga $V = \pi r^2 t$. Misalkan pula $r’$ dan $t’$ adalah paniang jari-jari dan tinggi tabung setelah mengalami perubahan sehingga
$$\begin{aligned} r’ & = 150\%r = \dfrac32r \\ t’ & = \dfrac49t \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} V’ & = \pi (r’)^2 t’ \\ & = \pi \left(\dfrac32r\right)^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi \cdot \dfrac94r^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi r^2 t \\ & = V \end{aligned}$$Jadi, dapat disimpulkan bahwa volume tabung sekarang sama dengan volume tabung mula-mula (tetap/tidak berubah).

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 6
Diketahui sebuah tabung dengan keliling alas = volume tabung = $n$. Tentukan luas permukaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$.

Pembahasan

Diketahui keliling alas = volume tabung = $n$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} 2\pi r & = \pi r^2 t = n && (\cdots 1) \\ \Rightarrow 2 & = rt && (\cdots 2)\end{aligned}$$Dari persamaan $2\pi r = n$, kita peroleh $r = \dfrac{n}{2\pi}$. Dari persamaan $(2)$, didapat $t = \dfrac{2}{r} = 2 \cdot \dfrac{2\pi}{n} = \dfrac{4\pi}{n}.$
Selanjutnya, kita akan peroleh luas permukaan tabung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p & = 2\pi r(r + t) \\ & = n\left(\dfrac{n}{2\pi} + \dfrac{4\pi}{n}\right) \\ & = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi \end{aligned}$$Jadi, luas permukaaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{L_p = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $t, s$, dan $v$ berturut-turut menyatakan tinggi, luas selimut, dan volume kerucut, tentukan nilai $(3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2).$

Pembahasan

Diketahui/dimisalkan bahwa
$$\begin{aligned} t & = \text{tinggi kerucut} \\ r & = \text{panjang jari-jari alas kerucut} \\ s’ & = \text{panjang garis pelukis} \\ s & = \text{luas selimut kerucut} = \pi r s’ \\ v & = \text{volume kerucut} = \dfrac13\pi r^2 t \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh $(s’)^2 = r^2+t^2$. Oleh karena itu, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 & = 3\pi\left(\dfrac13\pi r^2t\right)t^3-(\pi r s’)^2t^2 + 9\left(\dfrac13\pi r^2t\right)^2 \\ & = \pi^2r^2t^4-\pi^2r^2(r^2+t^2)t^2 + 9 \cdot \dfrac19\pi^2 r^4t^2 \\ & = \color{red}{\pi^2r^2t^4}\color{blue}{-\pi^2r^4t^2}\color{red}{-\pi^2r^2t^4}+ \color{blue}{\pi^2 r^4t^2} \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah kerucut yang terbuat dari kayu jati dipotong horizontal menjadi tiga bagian dengan masing-masing potongan mempunyai tinggi yang sama, seperti yang terlihat pada gambar.
Tinggi kerucut sebelum dipotong adalah $42~\text{cm}$ dan panjang jari-jari alas sebelum dipotong adalah $r_1 = 18~\text{cm}$.
Hitunglah:

  1. perbandingan volume masing-masing bagian, dan
  2. nilai $x$ dan $y$.

Pembahasan

Tampak pada gambar ada $3$ buah kerucut: besar, sedang, dan kecil. Misalkan tinggi kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $t_1, t_2$, dan $t_3$ sehingga $t_1 = 42~\text{cm}$, $t_2 = 28~\text{cm}$, dan $t_3 = 14~\text{cm}.$
Selanjutnya, akan dicari panjang jari-jari kerucut sedang dan kecil dengan menggunakan konsep kesebangunan.
Mencari nilai $r_2$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{t_1}{t_2} \Rightarrow \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{42}{28} \\ \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{3}{2} \\ r_2 & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Mencari nilai $r_3$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_3} = \dfrac{t_1}{t_3} \Rightarrow \dfrac{18}{r_3} & = \dfrac{42}{14} \\ \dfrac{18}{r_3} & = 3 \\ r_3 & = 6~\text{cm} \end{aligned}$$Perbandingan volume kerucut besar, sedang, dan kecil dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_{\text{besar}} : V_{\text{sedang}} : V_{\text{kecil}} & = \color{blue}{\dfrac13} \pi r_1^2 t_1 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_2^2 t_2 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_3^2 t_3 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 : r_3^2 t_3 \\ & = (18)^2(42) : \left(12\right)^2 (28) : \left(6\right)^2 (14) \\ & = 9(3) : 4(2) : 1(1) \\ & = 27 : 8 : 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
Misalkan panjang garis pelukis kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $s_1, s_2$, dan $s_3$ sehingga
$$\begin{aligned} x & = s_2-s_3 \\ & = \sqrt{r_2^2 + t_2^2}-\sqrt{r_3^2+t_3^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 28^2}-\sqrt{6^2 + 14^2} \\ & = 4\sqrt{58}-2\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} y & = s_1-s_2 \\ & = \sqrt{r_1^2 + t_1^2}-\sqrt{r_2^2+t_2^2} \\ & = \sqrt{18^2 + 42^2}-\sqrt{12^2 + 28^2} \\ & = 6\sqrt{58}-4\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = y = 2\sqrt{58}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah tabung dimasukkan setengah bola dan di dalam setengah bola dimasukkan lagi sebuah kerucut seperti tampak pada gambar.
Tentukan rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut.

Pembahasan

Dari gambar, tampak bahwa panjang jari-jari alas tabung, alas kerucut, dan setengah bola itu sama, yaitu $r$. Tinggi tabung dan tinggi kerucut juga sama dengan panjang jari-jari bola, yaitu $t = r$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} & V_{\text{tabung}} : V_{\text{1/2 bola}} : V_{\text{kerucut}} \\ & = \pi r^2 t : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 (r) : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 (r) \\ & = \color{red}{\pi r^3} : \dfrac23 (\color{red}{\pi r^3}) : \dfrac13 (\color{red}{\pi r^3}) \\ & = 1 : \dfrac23 : \dfrac13 \\ & = 3 : 2 : 1 && (\text{Dikali 3}) \end{aligned}$$Jadi, rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut adalah $\boxed{3 : 2 : 1}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Hitunglah volume bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kotak yang berukuran $70~\text{cm} \times 20~\text{cm} \times 58~\text{cm}$, dengan asumsi $\pi = 3,14$.

Pembahasan

Bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kotak tersebut berdiameter $d = 20~\text{cm}$ sehingga $r = 10~\text{cm}$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} V & = \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 3,14 \cdot (10)^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 314 = \dfrac{1.256}{3} \end{aligned}$$Jadi, volume bola terbesar yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{1.256}{3}~\text{cm}^3}$

[collapse]

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Pra-Olimpiade)”

  1. Terimakasih Mathcyber saya Telah terbantu dengan latihan soal dan pembahasan yg ada di web ini. Semoga Web ini kedepanya terus berkembang dan bermanfaat bagi Orang lain…

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *