Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

     Salah satu submateri dari bab Hubungan Antargaris adalah mengenai sistem koordinat geometri bidang (dimensi dua) atau juga disebut sistem koordinat Kartesius dua dimensi dengan dua sumbunya, yaitu sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$. Ada 2 hal yang dipelajari di submateri tersebut, yaitu titik tengah dari segmen (ruas) garis dan jarak antara dua titik pada sistem koordinat.

Titik Tengah Ruas Garis

Titik tengah dari titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$ adalah $\left(\dfrac{x_1+y_1}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara dua titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$ atau panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut ditentukan berdasarkan Dalil Pythagoras, yaitu
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Berikut ini disajikan soal dan pembahasan terkait sistem koordinat geometri bidang: titik tengah ruas garis dan jarak dua titik.

Today Quote

Tiga tambah lima sama dengan delapan. Sama juga hasilnya kalau enam ditambah dua. Caramu melakukan sesuatu bukanlah satu-satunya cara. Hargailah cara pandang orang lain. Kamu mungkin benar, tetapi mereka belum tentu salah.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Persamaan garis yang melalui $(3, 2)$ dan $(0, 2)$ akan $\cdots \cdot$

  1. sejajar sumbu-$Y$, berjarak $3$ satuan dari sumbu-$Y$
  2. sejajar sumbu-$X$, berjarak $2$ satuan dari sumbu-$X$
  3. sejajar sumbu-$X$, berjarak $3$ satuan dari sumbu-$X$
  4. sejajar sumbu-$Y$, berjarak $2$ satuan dari sumbu-$Y$
  5. tegak lurus sumbu-$X$, berjarak $2$ satuan dari sumbu-$X$

Pembahasan

Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang koordinat.Bila ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu-$X$ atau tegak lurus dengan sumbu-$Y$, dan berjarak $2$ satuan dari sumbu-$X$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Persamaan garis yang melalui $(4, 5)$ dan $(4, 0)$ akan $\cdots \cdot$

  1. sejajar sumbu-$Y$, berjarak $4$ satuan dari sumbu-$Y$
  2. sejajar sumbu-$X$, berjarak $4$ satuan dari sumbu-$X$  
  3. tegak lurus sumbu-$X$, berjarak $4$ satuan dari sumbu-$X$
  4. tegak lurus sumbu-$Y$, berjarak $5$ satuan dari sumbu-$Y$
  5. sejajar sumbu-$Y$, berjarak $5$ satuan dari sumbu-$Y$

Pembahasan

Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang koordinat.



Bila ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu-$Y$ atau tegak lurus dengan sumbu-$X$, dan berjarak $4$ satuan dari sumbu-$Y$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Konsep Garis dan Sudut (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 3
Persamaan garis $y = 10$ akan $\cdots \cdot$
A. sejajar dengan sumbu-$Y$
B. tegak lurus dengan sumbu-$X$
C. melalui $(0, 0)$
D. berjarak $10$ satuan dengan sumbu-$Y$
E. tegak lurus dengan sumbu-$Y$

Pembahasan

Perhatikan sketsa garis $y = 10$ pada bidang koordinat berikut.Tampak bahwa garis mendatar tersebut sejajar dengan sumbu-$X$, namun tegak lurus dengan sumbu-$Y$. Jaraknya terhadap sumbu-$X$ adalah $10$ satuan.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan garis $x=-5$ akan $\cdots \cdot$

  1. sejajar sumbu-$X$
  2. melalui $(0,0)$
  3. sejajar sumbu-$Y$, tegak lurus sumbu-$X$, dan berjarak $5$ satuan terhadap sumbu-$Y$
  4. sejajar sumbu-$Y$ dan berjarak $-5$ satuan terhadap sumbu-$Y$
  5. sejajar sumbu-$Y$, tegak lurus sumbu-$X$, dan melalui $(0, 0)$

Pembahasan

Perhatikan sketsa garis $x = -5$ pada bidang koordinat berikut.Tampak bahwa garis tegak tersebut sejajar dengan sumbu-$Y$, namun tegak lurus dengan sumbu-$X$. Jaraknya terhadap sumbu-$Y$ adalah $5$ satuan.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Koordinat titik tengah antara titik $(3, 4)$ dan titik $(5, 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1, 1)$                         D. $(4, 3)$
B. $(1, 2)$                         E. $(4, 4)$
C. $(3, 4)$

Pembahasan

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{4+2}{2}\right) \\ & = (4, 3) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $(3, 4)$ dan titik $(5, 2)$ adalah $\boxed{(4, 3)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Koordinat titik tengah dari titik $(-2, 1)$ ke titik $(4, 3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1, 1)$                         D. $(-3, 2)$
B. $(2, 1)$                         E. $(1, 2)$
C. $(3, 2)$

Pembahasan

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right) \\ & = (1,2) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah dari titik $(-2, 1)$ ke titik $(4, 3)$ adalah $\boxed{(1,2)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Koordinat titik tengah yang menghubungkan titik $(4, -5)$ dan titik $(-1, 0)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(-\dfrac32, -\dfrac52\right)$                D. $\left(\dfrac52, -\dfrac32\right)$
B. $\left(-\dfrac32, \dfrac52\right)$                   E. $\left(-\dfrac52, -\dfrac32\right)$
C. $\left(\dfrac32, -\dfrac52\right)$

Pembahasan

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{4+(-1)}{2}, \dfrac{-5+0}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac32, -\dfrac52\right) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah yang menghubungkan titik $(4, -5)$ dan titik $(-1, 0)$ adalah $\boxed{\left(\dfrac32, -\dfrac52\right)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Koordinat titik tengah antara titik $(-a, b)$ dan $(a, -b)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(2a, 2b)$                       D. $(-a, b)$
B. $(0, 0)$                           E. $(-2a, -2b)$
C. $(a, b)$

Pembahasan

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-a + a}{2}, \dfrac{b + (-b)}{2}\right) \\ & = (0, 0) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $(-a, b)$ dan $(a, -b)$ adalah $\boxed{(0,0)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jarak antara titik $(-3, -3)$ dan $(-7, 3)$ sama dengan $\cdots$ satuan.
A. $26$                            D. $\sqrt{13}$
B. $13$                            E. $2\sqrt3$
C. $2\sqrt{13}$

Pembahasan

Misalkan $A(-3, -3)$ dan $B(-7, 3)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(-7-(-3))^2 + (3 -(-3))^2} \\ & = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, jarak kedua titik tersebut adalah $\boxed{2\sqrt{13}~\text{satuan}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Panjang garis yang menghubungkan titik $(-3, 2)$ ke titik $(1, -1)$ adalah $\cdots$ satuan.
A. $25$                     C. $10$                    E. $\sqrt5$
B. $15$                     D. $5$

Pembahasan

Misalkan $A(-3, 2)$ dan $B(1, -1)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(-3-1)^2 + (2-(-1))^2} \\ & = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut adalah $\boxed{5~\text{satuan}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jarak titik $(a, b)$ dan $(b, a)$ adalah $\cdots$ satuan.
A. $\sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2}$
B. $\sqrt{(a+b)^2 + (a-b)^2}$
C. $\sqrt{(b-a)^2+(a+b)^2}$
D. $2\sqrt{b-a}$
E. $2\sqrt{a-b}$

Pembahasan

Misalkan $A(a, b)$ dan $B(b, a)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2} \\ & = \sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2} \end{aligned}$$Jadi, jarak titik $(a, b)$ dan $(b, a)$ adalah $\boxed{\sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2}~\text{satuan}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Panjang garis yang menghubungkan titik $(a+2, 3a-1)$ dan titik $(3a+4, a-5)$ adalah $\cdots$ satuan.
A. $2\sqrt{2a^2+5a+6}$
B. $2\sqrt{2a^2+6a+5}$
C. $2\sqrt{2a^2-6a+5}$
D. $2\sqrt{2a^2+6a-5}$
E. $2\sqrt{2a^2+5a-6}$

Pembahasan

Misalkan $A(a+2, 3a-1)$ dan $B(3a+4, a-5)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{((a+2)-(3a+4))^2 + ((3a-1)-(a-5))^2} \\ & = \sqrt{(-2a-2)^2 + (2a + 4)^2} \\ & = \sqrt{(4a^2 + 8a + 4) + (4a^2 + 16a + 16)} \\ & = \sqrt{8a^2 + 24a + 20} \\ & = \sqrt{4(2a^2 + 6a + 5)} \\ & = 2\sqrt{2a^2+6a+5} \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah $\boxed{2\sqrt{2a^2+6a+5}~\text{satuan}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $C(5,7)$ merupakan titik tengah dari garis yang menghubungkan titik $A(3, 4)$ ke titik $B$, maka koordinat titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(10, 7)$                     D. $(8, 10)$
B. $(8, 8)$                       E. $(10, 10)$
C. $(7, 10)$

Pembahasan

Misalkan koordinat titik $B$ adalah $(x, y)$, sehingga
$$(5, 7) = \left(\dfrac{3 + x}{2}, \dfrac{4 + y}{2}\right)$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{3+x}{2} & = 5 \Leftrightarrow 3+x = 10 \Leftrightarrow x = 7 \\ \dfrac{4+y}{2} & = 7 \Leftrightarrow 4+y = 14 \Leftrightarrow y = 10 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik $B$ adalah $\boxed{(7, 10)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
$A(-2, 1)$ dan $B(6, 5)$ merupakan titik-titik ujung diameter sebuah lingkaran. Pusat lingkaran itu adalah $\cdots \cdot$
A. $(4, 3)$                       D. $(2, 3)$
B. $(4, 2)$                       E. $(2, 2)$
C. $(2, 4)$

Pembahasan

Karena garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah diameter lingkaran, maka titik tengahnya adalah titik pusat lingkaran. Kita peroleh
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-2 + 6}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac42, \dfrac62\right) \\ & = (2, 3) \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika titik-titik $(1, -2)$, $(6, -1)$, $(9, 3)$, dan $(4, 2)$ merupakan pojok sebuah jajar genjang, maka koordinat titik potong antara diagonalnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(\dfrac32, -\dfrac32\right)$                  D. $\left(5, \dfrac12\right)$
B. $\left(\dfrac32, \dfrac12\right)$                     E. $\left(\dfrac12, \dfrac12\right)$
C. $\left(10, \dfrac12\right)$

Pembahasan

Posisikan keempat titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian tarik garis sehingga terbentuk segiempat berupa jajar genjang seperti yang tampak pada gambar berikut.Untuk mencari koordinat titik potong antara diagonalnya, maka kita hanya perlu mencari titik tengah dari ruas garis yang menjadi diagonal jajar genjang tersebut. Misalnya, kita mencari koordinat titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan $(1, -2)$ dan $(9, 3)$, yaitu titik $T(x, y)$.
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{-2 + 3}{2}\right) \\ & = \left(5, \dfrac12\right) \end{aligned}$$Jadi,  koordinat titik potong antara diagonalnya adalah adalah $\boxed{\left(5, \dfrac12\right)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah koordinat titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan titik berikut.
a. $(0, 3)$ dan $(4, -3)$
b. $(-3, -1)$ dan $(-2, 5)$
c. $\left(1\dfrac12, 2\right)$ dan $(3, 6)$
d. $(3, -9)$ dan $(5, -3)$
e. $(a, b)$ dan $(c, d)$
f. $(2a, b)$ dan $(4a^2, 4b)$
g. $(a+1, 2a+3)$ dan $(a-1,2a-1)$
h. $(2n^2, n)$ dan $(4n, 3n)$

Pembahasan

Misalkan $(x, y)$ adalah koordinat titik tengah dari dua titik pada setiap bagian soal.
Jawaban a)
Titik tengah dari $(0, 3)$ dan $(4, -3)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{0+4}{2}, \dfrac{3+(-3)}{2}\right) \\ & = (2, 0) \end{aligned}$$Jawaban b)
Titik tengah dari $(-3, -1)$ dan $(-2, 5)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{(-3) + (-2)}{2}, \dfrac{(-1)+5}{2}\right) \\ & = \left(-\dfrac52, 2\right) \end{aligned}$$Jawaban c)
Titik tengah dari $\left(1\dfrac12, 2\right)$ dan $(3, 6)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{1\frac12 + 3}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac94, 4\right) \end{aligned}$$Jawaban d)
Titik tengah dari $(3, -9)$ dan $(5, -3)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{(-9)+(-3)}{2}\right) \\ & = (4, -6) \end{aligned}$$Jawaban e)
Titik tengah dari $(a, b)$ dan $(c, d)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right) \end{aligned}$$Jawaban f)
Titik tengah dari $(2a, b)$ dan $(4a^2, 4b)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{2a + 4a^2}{2}, \dfrac{b+4b}{2}\right) \\ & = \left(a + 2a^2, \dfrac52b\right) \end{aligned}$$Jawaban g)
Titik tengah dari $(a+1, 2a+3)$ dan $(a-1,2a-1)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{(a+1)+(a-1)}{2}, \dfrac{(2a+3)+(2a-1)}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac{2a}{2}, \dfrac{4a+2}{2}\right) \\ & = (a, 2a+1) \end{aligned}$$Jawaban h)
Titik tengah dari $(2n^2, n)$ dan $(4n, 3n)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{2n^2+4n}{2}, \dfrac{n+3n}{2}\right) \\ & = (n^2+2n, 2n) \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah jarak antara pasangan titik di bawah ini. Nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.

  1. $(1, 2)$ dan $(6, 5)$
  2. $(2, 6)$ dan $(14, 3)$
  3. $(-5, 1)$ dan $\left(-3\dfrac12, 3\right)$
  4. $(2, -1)$ dan $(8, 7)$
  5. $(a, b)$ dan $(2a, 2b)$
  6. $(a, b)$ dan $(2a, -b)$
  7. $(a+3, b-5)$ dan $(a+3, b+7)$
  8. $(n+2m, 2n+13m)$ dan $(5n-2m, -2n-7m)$

Pembahasan

Misalkan jarak kedua titik pada setiap bagian soal dinotasikan dengan $|x|$.
Jawaban a)
Jarak titik $(1, 2)$ dan $(6, 5)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(1-6)^2 + (2-5)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \end{aligned}$$Jawaban b)
Jarak titik $(2, 6)$ dan $(14, 3)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(2-14)^2 + (6-3)^2} \\ & = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \end{aligned}$$Jawaban c)
Jarak titik $(-5, 1)$ dan $\left(-3\dfrac12, 3\right)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{\left(-5-\left(-3\dfrac12\right)\right)^2 + (1-3)^2} \\ & = \sqrt{\left(-\dfrac32\right)^2 + (-2)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac94 + 4} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52 \end{aligned}$$Jawaban d)
Jarak titik $(2, -1)$ dan $(8, 7)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(2-8)^2 + (-1-7)^2} \\ & = \sqrt{36 + 64} \\ & = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$$Jawaban e)
Jarak titik $(a, b)$ dan $(2a, 2b)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a-2a)^2 + (b-2b)^2} \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$Jawaban f)
Jarak titik $(a, b)$ dan $(2a, -b)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a-2a)^2 + (b-(-b))^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4b^2} \end{aligned}$$Jawaban g)
Jarak titik $(a+3, b-5)$ dan $(a+3, b+7)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a+3)-(a+3))^2 + ((b-5)-(b+7))^2} \\ & = \sqrt{0 + 144} = 12 \end{aligned}$$Jawaban h)
Jarak titik $(n+2m, 2n+13m)$ dan $(5n-2m, -2n-7m)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{((n+2m)-(5n-2m))^2 + ((2n+13m)-(-2n-7m))^2} \\ & = \sqrt{(-4n+4m)^2 + (4n + 20m)^2} \\ & = \sqrt{16(-n + m)^2 + 16(n + 5m)^2} \\ & = 4\sqrt{(-n+m)^2 + (n+5m)^2} \\ & = 4\sqrt{(n^2-2nm+m^2) + (n^2+10nm + 25m^2)} \\ & = 4\sqrt{2n^2 + 8mn + 26m^2} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa titik-titik $A(2,1)$, $B(5, 3)$, $C(3, 0)$, dan $D(-1, -2)$ membentuk sebuah jajar genjang.

Pembahasan

Cara 1: Menggunakan Konsep Jarak
Akan dicari panjang $4$ sisi yang terbentuk dari keempat titik tersebut.
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ |DC| & = \sqrt{(3-(-1))^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ |CB| & = \sqrt{(5-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \\ |DA| & = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \end{aligned}$$Karena $|AB| = |DC$ dan $|CB| = |DA|$, maka $ABCD$ membentuk jajar genjang.
Cara 2: Menggunakan Konsep Titik Tengah
Kita mencari titik tengah dari diagonal $AC$ dan $BD$. Bila koordinatnya sama, maka $ABCD$ jajar genjang.
$$\begin{aligned} \text{TT.} AC & = \left(\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{1+0}{2}\right) = \left(2, \dfrac12\right) \\ \text{TT.} BD & = \left(\dfrac{5 + (-1)}{2}, \dfrac{3 + (-2)}{2}\right) = \left(2, \dfrac12\right) \end{aligned}$$Jadi, $ABCD$ terbukti jajar genjang.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui titik-titik pojok segiempat $T(3, 2)$, $U(2, 5)$, $V(8, 7)$, dan $W(6,1)$. Titik tengah dari $UV$ dan $VW$ adalah $O$ dan $S$. Tunjukkan bahwa bangun $TOS$ merupakan segitiga sama kaki.

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{array}{cc} \hline T(3, 2) & U(2,5) \\ V(8,7) & W(6,1) \\ \hline \end{array}$$Langkah pertama adalah mencari koordinat titik $O$ sebagai titik tengah $UV$ dan $S$ sebagai titik tengah $VW$.
$$\begin{aligned} \text{Koord.}~O & = \left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{5+7}{2}\right) = (5, 6) \\ \text{Koord.}~S & = \left(\dfrac{8+6}{2}, \dfrac{7+1}{2}\right) = (7, 4) \end{aligned}$$Apabila titik $T(3, 2)$, $O(5,6)$, dan $S(7, 4)$ dihubungkan menggunakan garis lurus, maka akan terbentuk segitiga.
Langkah selanjutnya adalah menunjukkan bahwa $\triangle TOS$ sama kaki, artinya menunjukkan bahwa terdapat $2$ sisi yang sama panjang.
Akan dicari panjang $TO$, $TS$, dan $OS$.
$$\begin{aligned} |TO| & = \sqrt{(3-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt5 \\ |TS| & = \sqrt{(3-7)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt5 \\ |OS| & = \sqrt{(5-7)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Karena ada $2$ sisi yang sama panjang, yaitu $|TO| = |TS| = 2\sqrt5$, maka terbukti bahwa $\triangle TOS$ sama kaki.

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Soal Nomor 5
Diberikan titik-titik $B(4,8)$, $A(8,4)$, dan $N(2,0)$. Hitunglah setiap panjang garis berat $\triangle BAN$.

Pembahasan

Garis berat adalah garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi segitiga di depannya sehingga membelah dua sama panjang.
Oleh karena itu, kita perlu mencari koordinat titik tengah dari setiap sisi segitiga, kemudian mencari panjang $3$ garis berat yang dapat dibentuk.
Diketahui $B(4,8)$, $A(8,4)$, dan $N(2,0)$. Misalkan $X, Y, Z$ berturut-turut sebagai titik tengah sisi $AB$, $AN$, dan $BN$, seperti tampak pada sketsa grafik koordinat berikut.
$$\begin{aligned} \text{Koord.}~X & = \left(\dfrac{8+4}{2}, \dfrac{4+8}{2}\right) = (6, 6) \\ \text{Koord.}~Y & = \left(\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{4+0}{2}\right) = (5, 2) \\ \text{Koord.}~Z & = \left(\dfrac{4+2}{2}, \dfrac{8+0}{2}\right) = (3, 4) \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dicari panjang garis berat $XN$, $YB$, dan $ZA$.
$$\begin{aligned} |XN| & = \sqrt{(6-2)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13} \\ |YB| & = \sqrt{(5-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37} \\ |ZA| & = \sqrt{(3-8)^2+(4-4)^2} = \sqrt{25 + 0} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis berat $\triangle BAN$ adalah $$\boxed{2\sqrt{13}, \sqrt{37},~\text{dan}~5}$$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan empat titik pojok sebuah belah ketupat $ABCD$, yaitu $A(1,2)$, $B(2,-5)$, $C(7,0)$, dan $D(x, y)$. Hitunglah:
a. nilai $x$ dan $y$;
b. luas belah ketupat $ABCD$.

Pembahasan

Diketahui koordinat $A(1,2)$, $B(2,-5)$, dan $C(7,0)$.
Jawaban a)
Belah ketupat memiliki $2$ diagonal yang berpotongan tegak lurus di tengah-tengahnya. Ini berarti, titik tengah dari diagonal $AC$ sama dengan titik tengah dari diagonal $BD$. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} \text{TT.}~AC & = \text{TT.}~BD \\ \left(\dfrac{1+7}{2}, \dfrac{2+0}{2}\right) & = \left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right) \\ (4, 1) & = \left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right) \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2} = 4 & \Rightarrow x = 6 \\ \dfrac{-5+y}{2} = 1 & \Rightarrow y = 7 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 6, y = 7}$
Jawaban b)
Untuk mencari luas belah ketupat $ABCD$, terlebih dahulu harus dicari panjang kedua diagonalnya.
$$\begin{aligned} |AC| & = \sqrt{(7-1)^2 + (0-2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 4} \\ & = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\ |BD| & = \sqrt{(6-2)^2 + (7-(-5))^2} \\ & = \sqrt{16 + 144} \\ & = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas belah ketupat $ABCD$ dinyatakan oleh $$\boxed{L_{ABCD}= \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{2\sqrt{10} \times 4\sqrt{10}}{2} = 40}$$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tiga titik memiliki koordinat $O(0,0)$, $A(5,0)$, dan $B(7,6)$. Titik $N$ terletak pada koordinat $(x, y)$ sedemikian sehingga $AN = BN$ dan luas $\triangle AON$ adalah $10$ satuan luas. Hitunglah nilai $x$ dan $y$ dengan $y$ adalah bilangan positif.

Pembahasan

Karena luas segitiga $AON$ sebesar $10$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} L_{\triangle AON} & = \dfrac{OA \times y}{2} \\ 10 & = \dfrac{5 \times y}{2} \\ 20 & = 5y \\ y & = 4 \end{aligned}$$Perhatikan sketsa grafik koordinat berikut.Berikutnya, karena $|AN| = |BN|$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \sqrt{(5-x)^2 + (0-y)^2} & = \sqrt{(7-x)^2 + (6-y)^2} \\ \text{Substitusi}~&y = 4 \\ \sqrt{(25-10x+x^2) + (0-4)^2} & = \sqrt{(49-14x+x^2) + (6-4)^2} \\ \sqrt{x^2-10x+41} & = \sqrt{x^2-14x+53} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ x^2-10x+41 & = x^2-14x+53 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 3}$ dan $\boxed{y=4}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Koordinat titik sudut segiempat $SIAP$ adalah $S(3,-2)$, $I(0,-3)$, $A(-2,3)$, dan $P(4, 1)$.
a. Carilah panjang setiap sisi segiempat itu.
b. Apa jenis segiempat $SIAP$?

Pembahasan

Diketahui $S(3,-2)$, $I(0,-3)$, $A(-2,3)$, dan $P(4, 1)$. Posisikan keempat titik ini pada bidang koordinat seperti gambar.Jawaban a)
Akan dicari panjang ruas garis $SI$, $IA$, $AP$, dan $PS$.
$$\begin{aligned} |SI| & = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-(-3))^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \\ |IA| & = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{4 +36} = 2\sqrt{10} \\ |AP| & = \sqrt{(-2-4)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \\ |PS| & = \sqrt{(4-3)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{aligned}$$Jawaban b)
Kita peroleh bahwa ada dua pasang sisi yang sama panjang, yaitu $|SI| = |PS|$ dan $|IA| = |AP|$. Sekarang, periksa apakah kedua diagonal $SA$ dan $IP$ berpotongan tegak lurus dengan menggunakan konsep gradien.
$$\begin{aligned} m_{SA} & = \dfrac{3-(-2)}{-2-3} = \dfrac{5}{-5} = -1 \\ m_{IP} & = \dfrac{1-(-3)}{4-0} = \dfrac44=1 \end{aligned}$$Karena berlaku hubungan $m_{SA} \times m_{IP} = -1$, maka kedua diagonal berpotongan tegak lurus. Ini berarti, segiempat tersebut adalah layang-layang.

[collapse]

KategoriGeometri Analitik Datar, GeometriTag, , , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *