Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu


Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk \dfrac{dy}{dx} = f(t,y) disebut persamaan diferensial orde satu. Apabila fungsi f bergantung linear pada variabel bebas y, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
\dfrac{dy}{dt} + p(t)y = g(t)
Persamaan diferensial dalam bentuk seperti ini disebut persamaan diferensial linear orde satu, dengan syarat p dan g masing-masing kontinu pada suatu interval \alpha < t < \beta. Contohnya adalah
\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{5}{2}t
dengan p(t) = \dfrac{1}{2} dan g(t) = \dfrac{5}{2}t, di mana p adalah fungsi konstan dan g adalah fungsi linear.
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait penyelesaian PD linear orde satu. SEMOGA BERMANFAAT! Jangan lupa klik link berikut untuk materi PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1 (♥♥♥)
Selesaikan persamaan diferensial berikut.
\dfrac{dy}{dx} + \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)y = e^{-2x}

Penyelesaian

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui \displaystyle \int p(x)= \int \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)~dx = 2x + \ln x
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
e^{\int p(x)}= e^{2x + \ln x} = e^{2x} . e^{\ln x} = xe^{2x}
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu \dfrac{dy}{dx} + \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)y = e^{-2x}, sehingga diperoleh:
(xe^{2x})\dfrac{dy}{dx} + (\sout{x}e^{2x})\left(\dfrac{2x+1}{\sout{x}}\right)y = (xe^{2x}) e^{-2x}
\dfrac{d}{dx}(xe^{2x}y}) = x
Integrasikan kedua ruas terhadap x, sehingga diperoleh
xe^{2x}y = \int x~dx
xe^{2x}y = \dfrac{1}{2}x^2 + C
\boxed{y = \dfrac{x}{2e^{2x}} + C}
Persamaan terakhir ini merupakan penyelesaian/solusi umum dari PD tersebut.

[collapse]


Soal Nomor 2 (♥♥♥♥)
Selesaikan persamaan diferensial berikut.
(x^2+1)\dfrac{dy}{dx} + 4xy = x

Penyelesaian

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan x^2+1 untuk mendapatkan \dfrac{dy}{dx} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}
Diketahui \displaystyle \int p(x)~dx= \int \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~dx = 2 \ln (x^2+1) = \ln (x^2+1)^2
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
e^{\int p(x)}= e^{ln (x^2+1)^2} = (x^2+1)^2
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu  \dfrac{dy}{dx} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}, sehingga diperoleh: (x^2+1)^2\dfrac{dy}{dx} + (x^2+1)(4x)y = x(x^2+1)
\dfrac{d}{dx}((x+1)^2y)=x^3 + x
Integrasikan kedua ruas terhadap x, sehingga diperoleh
 (x+1)^2y = \int (x^3+x)~dx
\boxed{(x+1)^2y = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + C}
Persamaan terakhir merupakan solusi/penyelesaian umum implisit dari PD tersebut.

[collapse]


Soal Nomor 3 (Ditanyakan oleh: Abdul)
Tentukan penyelesaian PD \dfrac{dy}{dx} - 2y = 2x^3

Penyelesaian


Persamaan diferensial yang diberikan itu berbentuk PD linear orde satu, yang dapat ditulis:

\dfrac{dy}{dx} + (-2)y = 2x^3
Diketahui \displaystyle \int p(x)~dx = \int (-2)~dx = -2x
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
\displaystyle e^{\int p(x)~dx} = e^{-2x}
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal, didapat
\begin{aligned} \displaystyle e^{-2x}~\dfrac{dy}{dx} - 2ye^{-2x} & = 2x^3e^{-2x} \\ \dfrac{d}{dx}(e^{-2x}y) & = 2x^3e^{-2x} \\ e^{-2x}y & = \displaystyle \int 2x^3e^{-2x}~dx \end{aligned}
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial (langkah pengerjaannya memang cukup panjang). Setelah mengintegralkan bentuk itu, diperoleh penyelesaian PD tersebut, yakni
\boxed{\displaystyle e^{-2x}y = -\dfrac{(4x^3 + 6x^2 + 6x + 3)e^{-2x}}{4} + C}

[collapse]


Soal Nomor 4 (♥♥♥)
Tentukan solusi dari PD y^2~dx + (3xy-1)~dy = 0.

Penyelesaian

y^2~dx + (3xy-1)~dy = 0
Bagi kedua ruas dengan y^2~dy, untuk mendapatkan
\dfrac{dx}{dy} + \dfrac{3xy-1}{y^2} = 0
\dfrac{dx}{dy} + \dfrac{3x}{y} = \dfrac{1}{y^2} \bigstar
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa ini merupakan PD linear orde satu. Sekarang, misalkan P(y) = \dfrac{3}{y}. Faktor integrasi PD di atas adalah
e^{\int P(y)~dy} = e^{\int \frac{3}{y}~dy} = e^{\ln y^3} = y^3
Kalikan faktor integrasi y^3 ke \bigstar, diperoleh
y^3\dfrac{dx}{dy} + 3xy^2 = y
Ekspresi pada ruas kiri ternyata adalah turunan dari y^3x terhadap x, ditulis
\dfrac{d}{dy}(y^3x) = y
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
y^3x = \int y~dy
y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C
Jadi, penyelesaian umum dari PD tersebut adalah \boxed{y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C}

[collapse]


Soal Nomor 5 (♥♥♥)
Selesaikan untuk y(0) = 2 dari PD
\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{2x} = \dfrac{x}{y^3}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk ini dapat diubah menjadi PD linear orde satu, tetapi ekspresi y^3 di ruas kanan harus “disingkirkan” terlebih dahulu.
Kalikan kedua ruas dengan y^3, diperoleh
y^3 \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y^4}{2x} = x
Sekarang, misalkan v = y^4
Turunkan kedua ruas terhadap x (bukan terhadap y),
\dfrac{dv}{dx} = 4y^3~\dfrac{dy}{dx}
Substitusikan ini ke persamaan semula, diperoleh
\dfrac{1}{4}.\dfrac{dv}{dx} = + \dfrac{v}{2x} = x
Kalikan 4 di kedua ruas,
\dfrac{dv}{dx} + \dfrac{2}{x}v = 4x \bigstar
Bentuk di atas sudah baku menjadi PD linear orde satu.
Sekarang, kita akan mencari faktor integrasi PD tersebut. misalkan P(x) = \dfrac{2}{x}. Faktor integrasinya adalah
e^{\int P(x)~dx} = e^{\int \frac{2}{x}~dx} = e^{2 \ln x} = x^2
Kalikan x^2 di kedua ruas pada \bigstar, didapat
x^2 \dfrac{dv}{dx} + 2xv = 4x^3
Manipulasi ekspresi ruas kiri sebagai turunan dari x^2v terhadap x, ditulis
\dfrac{d}{dx}(x^2v) = 4x^3
Integrasikan kedua ruas terhadap x,
x^2v = x^4 + C
Substitusikan kembali v = y^4,
x^2y^4 = x^4 + C
Untuk x = 0 dan y=2, diperoleh
0(16) = 0 + C \Leftrightarrow C = 0
Berarti diperoleh
x^2y^4 = x^4 \Leftrightarrow y^4 = x^2
Jadi, solusi khusus PD tersebut adalah \boxed{y^4 = x^2}

[collapse]


Soal Nomor 6 (♥♥)
Tentukan solusi dari PD x\dfrac{dy}{dx} + y = x^3

Penyelesaian

x\dfrac{dy}{dx} + y = x^3 \Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x} = x^2 \bigstar
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa PD ini merupakan PD linear orde satu. Kita akan menentukan faktor integrasi dari PD tersebut. Diketahui bahwa \displaystyle P(x) = \dfrac{1}{x}. Dalam hal ini, P(x) adalah koefisien y pada suku kedua di ruas kiri.
Ini berarti, faktor integrasinya adalah
e^{\int P(x)~dx} = e^{\int \frac{1}{x}~dx} = e^{\ln x} = x
Kalikan faktor integrasi x pada \bigstar, sehingga diperoleh
x \dfrac{dy}{dx} + y = x^3
Jika diperhatikan, ternyata ekspresi pada ruas kiri merupakan turunan dari xy terhadap x, sehingga ditulis
\dfrac{d}{dx}(xy) = x^3
Tahap terakhir, integrasikan kedua ruas terhadap x, diperoleh
xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C
Jadi, penyelesaian dari PD x\dfrac{dy}{dx} + y = x^3 adalah \boxed{xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C}.

[collapse]
 


Soal Nomor 7(♥♥♥)
Temukan solusi masalah nilai awal y' - \dfrac{y}{2} = \exp(-t), dengan y(0) = -1.

Penyelesaian

Jelas bahwa persamaan diferensial di atas merupakan PD linear orde satu. Faktor integrasinya adalah
\mu(t) = \displaystyle \exp \int \left(-\dfrac{dt}{2}\right) = \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan mula-mula, sehingga diperoleh
\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y' - \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)\dfrac{y}{2} = \exp(-\dfrac{3t}{2})
Ruas kiri pada persamaan di atas merupakan turunan pertama dari \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y terhadap x, sehingga dapat ditulis menjadi
\displaystyle \left(\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y\right)' = \exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right)
Integrasikan kedua ruas terhadap t, sehingga didapat
\displaystyle \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y = -\dfrac{2}{3}\exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right) + C
Oleh karena itu, didapat
y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) + C \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)
Untuk menemukan kondisi awal, substitusikan t = 0 dan y = -1
-1 = -\dfrac{2}{3}\exp(0) + C \exp \left(\dfrac{0}{2}\right) \Leftrightarrow C = -1 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3}
Jadi, solusi dari masalah nilai awal yang diberikan adalah
\boxed{y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) - \dfrac{1}{3} \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)}
Catatan: Soal ini adalah soal pertama dalam postingan di mana saya menggunakan simbol \exp, yang merupakan singkatan “eksponen”. Diberikan kesepakatan penulisan bahwa \boxed{e^x = \exp(x)}.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

7 Balasan untuk “Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *