Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)

Postingan ini memuat beberapa soal terkait persamaan diferensial homogen. Soal-soal diambil dari berbagai referensi yang dikumpulkan oleh penulis sebagai wadah bagi para pengunjung blog untuk belajar (terkhusus bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial). Semoga bermanfaat! Jika ada yang ditanyakan, jangan sungkan untuk bertanya secara langsung di kolom komentar. Berikut ini juga disertakan link tentang PD jenis lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1 ()
Selesaikanlah persamaan diferensial: (x-y)~dx + x~dy = 0.

Penyelesaian

(x-y)~dx + x~dy = 0
Bagilah kedua ruas dengan x untuk mendapatkan
\left(1 - \dfrac{y}{x}\right) + dy = 0
Bentuk di atas menunjukkan bahwa PD tersebut homogen. Misalkan v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = vx, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut, diperoleh
(1 - v) dx + d(vx) = 0
dx - v~dx + x~dv + v~dx = 0
dx + x~dv = 0
Bagi kedua ruas dengan x untuk memperoleh
\dfrac{dx}{x} + dv = 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian, sehingga didapat
\displaystyle \int \dfrac{dx}{x} + \int dv = \ln C \bigstar
\ln x + v = \ln C
v = \ln \dfrac{C}{x} \Leftrightarrow e^v = \dfrac{C}{x} \Leftrightarrow xe^v = C \Leftrightarrow xe^{\dfrac{y}{x}} = C
Catatan: \bigstar mengapa hasil integralnya menjadi \ln C, bukankah seharusnya C? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena C merupakan bilangan real (bebas), jadi berapapun yang kita ambil sebagai bentuk C, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi \ln C.

[collapse]


Soal Nomor 2 ()
Selesaikanlah persamaan diferensial: \displaystyle (x^2 + y)\frac{dy}{dx} = 2xy.

Penyelesaian

\displaystyle (x^2 + y)\frac{dy}{dx} = 2xy
Kalikan dx pada kedua ruasnya,
\displaystyle (x^2 + y)~dy = 2xy~dx
\displaystyle (x^2 + y)~dy - 2xy~dx = 0
Perhatikan bahwa 2xy~dx = y~dx^2, sehingga
\displaystyle (x^2 + y)~dy - y~dx^2 = 0
Substitusikan u = x^2, diperoleh
\displaystyle (u + y)~dy - y~du = 0
Bagi kedua ruas dengan u,
\displaystyle (1 + \dfrac{y}{u})~dy - \dfrac{y}{u}~du = 0
Bentuk persamaan diferensial di atas menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini homogen.
Sekarang, kita misalkan v = \dfrac{y}{u} \Leftrightarrow y = uv \Rightarrow dy = u~dv + v~du, sehingga jika disubstitusikan ke persamaannya, diperoleh
\displaystyle (1 + v)(u~dv + v~du) - v~du = 0
\displaystyle u~dv + v~du + vu~dv + v^2~dv - v~dv = 0
\displaystyle (1 + v)u~dv + v^2~dv = 0
\displaystyle \frac{1+v}{v^2}~dv + \frac{du}{u} = 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
\displaystyle \int \frac{1+v}{v^2}~dv + \int \frac{du}{u} = C
\displaystyle \int v^{-2}~dv + \int \frac{dv}{v} + \int \frac{du}{u} = C
\displaystyle -\frac{1}{v} + \ln v + \ln u = C
\ln \dfrac{vu}{c} = \dfrac{1}{v} \Leftrightarrow \dfrac{vu}{c} = e^{\dfrac{1}{v}}
Substitusikan kembali y = uv dan u = x^2, diperoleh
\dfrac{y}{c} = e^{\dfrac{u}{y}} \Leftrightarrow \dfrac{y}{c} = e^{\dfrac{x^2}{y}}

[collapse]

Soal Nomor 3 ()
Apakah (x^2 - 3y^2)~dx + 2xy~dy = 0 merupakan PD homogen? Jika homogen, tentukan solusinya.

Penyelesaian

(x^2 - 3y^2)~dx - 2xy~dy = 0
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2-3y^2}{2xy}
= \dfrac{x}{2y} + \dfrac{3y}{2x} = \dfrac{1}{\dfrac{2y}{x}} + \dfrac{3}{2}.\dfrac{y}{x}
Bentuk PD di atas menunjukkan bahwa PD ini homogen.
Misalkan v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = xv \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = x~\dfrac{dv}{dx} + v
Substitusikan ini ke persamaannya,
\dfrac{1}{2v} + \dfrac{3v}{2} = x~\dfrac{dv}{dx} + v
Kurangi v pada kedua ruas untuk mendapatkan
\dfrac{1}{2v} + \dfrac{v}{2} = x~\dfrac{dv}{dx}
Samakan penyebutnya pada ruas kiri, kemudian sederhanakan menjadi
\dfrac{v^2-1}{2v} = x~\dfrac{dv}{dx}
Kalikan kedua ruas dengan \dfrac{2v}{x(v^2-1)}~dx, diperolehlah
\dfrac{2v}{v^2-1}~dv = \dfrac{dx}{x}
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
\displaystyle \int \dfrac{2v}{v^2-1}~dv = \int \dfrac{dx}{x}
\ln (v^2-1) = \ln x + \ln C
v^2 - 1 = xC
Substitusikan kembali bahwa v = \dfrac{y}{x}, sehingga diperoleh
\boxed{\dfrac{y^2}{x^2} - xC = 1}

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi PD 2xyy' - y^2 + x^2 = 0

Penyelesaian

Bagi terlebih dahulu persamaannya dengan x^2, diperoleh
2\left(\dfrac{y}{x}\right)y' - \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 + 1 = 0
Misalkan v = \dfrac{y}{x}, maka y' = v + v'(x)
Substitusikan pada persamaan, diperoleh
2v(v+v'x) - v^2 + 1 = 0
2xvv' + v^2 + 1 = 0
2xv\dfrac{dv}{dx} = -(1 + v^2)
Dengan pemisahan variabel, diperoleh
\dfrac{2v}{1 + v^2}dv = -\dfrac{1}{x}~dx
Integralkan untuk mendapatkan
\ln |1 + v^2| = -\ln |x| + \ln |C|
Sederhanakan,
1 + v^2 = Cx^{-1}
Substitusikan kembali v = \dfrac{y}{x}, diperoleh
1 + \left( \dfrac{y}{x}\right)^2 = Cx^{-1}
Kalikan kedua ruas dengan x^2,
x^2 + y^2 = Cx
Jadi, penyelesaian umumnya adalah \boxed{x^2 + y^2 = Cx}

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan PD berikut.
(2x - 4y + 5)y' + x - 2y + 3 = 0

Penyelesaian

Misalkan v = x - 2y yang berarti juga y = \dfrac{1}{2}(x - v), sehingga
y' = \dfrac{1}{2}(1 - v')
Substitusikan ke PD,
(2v + 5)\left(\dfrac{1}{2}(1 - v')\right) = -v - 3
2v - 2vv' + 5 - 5v' = -2v - 6
-(2v + 5)v' = -4v - 11
(2v + 5)v' = 4v + 11
\dfrac{4v + 10}{4v + 11}dv = 2~dx
\left(1 - \dfrac{1}{4v + 11}\right)dv = 2~dx
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan,
v - \dfrac{1}{4}\ln |4v + 11| = 2x + C_1
Substitusikan kembali v = x - 2y,
(x - 2y) - \dfrac{1}{4}\ln |4(x - 2y) + 11| = 2x + C_1
4x + 8y + \ln |4x - 8y + 11| = C
Jadi, solusi umum dari PD di atas adalah \boxed{4x + 8y + \ln |4x - 8y + 11| = C}

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan masalah nilai awal berikut.
y' = \dfrac{y + x}{y - x}, & y(0) = 2

Penyelesaian

Misalkan u = y - x berarti y = u + x, sehingga y' = u' + 1
Substitusikan ke persamaan,
(u' + 1) = \dfrac{(u+x) + x}{u}
uu' + u = u + 2x
u~du = 2x~dx
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan
\dfrac{1}{2}u^2 = x^2 + C_1
u^2 = 2x^2 + C
Substitusikan kembali u = y - x
(y - x)^2 = 2x^2 + C
y^2 - 2xy - x^2 = C
Karena diberikan ketentuan y(0) = 2, maka didapat
2^2 - 2(0)(2) - 0^2 = 4 = C
Diperoleh nilai C adalah 4, sehingga
\boxed{y^2 - 2xy - x^2 = 4}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan masalah nilai awal berikut.
y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^3 \cos x^2}{y}, & y(\sqrt{\pi}) = 0

Penyelesaian

y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^3 \cos x^2}{y}
Ubah persamaan menjadi
y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{\dfrac{y}{x}}
Misalkan u = \dfrac{y}{x} berarti y = ux, sehingga y' = u + u'x. Substitusikan ke persamaan,
u + u'x = u + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{u}
uu' = 2x \cos x^2
u~du = 2x \cos x^2~dx
Integrasikan kedua ruas,
\int u~du = \int 2x \cos x^2~dx
(Gunakan substitusi u = x^2 untuk mengintegrasikan bentuk ruas kanan)
\dfrac{1}{2}u^2 = \sin x^2 + C
Substitusikan kembali u = \dfrac{y}{x}
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 = \sin x^2 + C
y^2 = 2x^2 \sin x^2 + C
y = \sqrt{2x^2 \sin x^2 + C}
Karena ketentuan diberikan bahwa y(\sqrt{\pi}) = 0, maka diperoleh
0 = \sqrt{2\pi \sin \pi + C}
Diperoleh bahwa C = 0
Jadi, penyelesaian khusus PD tersebut adalah
\boxed{y = \sqrt{2x^2 \sin x^2}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

2 Balasan untuk “Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *