Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (3y-4x)~\text{d}x+(y-x)\text{d}y & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{3y-4x}{x-y} \\ \dfrac{\cancel{x}\left(3 \cdot \frac{y}{x}- 4\right)}{\cancel{x}\left(1-\frac{y}{x}\right)} & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{3 \cdot \frac{y}{x}-4}{1-\frac{y}{x}} & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \end{aligned}$
Karena variabel PD di atas dapat ditulis kembali sebagai $v = \dfrac{y}{x}$, maka PD ini homogen.

Diketahui $(x-y)~\text{d}x + x~\text{d}y = 0$.
Bagilah kedua ruas dengan $x$ untuk mendapatkan
$\left(1- \dfrac{y}{x}\right) + \text{d}y = 0$
Bentuk di atas menunjukkan bahwa PD tersebut homogen. Misalkan $v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = vx$, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut, diperoleh
$(1- v) \text{d}x + d(vx) = 0$
$\text{d}x- v~\text{d}x + x~\text{d}v + v~\text{d}x = 0$
$\text{d}x + x~\text{d}v = 0$
Bagi kedua ruas dengan $x$ untuk memperoleh
$ \dfrac{\text{d}x}{x} + \text{d}v = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian, sehingga didapat
$ \displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{x} + \int \text{d}v = \ln C$ $\bigstar$
$ \ln x + v = \ln C$
$\begin{aligned} v = \ln \dfrac{C}{x} & \Leftrightarrow e^v = \dfrac{C}{x} \Leftrightarrow xe^v = C \\ & \Leftrightarrow xe^{\frac{y}{x}} = C \end{aligned}$
Catatan: $\bigstar$ mengapa hasil integralnya menjadi $\ln C$, bukankah seharusnya $C$? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena C merupakan bilangan real (bebas), jadi berapapun yang kita ambil sebagai bentuk $C$, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi $\ln C$.

Diketahui $\displaystyle (x^2 + y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2xy$.
Kalikan $\text{d}x$ pada kedua ruasnya,
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y = 2xy~\text{d}x$
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y- 2xy~\text{d}x = 0$
Perhatikan bahwa $2xy~\text{d}x = y~\text{d}x^2$, sehingga
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y- y~\text{d}x^2 = 0$
Substitusikan $u = x^2$, diperoleh
$\displaystyle (u + y)~\text{d}y- y~\text{d}u = 0$
Bagi kedua ruas dengan $u$,
$\displaystyle (1 + \dfrac{y}{u})~\text{d}y- \dfrac{y}{u}~\text{d}u = 0$
Bentuk persamaan diferensial di atas menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini homogen.
Sekarang, kita misalkan $v = \dfrac{y}{u} \Leftrightarrow y = uv \Rightarrow \text{d}y = u~\text{d}v + v~\text{d}u$, sehingga jika disubstitusikan ke persamaannya, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle (1 + v)(u~\text{d}v + v~\text{d}u)- v~\text{d}u & = 0 \\ u~\text{d}v + v~\text{d}u + vu~\text{d}v + v^2~\text{d}v- v~\text{d}v & = 0 \\ (1 + v)u~\text{d}v + v^2~\text{d}v & = 0 \\ \frac{1+v}{v^2}~\text{d}v + \frac{\text{d}u}{u} & = 0 \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\displaystyle \int \frac{1+v}{v^2}~\text{d}v + \int \frac{\text{d}u}{u} = C$
$\displaystyle \int v^{-2}~\text{d}v + \int \frac{\text{d}v}{v} + \int \frac{\text{d}u}{u} = C$
$\displaystyle-\frac{1}{v} + \ln v + \ln u = C$
$\ln \dfrac{vu}{c} = \dfrac{1}{v} \Leftrightarrow \dfrac{vu}{c} = e^{\frac{1}{v}}$
Substitusikan kembali $y = uv$ dan $u = x^2$, diperoleh
$\dfrac{y}{c} = e^{\frac{u}{y}} \Leftrightarrow \dfrac{y}{c} = e^{\frac{x^2}{y}}$

Diketahui $(x^2- 3y^2)~\text{d}x- 2xy~\text{d}y = 0$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x^2-3y^2}{2xy}$
$ = \dfrac{x}{2y} + \dfrac{3y}{2x} = \dfrac{1}{\frac{2y}{x}} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{y}{x}$
Bentuk PD di atas menunjukkan bahwa PD ini homogen.
Misalkan $v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = xv \Rightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + v$
Substitusikan ini ke persamaannya,
$\dfrac{1}{2v} + \dfrac{3v}{2} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + v$
Kurangi $v$ pada kedua ruas untuk mendapatkan
$\dfrac{1}{2v} + \dfrac{v}{2} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x}$
Samakan penyebutnya pada ruas kiri, kemudian sederhanakan menjadi
$\dfrac{v^2-1}{2v} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x}$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{2v}{x(v^2-1)}~\text{d}x$, diperolehlah
$\dfrac{2v}{v^2-1}~\text{d}v = \dfrac{\text{d}x}{x}$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$\displaystyle \int \dfrac{2v}{v^2-1}~\text{d}v = \int \dfrac{\text{d}x}{x}$
$ \ln (v^2-1) = \ln x + \ln C$
$ v^2- 1 = xC$
Substitusikan kembali bahwa $v = \dfrac{y}{x}$, sehingga diperoleh
$ \boxed{\dfrac{y^2}{x^2}- xC = 1}$

Bagi terlebih dahulu persamaannya dengan $x^2$, diperoleh
$2\left(\dfrac{y}{x}\right)y’- \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 + 1 = 0$
Misalkan $v = \dfrac{y}{x}$, maka $y’ = v + v'(x)$
Substitusikan pada persamaan, diperoleh
$2v(v+v’x)- v^2 + 1 = 0$
$2xvv’ + v^2 + 1 = 0$
$2xv\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} =-(1 + v^2)$
Dengan pemisahan variabel, diperoleh
$\dfrac{2v}{1 + v^2}\text{d}v =-\dfrac{1}{x}~\text{d}x$
Integralkan untuk mendapatkan
$\ln |1 + v^2| =-\ln |x| + \ln |C|$
Sederhanakan,
$1 + v^2 = Cx^{-1}$
Substitusikan kembali $v = \dfrac{y}{x}$, diperoleh
$1 + \left( \dfrac{y}{x}\right)^2 = Cx^{-1}$
Kalikan kedua ruas dengan $x^2$,
$x^2 + y^2 = Cx$
Jadi, penyelesaian umumnya adalah $\boxed{x^2 + y^2 = Cx}$

Misalkan $v = x- 2y$ yang berarti juga $y = \dfrac{1}{2}(x- v)$, sehingga
$y’ = \dfrac{1}{2}(1- v’)$
Substitusikan ke PD,
$\begin{aligned} (2v + 5)\left(\dfrac{1}{2}(1- v’)\right) & =-v- 3 \\ 2v- 2vv’ + 5- 5v’ & =-2v- 6 \\ -(2v + 5)v’ & =-4v- 11 \\ (2v + 5)v’ &= 4v + 11 \\ \dfrac{4v + 10}{4v + 11}\text{d}v & = 2~\text{d}x \\ \left(1- \dfrac{1}{4v + 11}\right)\text{d}v & = 2~\text{d}x \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan,
$v- \dfrac{1}{4}\ln |4v + 11| = 2x + C_1$
Substitusikan kembali $v = x- 2y$,
$(x- 2y)- \dfrac{1}{4}\ln |4(x- 2y) + 11| = 2x + C_1$
$4x + 8y + \ln |4x- 8y + 11| = C$
Jadi, solusi umum dari PD di atas adalah $\boxed{4x + 8y + \ln |4x- 8y + 11| = C}$

Misalkan $u = y- x$ berarti $y = u + x$, sehingga $y’ = u’ + 1$
Substitusikan ke persamaan,
$(u’ + 1) = \dfrac{(u+x) + x}{u}$
$uu’ + u = u + 2x$
$u~\text{d}u = 2x~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan
$\dfrac{1}{2}u^2 = x^2 + C_1$
$u^2 = 2x^2 + C$
Substitusikan kembali $u = y- x$.
$(y- x)^2 = 2x^2 + C$
$y^2- 2xy- x^2 = C$
Karena diberikan ketentuan $y(0) = 2$, maka didapat
$2^2- 2(0)(2)- 0^2 = 4 = C$
Diperoleh nilai $C$ adalah $4$, sehingga
$\boxed{y^2- 2xy- x^2 = 4}$

$y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^3 \cos x^2}{y}$
Ubah persamaan menjadi
$y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{\frac{y}{x}}$
Misalkan $u = \dfrac{y}{x}$ berarti $y = ux$, sehingga $y’ = u + u’x$. Substitusikan ke persamaan,
$u + u’x = u + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{u}$
$uu’ = 2x \cos x^2$
$u~\text{d}u = 2x \cos x^2~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas,
$\int u~\text{d}u = \int 2x \cos x^2~\text{d}x$
(Gunakan substitusi $u = x^2$ untuk mengintegrasikan bentuk ruas kanan)
$\dfrac{1}{2}u^2 = \sin x^2 + C$
Substitusikan kembali $u = \dfrac{y}{x}$.
$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 = \sin x^2 + C$
$y^2 = 2x^2 \sin x^2 + C$
$y = \sqrt{2x^2 \sin x^2 + C}$
Karena ketentuan diberikan bahwa $y(\sqrt{\pi}) = 0$, maka diperoleh
$0 = \sqrt{2\pi \sin \pi + C}$
Diperoleh bahwa $C = 0$
Jadi, penyelesaian khusus PD tersebut adalah
$\boxed{y = \sqrt{2x^2 \sin x^2}}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial tersebut dapat diubah bentuknya sehingga pemisalan
$v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = vx \Rightarrow \color{red}{\text{d}y = v~\text{d}x + x~\text{d}v}$
bisa diberlakukan, seperti berikut.
$$\begin{aligned} (2x^2 + 3y^2)~\text{d}x + 3xy~\text{d}y & = 0 \\ (2x^2 + 3y^2)~\text{d}x & =-3xy~\text{d}y \\ \dfrac{2x^2+3y^2}{3xy} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2x}{3y} + \dfrac{y}{x} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2}{3v} + v & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2+3v^2}{3v} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ (2+3v^2)~\text{d}x & =-3v~\text{d}y \\ 2~\text{d}x + 3v^2~\text{d}x & =-3v( \color{red}{v~\text{d}x + x~\text{d}v}) \\ 2~\text{d}x + 3v^2~\text{d}x & =-3v^2~\text{d}x- 3vx~\text{d}v \\ 2~\text{d}x + 6v^2~\text{d}x & =- 3vx~\text{d}v \\ \dfrac{1}{x}~\text{d}x & = \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v \end{aligned}$$Langkah berikutnya adalah mengintegralkan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian.
$\begin{aligned} \int-\dfrac{1}{x}~\text{d}x & = \int \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v \\ \ln x & =-\dfrac{1}{4} \ln |-2-6v^2| + \ln |C| \\ \ln x & =-\dfrac{1}{4} \ln \left|-2-6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\right| + \ln |C| \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian PD homogen tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{1}{4} \ln \left|-2-6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\right| + \ln |C|}$
Catatan:
Perhatikan bahwa bentuk $\displaystyle \int \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v$ dapat ditentukan hasil pengintegralannya dengan menggunakan metode substitusi $u = 2 + 6v^2$.