Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak

Misalkan  $M = x^2 + 3xy$ dan $N = Ax^2 + 4y.$
Menurut definisi, PD disebut eksak jika memenuhi $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}.$
Ini berarti, kita harus menurunkan $M$ secara parsial terhadap $y$ dan menurunkan $N$ secara parsial terhadap $x.$ Kita akan peroleh
$0 + 3x = 2Ax \Leftrightarrow 3 = 2A \Leftrightarrow A = \dfrac{3}{2}$
Jadi, nilai $A$ agar persamaan diferensial $(x^2 + 3xy)~\text{d}x + (Ax^2 + 4y)~\text{d}y = 0$ eksak adalah $\boxed{\dfrac{3}{2}}$

Misalkan $M = \dfrac{x + ky + 1}{x + ky}$ dan $N = \dfrac{k}{x + ky}$ sehingga agar PD itu eksak, haruslah memenuhi $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}.$
Langkah pertama adalah menentukan nilai ruas kiri pada persamaan di atas. Gunakan Aturan Hasil Bagi dalam Turunan (ingat juga konsep turunan parsial).
$\begin{aligned} \dfrac{\partial M}{\partial y} & = \dfrac{k(x + ky) -(x + ky + 1)k}{(x + ky)^2} \\ & = -\dfrac{k}{(x+ky)^2} \end{aligned}$
Selanjutnya,
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{0 – k(1)}{(x + ky)^2} = -\dfrac{k}{(x+ky)^2}$
Ternyata kita dapatkan bahwa agar persamaan itu berlaku, semua nilai $k \in \mathbb{R}$ berlaku. Jadi, jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah $0$ (dengan kata lain, jumlah semua bilangan real yang ada adalah $0$).
(Jawaban B)

Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk $(3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y = 0$, kita misalkan bahwa
$M = 3x^2 + 4xy$ dan $N = 2x^2 + 2y$.
Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 4x$ dan $\dfrac{\partial N}{\partial x} = 4x.$
Karena sama, maka PD ini eksak.
Selanjutnya, ambillah $F(x,y) = C_1$, yang merupakan fungsi konstan. Berdasarkan bentuk $(3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y$, diketahui
$ \dfrac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + 4xy$ $\bigstar$
dan
$ \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + 2y$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$F = x^3 + 2x^2y + \psi(x,y)$
Turunkan F ini secara parsial terhadap $y$, diperoleh
$ \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + \psi'(x,y) $
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, dan kita dapatkan bahwa
$\psi'(x,y) = 2y \Leftrightarrow \psi(x,y) = y^2 + C_2$. Jadi,
$F = x^3 + 2x^2y + y^2 + C_2 = C_1$
$ x^3 + 2x^2y + y^2= C$
dengan $C = C_1 -C_2$.
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{x^3 + 2x^2y + y^2= C}$
Catatan: Simbol huruf Yunani $\psi$ adalah psi (dibaca: si). Beberapa referensi menggunakan simbol lain, yaitu $\phi$ (dibaca: phi). Lafalnya mungkin terdengar sama untuk simbol $\pi$ (dibaca: pi, tanpa huruf h). Sedangkan, $\partial$ (dibaca: do) adalah simbol untuk menyatakan diferensiasi secara parsial.

Diberikan PD $$(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + (x^2 + 2xy)~\text{d}y = 0~~~\bigstar$$Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak.
Misalkan:
$M = 5xy + 4y^2$ dan
$N = x^2 + 2xy$
sehingga hasil turunan parsialnya adalah
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x + 8y$ dan
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y.$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini tak eksak.
Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk $\displaystyle e^{\int P(x)~\text{d}x}$
$P(x)$ dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.
$P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(5x + 8y -(2x + 2y)\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(3x + 6y)\right)$
$P(x) = \dfrac{3}{x(x + 2y}\left(x + 2y)\right) = \dfrac{3}{x}$
Karena $P(x)$ hanya bergantung terhadap variabel $x$ (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi
$\displaystyle e^{\int \frac{3}{x}~\text{d}x} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$
Kalikan faktor integrasi ini ke $\bigstar$, untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} x^3(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + x^3(x^2 + 2xy)~\text{d}y & = x^3 \cdot 0 \\(5x^4y + 4x^3y^2 + x^3)~\text{d}x + (x^5 + 2x^4y)~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$$Misalkan:
$M = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3$
$N = x^5 + 2x^4y$
Jika kita menurunkan secara parsial $M$ terhadap $y$ dan $N$ terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x^4 + 8x^3y$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 5x^4 + 8x^3y$
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan $F = C_0$ (fungsi konstan). Telah diberikan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3~~\bigstar$
dan juga
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y~~\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$ F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + \phi(y)$
Lanjutkan: turunkan parsial kembali $F$ ini tapi terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y + \phi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, sehingga didapat bahwa
$\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1$
Berarti, solusinya adalah
$ F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + C_1 = C_0$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 = C}$

Diketahui PD
$$(2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y -x)~\text{d}y = 0~~~\bigstar$$Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk $(2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y -x)~\text{d}y = 0$, kita misalkan bahwa
$M = 2x^2 + y$ dan $N = x^2y -x$.
Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1$ dan $\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2xy -1.$
Karena berbeda, maka PD ini tak eksak. Tapi, kita dapat menjadikannya eksak.
Dengan menggunakan teorema mengubah PD tak eksak menjadi eksak, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) & = \dfrac{1}{x^2y -x}\left(1 -(2xy -1)\right) \\ & = \dfrac{2- 2xy}{x^2y -x} \\ & = \dfrac{2(1 -xy)}{x(xy-1)} \\ & = -\dfrac{2}{x} \end{aligned}$$Karena hanya bergantung pada $x$, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya, yaitu
$e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$
Kalikan faktor integrasi ini ke $\bigstar$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x^2}(2x^2 + y)~\text{d}x + \dfrac{1}{x^2}(x^2y-x)~\text{d}y & = 0 \\ \left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + \left(y- \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$
Cek keeksakannya:
Misal $M = 2 + \dfrac{y}{x^2}$ dan $N = y -\dfrac{1}{x}$, sehingga
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$
Jadi, PD tersebut eksak.
Misal dipilih $M$ untuk diintegralkan, maka
$\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x,y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 2x -\dfrac{y}{x} +g(y) \end{aligned}$
Samakan turunan parsial $Q(x,y)$ terhadap $y$ dengan $N(x,y).$
$\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y)$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(2x -\dfrac{y}{x} +g(y)\right) = y -\dfrac{1}{x}$
$-\dfrac{1}{x} + g'(y) = y -\dfrac{1}{x}$
Jadi, diperoleh $g'(y) = y.$
Integralkan,
$\int g'(y)~\text{d}y = \int y~\text{d}y = \dfrac{1}{2}y^2 + C_1$
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit $Q(x,y) = C_2$ adalah
$2x -\dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C_1 = C_2$ atau dapat disederhanakan menjadi $\boxed{2x -\dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 = C}$

Perhatikan bahwa persamaan $(9x^2 + y -1) -(4y -x)y’ = 0$ dapat ditulis menjadi
$(9x^2 + y -1)\text{d}x -(4y-x)\text{d}y = 0.$
Misalkan $M = 9x^2 + y -1$ dan $N = -4y + x$ sehingga $\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 = \dfrac{\partial N}{\partial x}.$
Karena sama, maka PD tersebut eksak.
Misalkan dipilih $M$ untuk diintegralkan, maka
$\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x, y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(9x^2 + y -1\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 3x^3 + xy -x + g(y) \end{aligned}$
Samakan turunan parsial $Q(x,y)$ terhadap $y$ dengan $N(x,y)$
$\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y).$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(3x^3 + xy -x + g(y)\right) = -4y + x$
$x + g'(y) = -4y + x$
Jadi, diperoleh $g'(y) = -4y.$
Integralkan,
$\int g'(y)~\text{d}y = \int -4y~\text{d}y = -2y^2 + C_1$
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit $Q(x,y) = C_2$ adalah
$3x^3 + xy -x -2y^2 + C_1 = C_2$ atau dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{3x^3 + xy -x -2y^2 = C}$