Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak

       Berikut ini adalah soal-soal tentang persamaan diferensial eksak dan bentuk PD yang bisa dieksakkan. Klik pranala berikut untuk mempelajari materi lain terkait persamaan diferensial.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen

Quote by Robin Williams

Perut lapar, dompet kosong, dan sakit hati merupakan tiga hal yang dapat mengajarkan kepadamu pelajaran terbaik dalam kehidupan.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai konstanta $A$ agar persamaan diferensial $(x^2 + 3xy)~\text{d}x + (Ax^2 + 4y)~\text{d}y = 0$ eksak.

Pembahasan

Misalkan  $M = x^2 + 3xy$ dan $N = Ax^2 + 4y$
Menurut definisi, PD disebut eksak jika memenuhi
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$
Ini berarti, kita harus menurunkan $M$ secara parsial terhadap $y$ dan menurunkan $N$ secara parsial terhadap $x$, diperolehlah
$0 + 3x = 2Ax \Leftrightarrow 3 = 2A \Leftrightarrow A = \dfrac{3}{2}$
Jadi, nilai $A$ agar persamaan diferensial $(x^2 + 3xy)~\text{d}x + (Ax^2 + 4y)~\text{d}y = 0$ eksak adalah $\boxed{\dfrac{3}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Jumlah semua nilai $k$ yang mungkin sehingga
$\dfrac{x + ky + 1}{x + ky}\text{d}x + \dfrac{k}{x + ky}\text{d}y = 0$
merupakan persamaan diferensial eksak adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                       C. $1$                   E. $10$
B. $0$                        D. $7$        

Pembahasan

Misalkan $M = \dfrac{x + ky + 1}{x + ky}$ dan $N = \dfrac{k}{x + ky}$, sehingga agar PD itu eksak, haruslah memenuhi
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$
Langkah pertama adalah menentukan nilai ruas kiri pada persamaan di atas. Gunakan Aturan Hasil Bagi dalam Turunan (ingat juga konsep turunan parsial).
$\begin{aligned} \dfrac{\partial M}{\partial y} & = \dfrac{k(x + ky) -(x + ky + 1)k}{(x + ky)^2} \\ & = -\dfrac{k}{(x+ky)^2} \end{aligned}$
Selanjutnya,
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{0 – k(1)}{(x + ky)^2} = -\dfrac{k}{(x+ky)^2}$
Ternyata kita dapatkan bahwa agar persamaan itu berlaku, semua nilai $k \in \mathbb{R}$ berlaku. Jadi, jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah $0$ (dengan kata lain, jumlah semua bilangan real yang ada adalah $0$).
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3 
Tentukan solusi dari $(3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk $(3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y = 0$, kita misalkan bahwa
$M = 3x^2 + 4xy$ dan $N = 2x^2 + 2y$.
Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 4x$
dan
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 4x$
Karena sama, maka PD ini eksak.
Selanjutnya, ambillah $F(x,y) = C_1$, yang merupakan fungsi konstan. Berdasarkan bentuk $(3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y$, diketahui
$ \dfrac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + 4xy$ $\bigstar$
dan
$ \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + 2y$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$F = x^3 + 2x^2y + \psi(x,y)$
Turunkan F ini secara parsial terhadap $y$, diperoleh
$ \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + \psi'(x,y) $
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, dan kita dapatkan bahwa
$\psi'(x,y) = 2y \Leftrightarrow \psi(x,y) = y^2 + C_2$. Jadi,
$F = x^3 + 2x^2y + y^2 + C_2 = C_1$
$ x^3 + 2x^2y + y^2= C$
dengan $C = C_1 -C_2$.
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{x^3 + 2x^2y + y^2= C}$
Catatan: Simbol huruf Yunani $\psi$ adalah psi (dibaca: si). Beberapa referensi menggunakan simbol lain, yaitu $\phi$ (dibaca: phi). Lafalnya mungkin terdengar sama untuk simbol $\pi$ (dibaca: pi, tanpa huruf h). Sedangkan, $\partial$ (dibaca: do) adalah simbol untuk menyatakan diferensiasi secara parsial.

[collapse]

Soal Nomor 4 
Tentukan penyelesaian dari $(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + (x^2 + 2xy)~\text{d}y = 0$.

Penyelesaian

Diberikan PD $(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + (x^2 + 2xy)~\text{d}y = 0$ $\bigstar$
Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak.
Misalkan
$M = 5xy + 4y^2$
$N = x^2 + 2xy$
sehingga hasil turunan parsialnya adalah
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x + 8y$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini tak eksak.
Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk $\displaystyle e^{\int P(x)~\text{d}x}$
$P(x)$ dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.
$P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(5x + 8y -(2x + 2y)\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(3x + 6y)\right)$
$P(x) = \dfrac{3}{x(x + 2y}\left(x + 2y)\right) = \dfrac{3}{x}$
Karena $P(x)$ hanya bergantung terhadap variabel $x$ (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi
$\displaystyle e^{\int \frac{3}{x}~\text{d}x} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$
Kalikan faktor integrasi ini ke $\bigstar$, untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} x^3(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + x^3(x^2 + 2xy)~\text{d}y & = x^3 \cdot 0 \\(5x^4y + 4x^3y^2 + x^3)~\text{d}x + (x^5 + 2x^4y)~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$$Misalkan
$M = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3$
$N = x^5 + 2x^4y$
Jika kita menurunkan secara parsial $M$ terhadap $y$ dan $N$ terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x^4 + 8x^3y$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 5x^4 + 8x^3y$
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan $F = C_0$ (fungsi konstan). Telah diberikan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3~~\bigstar$
dan juga
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y~~\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$ F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + \phi(y)$
Lanjutkan: turunkan parsial kembali $F$ ini tapi terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y + \phi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, sehingga didapat bahwa
$\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1$
Berarti, solusinya adalah
$ F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + C_1 = C_0$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 = C}$

[collapse]

Soal Nomor 5 
Selesaikan PD $(2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y -x)~\text{d}y = 0$

Pembahasan

Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk $(2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y -x)~\text{d}y = 0$, kita misalkan bahwa
$M = 2x^2 + y$ dan $N = x^2y -x$.
Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1$
dan
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2xy – 1$
Karena berbeda, maka PD ini tak eksak. Tapi, kita dapat menjadikannya eksak.
Dengan menggunakan teorema mengubah PD tak eksak menjadi eksak, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial y}\right) & = \dfrac{1}{x^2y -x}\left(1 -(2xy -1)\right) \\ & = \dfrac{2- 2xy}{x^2y -x} \\ & = \dfrac{2(1 -xy)}{x(xy-1)} \\ & = -\dfrac{2}{x} \end{aligned}$$Karena hanya bergantung pada $x$, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya, yaitu
$e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$
Kalikan faktor integrasi ini ke $\bigstar$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x^2}(2x^2 + y)~\text{d}x + \dfrac{1}{x^2}(x^2y-x)~\text{d}y & = 0 \\ \left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + \left(y- \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$
Cek keeksakannya:

Misal $M = 2 + \dfrac{y}{x^2}$ dan $N = y -\dfrac{1}{x}$, sehingga
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$
Jadi, PD tersebut eksak.
Misal dipilih $M$ untuk diintegralkan, maka
$\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x,y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 2x -\dfrac{y}{x} +g(y) \end{aligned}$
Samakan turunan parsial $Q(x,y)$ terhadap $y$ dengan $N(x,y)$
$\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y)$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(2x -\dfrac{y}{x} +g(y)\right) = y -\dfrac{1}{x}$
$-\dfrac{1}{x} + g'(y) = y -\dfrac{1}{x}$
Jadi, diperoleh $g'(y) = y$
Integralkan,
$\int g'(y)~\text{d}y = \int y~\text{d}y = \dfrac{1}{2}y^2 + C_1$
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit $Q(x,y) = C_2$ adalah
$2x – \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C_1 = C_2$
$\boxed{2x – \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 = C}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan $(9x^2 + y -1) -(4y -x)y’ = 0$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan $(9x^2 + y -1) -(4y -x)y’ = 0$ dapat ditulis menjadi
$(9x^2 + y -1)\text{d}x -(4y-x)\text{d}y = 0$.
Misalkan $M = 9x^2 + y -1$ dan $N = -4y + x$, sehingga
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 = \dfrac{\partial N}{\partial x}$
Karena sama, maka PD tersebut eksak.
Misalkan dipilih $M$ untuk diintegralkan, maka
$\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x, y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(9x^2 + y -1\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 3x^3 + xy -x + g(y) \end{aligned}$
Samakan turunan parsial $Q(x,y)$ terhadap $y$ dengan $N(x,y)$
$\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y)$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(3x^3 + xy -x + g(y)\right) = -4y + x$
$x + g'(y) = -4y + x$
Jadi, diperoleh $g'(y) = -4y$
Integralkan,
$\int g'(y)~\text{d}y = \int -4y~\text{d}y = -2y^2 + C_1$
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit $Q(x,y) = C_2$ adalah
$3x^3 + xy -x -2y^2 + C_1 = C_2$

$\boxed{3x^3 + xy -x -2y^2 = C}$

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *