Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak

      Berikut ini adalah soal-soal tentang persamaan diferensial eksak dan bentuk PD yang bisa dieksakkan. Klik pranala berikut untuk mempelajari materi lain terkait persamaan diferensial.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen

Soal Nomor 1
Tentukan nilai konstanta A agar persamaan diferensial (x^2 + 3xy)~\text{d}x + (Ax^2 + 4y)~\text{d}y = 0 eksak.

Penyelesaian

Misalkan  M = x^2 + 3xy dan N = Ax^2 + 4y
Menurut definisi, PD disebut eksak jika memenuhi
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}
Ini berarti, kita harus menurunkan M secara parsial terhadap y dan menurunkan N secara parsial terhadap x, diperolehlah
0 + 3x = 2Ax \Leftrightarrow 3 = 2A \Leftrightarrow A = \dfrac{3}{2}
Jadi, nilai A agar persamaan diferensial (x^2 + 3xy)~\text{d}x + (Ax^2 + 4y)~\text{d}y = 0 eksak adalah \boxed{\dfrac{3}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Jumlah semua nilai k yang mungkin sehingga
\dfrac{x + ky + 1}{x + ky}\text{d}x + \dfrac{k}{x + ky}\text{d}y = 0
merupakan persamaan diferensial eksak adalah \cdots
A. -1
B. 0
C. 1
D. 7
E. 10

Penyelesaian

Misalkan M = \dfrac{x + ky + 1}{x + ky} dan N = \dfrac{k}{x + ky}, sehingga agar PD itu eksak, haruslah memenuhi
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}
Langkah pertama adalah menentukan nilai ruas kiri pada persamaan di atas. Gunakan Aturan Hasil Bagi dalam Turunan (ingat juga konsep turunan parsial).
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{k(x + ky) - (x + ky + 1)k}{(x + ky)^2} = -\dfrac{k}{(x+ky)^2}
Selanjutnya,
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{0 - k(1)}{(x + ky)^2} = -\dfrac{k}{(x+ky)^2}
Ternyata kita dapatkan bahwa agar persamaan itu berlaku, semua nilai k \in \mathbb{R} berlaku. Jadi, jumlah semua nilai k yang mungkin adalah 0 (dengan kata lain, jumlah semua bilangan real yang ada adalah 0). Pilih jawaban B.

[collapse]

Soal Nomor 3 
Tentukan solusi dari (3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y = 0

Penyelesaian

Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk (3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y = 0, kita misalkan bahwa
M = 3x^2 + 4xy dan N = 2x^2 + 2y.
Berarti,
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 4x
dan
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 4x
Karena sama, maka PD ini eksak.
Selanjutnya, ambillah F(x,y) = C_1, yang merupakan fungsi konstan. Berdasarkan bentuk (3x^2 + 4xy)~\text{d}x + (2x^2 + 2y)~\text{d}y, diketahui
\dfrac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + 4xy \bigstar
dan
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + 2y \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, diperoleh
F = x^3 + 2x^2y + \psi(x,y)
Turunkan F ini secara parsial terhadap y, diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 + \psi'(x,y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, dan kita dapatkan bahwa
\psi'(x,y) = 2y \Leftrightarrow \psi(x,y) = y^2 + C_2. Jadi,
F = x^3 + 2x^2y + y^2 + C_2 = C_1
x^3 + 2x^2y + y^2= C
dengan C = C_1 - C_2.
Jadi, penyelesaiannya adalah \boxed{x^3 + 2x^2y + y^2= C}
Catatan: Simbol huruf Yunani \psi adalah psi (dibaca: si). Beberapa referensi menggunakan simbol lain, yaitu \phi (dibaca: phi). Lafalnya mungkin terdengar sama untuk simbol \pi (dibaca: pi, tanpa huruf h). Sedangkan, \partial (dibaca: do) adalah simbol untuk menyatakan diferensiasi secara parsial.

[collapse]

Soal Nomor 4 
Tentukan penyelesaian dari (5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + (x^2 + 2xy)~\text{d}y = 0

Penyelesaian

Diberikan PD (5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + (x^2 + 2xy)~\text{d}y = 0 \bigstar
Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak.
Misalkan
M = 5xy + 4y^2
N = x^2 + 2xy
sehingga hasil turunan parsialnya adalah
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x + 8y
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini tak eksak.
Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk \displaystyle e^{\int P(a)~da}
P(a) dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.
P(a) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)
P(a) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(5x + 8y - (2x + 2y)\right)
P(a) = \dfrac{1}{x^2 + 2xy}\left(3x + 6y)\right)
P(a) = \dfrac{3}{x(x + 2y}\left(x + 2y)\right) = \dfrac{3}{x}
Karena P(a) bergantung terhadap variabel x (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi
\displaystyle e^{\int \frac{3}{x}~\text{d}x} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3
Kalikan faktor integrasi ini ke \bigstar, untuk mendapatkan
x^3(5xy + 4y^2 + 1)~\text{d}x + x^3(x^2 + 2xy)~\text{d}y = x^3.0
(5x^4y + 4x^3y^2 + x^3)~\text{d}x + (x^5 + 2x^4y)~\text{d}y = 0
Misalkan
M = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3
N = x^5 + 2x^4y
Jika kita menurunkan secara parsial M terhadap y, diperoleh
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 5x^4 + 8x^3y
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 5x^4 + 8x^3y
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan F = C_0 (fungsi konstan). Telah diberikan
\dfrac{\partial F}{\partial x} = 5x^4y + 4x^3y^2 + x^3 \bigstar
dan juga
\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y.\bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, diperoleh
F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + \phi(y)
Lanjutkan: turunkan parsial kembali F ini tapi terhadap y, diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial y} = x^5 + 2x^4y + \phi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, sehingga didapat bahwa
\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1
Berarti, solusinya adalah
F = x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 + C_1 = C_0
atau disederhanakan menjadi
\boxed{x^5y + x^4y^2 + \dfrac{1}{4}x^4 = C}

[collapse]

Soal Nomor 5 
Selesaikan PD (2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y - x)~\text{d}y = 0

Penyelesaian

Bentuk PD di atas merujuk pada PD eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk (2x^2 + y)~\text{d}x + (x^2y - x)~\text{d}y = 0, kita misalkan bahwa
M = 2x^2 + y dan N = x^2y - x.
Berarti,
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1
dan
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2xy - 1
Karena berbeda, maka PD ini tak eksak. Tapi, kita dapat menjadikannya eksak.
Dengan menggunakan teorema mengubah PD tak eksak menjadi eksak,
\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial y}\right) = \dfrac{1}{x^2y - x}\left(1 - (2xy - 1)\right)
= \dfrac{2 - 2xy}{x^2y - x} = \dfrac{2(1 - xy)}{x(xy-1)} = -\dfrac{2}{x}
Karena hanya bergantung pada x, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya, yaitu
e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}
Kalikan faktor integrasi ini ke \bigstar, sehingga ditulis
\dfrac{1}{x^2}(2x^2 + y)~\text{d}x + \dfrac{1}{x^2}(x^2y - x)~\text{d}y = 0
\left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + \left(y - \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}y = 0
Cek keeksakannya:

Misal M = 2 + \dfrac{y}{x^2} dan N = y -  \dfrac{1}{x}, sehingga
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{\partial N}{\partial x}
Jadi, PD tersebut eksak.
Misal dipilih M untuk diintegralkan, maka
\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x,y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(2 + \dfrac{y}{x^2}\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 2x - \dfrac{y}{x} +g(y) \end{aligned}
Samakan turunan parsial Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y)
\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y)
\dfrac{\partial}{\partial y}\left(2x - \dfrac{y}{x} +g(y)\right) = y - \dfrac{1}{x}
-\dfrac{1}{x} + g'(y) = y - \dfrac{1}{x}
Jadi, diperoleh g'(y) = y
Integralkan,
\int g'(y)~\text{d}y = \int y~\text{d}y = \dfrac{1}{2}y^2 + C_1
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit Q(x,y) = C_2 adalah
2x - \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C_1 = C_2
\boxed{2x - \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 = C}

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan (9x^2 + y - 1) - (4y - x)y' = 0

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
(9x^2 + y - 1) - (4y - x)y' = 0

(9x^2 + y - 1)\text{d}x - (4y - x)\text{d}y = 0
Misalkan M = 9x^2 + y - 1 dan N = -4y + x, sehingga
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 = \dfrac{\partial N}{\partial x}
Karena sama, maka PD tersebut eksak.
Misalkan dipilih M untuk diintegralkan, maka
\begin{aligned} Q(x, y) & = \int M(x, y)~\text{d}x + g(y) \\ & = \displaystyle \int \left(9x^2 + y - 1\right)~\text{d}x + g(y) \\ & = 3x^3 + xy - x + g(y) \end{aligned}
Samakan turunan parsial Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y)
\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial y} = N(x,y)
\dfrac{\partial}{\partial y}\left(3x^3 + xy - x + g(y)\right) = -4y + x
x + g'(y) = -4y + x
Jadi, diperoleh g'(y) = -4y
Integralkan,
\int g'(y)~\text{d}y = \int -4y~\text{d}y = -2y^2 + C_1
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit Q(x,y) = C_2 adalah
3x^3 + xy - x - 2y^2 + C_1 = C_2

\boxed{3x^3 + xy - x - 2y^2 = C}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Satu Balasan untuk “Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *