Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Persamaan Diferensial Biasa

Berikut ini adalah 4 soal UAS Persamaan Diferensial Biasa (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si . Materi yang diujikan mengenai persamaan diferensial linear homogen dan non-homogen dengan koefisien konstan dan kebebasan linear penyelesaian umumnya.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa e^{2x} dan e^{3x} merupakan penyelesaian bebas linear dari PD
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0
Selanjutnya, cari solusi yang memenuhi y(0) = 2 dan y'(0) = 3

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui y = x merupakan penyelesaian PD
(x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0
Cari solusi bebas linear dengan reduksi orde serta tulis penyelesaian umumnya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah solusi umum dari (x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 6(x^2 + 1)^2 jika diberikan solusi umum PD homogen terkait y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1)

Penyelesaian

Diberikan y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1). Misalkan
y_p(x) = v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)
y_p'(x) = v_1(x) + v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) + v_2(x)(2x)
Misal v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0
sehingga
y_p'(x) = v_1(x) + v_2(x)(2x)
Turunannya adalah
y_p''(x) = v_1'(x) + v_2'(x)(2x) + 2v_2(x)
Substitusikan y_p(x) beserta turunannya ke PD, diperoleh
\begin{multlined} (x^2 + 1)(v_1'(x) + v_2'(x).2x + 2v_2(x)) 2x(v_1(x) \\ + v_2(x).2x) + 2(v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)) = 6(x^2 + 1)^2 \end{multlined}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga menjadi
v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1)
Dari sini, kita peroleh SPL
\begin{cases} v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0 \\ v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1) \end{cases}
Cari nilai v_1'(x) dan v_2'(x) dengan menggunakan Aturan Cramer.
v_1'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} 0 & x^2-1 \\ 6(x^2+1) & 2x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{-6(x^4-1)}{x^2 + 1} = -6(x^2 - 1)
v_2'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & 6(x^2+1) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{6x(x^2+1)}{x^2+1} = 6x
Dengan integral, diperoleh
v_1(x) = -2x^3 + 6x +D_1
v_2(x) = 3x^2 + D_2
Jadi, kita peroleh
y_p(x) = (-2x^3 + 6x +D_1) x + (3x^2 + D_2)(x^2 - 1)
y_p(x)= x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
Penyelesaian umum dari PD tersebut adalah
y(x) = y_c(x) + y_p(x)
y(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1) + x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
\boxed{y(x) = Cx + (3 + D)x^2 + x^4 + E}
(Perhatikan bahwa dalam hal ini, kita mentransformasi/mengubah bentuk konstanta agar lebih sederhana yaitu dengan mengganti hurufnya saja)

[collapse]

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan


Berikut ini disajikan beberapa soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua (non-homogen) dengan koefisien konstan. Metode yang digunakan melibatkan penyelesaian PD homogennya, sehingga Anda diharuskan sudah menguasai teknik penyelesaiannya. Klik link berikut untuk mempelajari soal-soal yang terkait dengannya.
Soal dan Pembahasan – PD Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Gunakan bantuan tabel UC di atas untuk mengerjakan soal-soal berikut ini.

Soal Nomor 1
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 5

Penyelesaian

PD di atas bukan PD homogen sebab ruas kanannya mengandung konstanta tak nol. Gunakan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum PD homogen. Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = (m - 3)(m + 1) = 0. Dengan demikian, akar karakteristiknya adalah m = 3 \lor m = -1. Berarti, penyelesaian umum PD homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Dengan memperhatikan koefisien y pada PD, kita dapatkan bahwa perlu adanya konstanta baru yang bila dikalikan dengan -3, hasilnya adalah 5.  Konstanta itu adalah -\dfrac{5}{3}. Jadi, solusi umum PD tersebut adalah
\boxed{y = y_c - \dfrac{5}{3} = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \dfrac{5}{3}}.

[collapse]

Soal Nomor 2
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{4x}

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan solusi komplementer (umum) untuk PD homogen terkait, yaitu
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 0
Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = 0, dengan akar karakteristik m = 3 dan m = -1. Jadi, solusi umumnya adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Langkah selanjutnya adalah menentukan solusi partikulir (solusi khusus) PD non-homogen tersebut.
Misalkan y_p = Ae^{4x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 4Ae^{4x} dan y'' = 16Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
16Ae^{4x} - 2(4Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow 5Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{2}{5}

Berarti, solusi khususnya adalah y_p = \dfrac{2}{5}e^{4x}
Solusi umum PD itu adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{2}{5}e^{4x}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{3x}

Penyelesaian

Mirip dengan soal nomor 1 (bedanya hanya pada ekspresi di ruas kanannya). Solusi umum PD non-homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Sekarang, kita akan menentukan solusi khusus PD homogennya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.
Misalkan y_p = Ae^{3x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 3Ae^{4x} dan y'' = 9Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
9Ae^{4x} - 2(3Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
0 = 2e^{4x}

Dalam hal ini, kita menemukan bahwa nilai A menjadi sembarang konstanta, sebab pada solusi umum y_c sudah terkandung suku dengan ekspresi e^{3x}.
Ulangi step dengan memisalkan y_p = Axe^{3x} sebagai solusi khususnya, sehingga y_p' = 3Axe^{3x} + Ae^{3x} dan y_p'' = 9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}. Substitusikan ke PD hingga diperoleh
(9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}) - 2(3Axe^{3x} + Ae^{3x}) - 3Axe^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow 4Ae^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}

Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}xe^{3x}
Dengan demikian, solusi umum PD homogen tersebut adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}xe^{3x}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 5
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^{2x}, e^{-3x}\}. Misalkan
y_p = Ae^{2x}+ Be^{-3x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2Ae^{2x} - 3Be^{-3x} dan y_p'' = 4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
\begin{aligned} (4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}) & - 2(2Ae^{2x} - 3Be^{-3x}) \\ & - 8(Ae^{2x}+ Be^{-3x}) = 4e^{2x} - 21e^{-3x} \end{aligned}
\Leftrightarrow (-8A)e^{2x} + 7Be^{-3x} = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -8A = 4 & \\ 7B = -21 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{1}{2} & \\ B = -3 \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x} -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^x, \sin x, \cos x\}. Misalkan
y_p = Ae^x + B \sin x + C \cos x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = Ae^x + B \cos x - C \sin x
y_p'' = Ae^x - B \sin x - C \cos x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x
\begin{aligned} (Ae^x & - B \sin x - C \cos x)  - 2(Ae^x +  B \cos x \\ & - C \sin x)  - 3( Ae^x + B \sin x + C \cos x) \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
\begin{aligned} -4Ae^x + & (-4B + 2C) \sin x + (-2B - 4C) \cos x \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -4A = 2 & \\ -4B + 2C = -10 & \\ -2B - 4C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = \dfrac{1}{2} & \\ B =2 & \\ C = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x}

[collapse]

Soal Nomor 7
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 5 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm 2i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 2x, \cos 2x\}. Misalkan
y_p = A \sin 2x + B \cos 2x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2A \cos 2x - 2B \sin 2x
y_p'' = -4A \sin 2x - 4B \cos 2x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x
\begin{aligned} ( -4A \sin 2x & - 4B \cos 2x)  + 2(2A \cos 2x - \\ & 2B \sin 2x) + 5(A \sin 2x + B \cos 2x) \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
\begin{aligned} (A - 4B)\sin 2x & + (4A + B)\cos 2x \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} A-4B = 6 & \\ 4A+B= 7 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = 2 \sin 2x - \cos 2x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + 2 \sin 2x - \cos 2x}

[collapse]

Soal Nomor 8
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 2 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 4x, \cos 4x\}. Misalkan
y_p = A \sin 4x + B \cos 4x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 4A \cos 4x - 4B \sin 4x
y_p'' = -16A \sin 4x - 16B \cos 4x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x
\begin{aligned}(-16A \sin 4x - & 16B \cos 4x) + 2(4A \cos 4x \\ & - 4B \sin 4x)   + 2(A \sin 4x + B \cos 4x) \\ & = 10 \sin 4x \end{aligned}
\Leftrightarrow (-14A - 8B)\sin 4x + (8A - 14B)\cos 4x = 10 \sin 4x
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -14A-8B = 10 & \\ 8A-14B= 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{7}{13}& \\ B = -\dfrac{4}{13} \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x) -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x}

[collapse]

Soal Nomor 9
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x, 1, e^{2x}\}. Misalkan
y_p = Ax + B + Ce^{2x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = A + 2Ce^{2x} dan y_p'' = 4Ce^{2x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}
\begin{aligned} (4Ce^{2x}) - 3(A + 2Ce^{2x}) & - 4(Ax + B + Ce^{2x}) \\ & = 16x - 12e^{2x} \end{aligned}
(-6C)e^{2x} + (-4A)x + (-3A - 4B) = 16x - 12e^{2x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -6C = -12 & \\ -4A = 16 & \\ -3A - 4B = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -4 & \\ B = 3 & \\ C = 2 \end{cases}
Jadi, y_p = -4x + 3 + 2e^{2x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-x} - 4x + 3 + 2e^{2x}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak


Berikut ini adalah soal-soal tentang persamaan diferensial eksak dan bentuk PD yang bisa dieksakkan. Klik link berikut untuk mempelajari materi lain terkait persamaan diferensial.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen

Soal Nomor 1
Tentukan nilai konstanta A agar persamaan diferensial (x^2 + 3xy)~dx + (Ax^2 + 4y)~dy = 0 eksak. Lanjutkan membaca “Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak”

Ayo Beri Rating Postingan Ini