Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Wajib Kelas XI IPS Semester Ganjil TA 2018/2019 SMA Taruna Bumi Khatulistiwa Kubu Raya

     Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika wajib kelas XI IPS semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 SMA Taruna Bumi Khatulistiwa Kubu Raya yang diujikan tanggal 28 November 2018. Materi yang diujikan adalah: Notasi Sigma, Program Linear, Matriks, Transformasi Geometri serta Barisan dan Deret.
Penulis mengarsipkannya sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! 
Silakan unduh soalnya dalam format PDF di sini.

Today Quote

Ketika kamu jatuh, jangan tetap di bawah. Jatuh bukan berarti kalah, itu hanya berarti kamu harus bangkit dan kembali mencoba.

Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5.030$                         D. $5.060$
B. $5.040$                         E. $5.070$
C. $5.050$ 

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) \\ & = 4 \sum_{i=4}^{51} i -\sum_{i=4}^{51} 5 \\ & = 4 \left(\sum_{i=1}^{51} i- \sum_{i=1}^3 i\right) -\left(\sum_{i=1}^{51} 5 -\sum_{i=1}^3 5\right) \\ & = 4\left(\dfrac{51 \times \cancelto{26}{52}}{\cancel{2}} -\dfrac{3 \times \cancelto{2}{4}}{\cancel{2}}\right) -[5(51) -5(3)] \\ & = 4(51 \times 26 -3 \times 2) -240 \\ & = 4(1.326 -6) -240 \\ & = 5.040 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) = 5.040}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Notasi sigma untuk menyatakan $2 –6 + 10 –14 + 18 -\cdots + 130 –134$ 
adalah $\cdots \cdot$
A. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k2k$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k(2(k+1))$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1} (3k-1)$
D. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-2)^k$
E. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34}(-1)^{k+1}(4k-2)$ 

Penyelesaian

Deret tersebut terbentuk dari barisan aritmetika: $2, 6, 10, 14, 18, \cdots, 134$
Diketahui suku pertamanya $a=2$ dan beda antarsuku $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(4) \\ & = 4n -2 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan itu adalah
$134 = 4n -2 \Leftrightarrow n = \dfrac{134+2}{4} = 34$
Barisan baru: $2, -6, 10, -14, \cdots, -134$
Karena untuk setiap suku genap, nilai suku pada barisan bernilai negatif, maka rumus suku ke-$n$ berubah menjadi
$\text{U}_n = (-1)^{n+1}(4n-2)$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret yang terbentuk adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1}(4k-2)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-5)^2$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-3)^2$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} 2k^2 + 5 \sum_{k=1}^5 (2k+1)$
D. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4k+3)$
E. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + \sum_{k=1}^5 (4k+3)$

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2 & = \sum_{k=5-4}^{9-4} (2(k+4)-5)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (2k + 3)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2 + 12x + 9) \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2) + \sum_{k=1}^5 (12x + 9) \\ & = 4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3) \end{aligned}$
Jadi, Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\boxed{4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} p_i = 10$. Nilai $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = \cdots \cdot$
A. $50$                      C. $70$                   E. $90$
B. $60$                      D. $80$       

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\displaystyle \sum_{i=1}^n c = cn$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) & = \sum_{i=6}^{25} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = \left(\sum_{i=1}^{25} 2 -\sum_{i=1}^{5} 2\right)+ \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = (2(25) -2(5)) + 10 \\ & = 40 + 10 = 50 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = 50}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (2n-5)$
B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)$
C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2^n-3)$
D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{22} (2n-3)$
E. $\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (2^n-5)$ 

Penyelesaian

Tinjau barisan aritmetika:
$-3, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots, 25$ 
Diketahui: $a=-3$ dan $b=2$
Rumus suku ke-$n$ barisan di atas adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n &= a + (n-1)b \\ & = -3 + (n-1)(2) \\ & = 2n -5 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan tersebut dinyatakan oleh
$25= 2n – 5 \Leftrightarrow n = \dfrac{25+5}{2} = 15$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)} $
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+7)$
B. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-7)$
C. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-4)$
D. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+6n+13)$
E. $\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)$ 

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4) & = \sum_{n=1-3}^{10-3} ((n+3)^2-4) \\ & = \sum_{n=-2}^7 (n^2+6n+5) \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi $\boxed{\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

 Soal Nomor 7
Nilai $\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4p^2-23p$                 D. $2p^2-13p$
B. $4p^2-13p$                 E. $2p^2-11p$
C. $2p^2-26p$

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) & = 4 \sum_{k=1}^p k- \sum_{k=1}^p 15 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{p(p+1)} {\cancel{2}} -15p \\ & = 2p(p+1) -15p \\ & = 2p^2 -13p \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) = 2p^2-13p}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan $20$ gram tepung dan $10$ gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan $15$ gram tepung dan $10$ gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung $5$ kg dan mentega $4$ kg. Jika $x$ menyatakan banyaknya roti jenis I dan $y$ menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{B}. 4x+3y \geq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{C}. 4x+3y \leq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \leq 0 \\ & \text{D}. 4x+3y \leq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{E}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \leq 0; y \leq 0 \end{aligned}$$

Penyelesaian

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya roti jenis I dan II, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{R1} & \text{R2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  &  \leq 5.000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4.000 \\ \hline \end{array}$
(Semua satuan harus diubah menjadi gram)

$\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \Leftrightarrow 4x + 3y \leq 1.000 \\  10x + 10y \leq 4.000 \Leftrightarrow x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan grafik berikut!

Nilai minimum dari $Z=2x+5y$ dari daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                      C. $10$                     E. $14$
B. $8$                      D. $11$        

Penyelesaian

Daerah penyelesaian itu memiliki $3$ titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 6x + 3y & = 18 \Rightarrow 2x + y = 6 \\ 4x + 4y & = 16 \Rightarrow x + y = 4 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & 2x + y  = 6 \\ & x + y = 4 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt} – \\ & x  = 2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$ pada persamaan kedua,
$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ 2 + y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(2, 2)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(4, 0), (2, 2)$, dan $(0, 6)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $Z=2x+5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z=2x+5y \\ \hline  \color{green} {(4, 0)} & \color{green}{8} \\ (2, 2) & 14 \\ (0, 6) & 30 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai minimum fungsi objektif $Z=2x+5y$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y)=4x+5y$ yang memenuhi sistem 
pertidaksamaan $x+2y \geq 6;x+y \leq 8;x \geq 0;y\geq 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15$                       C. $34$                     E. $42$
B. $18$                       D. $40$        

Penyelesaian

Gambar garis $x + 2y \geq 6$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 3) & (6,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 3)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 6$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 6$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.



Gambar garis $x + y \leq 8$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 8 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 8) & (8, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 8)$ dan $(8, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + y \leq 8$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq 8$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian dari $x \geq 0$ berarti seluruh daerah di kuadran I dan IV.
Daerah penyelesaian dari $y \geq 2$ dapat dilihat langsung pada gambar di bawah sekaligus dengan semua garis yang ada.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan 4 titik pojok, yaitu titik $A(0, 3), B, C$, dan $D(0, 8)$.
Garis $y = 2$ dan $x + 2y = 6$ berpotongan di titik $B$ dengan koordinat $(2, 2)$.
Garis $y = 2$ dan $x + y = 8$ berpotongan di titik $C$ dengan koordinat $(6, 2)$.
Uji keempat titik pojok pada fungsi objektif $f(x, y) = 4x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 4x + 5y \\ \hline A(0, 3) & 15 \\  B(2, 2) & 18 \\ C(6, 2) & 34 \\ \color{green}{D(0, 8)} & \color{green}{40} \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y) = 4x+5y$ adalah $\boxed{40}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan grafik berikut!

Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $\cdots \cdot$
A. $3y + x \geq -3$
B. $3y + x \leq -3$
C. $3y + x \leq 3$
D. $3x + y \geq -3$
E. $3y – x \leq 3$ 

Penyelesaian

Grafik garis lurus di atas memotong sumbu-$X$ di $(-3, 0)$ dan memotong sumbu-$Y$ di $(0, -1)$. Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk
$\begin{aligned} -1x + (-3)y & = (-1)(-3) \\ -x -3y & = 3 \\ 3y + x & = -3 \end{aligned}$
Uji titik $(0, 0)$ untuk mengecek tanda:
$0 + 3(0) = 0 \geq -3$
Dengan demikian, pertidaksamaan garisnya adalah $\boxed{3y + x \geq -3}$
(Catatan: Bila garisnya putus-putus, gunakan tanda $>$)
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Daerah penyelesaian dari 
$\begin{cases} x + 2y \geq 2 \\ -3x + y \leq -3 \\ y \leq 4 \end{cases}$
ditunjukkan oleh grafik $\cdots \cdot$
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 

Penyelesaian

Gambar garis $x + 2y \geq 2$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 1) & (2,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 1)$ dan $(2, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 2$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 2$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $-3x + y \leq -3$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, -3) & (1,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, -3)$ dan $(1, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $-3x + y \leq -3$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq -3$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $y \leq 4$ seperti berikut.

Gabungkan ketiga gambar di atas dalam satu sistem koordinat.

(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)

 Soal Nomor 13
Perhatikan gambar berikut!

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $5x + 6y \geq 30; -2x + y \leq 0, y \geq 2$ ditunjukkan oleh daerah $\cdots \cdot$
A. I         B. II         C. III          D. IV         E. V

Penyelesaian

Gambar garis $5x + 6y \geq 30$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 5) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 5)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $5x + 6y \geq 30$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 30$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah II dan III.
Selanjutnya, gambar garis $-2x + y \leq 0$ dengan menentukan dua titik yang dilalui garis
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2  \\ \hline y & 2 & 4 \\ \hline (x, y) & (1, 2) & (2, 4) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(1, 2)$ dan $(2, 4)$. Uji titik $(1, 1)$ pada $-2x + y \leq 0$, sehingga diperoleh $-2(1) + 1 = -1 \leq 0$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(1, 1)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah III, IV, dan V.
Terakhir, gambarkan garis $y \geq 2$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah I, II, III, dan V.
Daerah yang terkena ketiga arsiran daerah penyelesaian di atas adalah daerah III.
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit $12$ buah. Mangga yang dibeli paling banyak $6$ buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang Rp20.000,00. Jika ia membeli $x$ mangga dan $y$ apel, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah $\cdots \cdot$
A. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
B. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$
C. $x + 2y \leq 10; x + y \leq 12; x \geq 6$
D. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
E. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$

Penyelesaian

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000  &  \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\  x + y \geq 12 \\  x \leq 6 \end{cases}$$(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 15
Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x \geq 2; y \leq 8, x– y \leq 2$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. segitiga lancip
B. segitiga sama sisi
C. segitiga sembarang
D. segitiga tumpul sama kaki
E. segitiga siku-siku sama kaki

Penyelesaian

Gambarkan grafik pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius seperti gambar.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian. Tampak bahwa daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku sama kaki ($AB = BC = 8$).
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suatu area parkir mempunyai luas $1.760~\text{m}^2$. Luas rata-rata untuk mobil kecil $4~\text{m}^2$ dan mobil besar $20~\text{m}^2$. Daya tampung daerah parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam daerah parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat parkir itu sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp176.000,00          D. Rp300.000,00
B. Rp200.000,00          E. Rp340.000,00
C. Rp260.000,00

Penyelesaian

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil kecil dan mobil besarmaka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mobil Kecil} & \text{Mobil Besar} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas} & 4 & 20  &  \leq 1.760 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 200 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 4x + 20y \leq 1.760 \Leftrightarrow x + 5y \leq 440 \\ x + y \leq 200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Fungsi objektif: $Z = 1.000x + 2.000y$
Gambarkan sistem pertidaksamaan linear di atas ke dalam sistem koordinat.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan tiga titik pojok, yaitu titik $B(200, 0), C(140, 60)$, dan $D(0, 88)$.
Untuk mencari koordinat titik $C$, carilah penyelesaian dari $\begin{cases} x + y = 200 \\ x + 5y = 440 \end{cases}$ karena $C$ merupakan titik potong kedua garis itu.
Uji ketiga titik pojok pada fungsi objektif $Z = 1.000x + 2.000y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z = 1.000x + 2.000y \\ \hline B(200, 0) & 200.000 \\ \color{green}{C(140, 60)} & \color{green}{260.000} \\ D(0, 88) & 176.000  \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, diketahui bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai sebesar Rp260.000,00.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. Invers dari matriks $A$ adalah$\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
B. $\dfrac{-1}{\det(A)}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
C. $\dfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ c & a \end{bmatrix}$
D. $\dfrac{-1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
E. $\dfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Berdasarkan definisi invers matriks berordo $2 \times 2$, invers dari $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}$, dan $C = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$. Nilai dari $2A – B + C = \cdots \cdot$
A. $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 0 & -6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} 6 & -0 \\ -7 & 1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} \\ C & = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan aturan operasi matriks, diperoleh
$\begin{aligned} & 2A –B + C \\ & = 2 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 -3 + (-1) & 6 -(-4) + (-4) \\ -4 -6 + 3 & 2 -5 + 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$. Jika $C = B + A$, invers matriks $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ -\frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} \frac{1}{49} & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac{1}{49} \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -\frac17 & 0 \\ -\frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} \frac{1}{49} & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2\end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Akan dicari matriks $C$ terlebih dahulu. 
$\begin{aligned} C & = A + B \\ & = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Determinan matriks $C$ adalah
$\det(C) = 7(7) -0(-1) = 49$
Invers dari $C = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(C)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$
Dengan demikian, untuk $C = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$, diperoleh
$C^{-1} = \dfrac{1}{49}\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $C$ adalah $\boxed{C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui matriks $X = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}$ dan $Y = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}$. Determinan $(X^T+Y)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-11$                    C. $-7$                    E. $11$
B. $-9$                      D. $9$        

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} X & = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} \\ Y & = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} X^T + Y & = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari determinan dari matriks $X^T + Y = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix}$ dengan menggunakan Aturan Sarrus.

$$\begin{aligned} \det (X^T + Y) & = 6(5)(7) + 3(7)(3) + 2(4)(5) \\ & – 3(5)(2)- 5(7)(6) -7(4)(3) \\ & = 210 + 63 + 40 -30 -210 -84 \\ & = -11 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari matriks $(X^T + Y)$ adalah $\boxed{-11}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} a & 3 \\ -2 & b \end{bmatrix}$, dan $C = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$. Jika $AB = C$, nilai dari $a+b=\cdots \cdot$
A. $-2$        B. $-1$         C. $0$          D. $1$         E. $2$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} a & 3 \\ -2 & b \end{bmatrix} \\ C & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Karena $AB = C$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 3 \\ -2 & b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a-4 & 3+2b \\ 3a-8 & 9+4b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dari kesamaan entri di baris ke-1 kolom ke-1, diperoleh
$a -4 = -2 \Leftrightarrow a = 2$
Dari kesamaan entri di baris ke-2 kolom ke-2, diperoleh
$9 + 4b = -3 \Leftrightarrow b = \dfrac{-3-9}{4} = -3$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a+b=2+(-3)=-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade

Soal Nomor 22
Jika matriks $P = 2\begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} – 3\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$, maka nilai determinan matriks $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-17$                       C. $-4$                        E. $17$
B. $-14$                       D. $14$        

Penyelesaian

Sederhanakan matriks $P$. 
$\begin{aligned} P & = 2\begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} – 3\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 12 & -4 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 15 & 3 \\ -6 & -9 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ 4 & 15 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, determinan dari matriks $P$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} \det(P) & = -3(15)- (-7)(4) \\ & = -45 + 28 = -17 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui matriks $C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$. Jika $E = 2(D+C^T)$, matriks $E$ adalah $\cdots \cdot$ 
A. $\begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 12 & 6 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 12 & 14 \\ 0 & 16 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -12 & 0 \\ 14 & -16 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} C & = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \\ D & = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dari sini, kita peroleh
$C^T = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} E & = 2(D+C^T) \\ & = 2\left(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\right) \\ & = 2\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Jadi, matriks $E$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui matriks $C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$. Invers matriks $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$
B. $-\dfrac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$
C. $\dfrac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$
D. $\dfrac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$
E. $\dfrac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ 

Penyelesaian

Invers dari $C = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(C)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$
Determinan matriks $C$ dinyatakan oleh
$\det(C) = 4(3) – (-2)(1) = 12 + 2 = 14$
Dengan demikian, untuk $C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, diperoleh
$C^{-1} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 25
Determinan matriks $A$ sama dengan determinan matriks $B$. Jika $A = \begin{bmatrix} 3x & 5 \\ 2 & x+1 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2x-3 & -1 \\ 6 & x \end{bmatrix}$, maka nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-8$ atau $x=-2$
B. $x=-8$ atau $x=2$
C. $x=2$ atau $x=4$
D. $x=2$ atau $x=8$
E. $x=4$ atau $x=8$

Penyelesaian

Karena $\det(A) = \det(B)$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3x & 5 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 2x-3 & -1 \\ 6 & x \end{vmatrix} \\ 3x(x+1) – 5(2) & = (2x-3)(x)- (-1)(6) \\ 3x^2+3x-10 & = 2x^2-3x+6 \\ x^2 + 6x -16 & = 0 \\ (x +8)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Kita dapatkan $x=-8$ atau $x=2$. 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ dan $Q = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix}$. Jika $XP = Q$, matriks $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} 0 & -8 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui:
$$\begin{aligned} P & = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \\ Q & = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Karena $XP = Q$, maka $X = QP^{-1}$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} X & = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(-1)(2) -1(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \\ & = \dfrac{1}{-6} \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \\ & = -\dfrac16 \begin{bmatrix} -8+8 & 4+2 \\ 8 -56 & -4-14 \end{bmatrix} \\ & = -\dfrac16\begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -48 & -18 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix}}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 27
Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T = \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(13,-20)$
B. $(13,-4)$
C. $(4,20)$
D. $(-5,-4)$
E. $(-5,-20)$

Penyelesaian

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
Diketahui: $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}$, sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\ -20 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 28
Garis $y=2x-3$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Persamaan bayangan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x+4$                   D. $y=-2x+4$
B. $y=2x-4$                    E. $y=-2x-3$
C. $y=2x-3$

Penyelesaian

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 29
Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^{\circ}$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai $a+2b = \cdots \cdot$
A. $-18$                      C. $8$                     E. $22$
B. $-8$                        D. $18$        

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta = -90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) & -\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $y = -10$ dan $x = 2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2, -10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$, sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Bayangan titik $A$ dengan $A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A'(4,1)$                 D. $A'(4,3)$
B. $A'(-4,1)$              E. $A'(-4,-1)$
C. $A'(4,-1)$

Penyelesaian

Apabila titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y = -x$, maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y, -x)$. 
Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 31
Bayangan titik $P(5,4)$ jika didilatasikan terhadap pusat $(-2,-3)$ dengan faktor skala $-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-30,-31)$                D. $(-14,-1)$
B. $(-30,7)$                      E. $(-14,-7)$
C. $(-26,-1)$

Penyelesaian

Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k = -4$. 
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’)$, maka
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & = -4(5-(-2)) + (-2) \\ & = -4(7)-2 = -30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & = -4(4-(-3)) -3 \\ & = -4(7)-3= -31 \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 32
Segitiga ABC dengan titik $A(-2,3), B(2,3)$, dan $C(0,-4)$ didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $4$. Luas segitiga setelah didilatasi adalah $\cdots \cdot$ 
A. $120$                      C. $280$                    E. $600$
B. $240$                      D. $480$
               

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala 4 adalah
$A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12)$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala 4 adalah
$B'(4(2), 4(3)) = (8, 12)$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala 4 adalah
$C'(4(0), 4(-4)) = (0, -16)$ 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.

Segitiga tersebut memiliki luas
$L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 30}{2} = 240$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 33
Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B’(-4,3)$             D. $B’(1,4)$
B. $B’(-2,1)$             E. $B’(2,5)$
C. $B’(-1,2)$

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(a, b) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ -2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34
Bayangan titik $P(2,-3)$ oleh rotasi $R[O,90^{\circ}]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P’(3,2)$                  D. $P’(-3,2)$
B. $P’(2,3)$                  E. $P’(-3,-2)$
C. $P’(-2,3)$

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 35
Diketahui koordinat titik $P(-8,12)$. Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\cdots \cdot$
A. $(-4,8)$               D. $(4,-16)$
B. $(-4,16)$             E. $(4,-8)$
C. $(-4,-8)$

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $(-4, 8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala 1 adalah
$\begin{aligned} & (1(-4-(-8))+(-8), 1(8-12)+12) \\ & = (-4 + 8 + (-8), -4 + 12) = (-4, 8) \end{aligned}$ 
Jadi, dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 36
Rumus umum suku ke-$n$ dari barisan bilangan $-8,0,8,16,\cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n=2n$
B. $\text{U}_n=2n+2$
C. $\text{U}_n=4n-6$
D. $\text{U}_n=8n+16$
E. $\text{U}_n=8n-16$

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = -8$ dan $b = 8$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -8 + (n -1) \times) 8 \\ & = -8 + 8n -8 \\ & = 8n-16 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 37
Diketahui barisan aritmetika dengan $U_5=17$ dan $U_{10}=32$. Suku ke-$20$ adalah $\cdots \cdot$
A. $57$                     C. $67$                    E. $77$
B. $62$                     D. $72$        

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_{10}- \text{U}_5}{10 – 5} = \dfrac{32-17}{5} = 3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 17 \\ a + 4(3) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$20$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{20} = a + 19b = 5 + 19(3) = 62}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 38
Diketahui barisan bilangan $4,9,14,19,\cdots,104$. Banyak suku dalam barisan bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                           C. $22$                         E. $24$
B. $21$                           D. $23$       

Penyelesaian

Barisan di atas merupakan barisan aritmetika dengan $a=4$ dan $b=5$, serta $\text{U}_n = 104$. Dengan menggunakan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ 104 & = 4+(n-1)(5) \\ n & = \dfrac{104-4}{5}+1 = 21 \end{aligned}$
Jadi, banyak suku dalam barisan bilangan tersebut adalah $\boxed{21}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

 Soal Nomor 39
Diketahui barisan bilangan $4,9,14,19,\cdots,104$. Jumlah bilangan dalam barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.134$                          D. $1.234$
B. $1.144$                          E. $1.254$
C. $1.154$

Penyelesaian

Barisan di atas merupakan barisan aritmetika dengan $a=4, n = 21$, serta $\text{U}_n = 104$ (lihat penyelesaian soal nomor 38). 
Dengan menggunakan rumus $\text{S}_n$ barisan aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{21} & = \dfrac{21} {2}(4+104) \\ & = \dfrac{21}{\cancel{2}}(\cancelto{54}{108}) \\ & = 21 \times 54 = 1.134 \end{aligned}$
Jadi, jumlah bilangan dalam barisan tersebut adalah $\boxed{1.134}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 40
Diketahui barisan aritmetika dengan $U_n$ adalah suku ke-$n$. Jika $U_2+ U_{15}+U_{40}=165$, maka suku ke-$19$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                             D. $55$
B. $19$                             E. $82,5$
C. $28,5$

Penyelesaian

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a+(n-1)b$. Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} U_2+ U_{15}+U_{40} & = 165 \\ (a+b) + (a+14b) + (a+39b) & = 165 \\ 3a + 54b & = 165 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&3 \\ a + 18b & = 55 \\ \text{U}_{19} & = 55 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$19$ adalah $\boxed{55}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 41
Diketahui barisan bilangan $\dfrac14+\dfrac12+1+2+4+\cdots+64$. Rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{n-3}$                        D. $2n-3$
B. $4^{n-3}$                        E. $8n-3$
C. $8^{n-3}$

Penyelesaian

Barisan di atas merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a = \dfrac14$ dan rasio $r = 2$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ & = \dfrac14(2)^{n-1} \\ & = 2^{-2}(2)^{n-1} \\ & = 2^{-2+(n-1)} = 2^{n-3} \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U} _n = 2^{n-3}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 42 
Diketahui deret geometri dengan suku keempat $24$ dan rasio $2$. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $381$                               D. $2.187$
B. $765$                               E. $6.561$
C. $1.530$

Penyelesaian

Diketahui: $\text{U}_4 = 24; r = 2$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_4 & = ar^3 \\ 24 & = a(2)^3 = 8a \Leftrightarrow a = 3 \end{aligned}$
Jumlah delapan suku pertama deret geometri itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_8 &= \dfrac{3(2^8-1)} {2-1} \\ & = 3(255) = \boxed{765} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 43 
Tumpukan beberapa lembar kertas dipotong menjadi $2$ bagian yang sama. Kemudian kertas tersebut ditumpuk dan dipotong lagi menjadi $2$ bagian, begitu seterusnya. Pada potongan yang ketiga jumlah kertas menjadi $160$ lembar. Banyak potongan kertas pada potongan yang ketujuh adalah $\cdots \cdot$
A. $320$ lembar                     D. $2.560$ lembar
B. $640$ lembar                     E. $5.120$ lembar
C. $1.280$ lembar

Penyelesaian

Kasus di atas merupakan kasus barisan geometri. Misalkan banyak lembar kertas sebelum dipotong (mula-mula) dianggap sebagai suku pertama barisan. Banyak lembar kertas pada potongan pertama selanjutnya dianggap sebagai $\text{U}_2$ hingga seterusnya. 
Diketahui: $\text{U}_4 = 160; r = 2$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_4 & = ar^3 \\ 160 & = a(2)^3 \Leftrightarrow a = \dfrac{160}{8} = 20 \end{aligned}$
Banyak potongan kertas pada potongan yang ketujuh dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_8 & = 20(2)^7 = 20(128) = 2.560~\text{lembar}\end{aligned} $
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

 Soal Nomor 44 
Jumlah $6$ suku pertama suatu deret geometri adalah $189$. Jika rasio deret tersebut $\dfrac12$, jumlah suku pertama dan suku ke-$3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $106$                          D. $112$
B. $108$                          E. $120$
C. $110$

Penyelesaian

Diketahui: $\text{S}_6 = 189; r = \dfrac12$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(1-r^n)} {1-r} \\ \text{S}_6 & = \dfrac{a(1-r^6)} {1-r} \\ 189 & = \dfrac{a\left(1-\left(\dfrac12\right)^6\right)} {1 -\dfrac12} \\ 189 & = \dfrac{a \left(1 -\dfrac{1}{64}\right)} {\dfrac12} \\ a & = \cancelto{3}{189} \times \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{32}{64}}{\cancel{63}} \\ a & = 3 \times 32 = 96 \end{aligned}$
Dengan demikian, suku ketiganya adalah
$\text{U}_3 = ar^2 = 96 \times \left(\dfrac12\right)^2 = 24$
Jadi, jumlah dari suku pertama dan suku ke-$3$ deret itu adalah $\boxed{\text{U}_1+\text{U}_3=96+24=120}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 45 
Suku ke-$8$ dari barisan geometri $125,25,5,1,\cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{526}$                        D. $\dfrac{1}{625}$
B. $\dfrac{1}{565}$                        E. $\dfrac{1}{652}$
C. $\dfrac{1}{562}$

Penyelesaian

Barisan di atas merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a=125$ dan rasio $r = \dfrac15$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_8 & = 125\left(\dfrac15\right)^7 \\ & = \dfrac{5^3}{5^7} = \dfrac{1}{5^4} = \dfrac{1}{625} \end{aligned}$
Jadi, suku kedelapan barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{1}{625}}$
(Jawaban D)

[collapse]

CategoriesUlangan Umum, Barisan dan Deret, Program LinearTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *