Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral

     Hampir semua benda tiga dimensi yang kita sentuh dan lihat merupakan hasil perputaran suatu permukaan mengelilingi suatu patokan (garis). Sebagai contoh, tabung merupakan hasil perputaran persegi panjang mengelilingi sumbu tegak sejauh $360^{\circ}$. Selama kita dapat menyatakan sisi-sisi persegi panjang itu sebagai suatu fungsi, maka kita memiliki harapan besar untuk menentukan volume tabung tersebut, meskipun kita sebelumnya dapat dengan mudah menggunakan rumus volume tabung secara langsung.

      Pada kenyataannya, tidak semua benda memiliki bentuk beraturan. Bahkan, botol minum yang biasa kita pergunakan tidak selalu berbentuk tabung (karena badan botolnya melengkung). Ini adalah fakta yang perlu diperhatikan mengingat implementasi volume tabung secara kontekstual sangat terbatas. Kalkulus menawarkan solusi jitu yang dapat menghitung volume benda putar (baik beraturan maupun tidak) dengan menganalisis bentuk kurva dan rumus fungsi yang mewakilinya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

      Di sesi ini, akan dipaparkan sejumlah soal beserta pembahasan mengenai volume benda putar menggunakan integral. Semoga dapat dijadikan referensi belajar dan bahan evaluasi.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Today Quote

It’s better to fail trying to fly than to sit in the nest and die.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x-y^2+1=0$, $-1 \leq x \leq 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\dfrac12 \pi$
B. $9\dfrac12 \pi$
C. $11\dfrac12 \pi$
D. $12\dfrac12 \pi$
E. $13\dfrac12 \pi$

Pembahasan

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya, bentuknya adalah parabola yang terbuka ke kanan seperti berikut.



Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1, 4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh $360^{\circ}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_{-1}^4 y^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^4 (x+1)~\text{d}x \\ & = \pi\left[\dfrac12x^2+x\right]_{-1}^4 \\ & = \pi\left[\left(\dfrac12(4)^2+4\right)-\left(\dfrac12(-1)^2+(-1)\right)\right] \\ & = \pi\left[(8+4)-\left(\dfrac12-1\right)\right] \\ & = \pi\left(12+\dfrac12\right) = 12\dfrac12 \pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{12\dfrac12\pi}$ satuan volume.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Soal Nomor 2
Jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh $360^{\circ}$, maka volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.
Volume Benda Putar dari Daerah Terarsir

A. $10\dfrac23\pi$                           D. $12\dfrac{11}{15}\pi$
B. $12\dfrac{2}{15}\pi$                  E. $14\dfrac23\pi$
C. $12\dfrac{4}{15}\pi$

Soal Nomor 3
Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar $360^{\circ}$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\dfrac23\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\dfrac13\pi$
C. $3\dfrac23\pi$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Soal Nomor 4
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2+1$ dan $y = x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\dfrac{117}{5}\pi$                  D. $\dfrac{7}{5}\pi$
B. $\dfrac{107}{5}\pi$                  E. $\dfrac{4}{5}\pi$
C. $\dfrac{105}{5}\pi$

Soal Nomor 5
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva $x = 2\sqrt3y^2$, sumbu-$Y$, dan di dalam lingkaran $x^2+y^2=1$, diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\dfrac{8}{60}\pi$                     D. $\dfrac{44}{60}\pi$
B. $\dfrac{17}{60}\pi$                   E. $\dfrac{46}{60}\pi$
C. $\dfrac{34}{60}\pi$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Lipat Dua

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Sebuah segitiga siku-siku dibentuk dengan menggunakan ruas garis $3x + 2y = 6$ dan sumbu koordinat seperti gambar berikut.
Daerah berupa segitiga siku-siku


Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-$Y$.

Pembahasan

Bila segitiga siku-siku itu diputar mengelilingi sumbu-$Y$, maka akan terbentuk sebuah kerucut dengan jari-jari alas $2$ dan tingginya $3$.
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \pi \cdot (2)^2 \cdot \cancel{3} = 4\pi \end{aligned}$
Sekarang, kita akan mencoba menggunakan integral untuk menentukan volume kerucut tersebut.
Dari $3x + 2y = 6$, dapat kita nyatakan dalam $x = \dfrac{6-2y}{3}$.
Daerah yang diarsir ditinjau dari sumbu-$Y$ berada pada selang $[0, 3]$ (batas integral).
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^3 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \left(\dfrac{6-2y}{3}\right)^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \dfrac49 \cdot (3-y)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9} \pi \int_0^3 (9-6y+y^2)~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \left[9y-3y^2+\dfrac13y^3\right]_0^3 \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \cdot \left(9(3)-3(3)^2 + \dfrac13(3)^3\right) \\ & = \dfrac{4}{\cancel{9}}\pi \cdot \cancel{9} = 4\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk (kerucut) adalah $\boxed{4\pi}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan dibentuk dan diposisikan pada bidang Kartesius seperti gambar.
Persegi dengan panjang sisi 2

Bila persegi itu diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh $180^{\circ}$, tentukan volume benda putar yang terbentuk.

Pembahasan

Bila diputar terhadap sumbu-Y sejauh $180^{\circ}$, persegi itu akan membentuk sebuah setengah tabung dengan panjang jari-jari alas $2$ dan tingginya juga $2$.
Volume setengah tabung itu adalah $V = \dfrac12 \pi r^2t = \dfrac12\pi(2)^2(2) = 4\pi$.
Sekarang, kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah tabung) tersebut.
Daerah arsir (persegi) dibatasi oleh kedua sumbu koordinat, garis datar $y = 2$, dan garis tegak $x = 2$.
Dengan orientasi pada sumbu-$Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah garis $x = 2$ pada selang $[0, 2]$ (dilihat dari $Y$).
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \dfrac12\pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \int_0^2 (2)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \left[4y\right]_0^2 \\ & = \dfrac12\pi \cdot 4(2) \\ & = 4\pi \end{aligned}$
Catatan: Bilangan $\dfrac12$ muncul karena putarannya hanya sebesar $180^{\circ}$, yaitu setengah dari sudut putaran penuh.
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{4\pi}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Daerah seperempat lingkaran berjari-jari $2$ dengan pusat di $(0, 0)$ di kuadran I diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh $360^{\circ}$.
Seperempat lingkaran berjari-jari 2
Tentukan volume benda putar yang terbentuk.

Pembahasan

Bila diputar terhadap sumbu-Y sejauh $360^{\circ}$, seperempat lingkaran itu akan membentuk sebuah setengah bola dengan panjang jari-jari $2$.
Volume setengah bola itu adalah $V = \dfrac23 \pi r^3= \dfrac23\pi(2)^3 = \dfrac{16}{3}\pi$.
Sekarang, kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah bola) tersebut.
Persamaan lingkaran berjari-jari $2$ dan berpusat di $(0,0)$ adalah $x^2+y^2 = 4$ atau dapat ditulis menjadi $x = \pm \sqrt{4-y^2}$. Karena posisi seperempat lingkaran terletak di kuadran I (nilai $x$ positif), maka kita ambil tanda $+$ saja, yaitu $x = \sqrt{4-y^2}$.
Dengan orientasi pada sumbu-$Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah lengkungan $x = \sqrt{4-y^2}$ pada selang $[0, 2]$ (dilihat dari $Y$).
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (\sqrt{4-y^2})^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (4-y^2)~\text{d}y \\ & = \pi \left[4y-\dfrac13y^3\right]_0^2 \\ & = \pi \cdot \left(4(2)-\dfrac13(2)^3\right) \\ & = \pi\left(8-\dfrac83\right) = \dfrac{16}{3}\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{\dfrac{16}{3}\pi}$

[collapse]

CategoriesKalkulus IntegralTags, ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *