Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai fungsi kompleks (dasar) serta limit dan turunan fungsi kompleks. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 1

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2

Today Quote

Semakin banyak kebaikan-kebaikan yang kita ceritakan (bicarakan), membuat hidup semakin baik. Sebaliknya, semakin banyak kejelekan yang kita bicarakan, kita akan semakin terpuruk. 

Soal Nomor 1
Tentukan nilai fungsi $f(z)$ berikut jika $z = 1 + i$.
a. $f(z) = \dfrac{1}{z}$
b. $f(z) = iz$
c, $f(z) = z^2 + 1$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \\ f(1 + i)  & = \dfrac{1}{1 + i} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i} \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} f(z) & = iz \\ f(1 + i) & = i(1 + i) = \boxed{-1 + i} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} f(z) & = z^2 + 1 \\ f(1 + i)  & = (1 + i)^2 + 1 = \boxed{1 + 2i} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan fungsi kompleks $f(z) = 2x^2 + iy$ dalam bentuk $z$.

Pembahasan

Misalkan $z = x + iy$ dan $\overline{z} = x- iy$, berarti
$x = \dfrac{z + \overline{z}} {2}$
$y = \dfrac{z -\overline{z}} {2i} $
Jadi,
$$\begin{aligned} f(z) & = 2x^2 + iy \\ & = 2\left( \dfrac{z + \overline{z}} {2}\right) ^2 + i\left(\dfrac{z -\overline{z}}{2i} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{2}(z^2+ \overline{z}^2 + z- \overline{z}) + z\overline{z}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $f(z) = x + iy + \dfrac{x – iy} {x^2+y^2}$. Tentukan:

  1. $f(z)$ dalam $z$;
  2. bagian real dan imajiner dalam $f(z)$;
  3. $f(1 +2i)$.

Pembahasan

(Jawaban a)
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & x = \dfrac{z + \overline{z}} {2} \\ & y = \dfrac{z -\overline{z}} {2i} \end{aligned}}$
Berarti,
$$\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x – iy} {x^2+y^2} \\& = \dfrac{z + \overline{z}} {2} + i\left(\dfrac{z -\overline{z}} {2i}\right) + \dfrac{\dfrac{z + \overline{z}}{2} + \dfrac{z – \overline{z}}{2i}}{z\overline{z}} \\ & = z + \dfrac{1}{z} \end{aligned}$$Jawaban b)
Dalam hal ini, $u$ dan $v$ masing-masing mewakili bagian real dan bagian imajiner dalam fungsi $f$.
$$\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x – iy} {x^2+y^2} \\ & = \left(x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\right) + \left(y -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\right)i \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ dan $v = y – \dfrac{y}{x^2 + y^2}$.
Jawaban c)
Diketahui bahwa $f(z) = z + \dfrac{1}{z}$ sehingga
$f(1 + 2i) = (1 + 2i) + \dfrac{1}{1 + 2i} = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i.$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $z = 1 + 2i$, tentukan:
a. $f(z) = \dfrac{x -iy} {1 + z} $;
b. $f(z) = \dfrac{1}{|z|} $.

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} f(1 + 2i) & = \dfrac{x- iy}{2 + 2i} \times \dfrac{2-2i} {2-2i} \\ & = \dfrac{2x- 2ix -2iy + 2i^2y} {8} \\ & = \boxed{\dfrac{(x – y) +(-x-y) i} {4}} \end{aligned} $
Jawaban b)
$f(1+2i) = \dfrac{1}{|1+2i|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \boxed{\dfrac{1}{5}\sqrt{5}} $

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $w = f(z) = z(2-z)$. Tentukan nilai $w$ yang dinyatakan oleh:
a. $z = 1 + i$;
b. $z = 2-2i$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(z) = z(2-z)$ berarti $f(1+i) = (1+i)(1-i) = 2.$
Jawaban b)
Dengan prinsip yang sama, $f(2-2i) = (2-2i)(2i) = 4 + 4i.$

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $w = f(z) = \dfrac{1+z} {1-z} $, tentukan:
a. $f(i)$;
b. $f(1-i)$.

Pembahasan

Jawaban a)
$f(i) = \dfrac{1+i} {1-i} \times \dfrac{1+i} {1+i} = i.$
Jawaban b)
$f(1-i) = \dfrac{2-i} {i} = \dfrac{2i +1}{-1} =-1-2i.$

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(z)=\dfrac{2z+1}{3z-2}, z \neq \dfrac{2}{3}$, tentukanlah $f(f(z))$.

Pembahasan

$\begin{aligned} f(f(z)) & = f\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) \\ & = \dfrac{2\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) +1} {3\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) -2} \\ & = \dfrac{4z + 2 + 3z -2}{6z + 3- 6z + 4} \\ & = z \end{aligned}$Jadi, nilai $\boxed{f(f(z)) = z}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai $z$ sehingga $f(z) = \dfrac{z+2}{2z-1}=i$.

Pembahasan

Gunakan metode yang sudah kita ketahui sebelumnya, yaitu dengan mengelompokkan variabel $z$.
$$\begin{aligned} \dfrac{z+2}{2z-1} & =i \\ z + 2 & = 2iz – i \\ z(1-2i) & = -i-2 \\  z & = \dfrac{-i-2}{1-2i} \color{red}{\times \dfrac{1+2i}{1+2i}} \\ z & = \dfrac{-i-2i^2-2-4i}{1-4i^2} \\ z & = \dfrac{-5i}{5} = -i \end{aligned}$$Jadi, nilai $z$ adalah $\boxed{z = i}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Pisahkan setiap fungsi kompleks berikut dalam bagian real dan khayalnya.
a) $f(z) = 2z^2 -3iz$.
b) $f(z) = \dfrac{z+1}{2}$.

Pembahasan

Ingat bahwa:
$\boxed{z = x + iy}$
(Jawaban a)
$\begin{aligned} f(z) & = 2z^2 – 3iz \\ & = 2(x + iy)^2 -3i(x + iy) \\ & = 2x^2 + 4ixy -2y^2 -3ix + 3y \\ & = (2x^2 -2y^2 + 3y) +(4xy -3x)i \end{aligned} $
Diperoleh bagian real (nyata) dalam $f(z)$ adalah $2x^2 -2y^2 + 3y$, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam $f(z)$ adalah $4xy -3x$.
(Jawaban b)
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+1}{2} \\ & = \dfrac{x + iy + 1}{2} \\ & = \dfrac{x +1}{2} + \dfrac{y} {2}i \end{aligned} $
Diperoleh bagian real (nyata) dalam $f(z)$ adalah $\dfrac{x+1}{2}$, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam $f(z)$ adalah $\dfrac{y}{2}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Soal Nomor 10
Diketahui $f: \mathbb{D} \mapsto \mathbb{C}$ dengan aturan $f(z) =\dfrac{1}{z}$. Tentukan range dari himpunan $A = \{z : |z| \leq 4\}$.

Pembahasan

Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + iy} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2}-\dfrac{y} {x^2+y^2}i \end{aligned} $
Jika fungsinya diubah dalam koordinat polar, dengan
$$\begin{aligned} & r^2 = x^2 + y^2 \\ & x = r \cos \theta \\ & y = r \sin \theta \end{aligned}$$diperoleh $f(z) = \dfrac{1}{r}\left(\cos \theta -i~sin \theta\right).$ 
Jika kita ubah dalam transformasi $\mathbb{R}^2$ ke $\mathbb{R}^2$, maka
$$f(r, \theta) = \left(\dfrac{1}{r} \cos \theta, -\dfrac{1}{r} \sin \theta\right)$$Batas daerah $A$ merupakan lingkaran dengan jari-jari 4, jadi ditulis
$$f(4, \theta) = \left(\dfrac{1}{4} \cos \theta, -\dfrac{1}{4} \sin \theta\right)$$Kita peroleh bahwa range $A$ adalah lingkaran dengan jari-jari $\dfrac{1}{4}$. Semakin kecil jari-jari lingkaran pada domain, semakin besar jari-jari lingkaran pada rangenya (berbanding terbalik).

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $u(x, y) = x^2 -y^2 + x$ dan $v(x, y) = 2xy -y$ serta $w = u(x, y) + iv(x, y)$. Bentuk fungsi $w$ dalam variabel kompleks $z$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & z = x + iy \\ & \overline{z} = x – iy \\ & z^2 = x^2 -y^2 + 2ixy \end{aligned}}$
Berarti,
$\begin{aligned} w & = u(x, y) + iv(x, y) \\ & = (x^2 – y^2 + x) + i(2xy – y) \\ & = (x^2 -y^2 + 2ixy) + (x- iy) \\ & = \boxed{z^2 + \overline{z}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Limit dari fungsi kompleks (untuk $z$ menuju $i$) dari $f(z) = \dfrac{z(z^2 + (2 -i)z -2i)} {z -i}$ dengan $z \neq i$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Substitusikan $z = i$ sehingga bentuk limit $f(z)$ menjadi $\dfrac{0}{0}$, berarti berlaku Dalil L’Hospital (turunan).
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} f'(z) \\ & = \lim_{z \to i} \dfrac{3z^2 + 2(2-i)z -2i}{1} \\ & = 3(i)^2 + 2(2-i) i – 2i \\ & = -1 + 2i \end{aligned}$
Jadi, limit dari fungsi tersebut (untuk $z$ mendekati $i$) adalah $\boxed{-1 + 2i}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks

Soal Nomor 13 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial $p(z)$ dan $q(z)$ sehingga berlaku $p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$ untuk setiap $z \in \mathbb{C}$. Hitunglah $p(1) + q(1)$.

Pembahasan

Diketahui $p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$. Misalkan $z = n\pi, n \in \mathbb{Z}$, berarti diperoleh
$$p(n\pi) \cos^2 (n\pi) + q(n \pi) \sin^2 (n \pi) = 2$$Perhatikan bahwa $\cos^2 (n\pi) = 1$ dan $\sin^2 (n \pi) = 0$, maka selanjutnya didapat
$\begin{aligned} p(n\pi) (1) + q(n \pi) (0) & = 2 \\ p(n \pi) & = 2 \end{aligned}$
Karena ada tak hingga banyaknya $n$ yang memenuhi persamaan di atas, maka dengan kata lain ada tak hingga $z$ yang memenuhi $p(z) = 2$.
Setiap polinomial tak konstan $f(z)$ memenuhi $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = \pm \infty$, sehingga $z$ haruslah berhingga banyaknya dan ini berarti $p(z)$ pasti konstan. Jadi, didapat $p(1) = 2$.
Dengan prinsip yang sama, misalkan $z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$, jika disubstitusikan ke persamaan awal, maka didapat $q\left(\dfrac{\pi} {2} + n\pi\right) = 2$. Karena $q(z)$ konstan, maka haruslah $q(1) = 2$.
Jadi, $\boxed{p(1) + q(1) = 2 + 2 = 4}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *