Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Jawaban a)
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \\ f(1 + i)  & = \dfrac{1}{1 + i} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i} \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} f(z) & = iz \\ f(1 + i) & = i(1 + i) = \boxed{-1 + i} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} f(z) & = z^2 + 1 \\ f(1 + i)  & = (1 + i)^2 + 1 = \boxed{1 + 2i} \end{aligned}$

Misalkan $z = x + iy$ dan $\overline{z} = x- iy$ sehingga
$x = \dfrac{z + \overline{z}} {2}$
$y = \dfrac{z -\overline{z}} {2i}.$
Jadi,
$$\begin{aligned} f(z) & = 2x^2 + iy \\ & = 2\left( \dfrac{z + \overline{z}} {2}\right) ^2 + i\left(\dfrac{z -\overline{z}}{2i} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{2}(z^2+ \overline{z}^2 + z- \overline{z}) + z\overline{z}} \end{aligned}$$

(Jawaban a)
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & x = \dfrac{z + \overline{z}} {2} \\ & y = \dfrac{z -\overline{z}} {2i} \end{aligned}}$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x – iy} {x^2+y^2} \\& = \dfrac{z + \overline{z}} {2} + i\left(\dfrac{z -\overline{z}} {2i}\right) + \dfrac{\dfrac{z + \overline{z}}{2} + \dfrac{z – \overline{z}}{2i}}{z\overline{z}} \\ & = z + \dfrac{1}{z}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Dalam hal ini, $u$ dan $v$ masing-masing mewakili bagian real dan bagian imajiner dalam fungsi $f$.
$$\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x – iy} {x^2+y^2} \\ & = \left(x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\right) + \left(y -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\right)i \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $u = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ dan $v = y – \dfrac{y}{x^2 + y^2}$.
Jawaban c)
Diketahui bahwa $f(z) = z + \dfrac{1}{z}$ sehingga
$\begin{aligned} f(1 + 2i) & = (1 + 2i) + \dfrac{1}{1 + 2i} \\ & = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i. \end{aligned}$

Jawaban a)
$\begin{aligned} f(1 + 2i) & = \dfrac{x- iy}{2 + 2i} \times \dfrac{2-2i} {2-2i} \\ & = \dfrac{2x- 2ix -2iy + 2i^2y} {8} \\ & = \boxed{\dfrac{(x – y) +(-x-y) i} {4}} \end{aligned} $
Jawaban b)
$f(1+2i) = \dfrac{1}{|1+2i|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \boxed{\dfrac{1}{5}\sqrt{5}} $

Jawaban a)
Diketahui $f(z) = z(2-z)$ berarti $f(1+i) = (1+i)(1-i) = 2.$
Jawaban b)
Dengan prinsip yang sama, $f(2-2i) = (2-2i)(2i) = 4 + 4i.$

Jawaban a)
$f(i) = \dfrac{1+i} {1-i} \times \dfrac{1+i} {1+i} = i.$
Jawaban b)
$\begin{aligned} f(1-i) & = \dfrac{2-i} {i} \\ & = \dfrac{2i +1}{-1} \\ & =-1-2i. \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(f(z)) & = f\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) \\ & = \dfrac{2\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) +1} {3\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) -2} \\ & = \dfrac{4z + 2 + 3z -2}{6z + 3- 6z + 4} \\ & = z \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{f(f(z)) = z}$

Gunakan metode yang sudah kita ketahui sebelumnya, yaitu dengan mengelompokkan variabel $z$.
$$\begin{aligned} \dfrac{z+2}{2z-1} & =i \\ z + 2 & = 2iz – i \\ z(1-2i) & = -i-2 \\  z & = \dfrac{-i-2}{1-2i} \color{red}{\times \dfrac{1+2i}{1+2i}} \\ z & = \dfrac{-i-2i^2-2-4i}{1-4i^2} \\ z & = \dfrac{-5i}{5} = -i \end{aligned}$$Jadi, nilai $z$ adalah $\boxed{z = -i}$

Ingat bahwa:
$\boxed{z = x + iy}$
Jawaban a)
$$\begin{aligned} f(z) & = 2z^2 – 3iz \\ & = 2(x + iy)^2 -3i(x + iy) \\ & = 2x^2 + 4ixy -2y^2 -3ix + 3y \\ & = (2x^2 -2y^2 + 3y) +(4xy -3x)i \end{aligned}$$Diperoleh bagian real (nyata) dalam $f(z)$ adalah $2x^2 -2y^2 + 3y$, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam $f(z)$ adalah $4xy -3x$.
Jawaban b)
$$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+1}{2} \\ & = \dfrac{x + iy + 1}{2} \\ & = \dfrac{x +1}{2} + \dfrac{y} {2}i \end{aligned} $$Diperoleh bagian real (nyata) dalam $f(z)$ adalah $\dfrac{x+1}{2}$, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam $f(z)$ adalah $\dfrac{y}{2}$.

Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + iy} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2}-\dfrac{y} {x^2+y^2}i. \end{aligned} $
Jika fungsinya diubah dalam koordinat polar dengan
$$\begin{aligned} & r^2 = x^2 + y^2 \\ & x = r \cos \theta \\ & y = r \sin \theta, \end{aligned}$$diperoleh $f(z) = \dfrac{1}{r}\left(\cos \theta -i~sin \theta\right).$ 
Jika kita ubah dalam transformasi $\mathbb{R}^2$ ke $\mathbb{R}^2$, maka
$$f(r, \theta) = \left(\dfrac{1}{r} \cos \theta, -\dfrac{1}{r} \sin \theta\right).$$Batas daerah $A$ merupakan lingkaran dengan jari-jari $4$ sehingga ditulis
$$f(4, \theta) = \left(\dfrac{1}{4} \cos \theta, -\dfrac{1}{4} \sin \theta\right).$$Kita peroleh bahwa range $A$ adalah lingkaran dengan jari-jari $\dfrac{1}{4}$. Semakin kecil jari-jari lingkaran pada domain, semakin besar jari-jari lingkaran pada rangenya (berbanding terbalik).

Perhatikan bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & z = x + iy \\ & \overline{z} = x – iy \\ & z^2 = x^2 -y^2 + 2ixy \end{aligned}}$
Kita peroleh
$\begin{aligned} w & = u(x, y) + iv(x, y) \\ & = (x^2 – y^2 + x) + i(2xy – y) \\ & = (x^2 -y^2 + 2ixy) + (x- iy) \\ & = \boxed{z^2 + \overline{z}}. \end{aligned}$

Substitusikan $z = i$ sehingga bentuk limit $f(z)$ menjadi $\dfrac{0}{0}$, berarti berlaku Dalil L’Hospital (turunan).
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} f'(z) \\ & = \lim_{z \to i} \dfrac{3z^2 + 2(2-i)z -2i}{1} \\ & = 3(i)^2 + 2(2-i) i – 2i \\ & = -1 + 2i \end{aligned}$
Jadi, limit dari fungsi tersebut (untuk $z$ mendekati $i$) adalah $\boxed{-1 + 2i}$

Diketahui $p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$. Misalkan $z = n\pi, n \in \mathbb{Z}$, berarti diperoleh
$$p(n\pi) \cos^2 (n\pi) + q(n \pi) \sin^2 (n \pi) = 2.$$Perhatikan bahwa $\cos^2 (n\pi) = 1$ dan $\sin^2 (n \pi) = 0$, maka selanjutnya didapat
$\begin{aligned} p(n\pi) (1) + q(n \pi) (0) & = 2 \\ p(n \pi) & = 2. \end{aligned}$
Karena ada tak hingga banyaknya $n$ yang memenuhi persamaan di atas, maka dengan kata lain ada tak hingga $z$ yang memenuhi $p(z) = 2$.
Setiap polinomial tak konstan $f(z)$ memenuhi $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = \pm \infty$ sehingga $z$ haruslah berhingga banyaknya dan ini berarti $p(z)$ pasti konstan. Jadi, didapat $p(1) = 2$.
Dengan prinsip yang sama, misalkan $z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$, jika disubstitusikan ke persamaan awal, maka didapat $q\left(\dfrac{\pi} {2} + n\pi\right) = 2$. Karena $q(z)$ konstan, maka haruslah $q(1) = 2$.
Jadi, $\boxed{p(1) + q(1) = 2 + 2 = 4}$