Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai perhitungan integral tentu beserta penerapan sifat-sifat integral dasar. Semoga bermanfaat.

Quote by Isaac Newton

Dalam sains, kami seperti anak-anak yang mengumpulkan kerikil di pantai pengetahuan, sementara lautan luas yang tidak diketahui terbentang di hadapan kami.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Integral Fungsi Aljabar

Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x & = \left[\dfrac13x^3-3x\right]_{-1}^2 \\ & = \left(\dfrac13(2)^3-3(2)\right)-\left(\dfrac13(-1)^3-3(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac83-6\right)-\left(-\dfrac13+3\right) \\ & = \dfrac83+\dfrac13-6-3 \\ & = \dfrac93-9=-6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x = -6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{332}{105}$                   D. $\dfrac{372}{105}$
B. $\dfrac{342}{105}$                   E. $\dfrac{392}{105}$
C. $\dfrac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1)^2$ menggunakan $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a = -x^3$ dan $b = 2x-1$.
$\begin{aligned} & (-x^3+2x-1)^2 \\ & = (-x^3)^2+2(-x^3)(2x-1)+(2x-1)^2 \\ & = x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x & = \int_{-1}^1 (x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac17x^7-\dfrac45x^5+\dfrac12x^2+\dfrac43x^3-2x^2+x\right]_{-1}^1 \\ & = \left(\dfrac17(1)^7-\dfrac45(1)^5+\dfrac12(1)^2+\dfrac43(1)^3-2(1)^2+(1)\right)-\left(\dfrac17(-1)^7-\dfrac45(-1)^5+\dfrac12(-1)^2+\dfrac43(-1)^3-2(-1)^2+(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac17-\dfrac45+\dfrac12+\dfrac43-2+1\right)-\left(-\dfrac17+\dfrac45+\dfrac12-\dfrac43-2-1\right) \\ & = \dfrac27-\dfrac85+0+\dfrac83+0+2 \\ & = \dfrac{30}{105}-\dfrac{168}{105}+\dfrac{280}{105}+\dfrac{210}{105} \\ & = \dfrac{352}{105} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x = \dfrac{352}{105}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Soal Nomor 3
Nilai dari $\displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\dfrac12$                      D. $78\dfrac12$
B. $76\dfrac12$                      E. $80$
C. $78\dfrac14$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x & = \int_1^4 \left(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac53x^3-\dfrac{6}{3/2}x^{3/2}+\dfrac{2}{-1}x^{-1}\right]_1^4 \\ & = \left[\dfrac53x^3-4x^{3/2}-\dfrac{2}{x}\right]_1^4 \\ & = \left(\dfrac53(4)^3-4(4)^{3/2}-\dfrac{2}{4}\right)-\left(\dfrac53(1)^3-4(1)^{3/2}-\dfrac{2}{1}\right) \\ & = \left(\dfrac{320}{3}-32-\dfrac12\right)-\left(\dfrac53-4-2\right) \\ & = \dfrac{315}{3}-26-\dfrac12 \\ & = 105-26-\dfrac12 \\ & = 78\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x = 78\dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6$, maka nilai $\displaystyle \int_1^4 f(5-x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui $\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6$.
Misalkan $u = 5-x$, sehingga $\text{d}u = (-1)~\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x = -\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u = 5-x = 5-4 = 1$.
Batas bawahnya menjadi
$u = 5-x = 5-1 = 4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^4 f(5-x)~\text{d}x & = \int_4^1 f(u)~(-\text{d}u) \\ \text{Balikkan batas}&~\text{integralnya} \\ & = -\int_1^4 f(u)~(-\text{d}u) \\ & = \int_1^4 f(u)~\text{d}u = 6 \end{aligned}$
Ingat bahwa:
$\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = \int_1^4 f(u)~\text{d}u}$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $a$ yang memenuhi $\displaystyle \int_{1}^a (2x+3)~\text{d}x = 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^a (2x+3)~\text{d}x & = 6 \\ \left[x^2+3x\right]_1^a & = 6 \\ (a^2+3a)-((1)^2+3(1)) & = 6 \\ a^2+3a-10 & = 0 \\ (a+5)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a = -5$ atau $a = 2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a = 2$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $p$ yang memenuhi $\displaystyle \int_0^4 (3x^2+px-3)~\text{d}x = 68$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                  E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^4 (3x^2+px-3)~\text{d}x & = 68 \\ \left[x^3+\dfrac{p}{2}x^2-3x\right]_0^4 & = 68 \\ \left(4^3 + \dfrac{p}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{8}{4^2}-3(4)\right)-0 & = 68 \\ 64 + 8p-12 & = 68 \\ 52+8p & = 68 \\ 8p & = 16 \\ p & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari $\displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac83$                     C. $\dfrac{14}{3}$                  E. $\dfrac{43}{3}$
B. $\dfrac{11}{3}$                   D. $\dfrac{17}{3}$

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}} & = \dfrac{2}{2\sqrt{x}} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\ & = x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x & = \int_9^{16} \left(x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac{1}{1+(-1/2)}x^{-1/2+1}+\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1+1/2}x^{1/2+1}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac12 \cdot \dfrac23x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac13x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left(2(16)^{1/2}+\dfrac13(16)^{3/2}\right)-\left(2(9)^{1/2}+\dfrac13(9)^{3/2}\right) \\ & = 2(4)+\dfrac13(64)-2(3)-\dfrac13(27) \\ & = 8+\dfrac{64}{3}-6-9 \\ & = -7+\dfrac{64}{3} = \dfrac{43}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x = \dfrac{43}{3}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Soal Nomor 8
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu, dan $f(x) \geq 0$, untuk semua bilangan real $x$, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
$$\begin{aligned} & \text{I.}~\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)~\text{d}x = \left(\int_a^b f(x)~\text{d}x\right)\left(\int_a^b g(x)~\text{d}x\right) \\ & \text{II.}~\displaystyle \int_a^b (f(x)+g(x)) = \int_a^b f(x)~\text{d}x + \int_a^b g(x)~\text{d}x \\ & \text{III.}~\displaystyle \int_a^b \sqrt{f(x)}~\text{d}x = \sqrt{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x} \end{aligned}$$A. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$$\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)~\text{d}x \neq \left(\int_a^b f(x)~\text{d}x\right)\left(\int_a^b g(x)~\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
$\displaystyle \int_a^b \sqrt{f(x)}~\text{d}x \neq \sqrt{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ dapat diintegralkan dalam selang $a \leq x \leq b$ dan $g(a) \neq 0$ maka $\cdots \cdot$
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)g(a)~\text{d}x = g(a) \int_a^b f(x)~\text{d}x$
(2) $\displaystyle \int_a^b \left[f(a) + g(x)\right]~\text{d}x$
(3) $\dfrac{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x}{g(a)} = \displaystyle \int_a^b \dfrac{f(x)}{g(a)}~\text{d}x$
(4) $\displaystyle \int_a^b \left[f(x)-g(x)\right]~\text{d}x$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $(1), (2)$, dan $(3)$
B. $(1)$ dan $(3)$
C. $(2)$ dan $(4)$
D. $(4)$ saja
E. $(1), (2), (3)$, dan $(4)$

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f(a)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $f(x)=ax+b$, $\displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = 1$ dan $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = 5$, maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                    E. $-4$
B. $4$                      D. $-3$

Pembahasan

Karena $\displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = 1$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x & = 1 \\ \int_0^1 (ax+b)~\text{d}x & = 1 \\ \left[\dfrac12ax^2+bx\right]_0^1 & = 1 \\ \dfrac12a(1)^2+b(1)-0 & = 1 \\ \dfrac12a+b & = 1 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = 5$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x & = 5 \\ \int_1^2 (ax+b)~\text{d}x & = 5 \\ \left[\dfrac12ax^2+bx\right]_1^2 & = 5 \\ \dfrac12a(2)^2+b(2)-\dfrac12a(1)^2-b(1) & = 5 \\ \dfrac32a+b & = 5 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a = 4$ dan $b = -1$. Jadi, nilai $\boxed{a+b=4+(-1) = 3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika nilai $\displaystyle \int_{-1}^3 f(x)~\text{d}x = 3$ dan $\displaystyle \int_{-1}^3 3g(x)~\text{d}x = -6$, maka nilai $\displaystyle \int_{-1}^3 (2f(x)-g(x))~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{-1}^3 3g(x)~\text{d}x & = -6 \\ \Rightarrow \int_{-1}^3 g(x)~\text{d}x & = -2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-1}^3 (2f(x)-g(x))~\text{d}x \\ & = 2 \int_{-1}^3 f(x)~\text{d}x-\int_{-1}^3 g(x)~\text{d}x \\ & = 2(3)-(-2) = 6+2=8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^3 (2f(x)-g(x))~\text{d}x = 8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $\displaystyle \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x = -17$ dan $\displaystyle \int_5^2 f(x)~\text{d}x = -4$, maka nilai dari $\displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $0$                    E. $21$
B. $-13$                  D. $13$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x & = -17 \\ \int_5^2 f(x)~\text{d}x & = -4 \end{aligned}$
Karena $\displaystyle \int_5^2 f(x)~\text{d}x = -4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh $\displaystyle \int_2^5 f(x)~\text{d}x = 4$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x & = \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^5 f(x)~\text{d}x \\ & = -17 + 4 = -13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x = -13}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui fungsi $f(x)$ memenuhi sifat $f(-x)=-f(x)$. Jika $\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)~\text{d}x = 4$, maka nilai dari $\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $-4$                   E. $6$
B. $-6$                   D. $4$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x) = -f(x)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku
$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)~\text{d}x = 0$
untuk $a$ bilangan real.
Diketahui $\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)~\text{d}x = 4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + 0 & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika nilai $\displaystyle \int_b^a f(x)~\text{d}x = 5$ dan $\displaystyle \int_c^a f(x)~\text{d}x = 0$, maka $\displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $10$                  C. $0$                    E. $-10$
B. $5$                    D. $-5$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} 1)~\displaystyle \int_b^a f(x)~\text{d}x & = 5 \\ \implies \int_a^b f(x)~\text{d}x & = -5 \\ 2)~\int_c^a f(x)~\text{d}x & = 0 \end{aligned}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x & = \int_c^a f(x)~\text{d}x + \int_a^b f(x)~\text{d}x \\ & = 0+(-5) = -5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x = -5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x)=f(-x)$ untuk semua nilai $x$, $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x)~\text{d}x = 6$, dan $\displaystyle \int_2^3 f(x)~\text{d}x=1$, maka nilai dari $\displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $5$                     E. $12$
B. $2$                      D. $11$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f(x) = f(-x)$.
Karena itu, maka berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-3}^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ 2 2 \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + 1 & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x=2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi $f(x)$ disebut fungsi genap apabila berlaku $f(x) = f(-x)$ dan disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(x) = -f(x)$. Contoh fungsi genap adalah $f(x) = x^2$ dan $f(x) = \cos x$, sedangkan contoh fungsi ganjil adalah $f(x) = x^3$ dan $f(x) = \sin x$. Ada juga fungsi yang tidak tergolong fungsi genap maupun ganjil, misalnya $f(x) = x + 4$.

Soal Nomor 16
Diketahui $\displaystyle \int_1^{10} f(x)~\text{d}x = 12$ dan $\displaystyle \int_{-4}^{-2} f(x)~\text{d}x = -10$. Jika $f(x+3) = f(x)$, maka nilai dari $\displaystyle \int_{16}^5 f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-10$                   C. $2$                   E. $12$
B. $-2$                     D. $10$

Pembahasan

Karena berlaku $f(x+3) = f(x)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $3$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{10} f(x)~\text{d}x & = 12 \\ \int_{1 + 6}^{10 + 6}~f(x)~\text{d}x & = 12 \\ \int_7^{16} f(x)~\text{d}x & = 12 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-4}^{-2} f(x)~\text{d}x & = -10 \\ \int_{-4+9}^{-2+9} f(x)~\text{d}x & = -10 \\ \int_{5}^{7} f(x)~\text{d}x & = -10 \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat penukaran batas integral beserta kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{16}^5 f(x)~\text{d}x & = -\int_5^{16} f(x)~\text{d}x \\ & = -\left(\int_5^7 f(x)~\text{d}x + \int_7^{16} f(x)~\text{d}x\right) \\ & = -((-10) + 12) = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{16}^5 f(x)~\text{d}x = -2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui $\displaystyle \int_1^5 f(x)~\text{d}x = 3$ dan $\displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)~\text{d}x = 2$. Jika $f(x-5) = f(x)$, maka nilai dari $\displaystyle \int_5^{15} f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $0$                    C. $5$                  E. $15$
B. $2$                    D. $10$

Pembahasan

Karena berlaku $f(x-5) = f(x)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $5$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{1+5}^{5+5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_6^{10} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{6+5}^{10+5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{11}^{15} f(x)~\text{d}x & = 3 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{-5+10}^{-4+10} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_5^{6} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{5+5}^{6+5} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{10}^{11} f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_5^{15} f(x)~\text{d}x & = \int_5^6 f(x)~\text{d}x + \int_6^{10} f(x)~\text{d}x + \int_{10}^{11} f(x)~\text{d}x + \int_{11}^{15} f(x)~\text{d}x \\ & = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_5^{15} f(x)~\text{d}x = 10}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$. Jika $\displaystyle \int_1^5 f(x)~\text{d}x =2$ dan $\displaystyle \int_3^5 f(x)~\text{d}x = -3$, maka nilai dari $\displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-3$                  C. $0$                 E. $5$
B. $-1$                  D. $3$

Pembahasan

Misalkan $\displaystyle \int f(x)~\text{d}x = F(x) + C$. Ini berarti,
$\begin{aligned} \displaystyle \int f(-x)~\text{d}x & = \int (f(x)-3)~\text{d}x \\ & = F(x)-3x+C \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^5 f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \implies F(5)-F(1) & = 2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_3^5 f(x)~\text{d}x & = -3 \\ \implies F(5)-F(3) & = -3 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $F(5)$ dari kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\boxed{F(3)-F(1) =5}$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)~\text{d}x & = \int_{3}^1 f(-x)~(-\text{d}x) \\ & = \int_1^3 f(-x)~\text{d}x \\ & = \left[F(x)-3x\right]_1^3 \\ & = (F(3)-F(1))-3(3-1) \\ & = 5-3(2) = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)~\text{d}x = -1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = \sqrt2$, maka nilai dari $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} f(\sqrt{x})~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14\sqrt2$                  C. $\sqrt3$                E. $4\sqrt2$
B. $\dfrac12\sqrt2$                  D. $2\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = \sqrt2$.
Misalkan $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ sehingga $\text{d}u = \dfrac12x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Substitusikan pada $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} f(\sqrt{x})~\text{d}x$ dengan perubahan:
$\begin{aligned} \text{Batas atas} & = u = \sqrt{4} = 2 \\ \text{Batas bawah} & = u = \sqrt{1} = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} f(\sqrt{x})~\text{d}x & = 2 \int_1^4 \dfrac{1}{2\sqrt{x}} f(\sqrt{x})~\text{d}x \\ & = 2 \int_1^2 f(u)~\text{d}u \\ & = 2\sqrt2 \end{aligned}$
Catatan: Perhatikan bahwa $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = \int_1^2 f(u)~\text{d}u = \sqrt2$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)(x^3+1)~\text{d}x = 4$ dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = 3$, maka nilai dari $\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $0$                  E. $5$
B. $-1$                   D. $1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-2}^2 f(x)(x^3+1)~\text{d}x & = 4 \\ \int_{-2}^2 f(x) \cdot x^3~\text{d}x + \int_{-2}^2 f(x)~\text{d}x & = 4 \end{aligned}$
Karena $f(x)$ fungsi genap, sedangkan $g(x) = x^3$ merupakan fungsi ganjil, maka hasil kalinya adalah fungsi ganjil, sehingga $\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \cdot x^3~\text{d}x = 0$. Artinya,
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-2}^2 f(x)(x^3+1)~\text{d}x & = 4 \\ \int_{-2}^2 f(x)~\text{d}x & = 4 \\ 2 \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = 4 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = \int_0^2 f(x)~\text{d}x + \int_1^2 f(x)~\text{d}x \\ 2 & = 3 + \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x \\ -1 & = \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = -1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $f(x) = \displaystyle \int x~\text{d}x + \int_0^1 x~\text{d}x + \int_1^2 x~\text{d}x$ dan $f(2) = 4$, maka nilai $f(0)=\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Integralkan terlebih dahulu, lalu kita substitusikan $x = 2$ untuk mencari nilai konstanta integral tak tentu $C$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \displaystyle \int x~\text{d}x + \int_0^1 x~\text{d}x + \int_1^2 x~\text{d}x \\ & = \left(\dfrac12x^2 + C\right) + \left[\dfrac12x^2\right]_0^1 + \left[\dfrac12x^2\right]_1^2 \\ & = \dfrac12x^2+C+\dfrac12(1^2-0^2)+\dfrac12(2^2-1^2) \\ & = \dfrac12x^2+C+\dfrac12+\dfrac12(3) \\ & = \dfrac12x^2+C+2 \\ f(2) & = \dfrac12(2)^2+C+2 \\ 4 & = 2+C+2 \\ C & = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, $f(x) = \dfrac12x^2+2$, sehingga
$\boxed{f(0) = \dfrac12(0)^2+2 = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]
 

Soal Nomor 22
Diketahui $f(x) = \displaystyle 4x^3 + 3x^2 + 2x + \int_0^2 f(x)~\text{d}x$, maka nilai dari $\displaystyle \int_0^2 \left(f^{\prime \prime}(x) + f(2)\right)~\text{d}x$ $= \cdots \cdot$
A. $92$                    C. $96$                    E. $100$
B. $94$                    D. $98$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \displaystyle 4x^3 + 3x^2 + 2x + \int_0^2 f(x)~\text{d}x$. Perhatikan bahwa ekspresi $\displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x$ merupakan suatu konstanta, kita notasikan saja dengan $C$.
Dengan demikian, diperoleh turunan pertama $f(x)$, yakni
$f'(x) = 12x^2 + 6x + 2$,
dan turunan keduanya adalah
$f^{\prime \prime} = 24x + 6$.
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = \int_0^2 \left(4x^3 + 3x^2 + 2x + C \right)~\text{d}x \\ C & = \left[x^4 + x^3 + x^2 + Cx\right]_0^2 \\ C & = ((2)^4+(2)^3+(2)^2+C(2))-0 \\ C & = 16+8+4+2C \\ C & = -28 \end{aligned}$$Ini berarti, $f(x) = 4x^3+3x^2+2x-28$, sehingga $f(2) = 4(2)^3+3(2)^2+2(2)-28 = 20$.
Oleh karena itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_0^2 \left(f^{\prime \prime}(x) + f(2)\right)~\text{d}x \\ & = \int_0^2 (24x + 6 + 20)~\text{d}x \\ & = \int_0^2 (24x+26)~\text{d}x \\ & = \left[12x^2+26x\right]_0^2 \\ & = \left(12(2)^2+26(2)\right)-0 \\ & = 48+52 = 100 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari integral tersebut adalah $\boxed{100}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui fungsi $f(x) = x^3+3x^2-5x+$ $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x$. Nilai $f(1) = \cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $-1$                    E. $4$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kubik dengan konstanta $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x = C$.
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x & = \int_{-1}^1 \left(x^3+3x^2-5x+\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x\right)~\text{d}x \\ C & = \int_{-1}^1 \left(x^3+3x^2-5x+C \right)~\text{d}x \\ C & = \left[\dfrac14x^4+x^3-\dfrac52x^2+Cx\right]_{-1}^1 \\ C & = \left(\dfrac14(1)^4+(1)^3-\dfrac52(1)^2+C(1)\right)-\left(\dfrac14(-1)^4+(-1)^3-\dfrac52(-1)^2+C(-1)\right) \\ C & = \left(\cancel{\dfrac14}+1-\bcancel{\dfrac52}+C\right)-\left(\cancel{\dfrac14}- 1-\bcancel{\dfrac52}-C\right) \\ C & = C+(1+1)+C \\ C & = \color{red}{-2} \end{aligned}$$Kita peroleh bahwa $f(x) = x^3 + 3x^2-5x\color{red}{-2}$.
Untuk itu, jika $x = 1$, didapat
$\begin{aligned} f(1) & = (1)^3 + 3(1)^2-5(1)-2 \\ & = 1 + 3-5-2 = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(1) = -3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Integral Parsial

 Soal Nomor 24
Jika diketahui $g(x) = \left(\displaystyle \int_0^2 g(x)~\text{d}x\right)x^2 +$ $ \left(\displaystyle \int_0^1 g(x)~\text{d}x\right)x +\displaystyle \left(\int_0^3 g(x)~\text{d}x\right) + 2$, maka nilai $g(5)$ adalah $\cdots \cdot$
A $-\dfrac{274}{39}$                        D. $-\dfrac{254}{13}$
B. $-\dfrac{274}{13}$                       E. $\dfrac{274}{39}$
C. $-\dfrac{254}{39}$

Pembahasan

Diketahui $g(x)$ merupakan fungsi kuadrat. Misal $g(x) = ax^2 + bx + c$, maka diperoleh integralnya terhadap $x$, yakni $G(x) = \dfrac13ax^3 + \dfrac12bx^2 + cx + D$ untuk suatu konstanta real $D$.
Dari sini, kita juga peroleh bahwa
$$\begin{aligned} a & = \displaystyle \int_0^2 g(x)~\text{d}x \\ & = G(2)-G(0) \\ & = \dfrac13a(2)^3 + \dfrac12b(2)^2 + c(2)-0 \\ & = \dfrac83a + 2b + 2c && (\cdots 1) \\ b & = \int_0^1 g(x)~\text{d}x \\ & = G(1)-G(0) \\ & = \dfrac13a(1)^3 + \dfrac12b(1)^2 + c(1)-0 \\ & = \dfrac13a + \dfrac12b + c && (\cdots 2) \\ c & = \int_0^3 g(x)~\text{d}x + 2 \\ & = G(3)-G(0) + 2 \\ & = \dfrac13a(3)^3 + \dfrac12b(3)^2 + c(3)-0+2 \\ & = 9a + \dfrac92b + 3c + 2 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Persamaan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ masing-masing dapat disederhanakan sehingga diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} 5a+ 6b + 6c & = 0 && (\cdots 1) \\ 2a-3b+6c & = 0 && (\cdots 2) \\ 18a + 9b + 4c & = -4 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ untuk memperoleh
$3a + 9b = 0 \Rightarrow a + 3b = 0 \tag{4}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} -100a-66b & = 24 \\ \Rightarrow 50a + 33b & = -12 && (\cdots 5) \end{aligned}$
Dari persamaan $(4)$ dan $(5)$, diperoleh $a = -\dfrac{4}{13}$ dan $b = \dfrac{4}{39}$, sehingga $c = \dfrac{2}{13}$.
Jadi, $g(x) = -\dfrac{4}{13}x^2 + \dfrac{4}{39}x + \dfrac{2}{13}$, berarti
$\begin{aligned} g(5) & = -\dfrac{100}{13} + \dfrac{20}{39} + \dfrac{2}{13} \\ & = \dfrac{-300 + 20 + 6}{39} = -\dfrac{274}{39} \end{aligned}$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Nilai $y$ yang memenuhi persamaan $\displaystyle \int_0^{\sqrt{^2 \log (5y+1)}} 3x\sqrt{-2x^2+9}~\text{d}x = 13$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Tanpa batas integral, kita akan mencari hasil dari $\displaystyle \int 3x\sqrt{-2x^2+9}~\text{d}x$ terlebih dahulu.
Misalkan $u = -2x^2 + 9$, maka
$\begin{aligned} \text{d}u & = -4x~\text{d}x \\ -\dfrac14~\text{d}u & = x~\text{d}x \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \int 3x\sqrt{-2x^2+9}~\text{d}x & = \int 3 \cdot \left(-\dfrac14\right) \cdot u^{1/2}~\text{d}u \\ & = -\dfrac34 \cdot \dfrac23 \cdot u^{3/2} + C \\ & = \color{blue}{-\dfrac12u^{3/2}} + C \end{aligned}$$Batas integrasi berubah untuk variabel $u$. Karena $u=-2x^2+9$, maka
$\begin{aligned} u_{\text{atas}} & = -2\left(\sqrt{^2 \log (5y+1)}\right)^2 + 9 \\ & = -2(^2 \log (5y+1)) + 9 \\ u_{\text{bawah}} & = -2(0)^2 + 9 = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\sqrt{^2 \log (5y+1)}} 3x\sqrt{-2x^2+9}~\text{d}x & = 13 \\ \left[-\dfrac12u^{3/2}\right]_9^{-2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9} & = 13 \\ \left[u^{3/2}\right]_9^{-2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9} & = -26 \\ \left(-2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9\right)^{3/2}-9^{3/2} & = -26 \\ \left(-2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9\right)^{3/2}-27 & = -26 \\ \left(-2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9\right)^{3/2} & = 1 \\ \text{Kedua ruas dipangkatkan}~&\dfrac23 \\ -2\left(^2 \log (5y+1)\right) + 9 & = 1 \\ -2\left(^2 \log (5y+1)\right) & = -8 \\ ^2 \log (5y+1) & = 4 \\ 5y+1 & = 2^4 = 16 \\ 5y & = 15 \\ y & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $y$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Integral Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 1
Hasil dari $\displaystyle \int_0^{\pi} (\sin 2x + \cos x)~\text{d}x = \cdots \cdot$

A. $-2$                   C. $0$                E. $2$
B. $-1$                   D. $1$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral trigonometri beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\pi} (\sin 2x + \cos x)~\text{d}x & = \left[-\dfrac12 \cos 2x + \sin x\right]_0^{\pi} \\ & = \left(-\dfrac12 \cos 2(\pi) + \sin \pi\right)-\left(-\dfrac12 \cos 2(0) + \sin 0\right) \\ & = -\dfrac12(1) + 0+\dfrac12(1)-0 \\ & = -\dfrac12+\dfrac12 = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \int_0^{\pi} (\sin 2x + \cos x)~\text{d}x = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *