Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x & = \left[\dfrac13x^3-3x\right]_{-1}^2 \\ & = \left(\dfrac13(2)^3-3(2)\right)-\left(\dfrac13(-1)^3-3(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac83-6\right)-\left(-\dfrac13+3\right) \\ & = \dfrac83+\dfrac13-6-3 \\ & = \dfrac93-9=-6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x = -6}$
(Jawaban B)

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1)^2$ menggunakan $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a = -x^3$ dan $b = 2x-1$.
$\begin{aligned} & (-x^3+2x-1)^2 \\ & = (-x^3)^2+2(-x^3)(2x-1)+(2x-1)^2 \\ & = x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x & = \int_{-1}^1 (x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac17x^7-\dfrac45x^5+\dfrac12x^2+\dfrac43x^3-2x^2+x\right]_{-1}^1 \\ & = \left(\dfrac17(1)^7-\dfrac45(1)^5+\dfrac12(1)^2+\dfrac43(1)^3-2(1)^2+(1)\right)-\left(\dfrac17(-1)^7-\dfrac45(-1)^5+\dfrac12(-1)^2+\dfrac43(-1)^3-2(-1)^2+(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac17-\dfrac45+\dfrac12+\dfrac43-2+1\right)-\left(-\dfrac17+\dfrac45+\dfrac12-\dfrac43-2-1\right) \\ & = \dfrac27-\dfrac85+0+\dfrac83+0+2 \\ & = \dfrac{30}{105}-\dfrac{168}{105}+\dfrac{280}{105}+\dfrac{210}{105} \\ & = \dfrac{352}{105} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x = \dfrac{352}{105}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x & = \int_1^4 \left(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac53x^3-\dfrac{6}{3/2}x^{3/2}+\dfrac{2}{-1}x^{-1}\right]_1^4 \\ & = \left[\dfrac53x^3-4x^{3/2}-\dfrac{2}{x}\right]_1^4 \\ & = \left(\dfrac53(4)^3-4(4)^{3/2}-\dfrac{2}{4}\right)-\left(\dfrac53(1)^3-4(1)^{3/2}-\dfrac{2}{1}\right) \\ & = \left(\dfrac{320}{3}-32-\dfrac12\right)-\left(\dfrac53-4-2\right) \\ & = \dfrac{315}{3}-26-\dfrac12 \\ & = 105-26-\dfrac12 \\ & = 78\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x = 78\dfrac12}$
(Jawaban D)

Diketahui $\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6$.
Misalkan $u = 5-x$, sehingga $\text{d}u = (-1)~\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x = -\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u = 5-x = 5-4 = 1$.
Batas bawahnya menjadi
$u = 5-x = 5-1 = 4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^4 f(5-x)~\text{d}x & = \int_4^1 f(u)~(-\text{d}u) \\ \text{Balikkan batas}&~\text{integralnya} \\ & = -\int_1^4 f(u)~(-\text{d}u) \\ & = \int_1^4 f(u)~\text{d}u = 6 \end{aligned}$
Ingat bahwa:
$\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = \int_1^4 f(u)~\text{d}u}$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6}$
(Jawaban A)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^a (2x+3)~\text{d}x & = 6 \\ \left[x^2+3x\right]_1^a & = 6 \\ (a^2+3a)-((1)^2+3(1)) & = 6 \\ a^2+3a-10 & = 0 \\ (a+5)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a = -5$ atau $a = 2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a = 2$.
(Jawaban B)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^4 (3x^2+px-3)~\text{d}x & = 68 \\ \left[x^3+\dfrac{p}{2}x^2-3x\right]_0^4 & = 68 \\ \left(4^3 + \dfrac{p}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{8}{4^2}-3(4)\right)-0 & = 68 \\ 64 + 8p-12 & = 68 \\ 52+8p & = 68 \\ 8p & = 16 \\ p & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=2}$
(Jawaban C)

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}} & = \dfrac{2}{2\sqrt{x}} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\ & = x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x & = \int_9^{16} \left(x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac{1}{1+(-1/2)}x^{-1/2+1}+\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1+1/2}x^{1/2+1}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac12 \cdot \dfrac23x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac13x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left(2(16)^{1/2}+\dfrac13(16)^{3/2}\right)-\left(2(9)^{1/2}+\dfrac13(9)^{3/2}\right) \\ & = 2(4)+\dfrac13(64)-2(3)-\dfrac13(27) \\ & = 8+\dfrac{64}{3}-6-9 \\ & = -7+\dfrac{64}{3} = \dfrac{43}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x = \dfrac{43}{3}}$
(Jawaban E)

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$$\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)~\text{d}x \neq \left(\int_a^b f(x)~\text{d}x\right)\left(\int_a^b g(x)~\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
$\displaystyle \int_a^b \sqrt{f(x)}~\text{d}x \neq \sqrt{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f(a)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x & = -17 \\ \int_5^2 f(x)~\text{d}x & = -4 \end{aligned}$
Karena $\displaystyle \int_5^2 f(x)~\text{d}x = -4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh $\displaystyle \int_2^5 f(x)~\text{d}x = 4$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x & = \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^5 f(x)~\text{d}x \\ & = -17 + 4 = -13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x = -13}$
(Jawaban B)

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x) = -f(x)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku
$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)~\text{d}x = 0$
untuk $a$ bilangan real.
Diketahui $\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)~\text{d}x = 4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + 0 & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = 4}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} 1)~\displaystyle \int_b^a f(x)~\text{d}x & = 5 \\ \implies \int_a^b f(x)~\text{d}x & = -5 \\ 2)~\int_c^a f(x)~\text{d}x & = 0 \end{aligned}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x & = \int_c^a f(x)~\text{d}x + \int_a^b f(x)~\text{d}x \\ & = 0+(-5) = -5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x = -5}$
(Jawaban D)

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f(x) = f(-x)$.
Karena itu, maka berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-3}^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ 2 2 \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + 1 & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x=2}$
(Jawaban B)

Karena berlaku $f(x+3) = f(x)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $3$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{10} f(x)~\text{d}x & = 12 \\ \int_{1 + 6}^{10 + 6}~f(x)~\text{d}x & = 12 \\ \int_7^{16} f(x)~\text{d}x & = 12 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-4}^{-2} f(x)~\text{d}x & = -10 \\ \int_{-4+9}^{-2+9} f(x)~\text{d}x & = -10 \\ \int_{5}^{7} f(x)~\text{d}x & = -10 \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat penukaran batas integral beserta kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{16}^5 f(x)~\text{d}x & = -\int_5^{16} f(x)~\text{d}x \\ & = -\left(\int_5^7 f(x)~\text{d}x + \int_7^{16} f(x)~\text{d}x\right) \\ & = -((-10) + 12) = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{16}^5 f(x)~\text{d}x = -2}$
(Jawaban B)

Karena berlaku $f(x-5) = f(x)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $5$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{1+5}^{5+5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_6^{10} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{6+5}^{10+5} f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{11}^{15} f(x)~\text{d}x & = 3 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{-5+10}^{-4+10} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_5^{6} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{5+5}^{6+5} f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \int_{10}^{11} f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_5^{15} f(x)~\text{d}x & = \int_5^6 f(x)~\text{d}x + \int_6^{10} f(x)~\text{d}x + \int_{10}^{11} f(x)~\text{d}x + \int_{11}^{15} f(x)~\text{d}x \\ & = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_5^{15} f(x)~\text{d}x = 10}$
(Jawaban D)

Misalkan $\displaystyle \int f(x)~\text{d}x = F(x) + C$. Ini berarti,
$\begin{aligned} \displaystyle \int f(-x)~\text{d}x & = \int (f(x)-3)~\text{d}x \\ & = F(x)-3x+C \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^5 f(x)~\text{d}x & = 2 \\ \implies F(5)-F(1) & = 2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \int_3^5 f(x)~\text{d}x & = -3 \\ \implies F(5)-F(3) & = -3 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $F(5)$ dari kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\boxed{F(3)-F(1) =5}$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)~\text{d}x & = \int_{3}^1 f(-x)~(-\text{d}x) \\ & = \int_1^3 f(-x)~\text{d}x \\ & = \left[F(x)-3x\right]_1^3 \\ & = (F(3)-F(1))-3(3-1) \\ & = 5-3(2) = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)~\text{d}x = -1}$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan aturan integral trigonometri beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\pi} (\sin 2x + \cos x)~\text{d}x & = \left[-\dfrac12 \cos 2x + \sin x\right]_0^{\pi} \\ & = \left(-\dfrac12 \cos 2(\pi) + \sin \pi\right)-\left(-\dfrac12 \cos 2(0) + \sin 0\right) \\ & = -\dfrac12(1) + 0+\dfrac12(1)-0 \\ & = -\dfrac12+\dfrac12 = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \int_0^{\pi} (\sin 2x + \cos x)~\text{d}x = 0}$
(Jawaban C)