Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas X Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas X semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat!
Silakan unduh soalnya dalam bentuk DOCx di sini

Soal Nomor 1
Bentuk \left(\dfrac{8x^2y^{-4}} {x^{-1}y^2}\right)\left(\dfrac{4^{-2}x^{-4}} {x^{-2}y^{-3}}\right) dapat disederhanakan menjadi \cdots
A. 2x^{-1}y^3                                D. \dfrac{1}{2}xy^{-3}
B. 2xy^{-3}                                  E. \dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-3}
C. \dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-2}

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat:
\boxed{\begin{aligned} a^{-1} & = \dfrac{1}{a} \\ a^m \cdot a^n & = a^{m+n} \\ \dfrac{a^m} {a^n} & = a^{m-n} \end{aligned}}
diperoleh
\begin{aligned} & \left(\dfrac{8x^2y^{-4}} {x^{-1}y^2}\right)\left(\dfrac{4^{-2}x^{-4}} {x^{-2}y^{-3}}\right) \\ & = (2^3 \times (2^2)^{-2})x^{2+(-4)-(-1)-(-2)}y^{-4-2-(-3)} \\ & = 2^{3-4}x^{2-4+1+2}y^{-4-2+3} \\ & = 2^{-1}xy^{-3} \\ & = \dfrac{1}{2}xy^{-3} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhananya adalah \boxed{\dfrac{1}{2}xy^{-3}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari 27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{2}{3}} adalah \cdots
A. -1        B. 0          C. 1            D. 2           E. 3

Penyelesaian

\begin{aligned} 27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{2}{3}} & = (3^3)^{\frac{1}{3}} + (2^4)^{\frac{1}{4}} - (2^3)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3^1 + 2^1 - 2^2 \\ & = 3 + 2 - 4 = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{2}{3}} = 1} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bentuk sederhana dari \left(\dfrac{ab^2c^{-3}}{a^{-3}b^2c^4}\right)^3 adalah \cdots
A. \dfrac{a^{12}}{c^{21}}    B. a^{12}b^{12}c^3     C. a^{12}c^{21}     D. \dfrac{a^6}{b^{12}c^3}     E. \dfrac{c^{21}}{a^{12}}

Penyelesaian

\begin{aligned} \left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3 & = (a^{1-(-3)}b^{2-2}c^{-3-4}) ^3 \\ & = (a^4b^0c^{-7})^3 \\ & = a^{4 \times 3}c^{-7 \times 3} \\ & = a^{12}c^{-21} \\ & = \dfrac{a^{12}} {c^{21}} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3 adalah \boxed{\dfrac{a^{12}} {c^{21}}} (Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai x yang memenuhi 8^{3x+1}= 128^{x-1} adalah \cdots
A. -10       B. -5        C. -2         D. 2          E. 5

Penyelesaian

Akan dicari nilai x sedemikian sehingga persamaan berpangkat yang diberikan itu bernilai benar. Perhatikan bahwa 8 dan 128 memiliki hubungan pangkat, yaitu 8 = 2^3 dan 128 = 2^7, sehingga ditulis
\begin{aligned} 8^{3x+1} & = 128^{x-1} \\ (2^3)^{3x+1} & = (2^7)^ {x-1} \\ 2^{3(3x+1)} & = 2^{7(x-1)} \\ 2^{9x+3} & = 2^{7x-7} \\ \cancel{2}^{9x+3} & = \cancel{2}^{7x-7} \\ 9x+3 & = 7x-7 \\ 9x-7x & = -7-3 \\ 2x & = -10 \\ x &= \dfrac{-10}{2} = -5 \end{aligned}
Jadi, nilai x adalah \boxed{-5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Bentuk sederhana dari 7\sqrt{294} - 5\sqrt{726} + \sqrt{96} - 3\sqrt{150} adalah \cdots
A. -14\sqrt{6}                 D. -17\sqrt{6}
B. -15\sqrt{6}                 E. -18\sqrt{6}
C. -16\sqrt{6}

Penyelesaian

\begin{aligned} & 7\sqrt{294} - 5\sqrt{726} + \sqrt{96} - 3\sqrt{150} \\ & = 7\sqrt{49 \cdot 6} - 5\sqrt{121 \cdot 6} + \sqrt{16 \cdot 6} - 3\sqrt{25 \cdot 6} \\ & = 7 \cdot 7\sqrt{6} - 5 \cdot 11\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 3 \cdot 5\sqrt{6} \\ & = 49\sqrt{6} - 55\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 15\sqrt{6} \\ & = (49-55+4-15)\sqrt{6} \\ & = -17\sqrt{6} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari 7\sqrt{294} - 5\sqrt{726} + \sqrt{96} - 3\sqrt{150} adalah \boxed{-17\sqrt{6}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{32}) adalah \cdots
A. 8-\sqrt{6}                 D. 8+\sqrt{6}
B. 8-2\sqrt{6}               E. 8+2\sqrt{6}
C. \sqrt{6}

Penyelesaian

\begin{aligned}\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{32}) & = \sqrt{6} - \sqrt{24} + \sqrt{64} \\ & = \sqrt{6} - \sqrt{4 \cdot 6} + 8 \\ & = \sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 8 \\ & = 8 - \sqrt{6} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{32}) adalah \boxed{8-\sqrt{6}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} - \sqrt{50} dan q = 5\sqrt{18} - 2\sqrt{8}, maka p+ q = \cdots
A. 5\sqrt{2}     B. 7\sqrt{2}     C. 9\sqrt{2}     D. 11\sqrt{2}     E. 15\sqrt{2}

Penyelesaian

\begin{aligned} p + q & = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} - \sqrt{50} + (5\sqrt{18}-2\sqrt{8}) \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{16\times 2} - \sqrt{25 \times 2} + 5\sqrt{9 \times 2} - 2\sqrt{4\times 2} \\ & = \dfrac{1}{4} \times 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 5 \times 3 \sqrt{2} - 2 \times 2 \sqrt{2} \\ & = \sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 15\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \\ & = (1-5+15-4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari p+q jika p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} - \sqrt{50} dan q = 5\sqrt{18} - 2\sqrt{8} adalah \boxed{7\sqrt{2}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bentuk sederhana dari \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} adalah \cdots
A. 13(4 - \sqrt{3})                   D. (4 + \sqrt{3})
B. 13(4 + \sqrt{3})                  E. (4 - \sqrt{3})
C. \dfrac{13}{7}(4 + \sqrt{3})   

Penyelesaian

Pecahan itu memiliki penyebut tak rasional (memuat bentuk akar) sehingga perlu dirasionalkan dengan cara dikalikan akar sekawan.
\begin{aligned} \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} & = \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}} {4+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {4^2-(\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {16-3} \\ & = \dfrac{\cancel{13}(4+\sqrt{3})} {\cancel{13}} \\ & = 4 + \sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} adalah \boxed{4+\sqrt{3}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} adalah \cdots
A. \dfrac{12\sqrt{6}}{6}                      D. 2\sqrt{5}+6\sqrt{3}
B. 10\sqrt{6}+\sqrt{3}              E. \dfrac{15\sqrt{6}} {6}
C. 2\sqrt{6}+\sqrt{3}

Penyelesaian

\begin{aligned} & \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + \sqrt{108}} {6} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + 6\sqrt{3}} {6} \\ & = 2\sqrt{6} + \sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhananya adalah \boxed{2\sqrt{6}+\sqrt{3}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari ^3 \log 27 adalah \cdots
A. 27           B. 9             C. 5              D. 4               E. 3

Penyelesaian

^3 \log 27 = ^3 \log 3^3 = 3
Jadi, nilai dari ^3 \log 27 adalah \boxed{3} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 = \cdots
A. ^3 \log 7     B. ^5 \log 7      C. ^2 \log 7
D. ^2 \log 3     E. ^5 \log 3

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut. 
\boxed{^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} ^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 & = ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 \cdot ^3 \log 7 \\ & = ^2 \log 7 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 = ^2 \log 7} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari ^2 \log 6 - ^2 \log 12 + ^2 \log 8 adalah \cdots
A. -2         B. -1          C. 1           D. 2           E. 4

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma:
\boxed{\begin{aligned} ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b - ^a \log c & = ^a \log \dfrac{b}{c} \end{aligned}}
diperoleh
\begin{aligned} ^2 \log 6 - ^2 \log 12 + ^2 \log 8 & = ^2 \log \left(\dfrac{6}{12} \cdot 8\right) \\ & = ^2 \log 4 \\ & = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari ^2 \log 6 - ^2 \log 12 + ^2 \log 8 adalah \boxed{2} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika \log 2 = a dan \log 3 = b. Nilai dari ^9 \log 36 adalah \cdots
A. \dfrac{a}{b} + 1             D. 2a+b+1
B. \dfrac{2a}{b} + 1           E. 2a+2b+1

C. a+b+1

Penyelesaian

Diketahui \log 2 = a dan \log 3 = b
\begin{aligned} ^9 \log 36 & = \dfrac{\log 36}{\log 9} \\ & = \dfrac{\log (2 \times 2 \times 3 \times 3)}{\log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{\log 2 + \log 2 + \log 3 + \log 3}{\log 3 + \log 3} \\ & = \dfrac{a + a + b + b} {b + b} \\ &= \dfrac{2a+2b} {2b} \\ & = \dfrac{a+b} {b} \\ & = \dfrac{a} {b} + \dfrac{b} {b} = \dfrac{a} {b}+1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari ^9 \log 36 jika \log 2 = a dan \log 3 = b adalah \boxed{\dfrac{a} {b} +1} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai dari |2x - 3| untuk x=-3 adalah \cdots
A. 9       B. 6       C. -3        D. -6        E. -9

Penyelesaian

\begin{aligned} |2x - 3| & = |2(-3) - 3| \\ & = |-6-3| \\ & = |-9| = 9 \end{aligned}
Jadi, nilai dari |2x-3| untuk x = -3 adalah \boxed{9} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x-1| < 2 adalah \cdots
A. x \leq -1         D. -3 < x < 1
B. x \leq 3           E. -1 < x < 3
C. x > -1

Penyelesaian

\begin{aligned} & |x-1| < 2 \\ & -2 < x - 1 < 2 \\ & -2+1 < x-1+1 < 2+1 \\ & -1 < x < 3 \end{aligned}
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah \boxed{-1 < x < 3} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Penyelesaian dari pertidaksamaan |2x-1| \geq 7 adalah \cdots
A. \{x~|~-4 \leq x \leq 3\}
B. \{x~|~-3 \leq x \leq 4\}
C. \{x~|~x \leq -4~\text{atau}~x \geq -3\}
D. \{x~|~x \leq -4~\text{atau}~x \geq 3\}
E. \{x~|~x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4\}

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
\boxed{|x| \geq a \iff x \leq -a ~\text{atau}~x \geq a}
diperoleh
\begin{aligned}& |2x-1| \geq 7 \\ & 2x-1 \leq -7~\text{atau} ~2x-1 \geq 7 \\ & 2x \leq -6~\text{atau}~2x \geq 8 \\ & x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4 \end{aligned}
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \boxed{\{x~|~x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4\}} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel \begin{cases} 7x+3y=-5 \\ 5x+2y=1 \end{cases} adalah \cdots
A. \{(13,-32)\}                   D. \{(-32,-13)\}
B. \{(-13,-32)\}                 E. \{(32,13)\}
C. \{(32,-13)\}

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 14x+6y & = -10 \\ 15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) x = 13 pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
\begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah \{(13, -32)\} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
\begin{cases} x- y & = 5 \\ 3x - 5y & = 5 \end{cases}
adalah \cdots
A. \{(-2,9)\}             D. \{(2, 9)\}
B. \{(10,5)\}             E. \{(5, 10)\}
C. \{(-5, 10)\}

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x - 5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3x-3y & = 15 \\ 3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) y = 5 pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
\begin{aligned} x-y & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah \{(10, 5)\} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Andi membeli 2 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli 3 buku tulis dan 2 pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli 1 buku dan 1 pensil, maka ia harus membayar sebesar \cdots
A. Rp5.500,00                  D. Rp4.000,00
B. Rp5.000,00                  E. Rp3.500,00
C. Rp4.500,00

Penyelesaian

Misalkan x = harga 1 buku tulis dan y = harga 1 pensil, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 \\ 3x + 2y & = 9.000 \end{cases}
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \noindent\rule{3 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli 1 buku tulis dan 1 pensil (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20
Harga 2 kg gula pasir dan 3 kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 3 kg beras adalah Rp33.000,00. Harga 1 kg gula pasir dan 1 kg beras (masing-masing) adalah \cdots
A. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
B. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00
C. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00
D. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00
E. Rp6.000,00 dan Rp12.000,00

Penyelesaian

Misalkan x = harga gula pasir per kg dan y = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 \\ 3x + 3y & = 33.000 \end{cases}
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \noindent\rule{3 cm}{0.6pt} - \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) x = 6.000 pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
\begin{aligned} 2x +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}
Jadi, harga 1 kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga 1 kg beras adalah Rp5.000,00 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Perhatikan grafik di bawah ini.

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x+2y \leq 36; x + 2y \geq 20; x \geq 0 dan y \geq 0 pada gambar di atas adalah \cdots
A. V            B. IV              C. III            D. II             E. I

Penyelesaian

Grafik dari pertidaksamaan 3x + 2y \leq 36 memotong sumbu X di x = 12 dan memotong sumbu Y di y = 18. Karena bertanda \leq, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan x + 2y \geq 20 memotong sumbu X di x = 20 dan memotong sumbu Y di y = 10. Karena bertanda \geq, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
x, y juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II. (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Seorang pedagang paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak 272 karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari 14 karung dan colt 8 karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika x menyatakan banyaknya truk dan y menyatakan banyaknya colt, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah \cdots
A. x + y \leq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0
B. x + y \geq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0
C. x + y \geq 28; 4x + 7y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0
D. x + y \leq 28; 7x + 4y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0
E. x + y \leq 28; 4x + 7y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0

Penyelesaian

Misalkan x menyatakan banyaknya truk dan y menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}

\begin{cases} & x + y \geq 28 \\ &  14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 23
Daerah yang diarsir pada grafik di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan \cdots

A. 5x + 4y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0
B. 5x + 4y \geq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0
C. 4x + 5y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0
D. 4x + 5y \leq 200; 2x + y \geq 80; x \geq 0, y \geq 0
E. 5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0

Penyelesaian

Persamaan garis pertama: 50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya, sehingga didapat \boxed{5x + 4y = 200}.
Titik (0, 0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh \boxed{5x + 4y \leq 200}
Persamaan garis kedua: 40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya, sehingga didapat \boxed{x + 2y = 80}.
Titik (0, 0) merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh \boxed{x + 2y \leq 80}
Kendala non-negatif diberikan oleh x \geq 0 dan y \geq 0 karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar berikut ini!

Nilai maksimum untuk fungsi objektif P = 3x + 5y adalah \cdots

A. 15          B. 16         C. 17          D. 18          E. 19

Penyelesaian

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & -y  = -1 \\ & y = 1 \end{aligned}
Substitusikan y = 1 pada persamaan pertama,

\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}
Jadi, titik potongnya ada di koordinat (4, 1).
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah (0, 3), (4, 1), dan (5, 0). Uji titik ini pada fungsi objektif P = 3x + 5y.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 3) & 15 \\ \rowcolor{green} (4, 1) & 17 \\ (5, 0) & 15 \\ \hline \end{array}

Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif P = 3x+5y adalah \boxed{17} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui barisan bilangan: 6, 10, 14, \cdots. Rumus umum suku ke-n untuk barisan bilangan tersebut adalah \cdots
A. \text{U}_n = -4n-2          D. \text{U}_n = n-4
B. \text{U}_n = 4n-2           E. \text{U}_n = n+4
C. \text{U}_n = 4n+2

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui a = 6 dan b = 4, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n - 1) \times 4 \\ & = 6 + 4n - 4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 4n + 2} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan \text{U}_4 = 17 dan \text{U}_9 = 37. Suku ketujuh barisan tersebut adalah \cdots
A. 25         B. 29         C. 32          D. 40          E. 44

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_9 - \text{U}_4}{9 - 4} = \dfrac{37-17}{5} = 4
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_4 = 17 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29} (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = -6. Rasio barisan tersebut adalah \cdots
A. -3                                       D. \dfrac{1}{2}
B. -2                                       E. 3
C. -\dfrac{1}{3}

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_5 = 162 dan \text{U}_2 = -6. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & = -27 \\ r^3 & = -27 \\ r & = -3 \end{aligned}
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah \boxed{-3} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 28
Suatu barisan geometri dengan suku pertama 16 dan \text{U}_4 = 2. Jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah \cdots
A. 31         B. 31,5       C. 32          D. 63           E. 64

Penyelesaian

Diketahui a = 16 dan \text{U}_4 = 2. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri:
\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}
diperoleh
\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1 - \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}
Jadi, jumlah 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah \boxed{31,5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Suku pertama suatu deret geometri adalah 6. Jika rasionya \dfrac{2}{3}, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah \cdots
A. 6            B. 9          C. 12          D. 18             E. 27

Penyelesaian

Diketahui a = 6 dan r = \dfrac{2}{3}. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}
diperoleh
\begin{aligned} S_\infty & = \dfrac{6}{1-\dfrac{2}{3}} \\ & = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} \\ & = 6 \cdot \dfrac{3}{1} = 18 \end{aligned}
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah \boxed{18} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 30
Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, masing-masing membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 2 cm dan potongan tali terpanjang adalah 54 cm, panjang tali semula adalah \cdots cm. 
A. 60          B. 70         C. 80          D. 90           E. 100

Penyelesaian

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan \text{U} _1 = a = 2 dan \text{U}_4 = 54. Dalam hal ini, akan dicari \text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = 3 \end{aligned}
Jadi, rasio barisannya adalah 3. Untuk itu, didapat
\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6
dan
\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18
Dengan demikian,
\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah \boxed{80~\text{cm}}  (Jawaban C).

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriBarisan dan Deret, Eksponen dan Logaritma, Nilai Mutlak, Program Linear, SPLDVTag, , , , , , , , ,

Satu Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas X Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *