Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas X Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

      Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas X semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! Materi yang diujikan adalah: Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma,  Nilai Mutlak (Dasar), SPLDV, Program Linear, serta Barisan dan Deret.
Silakan unduh soalnya dalam bentuk DOCx di sini.

Quote by Mario Teguh

Kesederhanaan yang jujur lebih mulia daripada kemewahan yang palsu. 

Soal Nomor 1
Bentuk $\left(\dfrac{8x^2y^{-4}} {x^{-1}y^2}\right)\left(\dfrac{4^{-2}x^{-4}} {x^{-2}y^{-3}}\right)$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $2x^{-1}y^3$                                D. $\dfrac{1}{2}xy^{-3}$
B. $2xy^{-3}$                                  E. $\dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-3}$
C. $\dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-2}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat:
$\boxed{\begin{aligned} a^{-1} & = \dfrac{1}{a} \\ a^m \cdot a^n & = a^{m+n} \\ \dfrac{a^m} {a^n} & = a^{m-n} \end{aligned}}$
diperoleh
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{8x^2y^{-4}} {x^{-1}y^2}\right)\left(\dfrac{4^{-2}x^{-4}} {x^{-2}y^{-3}}\right) \\ & = (2^3 \times (2^2)^{-2})x^{2+(-4)-(-1)-(-2)}y^{-4-2-(-3)} \\ & = 2^{3-4}x^{2-4+1+2}y^{-4-2+3} \\ & = 2^{-1}xy^{-3} \\ & = \dfrac{1}{2}xy^{-3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}xy^{-3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 2
Nilai dari $27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} -8^{\frac{2}{3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                 C. $1$                  E. $3$
B. $0$                  D. $2$          

Pembahasan

$\begin{aligned} 27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} -8^{\frac{2}{3}} & = (3^3)^{\frac{1}{3}} + (2^4)^{\frac{1}{4}} -(2^3)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3^1 + 2^1 -2^2 \\ & = 3 + 2 -4 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} -8^{\frac{2}{3}} = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{ab^2c^{-3}}{a^{-3}b^2c^4}\right)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{a^{12}}{c^{21}}$                         D. $\dfrac{a^6}{b^{12}c^3}$
B. $a^{12}b^{12}c^3$                          E. $\dfrac{c^{21}}{a^{12}}$
C. $a^{12}c^{21}$              

Pembahasan

$\begin{aligned} \left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3 & = (a^{1-(-3)}b^{2-2}c^{-3-4}) ^3 \\ & = (a^4b^0c^{-7})^3 \\ & = a^{4 \times 3}c^{-7 \times 3} \\ & = a^{12}c^{-21} \\ & = \dfrac{a^{12}} {c^{21}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3$ adalah $\boxed{\dfrac{a^{12}} {c^{21}}}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{3x+1}= 128^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                     C. $-2$                      E. $5$
B. $-5$                       D. $2$          

Pembahasan

Akan dicari nilai $x$ sedemikian sehingga persamaan berpangkat yang diberikan itu bernilai benar. Perhatikan bahwa $8$ dan $128$ memiliki hubungan pangkat, yaitu $8 = 2^3$ dan $128 = 2^7$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} 8^{3x+1} & = 128^{x-1} \\ (2^3)^{3x+1} & = (2^7)^ {x-1} \\ 2^{3(3x+1)} & = 2^{7(x-1)} \\ 2^{9x+3} & = 2^{7x-7} \\ \cancel{2}^{9x+3} & = \cancel{2}^{7x-7} \\ 9x+3 & = 7x-7 \\ 9x-7x & = -7-3 \\ 2x & = -10 \\ x &= \dfrac{-10}{2} = -5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Bentuk sederhana dari $7\sqrt{294} -5\sqrt{726} + \sqrt{96} -3\sqrt{150}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-14\sqrt{6}$                      D. $-17\sqrt{6}$
B. $-15\sqrt{6}$                      E. $-18\sqrt{6}$
C. $-16\sqrt{6}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat akar, diperoleh
$$\begin{aligned} & 7\sqrt{294} -5\sqrt{726} + \sqrt{96} -3\sqrt{150} \\ & = 7\sqrt{49 \cdot 6}- 5\sqrt{121 \cdot 6} + \sqrt{16 \cdot 6} -3\sqrt{25 \cdot 6} \\ & = 7 \cdot 7\sqrt{6} -5 \cdot 11\sqrt{6} + 4\sqrt{6} -3 \cdot 5\sqrt{6} \\ & = 49\sqrt{6}- 55\sqrt{6} + 4\sqrt{6} -15\sqrt{6} \\ & = (49-55+4-15)\sqrt{6} \\ & = -17\sqrt{6} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $7\sqrt{294} -5\sqrt{726} + \sqrt{96} -3\sqrt{150}$ adalah $\boxed{-17\sqrt{6}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari $\sqrt{2}(\sqrt{3} -\sqrt{12} + \sqrt{32})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8-\sqrt{6}$                     D. $8+\sqrt{6}$
B. $8-2\sqrt{6}$                   E. $8+2\sqrt{6}$
C. $\sqrt{6}$

Pembahasan

$\begin{aligned}\sqrt{2}(\sqrt{3} -\sqrt{12} + \sqrt{32}) & = \sqrt{6} -\sqrt{24} + \sqrt{64} \\ & = \sqrt{6} -\sqrt{4 \cdot 6} + 8 \\ & = \sqrt{6} -2\sqrt{6} + 8 \\ & = 8 -\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{2}(\sqrt{3} -\sqrt{12} + \sqrt{32})$ adalah $\boxed{8-\sqrt{6}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} -\sqrt{50}$ dan $q = 5\sqrt{18} -2\sqrt{8}$, maka $p+ q = \cdots \cdot$
A. $5\sqrt{2}$                  C. $9\sqrt{2}$                  E. $15\sqrt{2}$
B. $7\sqrt{2}$                  D. $11\sqrt{2}$    

Pembahasan

$$\begin{aligned} p + q & = \dfrac{1}{4}\sqrt{32}- \sqrt{50} + (5\sqrt{18}-2\sqrt{8}) \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{16\times 2}- \sqrt{25 \times 2} + 5\sqrt{9 \times 2} -2\sqrt{4\times 2} \\ & = \dfrac{1}{4} \times 4\sqrt{2} -5\sqrt{2} + 5 \times 3 \sqrt{2} -2 \times 2 \sqrt{2} \\ & = \sqrt{2}- 5\sqrt{2} + 15\sqrt{2} -4\sqrt{2} \\ & = (1-5+15-4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p+q$ jika $p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} -\sqrt{50}$ dan $q = 5\sqrt{18} -2\sqrt{8}$ adalah $\boxed{7\sqrt{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bentuk sederhana dari $\dfrac{13}{4-\sqrt{3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $13(4 -\sqrt{3})$                    D. $(4 + \sqrt{3})$
B. $13(4 + \sqrt{3})$                  E. $(4 -\sqrt{3})$
C. $\dfrac{13}{7}(4 + \sqrt{3})$   

Pembahasan

Pecahan itu memiliki penyebut tak rasional (memuat bentuk akar) sehingga perlu dirasionalkan dengan cara dikalikan akar sekawan.
$\begin{aligned} \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} & = \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}} {4+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {4^2-(\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {16-3} \\ & = \dfrac{\cancel{13}(4+\sqrt{3})} {\cancel{13}} \\ & = 4 + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{13}{4-\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{4+\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari $\dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{12\sqrt{6}}{6}$                       D. $2\sqrt{5}+6\sqrt{3}$
B. $10\sqrt{6}+\sqrt{3}$              E. $\dfrac{15\sqrt{6}} {6}$
C. $2\sqrt{6}+\sqrt{3}$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + \sqrt{108}} {6} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + 6\sqrt{3}} {6} \\ & = 2\sqrt{6} + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $^3 \log 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $27$                    C. $5$                  E. $3$
B. $9$                      D. $4$              

Pembahasan

$^3 \log 27 = ^3 \log 3^3 = 3$
Jadi, nilai dari $^3 \log 27$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
$^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 = \cdots$
A. $^3 \log 7$                       D. $^2 \log 3$
B. $^5 \log 7$                       E. $ ^5 \log 3$
C. $^2 \log 7$         

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b \cdot ^b \log c = ^a \log c}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & ^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 \\ & = ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 \cdot ^3 \log 7 \\ & = ^2 \log 7 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 = ^2 \log 7}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $^2 \log 6 -^2 \log 12 + ^2 \log 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $1$                    E. $4$
B. $-1$                    D. $2$           

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma:
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b \! + ^a \log c & = \! ^a \log bc \\ ^a \log b -\! ^a \log c & = \! ^a \log \dfrac{b}{c} \end{aligned}}$
diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log 6 – \! ^2 \log 12 + \! ^2 \log 8 & = \! ^2 \log \left(\dfrac{6}{12} \cdot 8\right) \\ & = \! ^2 \log 4 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^2 \log 6 -^2 \log 12 + ^2 \log 8$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$. Nilai dari $^9 \log 36$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{a}{b} + 1$                      D. $2a+b+1$
B. $\dfrac{2a}{b} + 1$                    E. $2a+2b+1$

C. $a+b+1$

Pembahasan

Diketahui $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$. 
$\begin{aligned} ^9 \log 36 & = \dfrac{\log 36}{\log 9} \\ & = \dfrac{\log (2 \times 2 \times 3 \times 3)}{\log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{\log 2 + \log 2 + \log 3 + \log 3}{\log 3 + \log 3} \\ & = \dfrac{a + a + b + b} {b + b} \\ &= \dfrac{2a+2b} {2b} \\ & = \dfrac{a+b} {b} \\ & = \dfrac{a} {b} + \dfrac{b} {b} = \dfrac{a} {b}+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 36$ jika $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$ adalah $\boxed{\dfrac{a} {b} +1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai dari $|2x – 3|$ untuk $x=-3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                  C. $-3$                     E. $-9$
B. $6$                  D. $-6$         

Pembahasan

$\begin{aligned} |2x -3| & = |2(-3) -3| \\ & = |-6-3| \\ & = |-9| = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $|2x-3|$ untuk $x = -3$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Soal Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1| < 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \leq -1$               D. $-3 < x < 1$
B. $x \leq 3$                   E. $-1 < x < 3$
C. $x > -1$

Pembahasan

Gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
$\boxed{|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a}$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} & |x-1| < 2 \\ & -2 < x -1 < 2 \\ & -2+1 < x-1+1 < 2+1 \\ & -1 < x < 3 \end{aligned}$

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

Soal Nomor 16
Penyelesaian dari pertidaksamaan $|2x-1| \geq 7$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~-4 \leq x \leq 3\}$
B. $\{x~|~-3 \leq x \leq 4\}$
C. $\{x~|~x \leq -4~\text{atau}~x \geq -3\}$
D. $\{x~|~x \leq -4~\text{atau}~x \geq 3\}$
E. $\{x~|~x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4\}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
$\boxed{|x| \geq a \iff x \leq -a ~\text{atau}~x \geq a}$
diperoleh
$\begin{aligned}& |2x-1| \geq 7 \\ & 2x-1 \leq -7~\text{atau} ~2x-1 \geq 7 \\ & 2x \leq -6~\text{atau}~2x \geq 8 \\ & x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|~x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4\}}$
(Jawaban E
)

[collapse]

Soal Nomor 17
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 7x+3y=-5 \\ 5x+2y=1 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(13,-32)\}$                   D. $\{(-32,-13)\}$
B. $\{(-13,-32)\}$                E. $\{(32,13)\}$
C. $\{(32,-13)\}$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(13, -32)\}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases} x- y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(-2,9)\}$                   D. $\{(2, 9)\}$
B. $\{(10,5)\}$                    E. $\{(5, 10)\}$
C. $\{(-5, 10)\}$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3x-3y & = 15 \\ 3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} x-y & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(10, 5)\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

 Soal Nomor 19
Andi membeli $2$ buku tulis dan $3$ pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli $3$ buku tulis dan $2$ pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli $1$ buku dan $1$ pensil, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp5.500,00                  D. Rp4.000,00
B. Rp5.000,00                  E. Rp3.500,00
C. Rp4.500,00

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 \\ 3x + 2y & = 9.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20
Harga $2$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga $3$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp33.000,00. Harga $1$ kg gula pasir dan $1$ kg beras (masing-masing) adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
B. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00
C. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00
D. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00
E. Rp6.000,00 dan Rp12.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 \\ 3x + 3y & = 33.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 2x +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Perhatikan grafik di bawah ini.

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $3x+2y \leq 36; x + 2y \geq 20; x \geq 0$ dan $y \geq 0$ pada gambar di atas adalah $\cdots \cdot$
A. V                      C. III                   E. I
B. IV                     D. II            

Pembahasan

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
$x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Seorang pedagang paling sedikit menyewa $28$ kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak $272$ karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari $14$ karung dan $colt$ 8 karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $x + y \leq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
B. $x + y \geq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
C. $x + y \geq 28; 4x + 7y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
D. $x + y \leq 28; 7x + 4y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
E. $x + y \leq 28; 4x + 7y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$

Pembahasan

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} x + y \geq 28 \\ 14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 23
Daerah yang diarsir pada grafik di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $\cdots \cdot$


A. $5x + 4y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0$
B. $5x + 4y \geq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0$
C. $4x + 5y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0$
D. $4x + 5y \leq 200; 2x + y \geq 80; x \geq 0, y \geq 0$
E. $5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0$

Pembahasan

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$
Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$
Kendala non-negatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar berikut ini.

Nilai maksimum untuk fungsi objektif $P = 3x + 5y$ adalah $\cdots \cdot$

A. $15$                     C. $17$                  E. $19$
B. $16$                     D. $18$          

Pembahasan

Daerah penyelesaian itu memiliki $3$ titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & -y  = -1 \\ & y = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama,

$\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 3) & 15 \\ \color{red}{(4, 1)} & \color{red}{17} \\ (5, 0) & 15 \\ \hline \end{array}$

Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui barisan bilangan: $6, 10, 14, \cdots$. Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = -4n-2$          
B. $\text{U}_n = 4n-2$             
C. $\text{U}_n = 4n+2$
D. $\text{U}_n = n-4$
E. $\text{U}_n = n+4$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n -1) \times 4 \\ & = 6 + 4n -4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 26
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{U}_9 = 37$. Suku ketujuh barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                     C. $32$                 E. $44$
B. $29$                     D. $40$         

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 -\text{U}_4}{9 -4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 $= 162$ dan suku ke-2 $= -6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $-\dfrac{1}{3}$                   E. $3$        
B. $-2$                    D. $\dfrac{1}{2}$               

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 = -6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & = -27 \\ r^3 & = -27 \\ r & = -3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 28
Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                         C. $32$                     E. $64$
B. $31,5$                      D. $63$          

Pembahasan

Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1 – \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$ (Jawaban B) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 29
Suku pertama suatu deret geometri adalah $6$. Jika rasionya $\dfrac{2}{3}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                        C. $12$                        E. $27$
B. $9$                        D. $18$           

Pembahasan

Diketahui $a = 6$ dan $r = \dfrac{2}{3}$. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
$\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}$
diperoleh
$S_\infty = \dfrac{6}{1-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 6 \cdot \dfrac{3}{1} = 18$
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah $\boxed{18}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 30
Seutas tali dipotong menjadi $4$ bagian, masing-masing membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah $2$ cm dan potongan tali terpanjang adalah $54$ cm, panjang tali semula adalah $\cdots$ cm. 
A. $60$                      C. $80$                  E. $100$
B. $70$                      D. $90$           

Pembahasan

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan $\text{U} _1 = a = 2$ dan $\text{U}_4 = 54$. Dalam hal ini, akan dicari $\text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4$
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat
$\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6$
dan
$\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$
Dengan demikian,
$\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80$
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *