Soal dan Pembahasan – Kompetisi Matematika Nalaria Realistik (KMNR) Tahun 2016 Babak Penyisihan Kategori Kelas 9

Dengan menggunakan aturan operasi aritmetika dasar, kita peroleh
$$\begin{aligned} 12 \div 4 + 20 \times 16 & = (12 \div 4) + (20 \times 16) \\ & = 3 + 320 = 323 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari operasi aritmetika tersebut adalah $\boxed{323}$
(Jawaban C)

Operasikan bilangan pada masing-masing penyebut dan pembilang, lalu sederhanakan. $\dfrac{2+0+1+6}{6-1-0-2} = \dfrac{9}{3} = 3$
(Jawaban E)

Kalikan, kemudian sederhanakan pecahan tersebut.
$\begin{aligned} \dfrac{3}{4} \times 20\dfrac{1}{6} & = \dfrac{\cancel{3}}{4} \times \dfrac{121}{\cancelto{2}{6}} \\ & = \dfrac{121}{8} = 15 \dfrac{1}{8} \end{aligned}$
Jadi, tiga per empat dari bilangan $20 \dfrac{1}{6}$ adalah $\boxed{15\dfrac{1}{8}}$
(Jawaban C) 

(Pilihan A)
Perhatikan bahwa $\sqrt{121} < \sqrt{125} < \sqrt{144}$ atau ditulis $11 < \sqrt{125} < 12$ sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai dari $\sqrt{125}$ berada di antara $11$ dan $12.$
(Pilihan B) Perhatikan bahwa $5\sqrt{6} = \sqrt{150}$ dan juga $\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}$ atau ditulis $12 < \sqrt{150} < 13$ sehingga dapat disimpulkan bahwa $5\sqrt{6}$ nilainya berada di antara $12$ dan $13$.
(Pilihan C) Perhatikan bahwa $5^{\frac{5}{2}} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 25\sqrt{5} = \sqrt{3.125}.$ Dengan prinsip yang sama, didapat $\sqrt{3.125}$ nilainya berada di antara $25$ dan $26.$
(Pilihan D)
$\dfrac{125}{2} = 62,5.$
(Pilihan E)
$\sqrt{225} = 15.$
Berdasarkan analisis di atas, bilangan terbesarnya adalah $\boxed{\dfrac{125}{2}}$
(Jawaban D)

Perhatikan gambar berikut.

Keliling bangun datar di atas adalah jumlah dari setiap panjang sisinya, yaitu
$\begin{aligned} k & = 7 + 3 + 4 + 6 + 4 + 3 + 7 + 12 \\ & = 46~\text{cm} \end{aligned}$
(Jawaban C) 

Agar didapat bilangan genap, posisi satuan hanya boleh ditempati oleh angka $6$ dan $8$. Agar diperoleh bilangan terbesar, satuannya ditempati oleh bilangan yang lebih kecil, yaitu $6$. 
Selanjutnya, dari posisi puluh ribuan, susun dimulai dari angka terbesar, yaitu $87.536$. 
Jadi, angka ratusan pada bilangan genap lima angka terbesar adalah $\boxed{5}$
(Jawaban B) 

Perhatikan bahwa bilangan terbesar (positif) didapat dari hasil kali bilangan positif dengan bilangan positif ATAU bilangan negatif dengan bilangan negatif. 
Jadi, perkaliannya berupa
$-16 \times (-7) = 112$ dan $12 \times 9 = 108.$
Ini berarti, bilangan terbesar yang mungkin adalah $\boxed{112}$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan operasi aljabar dasar, diperoleh
$\begin{aligned}-2x+19 & = 5x-8 \\-2x-5x & =-8-19 \\-7x & =-27 \\ x & = \dfrac{27}{7} \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat $x + \dfrac{1}{7} = \dfrac{27}{7} + \dfrac{1}{7} = 4.$
(Jawaban E)

Waktu tempuh Arief ($13.10$- $14.15$) dalam satuan menit adalah $65$ menit. Karena $1$ menit = $60$ detik, maka waktu tempuhnya adalah $\boxed{60 \times 65 = 3.900~\text{detik}}$
(Jawaban B)

Sisa kue dalam bentuk pecahan adalah 
$1- \dfrac{3}{7}- \dfrac{2}{5} = \dfrac{35-15-14}{35} = \dfrac{6}{35}.$
Pecahan $\dfrac{6}{35}$ mewakili $6$ kue, ini berarti banyaknya kue dalam stoples itu adalah $\boxed{\cancel{6} \times \dfrac{35}{\cancel{6}} = 35}$
(Jawaban C)

(Pilihan A)
Banyak angka (nomor) ganjil lebih dari $1$ adalah $9$ (yaitu $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$). Semua bolanya ada $20$. Jadi, peluang kejadiannya sebesar $\dfrac{9}{20}.$
(Pilihan B)
Banyak angka kurang dari $10$ adalah $9$ (yaitu $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$). Semua bolanya ada $20$. Jadi, peluang kejadiannya sebesar $\dfrac{9}{20}.$
(Pilihan C)
Banyak bilangan kelipatan $2$ adalah $10$ (yaitu $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$). Semua bolanya ada $20$. Jadi, peluang kejadiannya sebesar $\dfrac{10}{20}.$
(Pilihan D)
Banyak angka lebih dari $10$ adalah $10$ (yaitu $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$). Semua bolanya ada $20.$ Jadi, peluang kejadiannya sebesar $\dfrac{10}{20}.$
(Pilihan E)
Banyak bilangan prima dari $1-20$ adalah $8$ (yaitu $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$). Semua bolanya ada $20$. Jadi, peluang kejadiannya sebesar $\dfrac{8}{20}.$
(Opsi Jawaban Ganda: C atau D)

Misalkan rata-ratanya disimbolkan dengan notasi $\overline{x}$, maka
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{3+6+12+17+18+33+x}{7} \\ 7\overline{x} & =89+x \end{aligned}$
Dengan trial & error, pilih mediannya $17$ (berarti $x \geq 17$), maka ini berarti $\overline{x} = 17$ sehingga
$7 \times 17 = 119 = 89 + x$, dan didapat $x = 30.$ 
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{30}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar sketsa cokelat berukuran $8 \times 10$ berikut.
Bagian yang ditandai dengan warna biru muda merupakan bagian terluar dari cokelat yang Hanif habiskan.
Banyak blok cokelat yang tersisa adalah $6 \times 8 = 48$, sedangkan jumlah blok cokelat mula-mula sebanyak $8 \times 10 = 80$. Jadi, bagian cokelat yang tersisa adalah $\boxed{\dfrac{48}{80} = \dfrac{3}{5}}$
(Jawaban D)

Jika banyak motor dinyatakan dengan $x$ dan banyak mobil dinyatakan dengan $y$, maka dibentuk SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 4y = 74 \end{cases}$
Angka 2 dan 4 muncul berdasarkan jumlah roda pada sepeda motor dan jumlah roda pada mobil. Model di atas dapat disederhanakan kembali menjadi berikut.
$\begin{cases} x + y = 25 \\ x + 2y = 37 \end{cases}$
(Jawaban D)

Jumlah dari kelima bilangan pecahan itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} \\ & = \dfrac{5+30+15+10+6} {60} \\ & = \dfrac{60 + 6}{60} \end{aligned}$
Dari bentuk di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pecahan yang perlu dihilangkan agar mendapat jumlah $1$ adalah $\boxed{\dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10}} $ (Jawaban D)

Karena $\triangle ABC$ adalah segitiga sama sisi, maka $\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC = 60^{\circ}.$ Perhatikan bahwa $\angle BCD$ merupakan sudut berpelurus sehingga $\angle DCE = 180^{\circ}- 60^{\circ} = 120^{\circ}.$
Perhatikan $\triangle CDE.$ Jumlah semua besar sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$, maka untuk itu, haruslah
$$\begin{aligned} \angle CDE = x & = 180^{\circ}- \angle DCE- \angle DEC \\ & = 180^{\circ}- 120^{\circ}- 25^{\circ} \\ & = 35^{\circ} \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{35^{\circ}}$
(Jawaban E) 

Langkah pertama adalah menentukan nilai $m$ dengan mensubstitusikan $x=2$ pada persamaan kuadrat itu.
$\begin{aligned} 5x^2-mx-16 & = 0 \\ 5(2)^2- 2m- 16 & = 0 \\ 20- 2m- 16 & = 0 \\ 2m & = 4 \\ m & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat itu adalah $5x^2- 2x- 16 = 0$ sehingga jumlah akar-akarnya adalah $\boxed{x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} =-\dfrac{-2}{5} = \dfrac{2}{5}}$
(Jawaban D) 

Jumlah persegi kecil dimulai dari bentuk pertama mengikuti pola bilangan kelipatan 4, yaitu $4, 8, 12, \cdots, 40$
Untuk itu, akan dicari nilai dari $4 + 8 + 12 + \cdots + 40$.
Dengan menggunakan metode Gauss, penjumlahan di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} &  (4 + 40) + (8 + 36) + \cdots + (20 + 24) \\ & = \underbrace{44 + 44 + \cdots + 44}_{\text{ada}~5} \\ & = 5 \times 44 = 220 \end{aligned}$
Jadi, banyak persegi kecil yang Bondan butuhkan adalah $\boxed{220}$
(Jawaban B)

Pilih angka $5$ dan $6$ sebagai angka di posisi ratusan (karena bilangan itu merupakan mediannya). Bilangan yang dikurang harus SEKECIL MUNGKIN, sedangkan bilangan pengurang harus SEBESAR MUNGKIN. Untuk itu, buatlah bilangan $598$ (menggunakan angka-angka yang besar) sebagai bilangan pengurang dan $623$ (menggunakan angka-angka yang kecil) sebagai bilangan yang dikurang, sehingga skema operasinya menjadi seperti gambar berikut.

Hasil pengurangannya adalah $\boxed{25}$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan prinsip kekongruenan segitiga, diketahui bahwa
$$\begin{aligned} & BD = DE = 5~\text{cm} \\ & AD = DC = 12~\text{cm} \\ & AB = AE = EC = \sqrt{13^2- 5^2} = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Catatan: Gunakan Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $AB$.
Dengan demikian,
$AC = AE + EC = 12 + 12 = 24~\text{cm}.$
Jadi, panjang sisi $AC$ adalah $\boxed{24~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Langkah pertama adalah menentukan jarak kedua kota pada peta (mula-mula), yaitu $\dfrac{100}{60} \times 3,6 = 6~\text{cm}.$
Jarak dua kota sebenarnya adalah
$\begin{aligned} 6 \times 500.000 & = 3.000.000~\text{cm} \\ & = 30~\text{km} \end{aligned}$
Jadi, jarak dua kota sebenarnya adalah $\boxed{\text{30}~\text{km}} $
(Jawaban C)

Diketahui $x + \dfrac{1}{x} = 4$. 
$\begin{aligned} \left(x + \dfrac{1}{x} \right)^3 & = 4^3 \\ x^3 + 3x + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^3} & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3\left(x + \dfrac{1}{x} \right) & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3(4) & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} & = 52 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\dfrac{13}{x^3+\dfrac{1}{x^3}} = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.

Luas segi empat $ABCD$ (daerah yang diwarna) dapat dihitung dengan mengurangkan luas persegi panjang $FGHE$ dengan luas $4$ segitiga siku-siku di dalamnya.
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{EFGH}- L_{CDG}- L_{BCH}- L_{ABE}- L_{ADF} \\ & = (6 \cdot 5)- \dfrac{1}{2}(5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3) \\ & = 30- \dfrac{1}{2}(10 + 9 + 6 + 3) \\ & = 30- \dfrac{1}{2} \cdot 28 \\ & = 30- 14 = 16 \end{aligned}$$Jadi, luas segiempat $ABCD$ adalah $\boxed{16}$
(Jawaban C)

Agar menghasilkan bilangan $1$, maka pangkatnya harus bernilai $0$ dan dengan syarat basisnya tak nol. Karena $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3),$ diperoleh $x = 2$ atau $x = 3.$
Untuk $x=2$, didapat basis $2+1 = 3 \neq 0.$ 
Untuk $x=3$, didapat basis $3+1 = 4 \neq 0.$
Selanjutnya, basisnya harus bernilai $1$ (karena $1$ pangkat berapapun hasilnya tetap $1$), maka haruslah $x = 0$. 
Terakhir, perhatikan bahwa$(-1)^n$ untuk $n$ genap juga menghasilkan bilangan $1$. 
Untuk itu $x+1 =-1$ menghasilkan $x =-2$. Cek syarat bahwa pangkatnya harus genap.
Untuk $x =-2$, diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-5x+6 & = (-2)^2-5(-2)+6 \\ & = 20 \end{aligned}$$Karena $20$ adalah bilangan genap, maka penyelesaian diterima. 
Jadi, HP dari persamaan itu adalah $\{-2, 0, 2, 3\}$ sehingga yang bukan solusi adalah $\boxed{1}$
(Jawaban C)

Dalam barisan aritmetika tersebut berlaku
$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_3 & = 2\text{U}_2 \\ p + q & = 2(5) = 10 \end{aligned}$
Dalam barisan geometri tersebut berlaku
$\begin{aligned} \text{U}_1 \times \text{U}_3 & = (\text{U}_2)^2 \\ pq & = 2^2 = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \dfrac{8}{p} + \dfrac{8}{q} & = \dfrac{8p + 8q} {pq} \\ & = \dfrac{8(p+q)} {pq} \\ & = \dfrac{8(10)} {4} = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{8}{p} + \dfrac{8}{p}$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban A)