Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XI Semester Ganjil TA 2019/2020 SMKN 3 Pontianak

     Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas XI semester ganjil tahun ajaran 2019/2020 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! Materi yang diujikan adalah: Persamaan & Fungsi Kuadrat, Komposisi & Invers Fungsi, Persamaan Lingkaran, dan Vektor. Paket soal ulangan ini memuat 30 butir soal pilihan ganda.
Unduh Soal: PDF

Soal Nomor 1
Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat $x^2+4x+4=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-1\}$                     D. $\{2\}$
B. $\{1\}$                         E. $\{-3\}$
C. $\{-2\}$

Pembahasan

Persamaan $x^2+4x+4 = 0$ dapat dicari penyelesaiannya dengan beberapa cara, yaitu:
1. Pemfaktoran
Perhatikan bahwa $x^2+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)^2$ sehingga persamaan $x^2+4x+4=0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (x+2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
2. Rumus Kuadrat (ABC)
Diketahui $x^2+4x+4=0$ dengan $a=1$, $b=4$, dan $c = 4$ sehingga dengan menggunakan rumus ABC diperoleh
$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-4 \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} \\ & = \dfrac{-4 \pm 0}{2} \\ & = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}$
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
3. Metode Kuadrat Sempurna
Persamaan $x^2+4x+4 = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \left[(x+2)^2-\bcancel{4}\right] + \bcancel{4} & = 0 \\ (x+2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Catatan: Bentuk $x^2+4x+4$ sudah dalam bentuk kuadrat sempurna.
Jadi, HP-nya adalah $\{-2\}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-4$ dan $2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+2x+2=0$
B. $x^2+2x-8=0$
C. $x^2-2x+8=0$
D. $x^2-2x-8=0$
E. $x^2+2x+8=0$

Pembahasan

Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ adalah $(x-\alpha)(x-\beta) = 0$.
Untuk $\alpha = -4$ dan $\beta = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} (x-(-4))(x-2) & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \\ x^2-2x+4x-8 & = 0 \\ x^2+2x-8 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $\boxed{x^2+2x-8=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Sifat-sifat akar dari persamaan kuadrat $2x^2+8x-12=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. real berkebalikan
B. real sama (kembar)
C. real berlawanan
D. real berlainan
E. imajiner

Pembahasan

Diketahui $2x^2+8x-12=0$.
Bagi kedua ruas dengan $2$ untuk memperoleh $x^2+4x-6=0$.
Sifat akar persamaan kuadrat dilihat dari diskriminannya dengan ketentuan berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Diskri}\text{minan} & \text{Sifat Akar} \\ \hline D > 0 & \text{Real berlainan} \\ \hline D = 0 & \text{Real sama/kembar} \\ \hline D < 0 & \text{Imajiner/khayal} \\ \hline \end{array}$
Dari persamaan $x^2+4x-6 = 0$, diketahui $a =1$, $b=4$, dan $c=-6$. Diskriminannya adalah $D = b^2-4ac$.
$\begin{aligned} D & = (4)^2-4(1)(-6) \\ & = 16+24 = 40 \end{aligned}$
Karena diskriminannya positif, maka sifat akarnya adalah real berlainan (lihat tabel di atas).
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+x-6=0$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $-2$                  C. $0$                E. $2$
B. $-1$                  D. $1$

Pembahasan

Diketahui $x^2+x-6=0$ dengan akar-akar $a$ dan $b$.
Jumlah akar, yaitu $a+b$, dapat ditentukan dengan menegatifkan koefisien $x$, lalu dibagi dengan koefisien $x^2$. Kita tuliskan
$a + b = -\dfrac{1}{1} = -1$.
Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+6=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-5x+6=0$
B. $x^2+5x+6=0$
C. $x^2-5x-6=0$
D. $6x^2+5x+1=0$
E. $6x^2-5x+1=0$

Pembahasan

Diketahui $x^2+5x+6=0$.
Jumlah akarnya adalah
$\color{red}{x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5}$
Hasil kali akarnya adalah
$\color{blue}{x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1}=6}$
Dengan demikian, jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{\color{red}{x_1 + x_2}}{\color{blue}{x_1x_2}} \\ & = \dfrac{-5}{6} \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{\color{blue}{x_1x_2}} = \dfrac16$
Persamaan kuadrat yang baru itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} x^2-\text{JA}x + \text{HKA} & = 0 \\ x^2-\left(\dfrac{-5}{6}\right)+\dfrac16 & = 0 \\ \text{Kalikan 6 di kedua}~&\text{ruas} \\ 6x^2+5x+1 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi $f(x)=4+3x-x^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-1\dfrac12$                  D. $x=1\dfrac13$
B. $x=-\dfrac34$                    E. $x=1\dfrac12$
C. $x=\dfrac34$

Pembahasan

Fungsi kuadrat $f(x) = ax^2+bx+c$ memiliki persamaan sumbu simetri $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Diketahui $f(x)=4+3x-x^2$ dengan $a=-1$ dan $b = 3$.
Persamaan sumbu simetri fungsi $f(x)$ adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2(-1)} = \dfrac32 = 1\dfrac12$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 7
Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat $y=x^2-4x-12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(2,8)$                       D. $(8,16)$
B. $(2,-16)$                 E. $(16,-8)$
C. $(2,-8)$

Pembahasan

Diketahui $y=x^2-4x-12$ dengan $a=1$, $b=-4$, dan $c=-12$.
Absis titik balik ditentukan oleh
$x_p =-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$
Ordinat titik baliknya dapat ditentukan dengan mensubstitusi $x = 2$ pada fungsi kuadrat.
$\begin{aligned} y & = x^2-4x-12 \\ y_p & = (2)^2-4(2)-12 \\ & = 4-8-12 =-16 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik baliknya adalah $(2, -16)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ dan berdiskriminan $D$ menyinggung sumbu-$X$ apabila $\cdots \cdot$
A. $D>0$                    D. $a=0$
B. $a>0$                     E. $D<0$
C. $D=0$

Pembahasan

Jika grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu-$X$ (dengan kata lain, memotong sumbu-$X$ di satu titik saja), maka diskriminannya haruslah $0$ (akar persamaan kuadratnya kembar), ditulis $\boxed{D=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Titik potong grafik $y=x^2-3x+2$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1,2)$ dan $(2,1)$
B. $(1,0)$ dan $(2,0)$
C. $(0,1)$ dan $(0,2)$
D. $(-1,0)$ dan $(-2,0)$
E. $(10,0)$ dan $(20,0)$

Pembahasan

Diketahui $y = x^2-3x+2$.
Ketika grafik fungsi memotong sumbu-$X$, nilai $y$ adalah $0$. Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} 0 & = x^2-3x+2 \\ 0 & = (x-2)(x-1) \\ x-2 & = 0~\text{atau}~x-1 = 0 \\ x & = 2~\text{atau}~x=1 \end{aligned}$
Jadi, titik potong grafik fungsi itu terhadap sumbu-$X$ adalah $(1, 0)$ dan $(2, 0)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $2$ kalinya dari akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-8x+16=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+8x+20=0$
B. $x^2-8x+20=0$
C. $x^2+8x-20=0$
D. $x^2-8x-32=0$
E. $x^2-8x+32=0$

Pembahasan

Persamaan kuadrat $2x^2-8x+16=0$ dapat disederhanakan menjadi $x^2-4x+8=0$ dengan membagi kedua ruas dengan $2$.
Misal akarnya adalah $p$ dan $q$.
Diketahui jumlah akarnya adalah
$p+q = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{1} = 4$
dan hasil kali akarnya
$pq = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{1}=8$.
Persamaan kuadrat yang baru memiliki akar-akar $2p$ dan $2q$ dengan jumlah akarnya:
$\begin{aligned} 2p+2q & = 2(p+q) \\ & = 2(4) = 8 \end{aligned}$
dan hasil kali akarnya:
$\begin{aligned} 2p \cdot 2q & = 4(pq) \\ & = 4(8) = 32 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-\text{JA}x+\text{HKA} & = 0 \\ x^2-8x+32 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ serta melalui titik tertentu berkoordinat $(x,y)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=a(x-x_1 )(x-x_2)$
B. $y=a(x-x_1 )^2$
C. $y=ax^2+bx+c$
D. $y=a(x-x_1 )^2+x_2$
E. $y=a(x+x_1 )(x+x_2)$

Pembahasan

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ serta melalui titik tertentu berkoordinat $(x,y)$ adalah $\boxed{y=a(x-x_1 )(x-x_2)}$ dengan $a \in \mathbb{R}$ dan $a$ bukan nol.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,2)$ dan melalui titik $(0,4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=x^2+4x+4$
B. $y=x^2-4x+4$
C. $y=x^2+2x+4$
D. $y=2x^2+2x-4$
E. $y=2x^2-4x+4$

Pembahasan

Fungsi kuadrat dengan titik balik $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dinyatakan oleh $\boxed{y= a(x-x_p)^2 + y_p}$
Untuk $x_p = 1$, $y_p=2$, $x=0$, dan $y=4$, kita akan mencari nilai $a$.
$\begin{aligned} 4 & = a(0-1)^2+2 \\ 4-2 & = a(-1)^2 \\ 2 & = a(1) \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk $x_p = 1$, $y_p=2$, dan $a=2$, kita peroleh fungsi kuadrat:
$\begin{aligned} y & = 2(x-1)^2+2 \\ & = 2(x^2-2x+1)+2 \\ & = 2x^2-4x+2+2 \\ & = 2x^2-4x+4 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,2)$ dan melalui titik $(0,4)$ adalah $\boxed{y=2x^2-4x+4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipasang kawat di sekelilingnya. Jika panjang kawatnya $400$ m, maka luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah $\cdots~\text{m}^2$.
A. $12.000$                   D. $9.000$
B. $11.000$                   E. $8.000$
C. $10.000$

Pembahasan

Panjang kawat akan menjadi keliling persegi panjang sehingga dapat kita tulis
$\begin{aligned} \text{keli}\text{ling} & = 400 \\ 2(p+l) & = 400 \\ p+l & = 200 \\ p & = 200-l \end{aligned}$
Luas tanah (dalam artian di sini adalah luas persegi panjang) dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = p \times l \\ & = (200-l) \times l \\ & = 200l-l^2 \end{aligned}$
Kita peroleh suatu fungsi kuadrat $L = 200l-l^2$.
Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat ini adalah
$l = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{200}{2(-1)} = 100$
Ini artinya, luas akan maksimum jika lebarnya $100$ m.
$\begin{aligned} L_{\text{maks}} & = 200(100)-(100)^2 \\ & = 20.000-10.000=10.000 \end{aligned}$
Jadi, luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah $\boxed{10.000~\text{met}\text{er pers}\text{egi}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui $f(x)=x^2+3x-4$ dan $g(x)=5x-3$. Hasil dari $(f-g)(x) = \cdots \cdot$
A. $x^2-8x+7$
B. $x^2+8x+7$
C. $x^2-2x-1$
D. $x^2-2x-7$
E. $x^2-8x-1$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+3x-4 \\ g(x) & = 5x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f-g)(x) & = f(x)-g(x) \\ & = (x^2+3x-4)-(5x-3) \\ & = x^2+3x-4-5x+3 \\ & = x^2-2x-1 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f-g)(x) = x^2-2x-1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x)=x^2-4$ dan $g(x)=2x+1$, maka $(f \cdot g)(x) = \cdots \cdot$
A. $3x^2-8x-4$
B. $3x^2-8x+4$
C. $3x^2+8x+4$
D. $2x^3+x^2-8x-4$
E. $2x^3+x^2-8x+4$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4 \\ g(x) & = 2x+1 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f \cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ & = (x^2-4)(2x+1) \\ & = 2x^3+x^2-8x-4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f \cdot g)(x) = 2x^3+x^2-8x-4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Notasi $(f \circ g)(x)$ menyatakan komposisi dari $\cdots$ buah fungsi.
A. $1$                 C. $3$                 E. $5$
B. $2$                 D. $4$

Pembahasan

$(f \circ g)(x)$ menyatakan komposisi dari dua buah fungsi, yaitu fungsi $f$ dan fungsi $g$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui $f(x)=x^2-4x+6$ dan $g(x)=2x-3$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \cdots \cdot$
A. $4x^2+4x+15$
B. $4x^2+4x+3$
C. $4x^2-20x+27$
D. $2x^2-8x+12$
E. $2x^2-8x+15$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4x+6 \\ g(x) & = 2x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x-3) \\ & = (2x-3)^2-4(2x-3)+6 \\ & = (4x^2-12x+9)-8x+12+6 \\ & = 4x^2-20x+27 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{(f \circ g)(x) = 4x^2-20x+27}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $f(x)=x^2-2x+1$ dan $g(x)=x-3$. Fungsi komposisi dari $(g \circ f)(3)= \cdots \cdot$
A. $5$                   C. $3$                E. $1$
B. $4$                   D. $2$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-2x+1 \\ g(x) & = x-3 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (g \circ f)(3) & = g(f(3)) \\ & = g((\color{red}{3})^2-2(\color{red}{3})+1) \\ & = g(4) = \color{red}{4}-3 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(g \circ f)(3)=1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui $(f \circ g)(x)=21x-10$ dan $f(x)=7x+4$. Rumus fungsi $g(x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x-3$                    D. $3x+2$
B. $3x-2$                    E. $3x-3$
C. $2x+3$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & =21x-10 \\ f(x) & = 7x+4 \end{aligned}$
Kita akan mencari rumus fungsi $g(x)$ dimulai dari komposisi fungsinya.
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & =21x-10 \\ f(g(x)) &=21x-10 \\ 7g(x) + 4 & = 21x-10 \\ 7g(x) & = 21x-14 \\ g(x)&= \dfrac{21x-14}{7} = 3x-2 \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi $g(x)$ adalah $\boxed{g(x) = 3x-2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $f(x)=x-5$, maka $f^{-1}(x) = \cdots \cdot$
A. $x+5$                      D. $\dfrac{5}{x}$
B. $x-5$                       E. $5x$
C. $\dfrac{x}{5}$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x-5$. 
Misalkan $f(x) = y$, maka kita dapat tulis menjadi
$\begin{aligned} y & = x-5 \\ y+5 & = x \\ y+5 & = f^{-1}(y) \\ f^{-1}(x) & = x + 5 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f^{-1}(x) = x+5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Soal Nomor 21
Jika $f(x)=\dfrac{3x+6}{3x+1}, x \neq -\dfrac13$, maka $f^{-1}(x) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3x-3}{x+6}, x \neq -6$
B. $\dfrac{3x+3}{x-6}, x \neq 6$
C. $\dfrac{-x+6}{3x-3}, x \neq 1$
D. $\dfrac{x+6}{3x+3}, x \neq -1$
E. $\dfrac{6x}{3x+3}, x \neq -1$

Pembahasan

Cara 1: Manual
Diketahui $f(x)=\dfrac{3x+6}{3x+1}$.
Misalkan $f(x) = y$ sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} y & = \dfrac{3x+6}{3x+1} \\ y(3x+1) & = 3x+6 \\ 3xy+y-3x & = 6 \\ x(3y-3) & = 6-y \\ x & = \dfrac{6-y}{3y-3} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{6-y}{3y-3} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{-x+6}{3x-3}, x \neq 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa agar invers fungsi $f$ terdefinisi, penyebutnya tidak boleh bernilai $0$, artinya $3x-3 \neq 0$ menghasilkan $x \neq 1$.
Cara 2: Kilat
Jika $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$, maka $f^{-1}(x) = \dfrac{-dx+b}{cx-a}$.
Karena $f(x)=\dfrac{3x+6}{3x+1}$, maka dengan menggunakan formula di atas, inversnya adalah $f^{-1}(x) = \dfrac{-x+6}{3x-3} = \dfrac{6-x}{3x-3}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=2x$, maka $(f \circ g)^{-1} (x) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3-x}{4}$                   D. $\dfrac{4}{x+3}$
B. $\dfrac{x-3}{4}$                   E. $4x-3$
C. $\dfrac{4}{x-3}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = 2x+3 \\ g(x) & = 2x \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x) \\ & = 2(\color{red}{2x})+3 = 4x+3 \end{aligned}$
Misalkan $y = (f \circ g)(x)$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{aligned} y & = 4x+3 \\ y-3 & = 4x \\ x & = \dfrac{y-3}{4} \\ (f \circ g)^{-1}(y) & = \dfrac{y-3}{4} \\ (f \circ g)^{-1}(x) & = \dfrac{x-3}{4} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(f \circ g)^{-1} (x) = \dfrac{x-3}{4}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $f(x)=x-1$ dan $g(x)=x$, maka $(f \circ g)^{-1} (3)= \cdots \cdot$
A. $1$                   C. $3$                 E. $5$
B. $2$                   D. $4$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & =x-1 \\ g(x) & = x \end{aligned}$
Komposisi fungsi $f$ bundaran $g$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x) = x-1 \end{aligned}$
Karena $(f \circ g)(x) = x-1$, maka berdasarkan definisi invers fungsi, kita peroleh $(f \circ g)^{-1}(x-1) = x$.
Substitusi $x = 4$ dan kita akan mendapatkan $\boxed{(f \circ g)^{-1}(3) = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+y^2=r^2$
B. $x^2-y^2=r^2$
C. $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
D. $(x+a)^2+(y+b)^2=r^2$
E. $x^2+a^2+y^2+b^2=r^2$

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran

Soal Nomor 25
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,2)$ dan berjari-jari $2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+y^2-2x-4y+1=0$
B. $x^2+y^2∓2x-4y+1=0$
C. $x^2+y^2-2x+4y+1=0$
D. $x^2+y^2+2x+4y+1=0$
E. $x^2+y^2-2x-4y-1=0$

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$
Untuk $a = 1$ dan $b = 2$, serta $r = 2$, diperoleh persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-1)^2+(y-2)^2 & = 2^2 \\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) & = 4 \\ x^2+y^2-2x-4y+1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2-2x-4y+1 = 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 26
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(2,3)$ dan menyinggung garis $3x-4y-4=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+y^2-4x-6y-9=0$
B. $x^2+y^2-4x-6y+9=0$
C. $x^2+y^2-4x+6y+9=0$
D. $x^2+y^2+4x+6y+9=0$
E. $x^2+y^2+4x-6y+9=0$

Pembahasan

Diketahui $(x_p, y_p) = (2, 3)$. Garis singgungnya adalah $3x-4y-4 = 0$. Ini berarti,
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x & = a = 3 \\ \text{Koef}\text{isien}~y & = b = -4 \\ \text{Konst}\text{anta} & = c = -4 \end{aligned}$
Jari-jarinya ditentukan oleh rumus berikut.
$\begin{aligned} r & = \dfrac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & = \dfrac{|3(2)+(-4)(3)+(-4)|}{\sqrt{(3)^2+(-4)^2}} \\ & = \dfrac{|6-12+(-4)|}{\sqrt{9+16}} \\ & = \dfrac{10}{5} = 2 \end{aligned}$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(2, 3)$ dan berjari-jari $2$ adalah
$\begin{aligned} (x-2)^2+(y-3)^2 & = 2^2 \\ (x^2-4x+4)+(y^2-6y+9) & = 4 \\ x^2+y^2-4x-6y+9 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui titik $A(2,-3)$ dan lingkaran $x^2+y^2+2x-3y-29=0$. Kedudukan titik $A$ terhadap lingkaran itu adalah $\cdots \cdot$
A. di dalam lingkaran
B. di luar lingkaran
C. di titik asal
D. pada lingkaran
E. di kuadran pertama sistem koordinat

Pembahasan

Substitusi $x = 2$ dan $y = -3$ pada bentuk di ruas kiri persamaan lingkaran tersebut, yaitu $x^2+y^2+2x-3y-29$.
$\begin{aligned} & (2)^2+(-3)^2+2(2)-3(-3)-29 \\ & = 4+9+4+9-29 = -3 < 0 \end{aligned}$
Karena hasilnya kurang dari $0$, maka dapat disimpulkan bahwa titik $A(2,-3)$ berada di dalam lingkaran $x^2+y^2+2x-3y-29=0$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$, dan $\vec{c} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka vektor posisi dari $\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\vec{i}-3\vec{j}$                   D. $5\vec{i}-\vec{j}$
B. $-\vec{i}-3\vec{j}$                E. $5\vec{i}+\vec{j}$
C. $-\vec{i}+3\vec{j}$

Pembahasan

$\begin{aligned} \vec{a}-2\vec{b}+\vec{c} & = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & =  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4-0+(-5) \\ 1-6+2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Vektor posisi dari $\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$ selanjutnya dinyatakan oleh $\boxed{-\vec{i}-3\vec{j}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ 24 \end{pmatrix}$, maka besar (panjang) vektor $\vec{a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $24$                  C. $26$               E. $28$
B. $25$                  D. $27$

Pembahasan

Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ 24 \end{pmatrix}$.
Panjang vektor $\vec{a}$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} |\vec{a}| & = \sqrt{7^2+24^2} \\ & = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25 \end{aligned}$
Jadi, vektor $\vec{a}$ memiliki panjang $\boxed{25}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$. Vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 8/17 \\ 15/17 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -8/17 \\ 15/17 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 8/17 \\ -15/17 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 17/8 \\ 17/15 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} -17/8 \\ 17/15 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$.
Panjang vektor $\vec{a}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{a}| & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17 \end{aligned}$
Vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah vektor yang setiap komponennya dibagi dengan panjang vektor tersebut sehingga panjangnya menjadi $1$. Ini berarti, vektor satuan dari $\vec{a}$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 8/17 \\ 15/17 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)

CategoriesUlangan Umum, Fungsi, Fungsi Kuadrat, Geometri, Geometri Analitik Datar, Persamaan Kuadrat, VektorTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *