Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi yang dipelajari pada tingkat SMA/Sederajat. Umumnya, materi ini dipelajari setelah siswa memahami konsep mengenai persamaan kuadrat, karena selain melibatkan perhitungan secara aljabar, materi ini juga melibatkan analisis secara geometri (gambar grafik). Tidak menutup kemungkinan sejumlah siswa sulit memahami materi tersebut sehingga penulis menyajikan beberapa soal & pembahasan terkait fungsi kuadrat yang dengan penuh harapan dapat membantu siswa memahami materi serta dapat juga digunakan sebagai referensi guru dalam memberikan evaluasi.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 1
Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat f(x)=2x^2-4x+5 adalah \cdots


A. (1,3)              D. (2,5)
B. (1,5)              E. (2,7)
C. (1,7)

Penyelesaian

Karena f(x)=2x^2-4x+5, berarti a=2,b=-4, c=5.
Absis titik balik dinyatakan oleh
x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(2)} = 1
Substitusikan x=1 pada f(x)=2x^2-4x+5, sehingga diperoleh
y_p = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3
Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadratnya adalah \boxed{(x_p, y_p) = (1, 3)}

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat y=2x^2+2kx+k+5 adalah (m, m). Nilai k+m=\cdots
A. -1 atau \frac72
B. -1 atau \frac52
C. 1 atau -\frac52
D. 1 atau -\frac72
E. 1 atau \frac52

Penyelesaian

Karena f(x)= y = 2x^2+2kx+k+5 memiliki titik puncak di (x_p, y_p) = (m, m), maka
\begin{aligned} x_p & = -\dfrac{b}{2a} \\ m & = -\dfrac{2k}{2(2)} \\ k & = -2m \end{aligned}
Substitusi y = x = m dan k=-2m pada persamaan y = 2x^2+2kx+k+5, sehingga diperoleh
\begin{aligned} m & = 2m^2 + 2(-2m)m + (-2m) + 5 \\ 0 & = 2m^2 - 4m^2 - 3m + 5 \\ 0 & = -2m^2 - 3m + 5 \\ 0 & = 2m^2+3m-5 \\ 0 & = (2m+5)(m-1) \end{aligned}
Diperoleh m=-\dfrac52 atau m=1
Untuk m=-\dfrac52, didapat k=-2m = -2\left(-\dfrac52\right) = 5, sehingga
\boxed{k+m=5+\left(-\dfrac52\right) = \dfrac52}
Untuk m=1, didapat k=-2m = -2(1) = -2, sehingga
\boxed{k+m=-2+1 = -1}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Persamaan grafik parabola pada gambar di samping adalah \cdots

A. f(x) = x^2+4x
B. f(x) = x^2-4x
C. f(x) = -x^2+4x
D. f(x) = -x^2-4x+4
E. f(x) = -x^2+4x-4  

Penyelesaian

Perhatikan bahwa grafik parabola tersebut memotong sumbu X di dua titik. Jika grafik parabola memotong sumbu X di x = a dan x = b, maka persamaannya adalah f(x) = k(x-a) (x-b)
Dalam kasus ini, parabolanya memotong sumbu X di x = 0 dan x = 4, sehingga
\begin{aligned} f(x) & = k(x-0)(x-4) \\ & = kx(x-4) \\ & = k(x^2-4x) \end{aligned}
Substitusikan x=2 dan f(2) = -4 untuk menentukan nilai k.

\begin{aligned} -4 & = k(2^2 - 4(2)) \\ -4 & = k(-4) \\ k & = 1 \end{aligned}
Jadi, persamaan grafik parabola tersebut adalah \boxed{f(x) = x^2-4x} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui fungsi f(x)=(a+1)x^2-2ax+(a-2) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah …
A. a<2              D. a<-2
B. a>-2             E. a>1
C. a<-1

Penyelesaian

Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai x) adalah koefisien x^2 bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien x^2 negatif:
a + 1 < 0 \Leftrightarrow a < -1
Syarat diskriminan negatif:
\begin{aligned} (-2a)^2 - 4(a+1)(a-2) & < 0 \\ 4a^2 - (4a^2-4a-8) & < 0 \\ 4a + 8 & < 0 \\ a & < -2 \end{aligned}
Irisan dari a < -1 dan a < -2 dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.
 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah \boxed{a<-2}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika fungsi kuadrat y=ax^2+6x+a mempunyai sumbu simetri x=3, maka nilai maksimum fungsi tersebut adalah \cdots
A. 9            B. 8             C. 5            D. 3             E. 1

Penyelesaian

Diketahui f(x)=y=ax^2+6x+a
Akan ditentukan nilai a terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan sumbu simetri.
\begin{aligned} x_p & = 3 \\ -\dfrac{\text{Koefisien}~x}{2 \cdot \text{Koefisien}~x^2} & = 3 \\ -\dfrac{6}{2a} & = 3 \\ -6 & = 6a \\ a & = -1 \end{aligned}
Jadi, f(x)=-x^2+6x-1
Substitusikan x=3 untuk mendapatkan nilai maksimum fungsi.
f(3) =y_p = -(3)^2+6(3)-1 = 8
Jadi, nilai maksimum fungsi tersebut adalah \boxed{8}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Gambar kurva parabola berikut merupakan grafik dari fungsi kuadrat yang berbentuk \cdots

A. f(x) = a(x-2)^2-4 dengan a>0
B. f(x) = a(x-4)^2+2 dengan a<0
C. f(x) = a(x+2)^2+4 dengan a>0
D. f(x) = a(x-2)^2+4 dengan a<0
E. f(x) = a(x+4)^2-2 dengan a>0

Penyelesaian

Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di (x_p, y_p) = (2, 4)
Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk
\begin{aligned} & f(x) = a(x-x_p)^2+y_p \\ & \Rightarrow f(x) = a(x-2)^2+4 \end{aligned}
Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai a > 0, begitu sebaliknya.
Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n), sehingga a < 0.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika gambar di bawah merupakan grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2, -1) dan melalui titik (0,-5), maka nilai f(2) adalah \cdots

A. -17              D. -20
B. -18              E. -21
C. -19

Penyelesaian

Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y) diberikan oleh
y - y_p = a(x-x_p)^2
Diketahui x_p = -2, y_p=-1, x=0, dan y=-5, sehingga didapat
\begin{aligned} -5-(-1) & = a(0 - (-2))^2 \\ -4 & = a(2)^2 \\ a & = -1 \end{aligned}
Untuk itu, rumus fungsi kuadratnya menjadi
y = a(x-x_p)^2 + y_p \Rightarrow y = -(x+2)^2 + 1
Untuk x = 2, diperoleh
\boxed{f(2) = y = -(2+2)^2-5 = -4^2+1=-17}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -2x^2+4x+3 dengan daerah asal \{x~|~&2 \leq x < 3, x \in \mathbb{R}\}. Daerah hasil fungsi f adalah \cdots
A. \{y~|-3 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}
B. \{y~|-3 \leq y \leq 3, y \in \mathbb{R}\}
C. \{y~|-13 \leq y \leq -3, y \in \mathbb{R}\}
D. \{y~|-13 \leq y \leq 3, y \in \mathbb{R}\}
E. \{y~|-13 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}

Penyelesaian

Diketahui f(x) = -2x^2+4x+3.
Absis grafik dari fungsi kuadrat itu adalah
x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-2)} = 1
Karena koefisien x^2 bernilai negatif, maka parabola akan terbuka ke bawah. Di titik x=1, nilai maksimum fungsi akan tercapai, yaitu
f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 3 = -2+4+3=5
Nilai minimum fungsi pada interval -2 \leq x \leq 3 tercapai pada nilai x yang paling jauh jaraknya dari x=1, yaitu x = -2, sehingga
\begin{aligned} f(-2) & = -2(-2)^2 + 4(-2) + 3 \\ & = -8 - 8 +3=-13 \end{aligned}
Dengan demikian, daerah hasil fungsi f adalah \boxed{\{y~|-13 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik baliknya sama dengan titik balik dari grafik f(x)=x^2+4x+3 adalah \cdots
A. y=4x^2+x+3
B. y=x^2-3x+1
C. y=4x^2+16x+15
D. y=4x^2+15x+16
E. y=x^2-3x-1

Penyelesaian

Koordinat titik balik dari grafik f(x)=x^2+4x+3 adalah
\begin{aligned} x_p & = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(1)} = -2 \\ y_p & = (-2)^2+4(-2) + 3 = -1 \end{aligned}
Jadi, koordinat titik baliknya adalah (-2,-1).
Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y) diberikan oleh
y - y_p = a(x-x_p)^2
Diketahui x_p = -2, y_p=-1, x=-1, dan y=3, sehingga didapat
\begin{aligned} 3-(-1) & = a(-1-(-2))^2 \\ 4 & = a(1)^2 \\ a & = 4 \end{aligned}
Substitusi balik x_p = -2, y_p=-1, a = 4 sehingga didapat
\begin{aligned} y - (-1) & = 4(x - (-2))^2 \\ y + 1 & = 4(x^2+4x+4) \\ y & = 4x^2+16x +15 \end{aligned}
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah \boxed{f(x)=y=4x^2+16x+15}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Grafik fungsi f(x)=x^2-6x+7 dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik fungsi f(x)=x^2 ke arah \cdots
A. kanan sumbu-X sejauh 2 satuan, bawah sumbu-Y sejauh 3 satuan
B. kiri sumbu-X sejauh 3 satuan, atas sumbu-Y sejauh 2 satuan
C. kanan sumbu-X sejauh 3 satuan, bawah sumbu-Y sejauh 2 satuan
D. kanan sumbu-X sejauh 2 satuan, bawah sumbu-Y sejauh 2 satuan
E. kanan sumbu-X sejauh 3 satuan, bawah sumbu-Y sejauh 3 satuan

Penyelesaian

Pergeseran grafik fungsi kuadrat (parabola) hanya perlu kita pandang sebagai pergeseran satu titik tetap, misalkan titik baliknya.
Jelas bahwa koordinat titik balik grafik f(x)=x^2 adalah (0, 0).
Koordinat titik balik grafik f(x)=x^2-6x+7 adalah
\begin{aligned} x_p & = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \\ y_p & = (3)^2-6(3)+7 = -2 \end{aligned}
yakni di (3, -2).
Dengan demikian, pergeseran grafik f(x)=x^2-6x+7 diperoleh dengan cara menggeser grafik f(x)=x^2 ke arah kanan sumbu-X sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu-Y sejauh 2 satuan (jika bertanda negatif, pergeserannya ke arah bawah).

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika grafik f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2 menyinggung sumbu-X, maka koordinat titik balik maksimumnya adalah \cdots
A. (-3,0)             D. (3,0)
B. (-2,0)             E. (5,0)
C. (2,0)

Penyelesaian

Karena f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2 menyinggung sumbu-X, diskriminannya harus bernilai 0.
\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (2a+6)^2-4a(2a-2) & = 0 \\ (4a^2+24a+36)-8a^2+8a & = 0 \\ -4a^2+32a+36 & = 0 \\ a^2-8a+9 & = 0 \\ (a-9)(a+1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh a=9 atau a=-1
Karena titik baliknya maksimum, maka haruslah a<0 (parabola terbuka ke bawah), sehingga nilai a yang dianbil adalah a=-1.
Jadi, f(x)=-x^2+4x-5
Absis titik baliknya adalah
x_p = -\dfrac{\text{Koefisien}~x}{2 \cdot \text{Koefisien}~x^2} = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2
Karena grafik menyinggung sumbu-X, maka y_p = 0.
Jadi, koordinat titik balik maksimumnya adalah \boxed{(x_p, y_p) = (2, 0)}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika grafik fungsi kuadrat f(x)=x^2+x+p menyinggung garis 3x+y=1 dengan p>0, maka nilai p yang memenuhi adalah \cdots
A. 5       B. 4         C. 3          D. 2         E. 1

Penyelesaian

Substitusikan f(x) = y = x^2+x+p ke persamaan 3x+y=1, sehingga diperoleh
3x+(x^2+x+p) = 1 \Leftrightarrow x^2+4x+(p-1) = 0
Karena grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garisnya bersinggungan, maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai 0.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac = 0 \\ (4)^2 - 4(1)(p-1) & = 0 \\ 16 - 4p + 4 & = 0 \\ 4p & = 20 \\ p & = 5 \end{aligned}
Jadi, nilai p adalah \boxed{5}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Grafik fungsi kuadrat f(x)=x^2+bx+4 menyinggung garis y=3x+4. Nilai b yang memenuhi adalah \cdots
A. -4        B. -3         C. 0           D. 3        E. 4

Penyelesaian

Kurva f(x)=y = x^2+bx+4 dan y=3x+4 bersinggungan (berpotongan di satu titik), sehingga berlaku persamaan
\begin{aligned} x^2+bx+4 & = 3x+4 \\ x^2 + (b - 3)x & = 0 \end{aligned}
Karena kedua kurva bersinggungan, maka haruslah diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai 0.
\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (b-3)^2 - 4(1)(0) &= 0 \\ (b-3)^2 &=0 \\ b & = 3 \end{aligned}
Jadi, nilai b yang memenuhi adalah \boxed{b=3}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Fungsi kuadrat f(x)=ax^2-(2a-4)x+(a+4) selalu bernilai positif untuk nilai a yang memenuhi adalah \cdots
A. a \geq 2                    D. a > \frac12
B. a > 2                     E. a>0
C. a \geq \frac12

Penyelesaian

Fungsi kuadrat f(x)=ax^2-(2a-4)x+(a+4) akan bernilai positif (grafiknya selalu berada di atas sumbu-X) apabila koefisien x^2 bernilai positif, sedangkan diskriminan D bernilai negatif.
Karena koefisien x^2 harus bernilai positif, maka a > 0.
\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (-(2a-4))^2 - 4a(a+4) & < 0 \\ (4a^2-16a+16)-4a^2-16a & < 0 \\ -32a + 16 &<0 \\ -32a & < -16 \\ a & > \dfrac12 \end{aligned}
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah \boxed{a>\dfrac12}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Grafik fungsi f(x) = mx^2 + (2m-1)x + m+3 seluruhnya di atas sumbu-X. Interval nilai m yang memenuhi adalah \cdots
A. m< -\frac{1}{16}                D. m<\frac{1}{16}
B. m>-\frac{1}{16}                E.m>\frac{1}{16}
C. m>0

Penyelesaian

Catatan:
Misalkan fungsi kuadratnya berbentuk f(x)= ax^2+bx+c.
1. Bila parabola tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu-X, maka dikatakan bahwa:
a) parabola di atas sumbu-X bila D<0 dan a>0
b) parabola di atas sumbu-X bila D<0 dan a<0
2. Parabola memotong sumbu-X di dua titik berbeda, berarti D>0.
3. Parabola memotong sumbu-X hanya di satu titik, berarti D=0.
Karena grafik f(x) = mx^2 + (2m-1)x + m+3 berada di atas sumbu-X, berarti diskriminan bernilai kurang dari 0 dan koefisien x^2 bernilai lebih dari 0.

Dalam kasus ini, syarat a>0 adalah m > 0
dan syarat diskriminan:
\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (2m-1)^2 - 4m(m+3) & < 0 \\ (4m^2-4m+1)-4m^2-12m & < 0 \\ -16m + 1 & < 0 \\ -16m & < -1 \\ m & > \dfrac{1}{16} \end{aligned}
Dengan demikian,
\{m : m > 0\} \cap \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\} = \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Agar grafik fungsi f(x) = (p+6)x^2 + px + 2 memotong sumbu-X di dua titik di sebelah kanan O(0,0), nilai p haruslah \cdots
A. -6<p<-4 atau p>12
B. -4<p<0
C. p<0
D. -6<p<0
E. -6<p<-4

Penyelesaian

Grafik fungsi f(x) = (p+6)x^2 + px + 2 memotong sumbu-X di dua titik di sebelah kanan O(0,0) memiliki arti bahwa dua akar persamaan kuadratnya bernilai positif.
Misalkan dua akar itu adalah x_1 dan x_2.
Untuk itu, jumlah akarnya harus positif, sehingga
\begin{aligned} x_1 + x_2 & > 0 \\ -\dfrac{b}{a} & > 0 \\ -\dfrac{p}{p+6} & > 0 \\ \dfrac{p}{p+6} & < 0 \end{aligned}
Pembuat nol: p=0 atau p=-6
Posisikan kedua titik ini pada garis bilangan, kemudian uji titik tertentu, misal p=-1. Substitusi diperoleh
\dfrac{-1}{-1+6} = -\dfrac15 (negatif).
Beri tanda negatif di antara -6 dan 0 seperti gambar, dan tanda di samping kanan kirinya haruslah positif (selang-seling).
Karena \dfrac{p}{p+6} & < 0, maka penyelesaiannya adalah -6 < p < 0.
Selain itu, hasil kali kedua akarnya juga harus positif:
\begin{aligned} x_1x_2 & > 0 \\ \dfrac{c}{a} & > 0 \\ \dfrac{2}{p+6} & > 0 \\ p + 6 & > 0 \\ p & > -6 \end{aligned}
Irisan dari kedua penyelesaian di atas adalah \boxed{-6 < p < 0}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Grafik fungsi kuadrat y=ax^2+6x+(a+4) melalui titik (0,5). Nilai balik minimumnya adalah \cdots
A. -4       B. -\dfrac14       C. \dfrac14        D. 4         E. 16

Penyelesaian

Substitusikan (0, 5) pada fungsi kuadrat untuk menentukan nilai a.
\begin{aligned} y & =ax^2+6x+(a+4) \\ 5 & = a(0)^2 + 6(0) + (a+4) \\ 5 & = a + 4 \\ a & = 1 \end{aligned}
Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah
y = x^2 + 6x + 5
dengan a=1, b=6, c=5
Sumbu simetri (absis titik balik):
x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(1)} = -3
Substitusikan ke y = x^2+6x+5 untuk memperoleh
y_p = (-3)^2+6(-3)+5 = 9-18+5 = -4
ATAU
nilai balik minimum dicari dengan menggunakan rumus langsung, yakni
\begin{aligned} y_p & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{(6)^2-4(1)(5)}{4(1)} \\ & = -\dfrac{36-20}{4} = -4 \end{aligned}
Jadi, nilai balik minimum fungsi kuadrat itu adalah \boxed{-4}
Catatan: Parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) karena a > 0, sehingga hanya ada nilai balik minimum, tidak ada maksimum.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Grafik fungsi y=ax^2+bx-1 memotong sumbu-X di titik \left(\dfrac12, 0\right) dan (1,0). Fungsi ini mempunyai nilai ekstrem \cdots
A. maksimum \frac38       D. minimum -\frac18
B. minimum -\frac38        E. maksimum \frac58
C. maksimum \frac18

Penyelesaian

Secara aljabar, kasus di atas dapat dimisalkan sebagai suatu persamaan kuadrat yang memiliki akar x_1 = \dfrac12 dan x_2 = 1, sehingga ditulis
\begin{aligned} \left(x - \dfrac12\right)(x-1) & = 0 \\ x^2 - \dfrac32x + \dfrac12 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-2 \\ -2x^2 + 3x - 1 & = 0 \end{aligned}
Bandingkan dengan rumus fungsi y = ax^2+bx-1.
Dari sini, diperoleh a=-2 dan b=3.
Karena koefisien x^2, yaitu a, bernilai negatif, maka parabola (grafik fungsi) akan terbuka ke bawah sehingga nilai ekstremnya maksimum yaitu
\begin{aligned} y_p & = -\dfrac{D}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{3^2-4(-2)(-1)}{4(-2)} \\ & = -\dfrac{9 - 8}{-8} = \dfrac18 \end{aligned}
Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah \boxed{\text{maksimum}~\dfrac18}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika titik P(-3,5) dan Q(7,5) terletak pada grafik fungsi f(x)=p(x-q)^2 + r, maka q=\cdots
A. 1         B. 2        C. 3            D. 4            E. 5

Penyelesaian

Karena titik P(-3, 5) terletak pada grafik fungsi f(x) = y, maka substitusikan x = -3 dan y = 5, sehingga diperoleh
5 = p(-3-q)^2+r~~~~(\cdots~1)
Begitu juga dengan titik Q(7,5). Substitusikan x = 7 dan y=5 sehingga diperoleh
5 = p(7-q)^2+r~~~~(\cdots~2)
Eliminasi r dari kedua persamaan di atas, sehingga didapat
\begin{aligned} 0 & = p(-3-q)^2 - p(7-q)^2 \\ \text{Bagi}&~\text{kedua ruas dengan}~p \\ 0 & = (-3-q)^2-(7-q)^2 \\ 0 & = \color{red}{(-3-q+7-q)(-3-q-7+q)} \\ 0 & = (-2q+4)(-10) \\ -2q + 4 & = 0 \\ q &= 2 \end{aligned}
Catatan: (bagian yang ditanda merah) gunakan sifat pemfaktoran a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Jadi, nilai q adalah \boxed{2}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Fungsi kuadrat f(x)=x^2+2px+p mempunyai nilai minimum -p dengan p \neq 0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x=a, maka nilai a+f(a)=\cdots
A. 6         B. 4        C. -4          D. -5       E. -6

Penyelesaian

Diketahui f(x)=x^2+2px+p
Sumbu simetri:
x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2p}{2(1)} = -p
Substitusi x = -p pada f(x) mengakibatkan tercapainya nilai minimum fungsi, yaitu f(-p)=y_p=-p, sehingga
\begin{aligned} f(x) & = x^2+2px+p \\ -p & = (-p)^2 + 2p(-p) + p \\ -p & = p^2-2p^2+p \\ 0 & = -p^2+2p \\ 0 & = p(-p +2) \end{aligned}
Diperoleh p = 0 atau p = 2
Karena diberikan bahwa p \neq 0 (pada soal), maka diambil p=2, sehingga f(x)=x^2+4x+2
Sumbu simetrinya adalah
x = -\dfrac{4}{2(1)} = -2 = a
Dengan demikian,
\begin{aligned} a + f(a) & = -2 + ((-2)^2+4(-2)+2) \\ & = -2 + (4-8+2) = -4\end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{a+f(a)=-2+(-2)=-4}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Fungsi kuadrat yang memiliki nilai minimum 2 untuk x=1 dan mempunyai nilai 3 untuk x=2 adalah \cdots
A. y=x^2-2x+1
B. y=x^2-2x+3
C. y=x^2+2x-1
D. y=x^2+2x+1
E. y=x^2+2x+3

Penyelesaian

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik minimum di (1, 2) dan melalui titik (2, 3).
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y) dirumuskan oleh
\boxed{y - y_p = a(x - x_p)^2}
Dengan demikian, substitusi x_p = 1, y_p = 2, x = 2, y = 3 menghasilkan
3 - 2 = a(2 - 1)^2 \Leftrightarrow a = 1
Substitusi a = 1, x_p = 1, y_p=2 menghasilkan
\begin{aligned} y - 2 & = 1(x - 1)^2 \\ y & = (x^2-2x+1)+2 = x^2-2x+3 \end{aligned}
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah \boxed{f(x)=x^2-2x+3}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 untuk x=2, sedangkan untuk x=-2 fungsi bernilai -11, maka fungsi itu dirumuskan oleh \cdots
A. y=-\frac12x^2+2x-3
B. y=\frac12x^2-2x-3
C. y=-x^2+2x-5
D. y=x^2-x-1
E. y=-\frac12x^2+2x-5

Penyelesaian

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik di (2, -3) dan melalui titik (-2, -11).
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y) dirumuskan oleh
\boxed{y - y_p = a(x - x_p)^2}
Dengan demikian, substitusi x_p = 2, y_p = -3, x = -2, y = -11 menghasilkan
\begin{aligned} -11 - (-3) & = a(-2 - 2)^2 \\ -11 + 3 & = a(-4)^2 \\ -8 & = 16a \\ a &= -\dfrac12 \end{aligned} 
Substitusi a = -\dfrac12, x_p = 2, y_p=-3 menghasilkan
\begin{aligned} y - (-3) & = -\dfrac12(x - 2)^2 \\ y & = -\dfrac12(x^2-4x+4)-3 \\ y & = -\dfrac12x^2+2x-5 \end{aligned}
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah \boxed{f(x)=-\dfrac12x^2+2x-5}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika untuk fungsi kuadrat f(x) berlaku f(1)=f(3)=0 dan mempunyai nilai maksimum 1, maka f(x)=\cdots
A. x^2-4x+3
B. x^2+4x+3
C. -x^2+4x-3
D. -x^2+4x+3
E. -x^2-4x-3

Penyelesaian

Secara aljabar, titik (1, 0) dan (3,0) merupakan akar dari persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan f(x) sehingga dapat ditulis
f(x)=a(x-1)(x-3), untuk suatu a \neq 0
yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai
f(x)=ax^2 - 4ax + 3a
Absis titik puncak f(x) adalah
\begin{aligned} x_p & = -\dfrac{\text{Koefisien}~x}{2 \cdot \text{Koefisien}~x^2} \\ & = -\dfrac{-4a}{2a} = 2 \end{aligned}
Ini berarti, grafik f(x) memiliki titik puncak di (2, 1) (karena nilai maksimumnya 1).
Sekarang, substitusikan x=2 dan f(x)=y=1 pada f(x)=a(x-1)(x-3), sehingga
1 = a(2-1)(2-3) \Leftrightarrow 1 = a(1)(-1) \Leftrightarrow a = -1
Substitusi a=-1 pada f(x)=a(x-1)(x-3), sehingga
\boxed{f(x)=-1(x-1)(x-3) = -x^2 + 4x - 3}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Grafik parabola yang melalui titik (0,0) mempunyai sumbu simetri x=4 dan puncak parabola terletak pada garis x-y+4=0. Persamaan parabola tersebut adalah \cdots
A. y=-\frac14x^2+2x 
B. y=\frac14x^2-2x 
C. y=-\frac14x^2-2x 
D. y=\frac12x^2+4x 
E. y=-\frac12x^2+4x

Penyelesaian

Karena puncak parabola yang berkoordinat (4, y_p) berada di garis x-y+4=0, maka substitusi x = 4 menghasilkan
4-y+4=0 \Leftrightarrow y = 8
Kita peroleh bahwa parabola itu memiliki titik puncak di (4, 8) dan melalui titik (0, 0).
Fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak di (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y) dirumuskan oleh
\boxed{y - y_p = a(x - x_p)^2}
Dengan demikian, substitusi x_p = 4, y_p = 8, x = 0, y = 0 menghasilkan
\begin{aligned} 0 - 8 & = a(0 - 4)^2 \\ -8 & = a(-4)^2 \\ -8 & = 16a \\ a &= -\dfrac12 \end{aligned} 
Substitusi a = -\dfrac12, x_p = 4, y_p=8 menghasilkan
\begin{aligned} y - 8 & = -\dfrac12(x - 4)^2 \\ y & = -\dfrac12(x^2-8x+16)+8 \\ y & = -\dfrac12x^2+4x-8+8 \\ y & = -\dfrac12x^2+4x \end{aligned}
Jadi, persamaan parabola itu adalah \boxed{f(x)=y = -\dfrac12x^2+4x}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Titik P(x_0,y_0) dan titik Q adalah dua titik yang terletak simetris pada parabola y = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\dfrac{D}{4a}
Absis titik Q adalah \cdots
A. 2x_0 - \frac{b}{a}
B. - \frac{b}{a} + x_0
C. - \frac{b}{a} - x_0
D. x_0 - \frac{b}{a}
E. - \frac{2b}{a} - x_0

Penyelesaian

Persamaan sumbu simetri parabola itu adalah x = -\dfrac{b}{2a}
Jarak mendatar titik P(x_0, y_0) ke sumbu simetri x = -\dfrac{b}{2a} adalah -\dfrac{b}{2a} - x_0
Karena Q terletak simetris dengan P, maka jarak mendatarnya terhadap sumbu simetri x = -\dfrac{b}{2a} juga sama, sehingga absisnya adalah
\begin{aligned} -\dfrac{b}{2a} + \left(-\dfrac{b}{2a} - x_0\right) & = -\dfrac{2b}{2a} - x_0 \\ & = -\dfrac{b}{a} - x_0 \end{aligned}
Jadi, absis titik x_0 adalah \boxed{- \frac{b}{a} - x_0}
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 26
A dan B adalah dua titik yang terletak pada parabola f(x)=2x^2-6x-5 dan berjarak sama terhadap sumbu-X. Jika titik T terletak pada garis x=k sedemikian sehingga |TA|=|TB|, maka k=\cdots
A. 1          B. \dfrac32         C. 2           D. \dfrac{5}{2}         E. 3

Penyelesaian

Agar T berjarak sama dengan titik A dan B, maka T harus terletak pada sumbu simetri parabola tersebut.
Persamaan sumbu simetri parabola f(x)=2x^2-6x-5 adalah
x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(2)} = \dfrac32
Jadi, nilai k adalah \boxed{\dfrac32}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika f(x) memenuhi 2f(x)+f(1-x)=x^2 untuk setiap bilangan real x, maka f(x)=\cdots
A. \frac12x^2-\frac32x+\frac12
B. \frac19x^2+\frac89x-\frac13
C. \frac23x^2+\frac12x-\frac13
D. \frac13x^2+\frac23x-\frac13
E. \frac19x^2+x-\frac49

Penyelesaian

Diberikan persamaan:
2f(x)+f(1-x)=x^2~~~~(\cdots 1)
Ini juga berarti, berlaku persamaan berikut yang diperoleh dengan cara mengubah x menjadi 1-x,
2f(1-x)+f(x) = (1-x)^2~~~(\cdots 2)
Kedua persamaan di atas membentuk suatu sistem persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode substitusi-eliminasi.
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2f(x) + f(1-x) & = x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4f(x) + 2f(1-x) & = 2x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{4 cm}{0.8pt} - \end{aligned}
Diperoleh
\begin{aligned} 3f(x) & = 2x^2 - (1-x)^2 \\ 3f(x) & = 2x^2 - (1 - 2x + x^2) \\ 3f(x) & = x^2 + 2x - 1 \\ f(x) & = \dfrac13x^2 + \dfrac23x - \dfrac13 \end{aligned}
Jadi, \boxed{f(x) = \dfrac13x^2 + \dfrac23x - \dfrac13}
(Jawaban D)

[collapse]

“Materi ini sih biasanya dipelajari setelah persamaan kuadrat. Ya susah susah gampang, sih, karena selain harus ngerti yang persamaan kuadrat juga harus bisa gambar grafiknya klau belajar fungsi kuadrat. Nah ini yang ribet, haha, banyak aturannya. Kalau gambar garis, kan gampang. Kalau gambar grafik parabola (bukan antena) lebih ribet sketchnya. Terus nnti harus tentuin titik puncaknya juga pake rumusnya :D.”
-Sukardi, founder of mathcyber1997.com-

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesFungsi, Fungsi KuadratTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *