Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

    Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi yang dipelajari pada tingkat SMA/Sederajat. Umumnya, materi ini dipelajari setelah siswa memahami konsep mengenai persamaan kuadrat, karena selain melibatkan perhitungan secara aljabar, materi ini juga melibatkan analisis secara geometri (gambar grafik). Tidak menutup kemungkinan sejumlah siswa sulit memahami materi tersebut sehingga penulis menyajikan beberapa soal & pembahasan terkait fungsi kuadrat yang dengan penuh harapan dapat membantu siswa memahami materi serta dapat juga digunakan sebagai referensi guru dalam memberikan evaluasi.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat

Today Quote 

Ketika orang lain meragukanmu, yang harus kamu lakukan adalah percaya pada dirimu sendiri dan buktikan kemampuanmu.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat $f(x)=2x^2-4x+5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1,3)$                       D. $(2,5)$
B. $(1,5)$                       E. $(2,7)$
C. $(1,7)$

Pembahasan

Karena $f(x)=2x^2-4x+5$, berarti $a=2,b=-4, c=5$.
Absis titik balik dinyatakan oleh
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-4}{2(2)} = 1$
Substitusikan $x=1$ pada $f(x)=2x^2-4x+5$, sehingga diperoleh
$y_p = f(1) = 2(1)^2-4(1) + 5 = 3$
Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadratnya adalah $\boxed{(x_p, y_p) = (1, 3)}$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2-7x-5$ serta titik $A(2,-11)$, $B(-1,0)$, dan $C(-4,55)$. Titik yang dilalui grafik fungsi $f(x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. titik $A, B$, dan $C$
B. titik $A$ dan $B$
C. titik $A$ dan $C$
D. titik $A$ saja
E. titik $C$ saja

Pembahasan

Titik $P(x, y)$ dilalui oleh grafik fungsi $f(x)$ apabila substitusi nilai $x$ pada rumus fungsi menghasilkan nilai $y$.
Diketahui $f(x)=2x^2-7x-5$.
Periksa titik $A(2, \color{red}{-11})$:
Substitusi $x = 2$ pada $f(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} f(2) & = 2(2)^2-7(2)-5 \\ & = 8-14-5 = \color{red}{-11} \end{aligned}$
Diperoleh $y = -11$ sehingga titik $A$ dilalui oleh grafik fungsi $f(x)$.
Periksa titik $B(-1, \color{red}{0})$:
Substitusi $x = -1$ pada $f(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} f(-1) & = 2(-1)^2-7(-1)-5 \\ & = 2+7-5 = \color{red}{4} \end{aligned}$
Diperoleh $y = 4$ sehingga titik $B$ tidak dilalui oleh grafik fungsi $f(x)$.
Periksa titik $C(-4, \color{red}{55})$:
Substitusi $x = -4$ pada $f(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} f(-4) & = 2(-4)^2-7(-4)-5 \\ & = 32+28-5 = \color{red}{55} \end{aligned}$
Diperoleh $y = 55$ sehingga titik $C$ dilalui oleh grafik fungsi $f(x)$.
Jadi, titik yang dilalui adalah titik $A$ dan $C$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat $y=2x^2+2kx+k+5$ adalah $(m, m)$. Nilai $k+m=\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $\dfrac72$
B. $-1$ atau $\dfrac52$
C. $1$ atau $-\dfrac52$
D. $1$ atau $-\dfrac72$
E. $1$ atau $\dfrac52$

Pembahasan

Karena $f(x)= y = 2x^2+2kx+k+5$ memiliki titik puncak di $(x_p, y_p) = (m, m)$, maka
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{b}{2a} \\ m & =-\dfrac{2k}{2(2)} \\ k & =-2m \end{aligned}$
Substitusi $y = x = m$ dan $k=-2m$ pada persamaan $y = 2x^2+2kx+k+5$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} m & = 2m^2 + 2(-2m)m + (-2m) + 5 \\ 0 & = 2m^2-4m^2-3m + 5 \\ 0 & =-2m^2-3m + 5 \\ 0 & = 2m^2+3m-5 \\ 0 & = (2m+5)(m-1) \end{aligned}$
Diperoleh $m=-\dfrac52$ atau $m=1$
Untuk $m=-\dfrac52$, didapat $k=-2m =-2\left(-\dfrac52\right) = 5$, sehingga
$\boxed{k+m=5+\left(-\dfrac52\right) = \dfrac52}$
Untuk $m=1$, didapat $k=-2m =-2(1) =-2$, sehingga
$\boxed{k+m=-2+1 =-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan grafik parabola pada gambar di samping adalah $\cdots \cdot$


A. $f(x) = x^2+4x$
B. $f(x) = x^2-4x$
C. $f(x) =-x^2+4x$
D. $f(x) =-x^2-4x+4$
E. $f(x) =-x^2+4x-4$  

Pembahasan

Perhatikan bahwa grafik parabola tersebut memotong sumbu $X$ di dua titik. Jika grafik parabola memotong sumbu $X$ di $x = a$ dan $x = b$, maka persamaannya adalah $f(x) = k(x-a) (x-b)$
Dalam kasus ini, parabolanya memotong sumbu $X$ di $x = 0$ dan $x = 4$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = k(x-0)(x-4) \\ & = kx(x-4) \\ & = k(x^2-4x) \end{aligned}$
Substitusikan $x=2$ dan $f(2) =-4$ untuk menentukan nilai $k$.

$\begin{aligned}-4 & = k(2^2- 4(2)) \\-4 & = k(-4) \\ k & = 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan grafik parabola tersebut adalah $\boxed{f(x) = x^2-4x}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Grafik fungsi $y=ax^2+bx+c$ tampak seperti pada gambar berikut.

Jika nilai diskriminannya dinyatakan oleh $D$, maka pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $a > 0; c > 0; D > 0$
B. $a > 0; c < 0; D > 0$
C. $a < 0; c > 0; D < 0$
D. $a < 0; c < 0; D < 0$
E. $a > 0; c = 0; D = 0$

Pembahasan

Parabola terbuka ke bawah, artinya $a$ bernilai negatif.
Parabola tidak memotong sumbu-$X$, artinya $D$ bernilai negatif.
Parabola memotong sumbu-$Y$ di bawah sumbu-$X$, artinya $c$ bernilai negatif.
Jadi, pernyataan yang benar asalah $\boxed{a < 0; c < 0; D < 0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $(1, 0)$, $(4, 0)$, dan $(0, -4)$, maka nilai dari $f(7) = \cdots \cdot$
A. $-16$                  C. $-18$                E. $-20$
B. $-17$                  D. $-19$

Pembahasan

Titik yang dilalui fungsi $f$ kebetulan merupakan titik potong grafik terhadap sumbu-$X$, yaitu $(1, 0)$ dan $(4, 0)$ sehingga rumus fungsinya adalah
$y = a(x-1)(x-4)$.
Grafik fungsi kuadrat melalui titik $(0, -4)$, berarti
$\begin{aligned} y & = a(x-1)(x-4) \\ \Rightarrow -4 & = a(0-1)(0-4) \\ -4 & = a(-1)(-4) \\ a & = -1 \end{aligned}$
Rumus fungsi kuadratnya adalah
$\begin{aligned} f(x) = y & = -1(x-1)(x-4) \\ & = -1(x^2-5x+4) \\ & = -x^2+5x-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} f(7) & = -(7)^2+5(7)-4 \\ & = -49+35-4 = -18 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui fungsi $f(x)=(a+1)x^2-2ax+(a-2)$ definit negatif. Nilai $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $a<2$                      D. $a<-2$
B. $a>-2$                    E. $a>1$
C. $a<-1$

Pembahasan

Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai $x$) adalah koefisien $x^2$ bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien $x^2$ negatif:
$a + 1 < 0 \Leftrightarrow a <-1$
Syarat diskriminan negatif:
$\begin{aligned} (-2a)^2-4(a+1)(a-2) & < 0 \\ 4a^2-(4a^2-4a-8) & < 0 \\ 4a + 8 & < 0 \\ a & <-2 \end{aligned}$
Irisan dari $a <-1$ dan $a <-2$ dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.
 Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a<-2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika fungsi kuadrat $y=ax^2+6x+a$ mempunyai sumbu simetri $x=3$, maka nilai maksimum fungsi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                       C. $5$                   E. $1$
B. $8$                       D. $3$         

Pembahasan

Diketahui $f(x)=y=ax^2+6x+a$
Akan ditentukan nilai $a$ terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan sumbu simetri.
$\begin{aligned} x_p & = 3 \\-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} & = 3 \\-\dfrac{6}{2a} & = 3 \\-6 & = 6a \\ a & =-1 \end{aligned}$
Jadi, $f(x)=-x^2+6x-1$
Substitusikan $x=3$ untuk mendapatkan nilai maksimum fungsi.
$f(3) =y_p =-(3)^2+6(3)-1 = 8$
Jadi, nilai maksimum fungsi tersebut adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Gambar kurva parabola berikut merupakan grafik dari fungsi kuadrat yang berbentuk $\cdots \cdot$

A. $f(x) = a(x-2)^2-4$ dengan $a>0$
B. $f(x) = a(x-4)^2+2$ dengan $a<0$
C. $f(x) = a(x+2)^2+4$ dengan $a>0$
D. $f(x) = a(x-2)^2+4$ dengan $a<0$
E. $f(x) = a(x+4)^2-2$ dengan $a>0$

Pembahasan

Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di $(x_p, y_p) = (2, 4)$
Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk
$\begin{aligned} & f(x) = a(x-x_p)^2+y_p \\ & \Rightarrow f(x) = a(x-2)^2+4 \end{aligned}$
Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai $a > 0$, begitu sebaliknya.
Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n), sehingga $a < 0$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika gambar di bawah merupakan grafik fungsi kuadrat $f$ dengan titik puncak $(-2,-1)$ dan melalui titik $(0,-5)$, maka nilai $f(2)$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-17$                      D. $-20$
B. $-18$                      E. $-21$
C. $-19$

Pembahasan

Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ diberikan oleh
$y- y_p = a(x-x_p)^2$
Diketahui $x_p =-2, y_p=-1, x=0$, dan $y=-5$, sehingga didapat
$\begin{aligned}-5-(-1) & = a(0-(-2))^2 \\-4 & = a(2)^2 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Untuk itu, rumus fungsi kuadratnya menjadi
$y = a(x-x_p)^2 + y_p \Rightarrow y =-(x+2)^2 + 1$
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} f(2) = y & =-(2+2)^2-5 \\ & =-4^2+1=-17 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) =-2x^2+4x+3$ dengan daerah asal $\{x~|~2 \leq x < 3, x \in \mathbb{R}\}$. Daerah hasil fungsi $f$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{y~|-3 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}$
B. $\{y~|-3 \leq y \leq 3, y \in \mathbb{R}\}$
C. $\{y~|-13 \leq y \leq-3, y \in \mathbb{R}\}$
D. $\{y~|-13 \leq y \leq 3, y \in \mathbb{R}\}$
E. $\{y~|-13 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Diketahui $f(x) =-2x^2+4x+3$.
Absis grafik dari fungsi kuadrat itu adalah
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{4}{2(-2)} = 1$
Karena koefisien $x^2$ bernilai negatif, maka parabola akan terbuka ke bawah. Di titik $x=1$, nilai maksimum fungsi akan tercapai, yaitu
$\begin{aligned} f(1) & =-2(1)^2 + 4(1) + 3 \\ &=-2+4+3=5 \end{aligned}$
Nilai minimum fungsi pada interval $-2 \leq x \leq 3$ tercapai pada nilai $x$ yang paling jauh jaraknya dari $x=1$, yaitu $x =-2$, sehingga
$\begin{aligned} f(-2) & =-2(-2)^2 + 4(-2) + 3 \\ & =-8- 8 +3=-13 \end{aligned}$
Dengan demikian, daerah hasil fungsi $f$ adalah $\boxed{\{y~|-13 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $(-1,3)$ dan titik baliknya sama dengan titik balik dari grafik $f(x)=x^2+4x+3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=4x^2+x+3$
B. $y=x^2-3x+1$
C. $y=4x^2+16x+15$
D. $y=4x^2+15x+16$
E. $y=x^2-3x-1$

Pembahasan

Koordinat titik balik dari grafik $f(x)=x^2+4x+3$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{4}{2(1)} =-2 \\ y_p & = (-2)^2+4(-2) + 3 =-1 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik baliknya adalah $(-2,-1)$.
Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ diberikan oleh
$y- y_p = a(x-x_p)^2$
Diketahui $x_p =-2, y_p=-1, x=-1$, dan $y=3$, sehingga didapat
$\begin{aligned} 3-(-1) & = a(-1-(-2))^2 \\ 4 & = a(1)^2 \\ a & = 4 \end{aligned}$
Substitusi balik $x_p =-2, y_p=-1, a = 4$ sehingga didapat
$\begin{aligned} y-(-1) & = 4(x-(-2))^2 \\ y + 1 & = 4(x^2+4x+4) \\ y & = 4x^2+16x +15 \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah $\boxed{f(x)=y=4x^2+16x+15}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi $f(x) = 2-x-x^2$.
Pernyataan berikut ini yang tidak benar terkait gambar itu adalah $\cdots \cdot$

  1. grafik memotong sumbu-$X$ di dua titik
  2. persamaan sumbu simetrik grafiknya adalah $x=-\dfrac12$
  3. grafik mempunyai nilai minimum $0$
  4. grafik mempunyai nilai maksimum $\dfrac94$
  5. grafik memotong sumbu-$Y$ di titik $(0, 2)$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=2-x-x^2$.
Cek opsi A:
Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ di dua titik, yaitu $(-2, 0)$ dan $(1, 0)$.
Untuk memastikan, kita periksa nilai determinannya.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-1)^2-4(-1)(2) \\ & = 1+8 = 9 \end{aligned}$
Karena $D$ bertanda positif, maka grafik fungsi memotong sumbu-$X$ di dua titik (memiliki dua akar real berlainan).
Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek Opsi B:
Persamaan sumbu simetri fungsi $f(x)$ ditentukan oleh rumus $x = -\dfrac{b}{2a}$, yaitu
$x = -\dfrac{-1}{2(-1)} = \color{blue}{-\dfrac12}$
Jadi, pernyataan pada opsi B benar.
Cek Opsi C:
Tampak pada gambar bahwa parabola terbuka ke bawah sehingga tidak memiliki nilai minimum.
Pernyataan pada opsi C salah.
Cek Opsi D:
Nilai maksimum fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan beberapa cara. Salah satunya adalah dengan mensubstitusikan $\color{blue}{x = -\dfrac12}$ pada rumus fungsinya.
$\begin{aligned} f(x) & = 2-x-x^2 \\ f\left(-\dfrac12\right) & = 2-\left(-\dfrac12\right)-\left(-\dfrac12\right)^2 \\ & = 2+\dfrac12-\dfrac14 \\ & = \dfrac94 \end{aligned}$
Pernyataan pada opsi D benar.
Cek Opsi E:
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ tercapai ketika $x = 0$.
$\begin{aligned} f(x) & = 2-x-x^2 \\ f(0) & = 2-0-0^2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, 2)$.
Pernyataan pada opsi E benar.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Grafik fungsi $f(x)=x^2-6x+7$ dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik fungsi $f(x)=x^2$ ke arah $\cdots \cdot$

  1. kanan sumbu-$X$ sejauh $2$ satuan, bawah sumbu-$Y$ sejauh $3$ satuan
  2. kiri sumbu-$X$ sejauh $3$ satuan, atas sumbu-$Y$ sejauh $2$ satuan
  3. kanan sumbu-$X$ sejauh $3$ satuan, bawah sumbu-$Y$ sejauh $2$ satuan
  4. kanan sumbu-$X$ sejauh $2$ satuan, bawah sumbu-$Y$ sejauh $2$ satuan
  5. kanan sumbu-$X$ sejauh $3$ satuan, bawah sumbu-$Y$ sejauh $3$ satuan

Pembahasan

Pergeseran grafik fungsi kuadrat (parabola) hanya perlu kita pandang sebagai pergeseran satu titik tetap, misalkan titik baliknya.
Jelas bahwa koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2$ adalah $(0, 0)$.
Koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2-6x+7$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \\ y_p & = (3)^2-6(3)+7 =-2 \end{aligned}$
yakni di $(3,-2)$.
Dengan demikian, pergeseran grafik $f(x)=x^2-6x+7$ diperoleh dengan cara menggeser grafik $f(x)=x^2$ ke arah kanan sumbu-$X$ sejauh $3$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $2$ satuan (jika bertanda negatif, pergeserannya ke arah bawah).

(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Relasi dan Fungsi

Soal Nomor 15
Jika grafik $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ menyinggung sumbu-$X$, maka koordinat titik balik maksimumnya adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3,0)$                        D. $(3,0)$
B. $(-2,0)$                        E. $(5,0)$
C. $(2,0)$

Pembahasan

Karena $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ menyinggung sumbu-$X$, diskriminannya harus bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (2a+6)^2-4a(2a-2) & = 0 \\ (4a^2+24a+36)-8a^2+8a & = 0 \\-4a^2+32a+36 & = 0 \\ a^2-8a+9 & = 0 \\ (a-9)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=9$ atau $a=-1$
Karena titik baliknya maksimum, maka haruslah $a<0$ (parabola terbuka ke bawah), sehingga nilai $a$ yang dianbil adalah $a=-1$.
Jadi, $f(x)=-x^2+4x-5$
Absis titik baliknya adalah
$x_p =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} =-\dfrac{4}{2(-1)} = 2$
Karena grafik menyinggung sumbu-$X$, maka $y_p = 0$.
Jadi, koordinat titik balik maksimumnya adalah $\boxed{(x_p, y_p) = (2, 0)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=x^2+x+p$ menyinggung garis $3x+y=1$ dengan $p>0$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                     E. $1$
B. $4$                      D. $2$         

Pembahasan

Substitusikan $f(x) = y = x^2+x+p$ ke persamaan $3x+y=1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x+(x^2+x+p) & = 1 \\ x^2+4x+(p-1) & = 0 \end{aligned}$
Karena grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garisnya bersinggungan, maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac = 0 \\ (4)^2-4(1)(p-1) & = 0 \\ 16-4p + 4 & = 0 \\ 4p & = 20 \\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=x^2+bx+4$ menyinggung garis $y=3x+4$. Nilai $b$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                       C. $0$                     E. $4$
B. $-3$                       D. $3$        

Pembahasan

Kurva $f(x)=y = x^2+bx+4$ dan $y=3x+4$ bersinggungan (berpotongan di satu titik), sehingga berlaku persamaan
$\begin{aligned} x^2+bx+4 & = 3x+4 \\ x^2 + (b-3)x & = 0 \end{aligned}$
Karena kedua kurva bersinggungan, maka haruslah diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (b-3)^2-4(1)(0) &= 0 \\ (b-3)^2 &=0 \\ b & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ yang memenuhi adalah $\boxed{b=3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Fungsi kuadrat $f(x)=ax^2-(2a-4)x+(a+4)$ selalu bernilai positif untuk nilai $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $a \geq 2$                    D. $a > \frac12$
B. $a > 2$                     E. $a>0$
C. $a \geq \frac12$

Pembahasan

Fungsi kuadrat $f(x)=ax^2-(2a-4)x+(a+4)$ akan bernilai positif (grafiknya selalu berada di atas sumbu-$X$) apabila koefisien $x^2$ bernilai positif, sedangkan diskriminan $D$ bernilai negatif.
Karena koefisien $x^2$ harus bernilai positif, maka $a > 0$.
$\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (-(2a-4))^2- 4a(a+4) & < 0 \\ (4a^2-16a+16)-4a^2-16a & < 0 \\-32a + 16 &<0 \\-32a & <-16 \\ a & > \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a>\dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Grafik fungsi $f(x) = mx^2 + (2m-1)x + m+3$ seluruhnya di atas sumbu-$X$. Interval nilai $m$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $m<-\dfrac{1}{16}$                D. $m<\dfrac{1}{16}$
B. $m>-\dfrac{1}{16}$                E.$m>\dfrac{1}{16}$
C. $m>0$

Pembahasan

Catatan:
Misalkan fungsi kuadratnya berbentuk $f(x)= ax^2+bx+c$.

  1. Bila parabola tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu-$X$, maka dikatakan bahwa:
    a) parabola di atas sumbu-$X$ bila $D<0$ dan $a>0$.
    b) parabola di atas sumbu-$X$ bila $D<0$ dan $a<0$.
  2. Parabola memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda, berarti $D>0$. 
  3. Parabola memotong sumbu-$X$ hanya di satu titik, berarti $D=0$.

Karena grafik $f(x) = mx^2 + (2m-1)x + m+3$ berada di atas sumbu-$X$, berarti diskriminan bernilai kurang dari 0 dan koefisien $x^2$ bernilai lebih dari $0$.
Dalam kasus ini, syarat $a>0$ adalah $m > 0$
dan syarat diskriminan:
$\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (2m-1)^2-4m(m+3) & < 0 \\ (4m^2-4m+1)-4m^2-12m & < 0 \\-16m + 1 & < 0 \\-16m & <-1 \\ m & > \dfrac{1}{16} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\{m : m > 0\} \cap \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\} = \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\}$$(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Aplikasi (Soal Cerita) Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 20
Agar grafik fungsi $f(x) = (p+6)x^2 + px + 2$ memotong sumbu-$X$ di dua titik di sebelah kanan $O(0,0)$, nilai $p$ haruslah $\cdots \cdot$
A. $-6<p<-4$ atau $p>12$
B. $-4<p<0$
C. $p<0$
D. $-6<p<0$
E. $-6<p<-4$

Pembahasan

Grafik fungsi $f(x) = (p+6)x^2 + px + 2$ memotong sumbu-$X$ di dua titik di sebelah kanan $O(0,0)$ memiliki arti bahwa dua akar persamaan kuadratnya bernilai positif.
Misalkan dua akar itu adalah $x_1$ dan $x_2$.
Untuk itu, jumlah akarnya harus positif, sehingga
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & > 0 \\-\dfrac{b}{a} & > 0 \\-\dfrac{p}{p+6} & > 0 \\ \dfrac{p}{p+6} & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $p=0$ atau $p=-6$
Posisikan kedua titik ini pada garis bilangan, kemudian uji titik tertentu, misal $p=-1$. Substitusi diperoleh
$\dfrac{-1}{-1+6} =-\dfrac15$ (negatif).
Beri tanda negatif di antara $-6$ dan $0$ seperti gambar, dan tanda di samping kanan kirinya haruslah positif (selang-seling).
Karena $\dfrac{p}{p+6} < 0$, maka penyelesaiannya adalah $-6 < p < 0$.
Selain itu, hasil kali kedua akarnya juga harus positif:
$\begin{aligned} x_1x_2 & > 0 \\ \dfrac{c}{a} & > 0 \\ \dfrac{2}{p+6} & > 0 \\ p + 6 & > 0 \\ p & >-6 \end{aligned}$
Irisan dari kedua penyelesaian di atas adalah $\boxed{-6 < p < 0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Grafik fungsi kuadrat $y=ax^2+6x+(a+4)$ melalui titik $(0,5)$. Nilai balik minimumnya adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                       C. $\dfrac14$                   E. $16$
B. $-\dfrac14$                     D. $4$         

Pembahasan

Substitusikan $(0, 5)$ pada fungsi kuadrat untuk menentukan nilai $a$.
$\begin{aligned} y & =ax^2+6x+(a+4) \\ 5 & = a(0)^2 + 6(0) + (a+4) \\ 5 & = a + 4 \\ a & = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah
$y = x^2 + 6x + 5$
dengan $a=1, b=6, c=5$
Sumbu simetri (absis titik balik):
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{6}{2(1)} =-3$
Substitusikan ke $y = x^2+6x+5$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} y_p & = (-3)^2+6(-3)+5 \\ & = 9-18+5 =-4 \end{aligned}$
ATAU
nilai balik minimum dicari dengan menggunakan rumus langsung, yakni
$\begin{aligned} y_p & =-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(6)^2-4(1)(5)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{36-20}{4} =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai balik minimum fungsi kuadrat itu adalah $\boxed{-4}$
Catatan: Parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) karena $a > 0$, sehingga hanya ada nilai balik minimum, tidak ada maksimum.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Grafik fungsi $y=ax^2+bx-1$ memotong sumbu-$X$ di titik $\left(\dfrac12, 0\right)$ dan $(1,0)$. Fungsi ini mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$
A. maksimum $\dfrac38$         
B. minimum $-\dfrac38$          
C. maksimum $\dfrac18$
D. minimum $-\dfrac18$
E. maksimum $\dfrac58$

Pembahasan

Secara aljabar, kasus di atas dapat dimisalkan sebagai suatu persamaan kuadrat yang memiliki akar $x_1 = \dfrac12$ dan $x_2 = 1$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \left(x-\dfrac12\right)(x-1) & = 0 \\ x^2-\dfrac32x + \dfrac12 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-2 \\-2x^2 + 3x-1 & = 0 \end{aligned}$
Bandingkan dengan rumus fungsi $y = ax^2+bx-1$.
Dari sini, diperoleh $a=-2$ dan $b=3$.
Karena koefisien $x^2$, yaitu $a$, bernilai negatif, maka parabola (grafik fungsi) akan terbuka ke bawah sehingga nilai ekstremnya maksimum yaitu
$\begin{aligned} y_p & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{3^2-4(-2)(-1)}{4(-2)} \\ & =-\dfrac{9-8}{-8} = \dfrac18 \end{aligned}$
Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah $\boxed{\text{maksimum}~\dfrac18}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika titik $P(-3,5)$ dan $Q(7,5)$ terletak pada grafik fungsi $f(x)=p(x-q)^2 + r$, maka $q=\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $3$                    E. $5$
B. $2$                        D. $4$            

Pembahasan

Karena titik $P(-3, 5)$ terletak pada grafik fungsi $f(x) = y$, maka substitusikan $x =-3$ dan $y = 5$, sehingga diperoleh
$5 = p(-3-q)^2+r~~~~(\cdots~1)$
Begitu juga dengan titik $Q(7,5)$. Substitusikan $x = 7$ dan $y=5$ sehingga diperoleh
$5 = p(7-q)^2+r~~~~(\cdots~2)$
Eliminasi $r$ dari kedua persamaan di atas, sehingga didapat
$$\begin{aligned} 0 & = p(-3-q)^2- p(7-q)^2 \\ \text{Bagi}&~\text{kedua ruas dengan}~p \\ 0 & = (-3-q)^2-(7-q)^2 \\ 0 & = \color{red}{(-3-q+7-q)(-3-q-7+q)} \\ 0 & = (-2q+4)(-10) \\-2q + 4 & = 0 \\ q &= 2 \end{aligned}$$Catatan: (bagian yang ditanda merah) gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Jadi, nilai $q$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Fungsi kuadrat $f(x)=x^2+2px+p$ mempunyai nilai minimum $-p$ dengan $p \neq 0$. Jika sumbu simetri kurva $f$ adalah $x=a$, maka nilai $a+f(a)=\cdots \cdot$
A. 6                      C. $-4$                  E. $-6$
B. 4                      D. $-5$       

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2+2px+p$
Sumbu simetri:
$x =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{2p}{2(1)} =-p$
Substitusi $x =-p$ pada $f(x)$ mengakibatkan tercapainya nilai minimum fungsi, yaitu $f(-p)=y_p=-p$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+2px+p \\-p & = (-p)^2 + 2p(-p) + p \\-p & = p^2-2p^2+p \\ 0 & =-p^2+2p \\ 0 & = p(-p +2) \end{aligned}$
Diperoleh $p = 0$ atau $p = 2$
Karena diberikan bahwa $p \neq 0$ (pada soal), maka diambil $p=2$, sehingga $f(x)=x^2+4x+2$
Sumbu simetrinya adalah
$x =-\dfrac{4}{2(1)} =-2 = a$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} a + f(a) & =-2 + ((-2)^2+4(-2)+2) \\ & =-2 + (4-8+2) =-4\end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+f(a)=-2+(-2)=-4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Fungsi kuadrat yang memiliki nilai minimum $2$ untuk $x=1$ dan mempunyai nilai $3$ untuk $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=x^2-2x+1$
B. $y=x^2-2x+3$
C. $y=x^2+2x-1$
D. $y=x^2+2x+1$
E. $y=x^2+2x+3$

Pembahasan

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik minimum di $(1, 2)$ dan melalui titik $(2, 3)$.
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y- y_p = a(x- x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 1, y_p = 2, x = 2, y = 3$ menghasilkan
$3- 2 = a(2- 1)^2 \Leftrightarrow a = 1$
Substitusi $a = 1, x_p = 1, y_p=2$ menghasilkan
$\begin{aligned} y- 2 & = 1(x-1)^2 \\ y & = (x^2-2x+1)+2 = x^2-2x+3 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{f(x)=x^2-2x+3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum $-3$ untuk $x=2$, sedangkan untuk $x=-2$ fungsi bernilai $-11$, maka fungsi itu dirumuskan oleh $\cdots \cdot$
A. $y=-\dfrac12x^2+2x-3$
B. $y=\dfrac12x^2-2x-3$
C. $y=-x^2+2x-5$
D. $y=x^2-x-1$
E. $y=-\dfrac12x^2+2x-5$

Pembahasan

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik di $(2,-3)$ dan melalui titik $(-2,-11)$.
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y- y_p = a(x- x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 2, y_p =-3, x =-2, y =-11$ menghasilkan
$\begin{aligned}-11-(-3) & = a(-2-2)^2 \\-11 + 3 & = a(-4)^2 \\-8 & = 16a \\ a &=-\dfrac12 \end{aligned}$ 
Substitusi $a =-\dfrac12, x_p = 2, y_p=-3$ menghasilkan
$\begin{aligned} y-(-3) & =-\dfrac12(x-2)^2 \\ y & =-\dfrac12(x^2-4x+4)-3 \\ y & =-\dfrac12x^2+2x-5 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{f(x)=-\dfrac12x^2+2x-5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika untuk fungsi kuadrat $f(x)$ berlaku $f(1)=f(3)=0$ dan mempunyai nilai maksimum $1$, maka $f(x)=\cdots \cdot$
A. $x^2-4x+3$
B. $x^2+4x+3$
C. $-x^2+4x-3$
D. $-x^2+4x+3$
E. $-x^2-4x-3$

Pembahasan

Secara aljabar, titik $(1, 0)$ dan $(3,0)$ merupakan akar dari persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan $f(x)$ sehingga dapat ditulis
$f(x)=a(x-1)(x-3)$, untuk suatu $a \neq 0$
yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai
$f(x)=ax^2- 4ax + 3a$
Absis titik puncak $f(x)$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} \\ & =-\dfrac{-4a}{2a} = 2 \end{aligned}$
Ini berarti, grafik $f(x)$ memiliki titik puncak di $(2, 1)$ (karena nilai maksimumnya 1).
Sekarang, substitusikan $x=2$ dan $f(x)=y=1$ pada $f(x)=a(x-1)(x-3)$, sehingga
$$1 = a(2-1)(2-3) \Leftrightarrow 1 = a(1)(-1) \Leftrightarrow a =-1$$
Substitusi $a=-1$ pada $f(x)=a(x-1)(x-3)$, sehingga
$\boxed{f(x)=-1(x-1)(x-3) =-x^2 + 4x-3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade

Soal Nomor 28
Grafik parabola yang melalui titik $(0,0)$ mempunyai sumbu simetri $x=4$ dan puncak parabola terletak pada garis $x-y+4=0$. Persamaan parabola tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=-\dfrac14x^2+2x$ 
B. $y=\dfrac14x^2-2x$ 
C. $y=-\dfrac14x^2-2x$ 
D. $y=\dfrac12x^2+4x$ 
E. $y=-\dfrac12x^2+4x$

Pembahasan

Karena puncak parabola yang berkoordinat $(4, y_p)$ berada di garis $x-y+4=0$, maka substitusi $x = 4$ menghasilkan
$4-y+4=0 \Leftrightarrow y = 8$
Kita peroleh bahwa parabola itu memiliki titik puncak di $(4, 8)$ dan melalui titik $(0, 0)$.
Fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-y_p = a(x-x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 4, y_p = 8, x = 0, y = 0$ menghasilkan
$\begin{aligned} 0- 8 & = a(0-4)^2 \\-8 & = a(-4)^2 \\-8 & = 16a \\ a &=-\dfrac12 \end{aligned}$ 
Substitusi $a =-\dfrac12, x_p = 4, y_p=8$ menghasilkan
$\begin{aligned} y-8 & =-\dfrac12(x-4)^2 \\ y & =-\dfrac12(x^2-8x+16)+8 \\ y & =-\dfrac12x^2+4x-8+8 \\ y & =-\dfrac12x^2+4x \end{aligned}$
Jadi, persamaan parabola itu adalah $\boxed{f(x)=y =-\dfrac12x^2+4x}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 29
Titik $P(x_0,y_0)$ dan titik $Q$ adalah dua titik yang terletak simetris pada parabola $y = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\dfrac{D}{4a}$. Absis titik $Q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x_0-\dfrac{b}{a}$
B. $-\dfrac{b}{a} + x_0$
C. $-\dfrac{b}{a}-x_0$
D. $x_0-\dfrac{b}{a}$
E. $-\dfrac{2b}{a}-x_0$

Pembahasan

Persamaan sumbu simetri parabola itu adalah $x =-\dfrac{b}{2a}$
Jarak mendatar titik $P(x_0, y_0)$ ke sumbu simetri $x =-\dfrac{b}{2a}$ adalah $-\dfrac{b}{2a}-x_0$
Karena $Q$ terletak simetris dengan $P$, maka jarak mendatarnya terhadap sumbu simetri $x =-\dfrac{b}{2a}$ juga sama, sehingga absisnya adalah
$\begin{aligned}-\dfrac{b}{2a} + \left(-\dfrac{b}{2a}-x_0\right) & =-\dfrac{2b}{2a}-x_0 \\ & =-\dfrac{b}{a}-x_0 \end{aligned}$
Jadi, absis titik $x_0$ adalah $\boxed{- \frac{b}{a}-x_0}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 30
$A$ dan $B$ adalah dua titik yang terletak pada parabola $f(x)=2x^2-6x-5$ dan berjarak sama terhadap sumbu-$X$. Jika titik $T$ terletak pada garis $x=k$ sedemikian sehingga $|TA|=|TB|$, maka $k=\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $2$                    E. $3$
B. $\dfrac32$                  D. $\dfrac{5}{2}$        

Pembahasan

Agar $T$ berjarak sama dengan titik $A$ dan $B$, maka $T$ harus terletak pada sumbu simetri parabola tersebut.
Persamaan sumbu simetri parabola $f(x)=2x^2-6x-5$ adalah
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-6}{2(2)} = \dfrac32$
Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{\dfrac32}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika $f(x)$ memenuhi $2f(x)+f(1-x)=x^2$ untuk setiap bilangan real $x$, maka $f(x)=\cdots \cdot$
A. $\dfrac12x^2-\dfrac32x+\dfrac12$
B. $\dfrac19x^2+\dfrac89x-\dfrac13$
C. $\dfrac23x^2+\dfrac12x-\dfrac13$
D. $\dfrac13x^2+\dfrac23x-\dfrac13$
E. $\dfrac19x^2+x-\dfrac49$

Pembahasan

Diberikan persamaan:
$2f(x)+f(1-x)=x^2~~~~(\cdots 1)$
Ini juga berarti, berlaku persamaan berikut yang diperoleh dengan cara mengubah $x$ menjadi $1-x$,
$2f(1-x)+f(x) = (1-x)^2~~~(\cdots 2)$
Kedua persamaan di atas membentuk suatu sistem persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode substitusi-eliminasi.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2f(x) + f(1-x) & = x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4f(x) + 2f(1-x) & = 2x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.8pt}- \end{aligned}$$Diperoleh
$\begin{aligned} 3f(x) & = 2x^2-(1-x)^2 \\ 3f(x) & = 2x^2-(1-2x + x^2) \\ 3f(x) & = x^2 + 2x-1 \\ f(x) & = \dfrac13x^2 + \dfrac23x-\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f(x) = \dfrac13x^2 + \dfrac23x-\dfrac13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika parabola $y = (n-1)x^2- (n+1)x$ $+ 3-2n$ untuk $n \neq 0, n \neq 1$, dan $n$ bilangan real akan selalu melalui dua titik tertentu, yaitu $(a, b)$ dan $(p, q)$, maka nilai dari $a+b+p+q=\cdots \cdot$
A. $-1$                   C. $1$                       E. $3$
B. $0$                      D. $2$        

Pembahasan

Perhatikan bahwa fungsi kuadrat yang diberikan dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y & = (n-1)x^2-(n+1)x + 3-2n \\ & = nx^2-x^2-nx-x+3-2n \\ & = n(x^2-x-2)-(x^2+x-3) \\ & = n(x-2)(x+1)-(x^2+x-3) \end{aligned}$
Untuk $x = 2$ atau $x =-1$, $y$ akan selalu bernilai sama berapapun nilai $n$. Secara geometris, parabola akan selalu melalui titik yang sama tanpa mempertimbangkan nilai $n$.
Untuk $x = 2$, diperoleh
$y = n(2-2)(2+1)-(2^2+2-3) =-3$
Parabola melalui titik $(2,-3)$.
Untuk $x =-1$, diperoleh
$y = n(-1-2)(-1+1)-$ $((-1)^2+(-1)-3) = 3$
Parabola melalui titik $(-1, 3)$.
Dengan demikian, dapat diasumsikan nilai $a=2, b =-3, p =-1, q = 3$ (tidak harus seperti ini), sehingga
$\boxed{a+b+p+q = 2+(-3)+(-1)+3=1}$
(Operasi penjumlahan bersifat komutatif, sehingga hasil akhirnya selalu sama meskipun nilai variabelnya tertukar-tukar)
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.

Jika grafik fungsi $f$ memotong sumbu-$X$ di titik $A(a,0)$ dan $B(a+6, 0)$, maka koordinat titik puncak grafik fungsi $f$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $(a+2, 3)$                     D. $(a+4, 3)$
B. $(a+2, 5)$                     E. $(a+4, 5)$
C. $(a+3, 5)$

Pembahasan

Garis sumbu simetri dari suatu fungsi kuadrat terletak tepat di tengah-tengah kedua titik potongnya terhadap sumbu-$X$, yaitu
$x = \dfrac{a + (a+6)}{2} = \dfrac{2a+6}{2} = a+3$
Dari gambar, tampak bahwa ordinat titik puncak fungsi berada di atas sumbu-$X$, yang artinya nilai ordinatnya harus positif. Ini berarti, koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat yang mungkin adalah $(a+3, 5)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 34
Sebuah fungsi kuadrat $f(x) = x^2+bx+c$ dengan koefisien $b$ dan $c$ hanya boleh diganti oleh bilangan dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Banyaknya pasangan $b$ dan $c$ agar grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda adalah $\cdots \cdot$
A. $11$                   C. $17$                   E. $20$
B. $15$                   D. $19$

Pembahasan

Perhatikan bahwa grafik fungsi $f(x)=x^2+bx+c$ berbentuk parabola dan akan memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda (memiliki $2$ penyelesaian real berbeda) apabila diskriminannya bernilai lebih dari $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ b^2-4(1)(c) & > 0 \\ b^2 & > 4c \end{aligned}$
Karena nilai $b, c$ keduanya diambil dari $\{1,2,3,4,5,6\}$, maka kita dapat mencari banyaknya pasangan $(a, b)$ yang memenuhi pertidaksamaan $b^2 > 4c$ dengan menggunakan bantuan tabel seperti berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~c & \text{Banyak Pasangan} \\ \hline 1 & – & 0 \\ 2 & – & 0 \\ 3 & 1, 2 & 2 \\ 4 & 1, 2, 3 & 3 \\ 5 & 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 6 \\ 6 & 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 6 \\ \hline \end{array}$$Jadi, secara keseluruhan ada $\boxed{2+3+6+6=17}$ pasangan nilai $(a, b)$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = x^2+6x+5$. Tentukan:

  1. pembuat nol fungsi;
  2. koordinat titik potong grafik $f(x)$ terhadap sumbu-$Y$;
  3. persamaan sumbu simetri;
  4. nilai optimum;
  5. koordinat titik balik.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2+6x+5$ berarti $a = 1$, $b = 6$, dan $c = 5$.
Jawaban a)
$\begin{aligned} f(x) & = 0 \\ x^2+6x+5 & = 0 \\ (x+5)(x+1) & = 0 \\ x+5=0~\text{atau}~x+1 & = 0 \\ x=-5~\text{atau}~x&=-1 \end{aligned}$
pembuat nol $f(x)$ adalah $x=-5$ atau $x=-1$.
Jawaban b)
Saat grafik fungsi memotong sumbu-$Y$, nilai $x$ adalah $0$.
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+6x+5 \\ \Rightarrow f(0) = y & = (0)^2+6(0)+5 = 5 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, 5)$.
Jawaban c)
Persamaan sumbu simetri ditentukan oleh rumus $x = -\dfrac{b}{2a}$.
$x = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3$
Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah $\boxed{x=-3}$
Jawaban d)
Nilai optimum ada $2$ jenis, yaitu nilai maksimum atau nilai minimum. Diketahui $f(x)=x^2+6x+5$ (koefisien $x^2$ positif), maka ini berarti parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) sehingga memiliki nilai minimum.
Nilai minimum bisa ditentukan dengan $2$ cara, yaitu dengan menghitung $f(-3)$ (dari persamaan sumbu simetrinya) atau menggunakan rumus $y_p = -\dfrac{D}{4a} = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}$.
Cara Pertama:
$\begin{aligned} f(-3) & = (-3)^2+6(-3)+5 \\ & = 9-18+5 = -4 \end{aligned}$
Cara Kedua:
$\begin{aligned} y_p & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{(6)^2-4(1)(5)}{4(1)} \\ & = -\dfrac{16}{4} = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai optimum (minimum) fungsi adalah $\boxed{-4}$
Jawaban e)
Berdasarkan jawaban c dan d, kita peroleh bahwa koordinat titik balik fungsi adalah $(-3, -4)$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2+2x-3$.

Pembahasan

Langkah 1:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu-$X$ ($y = 0$).
$\begin{aligned} y & = 0 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0 \\ x+3 = 0~\text{atau}~x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh koordinat titik potong terhadap sumbu-$X$, yaitu $(-3, 0)$ dan $(1, 0)$.
Langkah 2:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu-$Y$ ($x = 0$).
$\begin{aligned} y & = (0)^2 + 2(0)-3 \\ & = 0+0-3 = -3 \end{aligned}$
Diperoleh koordinat titik potong terhadap sumbu-$Y$, yaitu $(0, -3)$.
Langkah 3:
Menentukan koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$.
Karena $f(x)=x^2+2x-3$, maka ini berarti $a=1$, $b=2$, dan $c=-3$ sehingga
$x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(1)} = -1$
$y_p = (-1)^2+2(-1)-3 = 1-2-3 = -4$
Diperoleh koordinat titik puncaknya, yaitu $(-1, -4)$.
Perhatikan bahwa $a = 1 > 0$, artinya grafik fungsi kuadrat berupa parabola yang terbuka ke atas (seperti huruf U) dan titik baliknya merupakan titik balik minimum.
Grafiknya kita plot sebagai berikut.
Grafik fungsi kuadrat

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di titik $(2, 0)$ dan $(-3, 0)$ serta melalui titik $(4, -28)$.

Pembahasan

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di dua titik, yaitu $(2, 0)$ dan $(-3, 0)$ sehingga rumusnya adalah $y = a(x-2)(x+3)$.
Grafik melalui $(4, -28)$, berarti
$\begin{aligned} y & = a(x-2)(x+3) \\ \Rightarrow -28 & = a(4-2)(4+3) \\ -28 & = a(2)(7) \\ a & = -\dfrac{28}{14} = -2 \end{aligned}$
Rumus fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{aligned} y & = -2(x-2)(x+3) \\ & = -2(x^2+x-6) \\ & = -2x^2-2x+12 \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{y = -2x^2-2x+12}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang melalui titik $(1, -5)$, $(2, -1)$, dan $(-2, 7)$.

Pembahasan

Rumus umum fungsi kuadrat adalah $y = f(x)=ax^2+bx+c$.
Karena grafik melalui $(1, -5)$, kita peroleh
$\begin{aligned} -5 & = a(1)^2 + b(1) + c \\ -5 & = a + b+c \end{aligned}$
Karena grafik melalui $(2,-1)$, kita peroleh
$\begin{aligned} -1 & = a(2)^2 + b(2) + c \\ -1 & = 4a + 2b+c \end{aligned}$
Karena grafik melalui $(-2, 7)$, kita peroleh
$\begin{aligned} 7 & = a(-2)^2 + b(-2) + c \\ 7 & = 4a-2b+c \end{aligned}$
Kita peroleh sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV):
$\begin{cases} a+b+c & = -5 && (\cdots 1) \\ 4a+2b+c & =-1 && (\cdots 2) \\ 4a-2b+c & = 7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dan $c$ pada persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+2b+c & = -1 \\ 4a-2b+c & = 7 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 4b & = -8 \\ b & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b = -2$ pada persamaan $(1)$.
$a+\color{red}{(-2)}+c = -5 \Rightarrow a+c = -3$
Substitusi $b = -2$ pada persamaan $(2)$.
$4a+2\color{red}{(-2)}+c = -1 \Rightarrow 4a+c = 3$
Eliminasi $c$ pada kedua persamaan baru tersebut.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+c & = -3 \\ 4a+c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -3a & = -6 \\ a & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $a = 2$ pada persamaan $a+c=-3$ sehingga diperoleh $c = -5$.
Jadi, rumus fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{y = f(x) = 2x^2-2x-5}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Soal Nomor 5
Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan daerah hasil dari setiap fungsi kuadrat dengan daerah asal yang diberikan.

  1. $f(x)=-10x^2-2x+3$ dengan daerah asal $\{x~|-1 \leq x \leq 3, x \in \mathbb{R}\}$;
  2. $f(x)=-3x^2+4x-2$ dengan daerah asal $\{x~|-2 \leq x \leq 2, x \in \mathbb{R}\}$;
  3. $f(x)=2x^2-7x-15$ dengan daerah asal $\{x~|1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = -10x^2-2x+3$ dengan $D_f = \{x~|-1 \leq x \leq 3, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien $x^2$ bernilai negatif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-2)}{2(-10)} = -\dfrac{1}{10}$
Karena $-1 \leq -\dfrac{1}{10} \leq 3$, maka ini berarti titik baliknya (titik maksimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = -\dfrac{1}{10}$ pada $f(x) = -10x^2-2x+3$ menghasilkan nilai maksimum fungsi, yaitu
$$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{10}\right) & = -10\left(-\dfrac{1}{10}\right)^2-2\left(-\dfrac{1}{10}\right)+3 \\ & = -10 \cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac15+3 \\ & = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{30}{10} \\ & = \dfrac{31}{10} \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = \dfrac{31}{10}$.
Titik terjauh interval $-1 \leq x \leq 3$ dari persamaan sumbu simetri $x = -\dfrac{1}{10}$ adalah $x = 3$ (titik minimum).
Substitusi $x = 3$ pada rumus fungsi $f(x) = -10x^2-2x+3$.
$\begin{aligned} f(3) & = -10(3)^2-2(3)+3 \\ & = -90-6+3 = -93 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -93$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-93 \leq y \leq \dfrac{31}{10}, y \in \mathbb{R}\right\}$.
Jawaban b)
Diketahui $f(x)=-3x^2+4x-2$ dengan $D_f = \{x~|-2 \leq x \leq 2, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien $x^2$ bernilai negatif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-3)} = \dfrac{2}{3}$
Karena $-2 \leq \dfrac23 \leq 2$, maka ini berarti titik baliknya (titik maksimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = \dfrac23$ pada $f(x)=-3x^2+4x-2$ menghasilkan nilai maksimum fungsi, yaitu
$\begin{aligned} f\left(\dfrac23\right) & = -3\left(\dfrac23\right)^2+4\left(\dfrac23\right)-2 \\ & = -\dfrac43+\dfrac83-\dfrac63 = -\dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = -\dfrac23$.
Titik terjauh interval $-2 \leq x \leq 2$ dari persamaan sumbu simetri $x = \dfrac23$ adalah $x = -2$ (titik minimum).
Substitusi $x = -2$ pada rumus fungsi $f(x)=-3x^2+4x-2$.
$\begin{aligned} f(-2) & = -3(-2)^2 + 4(-2)-2 \\ & = -12-8-2 = -22 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -22$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-22 \leq y \leq -\dfrac23, y \in \mathbb{R}\right\}$.
Jawaban c)
Diketahui $f(x)=2x^2-7x-15$ dengan $D_f = \{x~|~1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke atas karena koefisien $x^2$ bernilai positif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-7)}{2(2)} = \dfrac74$
Karena $1 \leq \dfrac74 \leq 5$, maka ini berarti titik baliknya (titik minimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = \dfrac74$ pada $f(x)=2x^2-7x-15$ menghasilkan nilai minimum fungsi, yaitu
$\begin{aligned} f\left(\dfrac74\right) & = 2\left(\dfrac74\right)^2-7\left(\dfrac74\right)-15 \\ & = \dfrac{49}{8}-\dfrac{98}{8}-\dfrac{120}{8} \\ & = -\dfrac{169}{8} \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -\dfrac{169}{8}$.
Titik terjauh interval $1 \leq x \leq 5$ dari persamaan sumbu simetri $x = \dfrac74$ adalah $x = 5$ (titik maksimum).
Substitusi $x = 5$ pada rumus fungsi $f(x)=2x^2-7x-15$.
$\begin{aligned} f(5) & = 2(5)^2-7(5)-15 \\ & = 50-35-15 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = 0$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-\dfrac{169}{8} \leq y \leq 0, y \in \mathbb{R}\right\}$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Grafik fungsi $f(x) = a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2$ $+\left(-\dfrac{D}{4a}\right)$ dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi $f(x)=ax^2$ sejauh $\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ satuan searah sumbu-$X$, lalu dilanjutkan menggeser grafik sejauh $\left(-\dfrac{D}{4a}\right)$ satuan searah sumbu-$Y$. Gunakan cara ini untuk menggambar grafik fungsi berikut.
a. $f(x) = x^2-4x-1$
b. $f(x) = -x^2+6x-4$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4x-1 \\ & = [(x-2)^2-4]-1 \\ & = (x-2)^2-5 \end{aligned}$
Dari grafik $y = x^2$, kita geser sejauh $2$ satuan searah sumbu-$X$, lalu digeser $-5$ satuan searah sumbu-$Y$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.
Pergeseran grafik fungsi kuadrat
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{aligned} f(x) & = -x^2+6x-4 \\ & = -(x^2-6x)-4 \\ & = -[(x-3)^2-9]-4 \\ & = -(x-3)^2+5 \end{aligned}$
Dari grafik $y = -x^2$, kita geser sejauh $3$ satuan searah sumbu-$X$, lalu digeser $5$ satuan searah sumbu-$Y$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.
Pergeseran grafik fungsi kuadrat

[collapse]

Soal Nomor 7
Untuk suatu bilangan bulat $p>q>0$, apakah terdapat suatu fungsi kuadrat $y = ax^2+bx+c$ yang melalui titik koordinat $(1, p)$ dan $(1, q)$? Jelaskan alasanmu.

Pembahasan

Tidak ada.
Jika ada nilai $x$ yang sama dengan dua nilai fungsi yang berbeda, yaitu $p$ dan $q$, maka $f$ tidak memenuhi kriteria untuk disebut sebagai fungsi. Setiap anggota domain harus memiliki tepat satu pasangan terhadap anggota kodomain agar bisa disebut sebagai fungsi.

[collapse]

Soal Nomor 8
Apakah mungkin grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat berpotongan di tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.

Pembahasan

Tidak mungkin.
Grafik fungsi linear berupa garis lurus, sedangkan grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola memiliki sumbu simetri karena kurva kiri kanannya sama bila dicerminkan. Untuk itu, titik potong yang dapat terjadi antara kedua grafik fungsi tersebut hanya ada $2$ seperti tampak pada sketsa gambar berikut.
Titik potong grafik fungsi linear dan kuadrat

[collapse]

Soal Nomor 9
Apakah mungkin dua grafik fungsi kuadrat berbeda yang berpotongan di tiga titik koordinat?

Pembahasan

Tidak mungkin. Kurva parabola (grafik fungsi kuadrat) paling banyak memiliki $2$ titik potong saja. Perhatikan sketsa gambar berikut untuk lebih jelasnya.
Perpotongan dua grafik fungsi kuadrat

[collapse]

CategoriesFungsi Kuadrat, FungsiTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *