Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)

Berikut ini penulis sajikan sejumlah soal disertai pembahasannya terkait persamaan kuadrat versi soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) dan Olimpiade.

Versi Standar: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Quote by Soekarno

Hidup bukanlah tentang “Aku bisa saja”, namun tentang “Aku mencoba”. Jangan pikirkan tentang kegagalan, sebab itu adalah pelajaran.

Soal Nomor 1 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2+3x+1=0$, maka nilai dari $\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)}$ $= \cdots \cdot$
A. $-3$        B. $3$         C. $-\dfrac13$           D. $\dfrac13$           E. $1$

Penyelesaian

Diketahui persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$ memiliki jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = 1$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{(3x_1+1)(x_1+3)+(3x_2+1)(x_2+3)}{(3x_1+1)(3x_2+1)(x_1+3)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{3x_1^2 + 10x_1 + 3 + 3x_2^2 + 10x_2 + 3}{(9x_1x_2 + 3x_1 + 3x 2 + 1)(x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9)} \\ & = \dfrac{3(x_1^2+x_2^2)+10(x_1+x_2) + 6}{x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9} \\ & = \dfrac{3[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2] +10(x_1+x_2) + 6}{x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9} \\ & = \dfrac{3[(-3)^2 – 2(1)] + 10(-3) + 6}{1 + 3(-3) + 9} \\ & = \dfrac{3(9-2) -30 + 6}{1 -9 + 9} \\ & = 21 -30 + 6 = -3 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} = -3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$ dengan $p \neq 0$, serta $\dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} = m^3+n^3$, maka nilai dari $p^2-16 = \cdots \cdot$
A. $82$                           C. $112$                      E. $164$ 
B. $96$                           D. $144$         

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$m + n = -\dfrac{p} {4}$
dan hasil kali akarnya adalah
$mn = \dfrac{8}{4} = 2$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} & = m^3+n^3 \\ \dfrac{2m + 2n} {mn} & = (m + n)^3- 3m^2n -3mn^2 \\ \dfrac{2(m+n)} {mn} & = (m+n)^3 -3mn(m + n) \\ \dfrac{\cancel{2}\left(-\frac{p} {4}\right)} {\cancel{2}} & = \left(-\dfrac{p} {4}\right)^3 -3(\cancel{2})\left(-\dfrac{p} {\cancelto{2}{4}} \right) \\ -\dfrac{p}{4} & = -\dfrac{p^3}{64} + \dfrac{3p} {2} \\ \text{Bagi kedua}~&\text{ruas dengan}~p \\ -\dfrac{1} {4} & = -\dfrac{p^2}{64} + \dfrac{3} {2} \\ \dfrac{p^2}{64} & = \dfrac74 \\ p^2 & = \dfrac{7}{\cancel{4}} \times \cancelto{16}{64} \\ p^2 & = 112 \\ p^2 -16 & = 96 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $p^2-16$ adalah $\boxed{96}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $p$ dan $q$ akar-akar persamaan $x^2-x+1=0$, nilai dari $p^{2017}+q^{2017}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$         B. $1$           C. $0$           D. $-1$            E. $-2$

Penyelesaian

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x + 1 = 0$ memiliki jumlah akar
$\color{red}{p + q = -\dfrac{b}{a} = 1}$
Perhatikan bahwa persamaan $x^2 -x + 1 = 0$ ekuivalen dengan $x^2 = x – 1$. Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan $x$, kita peroleh
$\begin{aligned} x^3 & = x^2 -x \\ \text{Substitusikan}~&x^2 = x -1 \\ x^3 & = (x -1) -x \\ x^3 & = -1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$x^{2016} = (x^3)^{672} = (-1)^{672} = 1$
Berarti,
$x{2017} = x^{2016} \cdot x = x$
Karena $p, q$ merupakan akar-akar persamaan kuadratnya, maka berlaku
$p^{2017} = p$ dan $q^{2017} = q$. Jumlahkan kedua persamaan ini untuk memperoleh
$p^{2017} + q^{2017} = \color{red}{p + q} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^{2017} + q^{2017} = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, maka hasil dari $4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                        C. $22$                     E. $24$
B. $21$                        D. $23$       

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$x_1+x_2=-\dfrac{b} {a} = -1$
Perhatikan juga bahwa persamaan $x^2+x-3=0$ ekuivalen dengan $x^2+x=3$
Karena $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\boxed{\begin{aligned} x_1^2 + x_1 & = 3 \\ x_2^2+x_2 & = 3 \\ x_1+x_2 & = -1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2x_1- 2x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2(x_1+x_2) \\ & = 4(3) + 3(3) -2(-1) = 23 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 = 23}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diketahui persamaan kuadrat $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki akar-akar $a$ dan $b$, maka nilai dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32$         B. $\dfrac38$         C. $\dfrac58$          D. $\dfrac78$        E. $\dfrac{7}{12}$

Penyelesaian

Persamaan $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki jumlah akar
$a + b = -\dfrac{-9}{1} = 9$
dan hasil kali akarnya 
$ab = \dfrac{64}{1} = 64$
Perhatikan bahwa bentuk $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ ekuivalen dengan $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}$, sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}} & = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{a + b + 2\sqrt{ab}} {ab}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 2\sqrt{64}} {64}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 16}{64}} \\ & = \dfrac58 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\boxed{\dfrac58}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika akar-akar persamaan $x^2-45x-8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka nilai dari $\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = \cdots \cdot$
A. $3$                         C. $-2$                      E. $-4$
B. $2$                         D. $-3$          

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-45x-8=0$, diketahui jumlah akarnya
$\alpha + \beta = -\dfrac{-45}{1} = 45$
dan hasil kali akarnya
$\alpha \beta = \dfrac{-8}{1} = -8$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta})^3 & = a + b + 3(\alpha)^{\frac23}b^{\frac13} + 3(\alpha)^{\frac13}b^{\frac23} \\ & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}(\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta}) \\ \text{Misalkan}~(\sqrt[3]{\alpha} & + \sqrt[3]{\beta}) = x \\ x^3 & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-8)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-2)x \\ x^3 + 6x -45 & = 0 \\ (x -3)(x^2 + 3x + 15) & = 0 \end{aligned}$$Karena $x^2+3x+15=0$ merupakan persamaan kuadrat dengan definit positif, maka satu-satunya akar adalah $x = 3$. 
Ini berarti, nilai dari $\boxed{\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = 3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan $2x^2+3x-3=0$. Nilai dari $4a^3b + 6a^2b = \cdots \cdot$
A. $-12$                      C. $-9$                     E. $12$
B. $-11$                      D. $9$            

Penyelesaian

Diketahui hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah $ab = \dfrac{-3}{2}$
Karena $a$ merupakan salah satu akar persamaan kuadrat $2x^2+3x-3=0$, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a-3 & =0 \\ 2a^2 + 3a & = 3 \\ \text{Kalikan}~2ab~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 2a^2(2ab) + 3a(2ab) & = 3(2ab) \\ 4a^3b + 6a^2b & = 6ab \\ 4a^3+6a^2b & = 6\left(-\dfrac32\right) = -9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{4a^3b + 6a^2b = -9}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat $2x^2+3x-4=0$ mempunyai akar-akar $a$ dan $b$. Nilai dari $(4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5)= \cdots \cdot$
A. $63$                            C. $86$                     E. $98$
B. $73$                            D. $90$         

Penyelesaian

Persamaan kuadrat di atas ekuivalen dengan $2x^2+3x=4$. Karena $a$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a & = 4 \\ \text{Kalikan}~2~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 4a^2 + 6a & = 8 \\ 4a^2 + 6a + 2 & = 10 \end{aligned}$
Karena $b$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2b^2+3b & = 4 \\ 2b^2 + 3b + 5 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari 
$\boxed{\begin{aligned} (4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5) & = (10)(9) \\ & = 90 \end{aligned}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika salah satu akar persamaan $2x^2 -x- 4 = 0$ adalah $p$, maka nilai $4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p = \cdots \cdot$
A. $10$                           C. $17$                      E. $22$
B. $15$                           D. $20$        

Penyelesaian

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $2x^2 -x-4 = 0$, maka berlaku persamaan $2p^2 -p -4 = 0$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 2p^2 -p -4 & = 0 \\ 2p^2 – p & = 4 \\ (2p^2 -p)^2 & = 4^2 \\ 4p^4 -4p^3 + p^2 & = 16 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & 4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p  \\ & = (4p^4 -4p^3 + p^2) + (2p^2 -p) \\ & = 16 + 4 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p = 20}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat sehingga $\sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$ merupakan solusi persamaan kuadrat $x^2 + ax +b = 0$, maka $a + b = \cdots \cdot$
A. $-2017$                            D. $-2020$
B. $-2018$                            E. $-2021$
C. $-2019$

Penyelesaian

Misalkan $x = \sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$, sehingga dapat disederhanakan menggunakan sifat akar
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt a \pm \sqrt b}$
menjadi
$\begin{aligned} x& = \sqrt{(2018 + 1) + 2\sqrt{2018 \cdot 1}} \\ & = \sqrt{2018} + \sqrt 1 \\ & = \sqrt{2018} + 1 \end{aligned}$
Karena $x$ merupakan akar persamaan kuadrat itu, maka substitusi $x$ pada $x^2 + ax + b = 0$ menghasilkan
$$\begin{aligned} (\sqrt{2018} + 1)^2 + a(\sqrt{2018} + 1) + b & = 0 \\ (2018 + 2\sqrt{2018} + 1) + a\sqrt{2018} + a + b & = 0 \\ 2019 + (2 + a)\sqrt{2018} + a + b & = 0 \end{aligned}$$Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2 + a$ harus bernilai $0$ untuk diperoleh hasil bilangan bulat. Dengan demikian, nilai $a = -2$ dan akibatnya $b = -2019 + 2 = -2017$. Jadi, nilai dari $a + b$ adalah $\boxed{-2019}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $c, d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$ dan $a, b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$ untuk $a, b, c, d$ bilangan real bukan nol, maka nilai $a+b+c+d = \cdots \cdot$
A. $-3$                          C. $-1$                       E. $2$
B. $-2$                          D. $1$           

Penyelesaian

Karena $c$ dan $d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{blue}{cd = b}$
Karena $a$ dan $b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{a + b = -c}$ dan $\color{blue}{ab = d}$
Dari persamaan $\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{red}{a+b=-c}$, diperoleh $b=d$.
Dari persamaan $\color{blue}{ab = d}$, diperoleh
$ad = d \implies a = 1$
Dari persamaan $$\color{blue}{cd = b}$, diperoleh
$cd = d \implies c = 1$
Dari persamaan $\color{red}{c+d=-a}$, diperoleh
$1 + d = -1 \Leftrightarrow d = -2 = b$
Dengan demikian,
$\boxed{\begin{aligned} a + b + c + d & = 1 + (-2) + 1 + (-2) \\ & = -2 \end{aligned}}$
(Jawaban B)

[collapse]
 

Soal Nomor 12
Tinjau persamaan yang berbentuk $x^2+bx+c=0$. Berapa banyak persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika koefisien $b$ dan $c$ hanya boleh dipilih dari himpunan $\{1,2,3,4,5,6\}$?
A. $11$                           C. $17$                      E. $20$
B. $15$                           D. $19$

Penyelesaian

Karena akar-akar persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ real, maka diskriminan $D \geq 0$ sehingga kita tulis
$\begin{aligned} b^2-4ac & \geq 0 \\ b^2-4(1)c & \geq 0 \\ 4c & \leq b^2 \end{aligned}$
Karena nilai $c$ dibatasi dalam interval $1 \leq c \leq 6$, maka haruslah
$4 \leq 4c \leq 24$.
Sekarang, uji syarat $4c \leq b^2$ dengan batas nilai $b$, yaitu $1 \leq b \leq 6$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~b & \text{Hasil}~4c \leq b^2 & \text{Nilai}~c & \text{Banyak nilai}~c \\ \hline 1 & 4c \leq 1 & – & 0 \\ \hline 2 & 4c \leq 4 & 1 & 1 \\ \hline 3 & 4c \leq 9 & 1, 2 & 2 \\ \hline 4 & 4c \leq 16 & 1,2,3,4 & 4 \\ \hline 5 & 4c \leq 25 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline 6 & 4c \leq 36 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline \end{array}$$Banyak pasangan $(a, b) \in \{1,2,3,4,5,6\}$ yang memenuhi persamaan $x^2+bx+c=0$ agar akarnya real adalah
$\boxed{0+1+2+4+6+6=19}$
(Jawaban D)

[collapse]

CategoriesAljabar, Persamaan KuadratTags, , , , , , ,

One Reply to “Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)”

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *