Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)

Berikut ini penulis sajikan sejumlah soal disertai pembahasannya terkait persamaan kuadrat versi soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) dan Olimpiade. Soal dikumpulkan dari berbagai sumber.

Versi Standar: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Quote by Soekarno

Hidup bukanlah tentang “Aku bisa saja”, namun tentang “Aku mencoba”. Jangan pikirkan tentang kegagalan, sebab itu adalah pelajaran.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2+3x+1=0$, maka nilai dari $\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)}$ $= \cdots \cdot$
A. $-3$                 C. $-\dfrac13$                E. $1$
B. $3$                    D. $\dfrac13$           

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$ memiliki jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = 1.$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{(3x_1+1)(x_1+3)+(3x_2+1)(x_2+3)}{(3x_1+1)(3x_2+1)(x_1+3)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{3x_1^2 + 10x_1 + 3 + 3x_2^2 + 10x_2 + 3}{(9x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 1)(x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9)} \\ & = \dfrac{3(x_1^2+x_2^2)+10(x_1+x_2) + 6}{(9x_1x_2 + 3(x_1+x_2)+1)(x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9)} \\ & = \dfrac{3[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2] +10(x_1+x_2) + 6}{(9x_1x_2 + 3(x_1+x_2)+1)(x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9)} \\ & = \dfrac{3[(-3)^2 – 2(1)] + 10(-3) + 6}{(9(1) + 3(-3) + 1)(1 + 3(-3) + 9)} \\ & = \dfrac{3(9-2) -30 + 6}{(9-9+1)(1 -9 + 9)} \\ & = \dfrac{21 -30 + 6}{1 \cdot 1} = -3. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} = -3}$$(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal Cerita dan Pembahasan – Bentuk Aljabar Sederhana

Soal Nomor 2
Misalkan $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$ dengan $p \neq 0,$ serta $\dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} = m^3+n^3$, maka nilai dari $p^2-16 = \cdots \cdot$
A. $82$                       C. $112$                  E. $164$ 
B. $96$                       D. $144$         

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$m + n = -\dfrac{p} {4}$
dan hasil kali akarnya adalah
$mn = \dfrac{8}{4} = 2.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} & = m^3+n^3 \\ \dfrac{2m + 2n} {mn} & = (m + n)^3- 3m^2n -3mn^2 \\ \dfrac{2(m+n)} {mn} & = (m+n)^3 -3mn(m + n) \\ \dfrac{\cancel{2}\left(-\frac{p} {4}\right)} {\cancel{2}} & = \left(-\dfrac{p} {4}\right)^3 -3(\cancel{2})\left(-\dfrac{p} {\cancelto{2}{4}} \right) \\ -\dfrac{p}{4} & = -\dfrac{p^3}{64} + \dfrac{3p} {2} \\ \text{Bagi kedua}~&\text{ruas dengan}~p \\ -\dfrac{1} {4} & = -\dfrac{p^2}{64} + \dfrac{3} {2} \\ \dfrac{p^2}{64} & = \dfrac74 \\ p^2 & = \dfrac{7}{\cancel{4}} \times \cancelto{16}{64} \\ p^2 & = 112 \\ p^2 -16 & = 96. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p^2-16$ adalah $\boxed{96}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $p$ dan $q$ akar-akar persamaan $x^2-x+1=0$, nilai dari $p^{2017}+q^{2017}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                    C. $0$                   E. $-2$
B. $1$                    D. $-1$            

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x + 1 = 0$ memiliki jumlah akar $\color{red}{p + q = -\dfrac{b}{a} = 1}.$
Perhatikan bahwa persamaan $x^2 -x + 1 = 0$ ekuivalen dengan $x^2 = x – 1$. Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan $x$, kita peroleh
$\begin{aligned} x^3 & = x^2 -x \\ \text{Substitusikan}~&x^2 = x -1 \\ x^3 & = (x -1) -x \\ x^3 & = -1. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$x^{2016} = (x^3)^{672} = (-1)^{672} = 1$
sehingga
$x^{2017} = x^{2016} \cdot x = x.$
Karena $p, q$ merupakan akar-akar persamaan kuadratnya, maka berlaku
$p^{2017} = p$ dan $q^{2017} = q$. Jumlahkan kedua persamaan ini untuk memperoleh
$p^{2017} + q^{2017} = \color{red}{p + q} = 1.$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^{2017} + q^{2017} = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, maka hasil dari $4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                   C. $22$                  E. $24$
B. $21$                   D. $23$       

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$x_1+x_2=-\dfrac{b} {a} = -1.$
Perhatikan juga bahwa persamaan $x^2+x-3=0$ ekuivalen dengan $x^2+x=3.$
Karena $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\boxed{\begin{aligned} x_1^2 + x_1 & = 3 \\ x_2^2+x_2 & = 3 \\ x_1+x_2 & = -1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} & 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2x_1- 2x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2(x_1+x_2) \\ & = 4(3) + 3(3) -2(-1) = 23 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 = 23}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diketahui persamaan kuadrat $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki akar-akar $a$ dan $b$, maka nilai dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32$                    C. $\dfrac58$                  E. $\dfrac{7}{12}$
B. $\dfrac38$                    D. $\dfrac78$        

Pembahasan

Persamaan $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki jumlah akar
$a + b = -\dfrac{-9}{1} = 9$
dan hasil kali akarnya 
$ab = \dfrac{64}{1} = 64.$
Perhatikan bahwa bentuk $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ ekuivalen dengan $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}$ sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}} & = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{a + b + 2\sqrt{ab}} {ab}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 2\sqrt{64}} {64}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 16}{64}} \\ & = \dfrac58. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\boxed{\dfrac58}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika akar-akar persamaan $x^2-45x-8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka nilai dari $\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = \cdots \cdot$
A. $3$                   C. $-2$                  E. $-4$
B. $2$                   D. $-3$          

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat $x^2-45x-8=0$, diketahui jumlah akarnya
$\alpha + \beta = -\dfrac{-45}{1} = 45$
dan hasil kali akarnya
$\alpha \beta = \dfrac{-8}{1} = -8.$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta})^3 & = a + b + 3(\alpha)^{\frac23}b^{\frac13} + 3(\alpha)^{\frac13}b^{\frac23} \\ & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}(\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta}) \\ \text{Misalkan}~(\sqrt[3]{\alpha} & + \sqrt[3]{\beta}) = x \\ x^3 & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-8)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-2)x \\ x^3 + 6x -45 & = 0 \\ (x -3)(x^2 + 3x + 15) & = 0. \end{aligned}$$Karena $x^2+3x+15=0$ merupakan persamaan kuadrat dengan definit positif, maka satu-satunya akar adalah $x = 3$. 
Ini berarti, nilai dari $\boxed{\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = 3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan $2x^2+3x-3=0$. Nilai dari $4a^3b + 6a^2b = \cdots \cdot$
A. $-12$                   C. $-9$                  E. $12$
B. $-11$                   D. $9$            

Pembahasan

Diketahui hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah $ab = \dfrac{-3}{2}.$
Karena $a$ merupakan salah satu akar persamaan kuadrat $2x^2+3x-3=0$, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a-3 & =0 \\ 2a^2 + 3a & = 3 \\ \text{Kalikan}~2ab~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 2a^2(2ab) + 3a(2ab) & = 3(2ab) \\ 4a^3b + 6a^2b & = 6ab \\ 4a^3+6a^2b & = 6\left(-\dfrac32\right) \\ & = -9. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{4a^3b + 6a^2b = -9}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat $2x^2+3x-4=0$ mempunyai akar-akar $a$ dan $b$. Nilai dari $(4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5)= \cdots \cdot$
A. $63$                     C. $86$                  E. $98$
B. $73$                     D. $90$         

Pembahasan

Persamaan kuadrat di atas ekuivalen dengan $2x^2+3x=4$. Karena $a$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a & = 4 \\ \text{Kalikan}~2~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 4a^2 + 6a & = 8 \\ 4a^2 + 6a + 2 & = 10. \end{aligned}$
Karena $b$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2b^2+3b & = 4 \\ 2b^2 + 3b + 5 & = 9. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari 
$$\boxed{\begin{aligned} (4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5) & = (10)(9) \\ & = 90 \end{aligned}}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika salah satu akar persamaan $2x^2 -x- 4 = 0$ adalah $p$, maka nilai $4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p = \cdots \cdot$
A. $10$                      C. $17$                   E. $22$
B. $15$                      D. $20$        

Pembahasan

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $2x^2 -x-4 = 0$, maka berlaku persamaan $2p^2 -p -4 = 0$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 2p^2 -p -4 & = 0 \\ 2p^2 – p & = 4 \\ (2p^2 -p)^2 & = 4^2 \\ 4p^4 -4p^3 + p^2 & = 16. \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & 4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p  \\ & = (4p^4 -4p^3 + p^2) + (2p^2 -p) \\ & = 16 + 4 = 20. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p = 20}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x-5 = 0$, maka nilai dari $\alpha^4-28\alpha = \cdots \cdot$
A. $45$                     C. $35$                   E. $20$
B. $40$                     D. $25$

Pembahasan

Diketahui $x^2-2x-5=0$.
Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan kuadrat itu, maka berlaku
$\begin{aligned} \color{red}{\alpha^2-2\alpha-5} &~\color{red}{~= 0} \\ \alpha^2 & = 2\alpha+5 \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ (\alpha^2)^2 & = (2\alpha+5)^2 \\ \alpha^4 & = 4\alpha^2+20\alpha+25. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \alpha^4-28\alpha & = (4\alpha^2+20\alpha+25)-28\alpha \\ & = 4\alpha^2-8\alpha+25 \\ & = 4(\color{red}{\alpha^2-2\alpha-5})+45 \\ & = 4(\color{red}{0})+45=45. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\alpha^4-28\alpha=45}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat sehingga $\sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$ merupakan solusi persamaan kuadrat $x^2 + ax +b = 0$, maka $a + b = \cdots \cdot$
A. $-2017$                         D. $-2020$
B. $-2018$                         E. $-2021$
C. $-2019$

Pembahasan

Misalkan $x = \sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$ sehingga dapat disederhanakan menggunakan sifat akar
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt a \pm \sqrt b}$
menjadi
$\begin{aligned} x& = \sqrt{(2018 + 1) + 2\sqrt{2018 \cdot 1}} \\ & = \sqrt{2018} + \sqrt 1 \\ & = \sqrt{2018} + 1 \end{aligned}$
Karena $x$ merupakan akar persamaan kuadrat itu, maka substitusi $x$ pada $x^2 + ax + b = 0$ menghasilkan
$$\begin{aligned} (\sqrt{2018} + 1)^2 + a(\sqrt{2018} + 1) + b & = 0 \\ (2018 + 2\sqrt{2018} + 1) + a\sqrt{2018} + a + b & = 0 \\ 2019 + (2 + a)\sqrt{2018} + a + b & = 0 \end{aligned}$$Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2 + a$ harus bernilai $0$ untuk diperoleh hasil bilangan bulat. Dengan demikian, nilai $a = -2$ dan akibatnya $b = -2019 + 2 = -2017$. Jadi, nilai dari $a + b$ adalah $\boxed{-2019}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $c, d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$ dan $a, b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$ untuk $a, b, c, d$ bilangan real bukan nol, maka nilai $a+b+c+d = \cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $-1$                 E. $2$
B. $-2$                     D. $1$           

Pembahasan

Karena $c$ dan $d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{blue}{cd = b}.$
Karena $a$ dan $b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{a + b = -c}$ dan $\color{blue}{ab = d}.$
Dari persamaan $\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{red}{a+b=-c}$, diperoleh $b=d$.
Dari persamaan $\color{blue}{ab = d}$, diperoleh
$ad = d \implies a = 1.$
Dari persamaan $\color{blue}{cd = b}$, diperoleh
$cd = d \implies c = 1.$
Dari persamaan $\color{red}{c+d=-a}$, diperoleh
$1 + d = -1 \Leftrightarrow d = -2 = b.$
Dengan demikian,
$$\boxed{\begin{aligned} a + b + c + d & = 1 + (-2) + 1 + (-2) \\ & = -2 \end{aligned}}$$(Jawaban B)

[collapse]
 

Soal Nomor 13
Tinjau persamaan yang berbentuk $x^2+bx+c=0$. Berapa banyak persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika koefisien $b$ dan $c$ hanya boleh dipilih dari himpunan $\{1,2,3,4,5,6\}$?
A. $11$                      C. $17$                  E. $20$
B. $15$                      D. $19$

Pembahasan

Karena akar-akar persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ real, maka diskriminan $D \geq 0$ sehingga kita tulis
$\begin{aligned} b^2-4ac & \geq 0 \\ b^2-4(1)c & \geq 0 \\ 4c & \leq b^2. \end{aligned}$
Karena nilai $c$ dibatasi dalam interval $1 \leq c \leq 6$, maka haruslah
$4 \leq 4c \leq 24$.
Sekarang, uji syarat $4c \leq b^2$ dengan batas nilai $b$, yaitu $1 \leq b \leq 6$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~b & \text{Hasil}~4c \leq b^2 & \text{Nilai}~c & \text{Banyak nilai}~c \\ \hline 1 & 4c \leq 1 & – & 0 \\ \hline 2 & 4c \leq 4 & 1 & 1 \\ \hline 3 & 4c \leq 9 & 1, 2 & 2 \\ \hline 4 & 4c \leq 16 & 1,2,3,4 & 4 \\ \hline 5 & 4c \leq 25 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline 6 & 4c \leq 36 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline \end{array}$$Banyak pasangan $(a, b) \in \{1,2,3,4,5,6\}$ yang memenuhi persamaan $x^2+bx+c=0$ agar akarnya real adalah
$\boxed{0+1+2+4+6+6=19}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
$a$ dan $b$ merupakan dua bilangan yang berbeda sehingga berlaku $2015+a = b^2$ dan $2015+b=a^2.$ Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-x+2015=0$
B. $x^2+x+2015=0$
C. $x^2+x+2014=0$
D. $x^2-x-2014=0$
E. $x^2+x-2014=0$

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ berbentuk
$$\boxed{x^2-(a+b)x+ab = 0}$$Oleh karena itu, akan dicari nilai $a+b$ dan $ab.$
Diketahui bahwa
$$\begin{cases} 2015+a & = b^2 && (\cdots 1) \\ 2015+b & = a^2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Kurangi kedua persamaan tersebut sehingga akan diperoleh
$$\begin{aligned} (2015+a)-(2015+b) & = b^2-a^2 \\ a-b & = (b+a)(b-a) \\ -\cancel{(b-a)} & = (b+a)\cancel{(b-a)} \\ -1 & = b+a. \end{aligned}$$Diperoleh $\color{blue}{a+b=-1}$
Selanjutnya, kalikan kedua persamaan di atas sesuai ruasnya.
$$\begin{aligned} (2015+a)(2015+b) & = (b^2)(a^2) \\ 2015^2 + 2015(a + b) + ab & = (ab)^2 \\ \text{Substitusi}~a+b & = -1 \\ 2015^2 + 2015(-1) & = (ab)^2-ab \\ 2015^2-2015 & = (ab)²-ab \end{aligned}$$Diperoleh $\color{blue}{ab = 2015}.$
Jadi, persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
$$\boxed{\begin{aligned} x^2-(-1)x + 2015 & = 0 \\ x^2 + x + 2015 & = 0 \end{aligned}}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15 (SBMPTN 2014)
Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $$x^2-(a+1)x + \left(-a-\dfrac52\right) = 0,$$ maka nilai minimum $p^2+q^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac52$                    C. $1$                    E. $0$
B. $2$                      D. $\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui $$x^2-(a+1)x + \left(-a-\dfrac52\right) = 0.$$Karena akar-akarnya $p$ dan $q,$ maka kita peroleh jumlah akar dan hasil kali akarnya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{-(a+1)}{1} = a+1 \\ pq & = \dfrac{-a-\dfrac52}{1} = -a-\dfrac52 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p^2+q^2 & = (p+q)^2-2pq \\ & = (a+1)^2-2\left(-a-\dfrac52\right) \\ & = a^2+2a+1+2a+5 \\ & = a^2+4a+6 \\ & = (a+2)^2+2. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $p^2+q^2$ akan bernilai minimum jika $a = -2.$ Akibatnya, nilai minimumnya adalah $(-2+2)^2 + 2 = 2.$
(Jawaban B)

[collapse]
   

Soal Nomor 16
Misalkan $d$ dan $j$ adalah dua bilangan real yang memenuhi persamaan $2d^2-3d-1=0$ dan $j^2+3j-2=0$ dengan $dj \neq 1.$ Nilai dari $(dj + d + 1)j^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                      C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                      D. $1$

Pembahasan

Gunakan rumus kuadrat/ABC (atau bisa juga menggunakan metode kuadrat sempurna) untuk mencari masing-masing akar dari dua persamaan kuadrat tersebut.
$$\begin{aligned} 2d^2-3d-1 = 0 \Rightarrow d_{1,2} & = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4(2)(-1)}}{2(2)} \\ & = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \\ j^2+3j-2 = 0 \Rightarrow j_{1,2} & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \end{aligned}$$Kita peroleh ada dua nilai untuk $d$ dan $j$, tetapi perlu diperiksa agar $dj \neq 1.$
Kasus 1:
Jika $d = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-9 + 17}{8} = 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.
Kasus 2:
Jika $d = \dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3-\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-26 + 6\sqrt{17}}{8} \\ & = \dfrac{-13 + 3\sqrt{17}}{4} \neq 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (dj+d+1)j^{-1} & = \left(\dfrac{-13 + 3\sqrt{17}}{4} + \dfrac{3-\sqrt{17}}{4} + \dfrac44 \right) \cdot \dfrac{2}{-3 + \sqrt{17}} \\ & = \dfrac{-6 + 2\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{2}{-3 + \sqrt{17}} \\ & = \dfrac{2\cancel{(-3 + \sqrt{17})}}{4} \cdot \dfrac{2}{\cancel{-3 + \sqrt{17}}} \\ & = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \color{red}{1} \end{aligned}$$Kasus 3:
Jika $d = \dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3+\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-26 -6\sqrt{17}}{8} \\ & = \dfrac{-13-3\sqrt{17}}{4} \neq 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (dj+d+1)j^{-1} & = \left(\dfrac{-13- 3\sqrt{17}}{4} + \dfrac{3+\sqrt{17}}{4} + \dfrac44 \right) \cdot \dfrac{2}{-3-\sqrt{17}} \\ & = \dfrac{-6-2\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{2}{-3-\sqrt{17}} \\ & = \dfrac{2\cancel{(-3-\sqrt{17})}}{4} \cdot \dfrac{2}{\cancel{-3\sqrt{17}}} \\ & = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \color{red}{1} \end{aligned}$$Kasus 4:
Jika $d = \dfrac{3- \sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3- \sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3- \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-9 + 17}{8} = 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.

Jadi, nilai dari $(dj + d + 1)j^{-1}$ adalah $\boxed{1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Titik $A$ dan $B$ terletak pada grafik fungsi $f(x) = 4-x-x^2.$ Jika $(0, 0)$ merupakan koordinat titik tengah dari ruas garis $AB,$ maka jarak kedua titik tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt2$                            D. $8\sqrt2$
B. $4\sqrt2$                            E. $10\sqrt2$
C. $6\sqrt2$

Pembahasan

Misalkan $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B).$
Perhatikan bahwa $(0,0)$ merupakan koordinat titik tengah kedua titik itu sehingga berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{x_A+x_B}{2} & = 0 \Rightarrow x_A+x_B = 0 \\ \dfrac{y_A+y_B}{2} & = 0 \Rightarrow y_A+y_B = 0. \end{aligned}$$Karena dua titik tersebut melalui grafik fungsi $f(x) = y = 4-x-x^2,$ maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} y_A & = 4-x_A-x_A^2 && (\cdots 1) \\ y_B & = 4-x_B-x_B^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas.
$$\begin{aligned} y_A+y_B & = (4-x_A-x_A^2) + (4-x_B-x_B^2) \\ y_A + y_B & = 8-(x_A+x_B)-(x_A^2+x_B^2) \\ y_A + y_B & = 8-(x_A+x_B)-\left[(x_A+x_B)^2-2x_Ax_B\right] \\ \Rightarrow 0 & = 8-0-\left[0^2-2x_Ax_B\right] \\ 0 & = 8-2x_Ax_B \\ x_Ax_B & = 4 \end{aligned}$$Nilai $x_A$ dan $x_B$ yang memenuhi adalah $x_A = 2$ dan $x_B = -2.$
Substitusi masing-masing nilai $x$ tersebut pada $y = 4-x-x^2$ untuk memperoleh $y_A = -2$ dan $y_B = 2.$
Jadi, titik $A$ dan $B$ berturut-turut berkoordinat $(2, -2)$ dan $(-2, 2).$
Jarak kedua titik tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-2))^2+(-2-(2))^2} \\ & = 4\sqrt2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-7x+2 = 0$ adalah $r$ dan $s$. Tentukan hasil dari $\dfrac{r}{(r^2+1)^2} + \dfrac{s}{(s^2+1)^2}$.

Pembahasan

Diketahui $2x^2-7x+2 = 0$.
Karena $r, s$ akar-akar persamaan kuadrat tersebut, maka $r + s = \dfrac{7}{2}$ dan $rs = 1$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \dfrac{r}{(r^2+1)^2} + \dfrac{s}{(s^2+1)^2} \\ & = \dfrac{r(s^2+1)^2+s(r^2+1)^2}{(r^2+1)^2(s^2+1)^2} \\ & = \dfrac{r(s^4+2s^2+1)+s(r^4+2r^2+1)}{(r^2s^2 + r^2 + s^2 + 1)^2} \\ & = \dfrac{rs^4 + r^4s + 2rs^2 + 2r^2s + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & = \dfrac{(rs(s^3 + r^3) + 2rs(s + r) + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & = \dfrac{rs[(s+r)^3-3rs(r+s)] + 2rs(s + r) + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & =\dfrac{1[(\frac72)^3-3(1)(\frac72)] + 2(1)(\frac72) + \frac72}{((1)^2 + (\frac72)^2-2(1) + 1)^2} \\ & = \dfrac{(\frac72)^3-\frac{21}{2}+7+\frac72}{(1 + (\frac72)^2-2+1)^2} \\\ & = \dfrac{(\frac72)^3}{(\frac72)^4} \\ & = \dfrac{1}{\frac72} = \dfrac27. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{r}{(r^2+1)^2} + \dfrac{s}{(s^2+1)^2} = \dfrac27}$

[collapse]

Soal Nomor 2 (OSK 2012)
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan $x^2-x-1=0$, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{x_1^2-1}{2x_1}$ dan $\dfrac{2x_2}{x_2^2-1}$.

Pembahasan

Dari persamaan $x^2-x-1=0$, kita akan mencari nilai $x$ yang memenuhi dengan menggunakan metode kuadrat sempurna.
$\begin{aligned} \left[(x-1)^2-1\right]-1 & = 0 \\ (x-1)^2-2 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 2 \\ x-1 & = \pm \sqrt2 \\ x & = \pm \sqrt2 + 1 \end{aligned}$
Kita peroleh akar-akarnya $x_1 = \sqrt2+1$ dan $x_2 = -\sqrt2+1$
(terbalik tanda $\pm$ tidak menjadi masalah).

Persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar $\dfrac{x_1^2-1}{2x_1}$ dan $\dfrac{2x_2}{x_2^2-1}.$
Jumlah akar-akarnya ($\text{JA}$) adalah
$$\begin{aligned} \text{JA} & = \dfrac{x_1^2-1}{2x_1} + \dfrac{2x_2}{x_2^2-1} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+1)^2-1}{2(\sqrt2+1)} + \dfrac{2(-\sqrt2+1)}{(-\sqrt2+1)^2-1} \\ & = \dfrac{(2 + 2\sqrt2 + 1)-1}{2\sqrt2 + 2} + \dfrac{-2\sqrt2 + 2}{(2-2\sqrt2+1)-1} \\ & = \dfrac{2\sqrt2 + 2}{2\sqrt2 + 2} + \dfrac{-2\sqrt2+2}{-2\sqrt2 + 2} \\ & = 1+1 = 2. \end{aligned}$$Hasil kali akar-akarnya ($\text{HKA}$) adalah
$$\begin{aligned} \text{HKA} & = \dfrac{x_1^2-1}{\cancel{2}x_1} \cdot \dfrac{\cancel{2}x_2}{x_2^2-1} \\ & = \dfrac{(x_1+1)(x_1-1)}{x_1} \cdot \dfrac{x_2}{(x_2+1)(x_2-1)} \\ & = \dfrac{x_2(x_1+1)(x_2-1)}{x_1(x_2+1)(x_2-1)} \\ & = \dfrac{(-\sqrt2+1)(\sqrt2+2)(\cancel{\sqrt2})}{(\sqrt2+1)(-\sqrt2+2)(-\cancel{\sqrt2})} \\ & = -\dfrac{(-\sqrt2+1)(\sqrt2+2)}{(\sqrt2+1)(-\sqrt2+2)} \\ & = -\dfrac{-2-2\sqrt2+\sqrt2+2}{-2+2\sqrt2-\sqrt2+2} \\ & = -\dfrac{-\sqrt2}{\sqrt2} = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} x^2-(\text{JA})x + \text{HKA} & = 0 \\ x^2-2x+1 & = 0. \end{aligned}$
Jawaban: $\boxed{x^2-2x+1=0}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Bila $m$ dan $n$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $3x^2-2x+1=0$, carilah nilai $(1+m^2+m^3+\cdots)(1+n^2+n^3$ $+\cdots).$

Pembahasan

Diketahui $3x^2-2x+1=0$. Jumlah akar dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} m+n & = \dfrac23 \\ mn & = \dfrac13. \end{aligned}$
Berdasarkan Ekspansi Deret Taylor,
$\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 1+m^2+m^3+\cdots & = (1+m+m^2+m^3+\cdots)-m \\ & = \dfrac{1}{1-m}-m \\ & = \dfrac{1}{1-m}-\dfrac{m(1-m)}{1-m} \\ & = \dfrac{m^2-m+1}{1-m}. \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, akan diperoleh $1+n^2+n^3+\cdots = \dfrac{n^2-n+1}{1-n}$.
Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} & (1+m^2+m^3+\cdots)(1+n^2+n^3+\cdots) \\ & = \dfrac{m^2-m+1}{1-m} \cdot \dfrac{n^2-n+1}{1-n} \\ & = \dfrac{m^2n^2-m^2n+m^2-mn^2+mn-m+n^2-n+1}{1-m-n+mn} \\ & = \dfrac{m^2n^2-(m^2n+mn^2)+(m^2+2mn+n^2)-mn-m-n+1}{1-(m+n)+mn} \\ & = \dfrac{(mn)^2-mn(m+n)+(m+n)^2-mn-(m+n)+1}{1-(m+n)+mn} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac13\right)^2-\dfrac13\left(\dfrac23\right) + \left(\dfrac23\right)^2-\dfrac13-\dfrac23+1}{1-\dfrac23+\dfrac13} \\ & = \dfrac{\dfrac19-\dfrac29+\dfrac49-1+1}{\dfrac23} = \dfrac{\dfrac13}{\dfrac23} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(1+m^2+m^3+\cdots)(1+n^2+n^3+\cdots) = \dfrac12}$$

[collapse]

Soal Nomor 4
Dua persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli. Persamaan kuadrat yang pertama memiliki akar-akar $a$ dan $b$, sedangkan persamaan kuadrat yang kedua memiliki akar-akar $b$ dan $c$, dengan $c \neq a$. Jika $a, b$, dan $c$ merupakan bilangan prima kurang dari $15$, ada berapa macam pasangan persamaan kuadrat yang memenuhi persyaratan tersebut?

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ adalah $x^2-(a+b)x+ab=0$, sedangkan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $c$ dan $d$ adalah $x^2-(c+d)x+cd=0$, dengan $a, b, c, d \in P$, $P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$, serta $a \neq c$. $P$ adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari $15$ dengan $\text{n}(P) = 6$.
Kita akan membagi persoalan ini dalam $2$ kasus.


Kasus 1: $(a, b)$ dan $(b, c)$ dengan $a = b \neq c$.
Ini artinya, kita hanya memilih $2$ dari $6$ bilangan di $P$. Banyak caranya sama dengan $C_2^6 = \dfrac{6!}{2! \cdot 2!} = \color{red}{30}$.
Jika kita pilih $(2, 3)$, maka pasangan akar yang mungkin adalah $\{(2, 2), (2, 3)\}$ dan $\{(2, 3), (3, 3)\}$. Keduanya menghasilkan pasangan persamaan kuadrat yang berbeda. Jadi, untuk setiap pilihan $2$ bilangan, akan ada $\color{red}{2}$ pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk. Dengan demikian, untuk kasus pertama banyak pasangan persamaan kuadrat sama dengan $\color{red}{2} \times \color{red}{30} = 60$.




Kasus 2: $(a, b)$ dan $(b, c)$ dengan $a \neq b \neq c$.
Ini artinya, kita memilih $3$ dari $6$ bilangan di $P$. Banyak caranya sama dengan $C_3^6 = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = \color{red}{20}$.
Jika kita pilih $(2, 3, 5)$, maka pasangan akar yang mungkin adalah $\{(2, 3), (3, 5)\}$, $\{(3, 2), (2, 5)\}$, dan $\{(2, 5), (5, 3)\}$. Ketiganya menghasilkan pasangan persamaan kuadrat yang berbeda. Jadi, untuk setiap pilihan $3$ bilangan, akan ada $\color{red}{3}$ pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk. Dengan demikian, untuk kasus kedua banyak pasangan persamaan kuadrat sama dengan $\color{red}{3} \times \color{red}{20} = 60$.
Total pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk adalah $\boxed{60+60=120}$

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *