Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Persamaan dan Fungsi Kuadrat

       Berikut ini merupakan soal & pembahasan materi persamaan dan fungsi kuadrat. Tipe soalnya berupa soal aplikasi (soal cerita) yang diambil dari berbagai referensi. Semoga bermanfaat!

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)

Quote by Fiersa Besari

Yang diperbesar itu hati, bukan kepala. Yang diperkuat itu tekad, bukan alasan. Yang diturunkan itu ego, bukan harga diri. Yang diperbaiki itu cara bersikap, bukan cara berbohong.

Soal Nomor 1
Sebuah lapangan berbentuk persegi panjang. Diketahui panjangnya dua kali dari lebarnya. Pada tepi sebelah luar tiga sisi lapangan tersebut dibuat jalan yang lebarnya $2$ meter. Jika luas seluruh jalan (yang diarsir pada gambar) adalah $128~\text{m}^2$, maka luas lapangan tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $748~\text{m}^2$                 D. $450~\text{m}^2$
B. $512~\text{m}^2$                 E. $200~\text{m}^2$
C. $480,5~\text{m}^2$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.




Diketahui:
$\begin{aligned} L_{ABCD} &  = (2l+4)(l+2) = 2l^2 + 8l + 8 \\ L_{\text{Lapangan}} & = 2l \cdot l =2l^2 \\ L_{\text{Jalan}} & = 128~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas lapangan dapat ditentukan dengan mengurangkan luas ABCD dengan luas jalan. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} L_{\text{Lapangan}} & = L_{ABCD} -L_{\text{Jalan}} \\ 2l^2 & = 2l^2 + 8l + 8 -128 \\ 8l & = 120 \\ l & = 15~\text{m} \end{aligned}$
Diperoleh lebarnya $15$ meter.
$L_{\text{Lapangan}} = 2l^2 = 2(15)^2 = 450~\text{m}^2$
Jadi, luas lapangan itu adalah $\boxed{450~\text{m}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada saat $t$ detik dirumuskan oleh $h(t) = 40t -5t^2$ (dalam satuan meter). Tinggi maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru tersebut adalah $\cdots \cdot$ 
A. $75$ meter                D. $90$ meter
B. $80$ meter                E. $95$ meter
C. $85$ meter

Penyelesaian

Diketahui fungsi kuadrat $h(t) = 40t-5t^2$ dengan $a = -5, b = 40, c = 0$.
Tinggi maksimum peluru itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus nilai maksimum grafik fungsi kuadrat, yaitu
$\begin{aligned} y_{maks} & = \dfrac{D}{-4a} \\ & = \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \dfrac{40^2 – 4(-5)(0)}{-4(-5)} \\ & = \dfrac{1.600}{20} = 80~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru adalah $80$ meter.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Dua orang berangkat pada waktu yang sama dan dari tempat yang sama, serta bepergian melalui jalan-jalan yang saling tegak lurus. Seseorang bepergian dengan kecepatan $4$ km/jam lebih cepat dari yang lainnya. Setelah $2$ jam mereka terpisah pada jarak $40$ km. Tentukan jumlah jarak yang ditempuh kedua orang tersebut!

Penyelesaian

Misalkan $A$ dan $B$ adalah nama dua orang tersebut. Kecepatan $A$ dimisalkan $x$ km/jam, berarti kecepatan $B$ adalah $(x+4)$ km/jam.
Jarak tempuh $A$ selama $2$ jam adalah
$s_A = v_A \times 2 = 2x~\text{km}$
Jarak tempuh $B$ selama $2$ jam adalah
$s_B = v_B \times 2 = (x+4) \times 2 = (2x+8)~\text{km}$
Sekarang, perhatikan sketsa berikut.

Lintasan $A$ dan $B$ ternyata membentuk sebuah segitiga siku-siku sehingga nilai $x$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} (2x + 8)^2 + (2x)^2 & = 40^2 \\ (4x^2 + 32x + 64) + 4x^2 & = 1600 \\ 8x^2 + 32x-1536 & = 0 \\ x^2+4x-192 & = 0 \\ (x+16)(x-12) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -16$ atau $x = 12$. Karena $x$ mewakili besarnya kecepatan, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, diambil $x = 12$.
Jumlah jarak yang ditempuh $A$ dan $B$ adalah
$\begin{aligned} s_A + s_B & = 2x + (2x + 8) \\ & = 4x + 8 \\ & = 4(12) +8 = 56~\text{km} \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui fungsi permintaan suatu produk adalah $Q_d = 30-p^2$ dan persamaan penawaran $Q_s = 4p^2 -95$ dengan $p$ = harga produk.
a. Gambarlah sketsa grafik permintaan dan penawaran pada bidang Kartesius;
b. Tentukan tingkat harga dan jumlah produk ketika terjadi keseimbangan pasar dengan menggunakan cara grafik;
c. Tentukan tingkat harga dan jumlah produk ketika terjadi keseimbangan pasar dengan menggunakan cara menyamakan $Q_d= Q_s$.

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui fungsi permintaan: $Q_d=30-p^2$.
Bentuk rumus fungsi di atas dapat disesuaikan dengan variabel pada bidang Kartesius, yakni
$f(x) = y = 30-x^2$.
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika $x = 0$. Substitusi menghasilkan
$y = 30-(0)^2=30$.
Jadi, titik potongnya berkoordinat $(0, 30)$.
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2(-1)} = 0$
Substitusi $x=0$ menghasilkan $y=30$. Ternyata koordinat titik puncak grafik sama dengan koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$, yaitu $(0, 30)$.
Tentukan beberapa koordinat titik lain yang dilalui grafik.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 26 & 29 & 29 & 26 \\ \hline (x,y) & (-2, 26) & (-1, 29) & (1, 29) & (2, 26) \\ \hline \end{array}$$
Posisikan titik-titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke bawah (karena koefisien $x^2$ negatif).


Diketahui fungsi penawaran: $Q_s=4p^2-95$.
Bentuk rumus fungsi di atas dapat disesuaikan dengan variabel pada bidang Kartesius, yakni
$g(x) = y = 4x^2-95$.
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika $x = 0$. Substitusi menghasilkan
$y = 4(0)^2-95 = -95$.
Jadi, titik potongnya berkoordinat $(0, -95)$.
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2(4)} = 0$
Substitusi $x=0$ menghasilkan $y=-95$. Ternyata koordinat titik puncak grafik sama dengan koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$, yaitu $(0, -95)$.
Tentukan beberapa koordinat titik lain yang dilalui grafik.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -79 & -91 & -91 & -79 \\ \hline (x,y) & (-2, -79) & (-1, -91) & (1, -91) & (2, -79) \\ \hline \end{array}$$
Posisikan titik-titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien $x^2$ positif).


Apabila kedua kurva digambarkan pada satu bidang Kartesius, maka akan terlihat seperti gambar di bawah.

Jawaban b)
Keseimbangan pasar terjadi saat kedua kurva (grafik) berpotongan di kuadran pertama. Untuk menentukannya menggunakan cara grafik, sebaiknya gunakan kertas milimeter blok. Tampak pada gambar di bawah, keseimbangan pasar terjadi di titik $(5, 5)$. Ini berarti, tingkat harga dan jumlah produknya adalah $5$.

Jawaban c)

Keseimbangan pasar terjadi saat $Q_d= Q_s$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} 30-p^2 & = 4p^2-95 \\ 5p^2 & = 125 \\ p^2 & = 25 \\ p & = \pm 5 \end{aligned}$
Karena $p$ mewakili harga, maka nilainya tak mungkin negatif, sehingga hanya diambil $p=5$.
Substitusi $p=5$ pada $Q_d$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} Q_d & = 30-p^2 \\ & = 30-(5)^2 \\ & = 30-25 = 5 \end{aligned}$
Jadi, tingkat harga dan jumlah produk saat keseimbangan pasar berturut-turut adalah $p=5$ dan $Q_s = Q_d = 5$

[collapse]

Soal Nomor 5
Berdasarkan catatan bendahara perusahaan, penerimaan total perusahaan dapat diformulakan dengan $P = 20 + 200q -2q^2$ dengan $P$ = penerimaan total dalam puluhan ribu rupiah dan $q$ = banyaknya barang yang diproduksi.
a. Sketsalah grafik penerimaan total perusahaan;
b. Berapa unit barang yang diproduksi agar diperoleh penerimaan total maksimum?
c. Berapakah besar total penerimaan maksimum yang diperoleh?

Penyelesaian

Jawaban a)
Formula penerimaan total perusahaan itu dapat disesuaikan variabelnya dengan bidang Kartesius.

$f(x) = y = 20+200x-2x^2$.
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{200}{2(-2)} = 50$
Substitusi $x=50$ menghasilkan
$\begin{aligned} y & = 20+200(50)-2(50)^2 \\ & = 20+10000-5000 = 5020 \end{aligned}$
Koordinat titik puncak grafik adalah $(50, 5020)$.
Posisikan titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke bawah (karena koefisien $x^2$ negatif).

Jawaban b)
Unit barang yang diproduksi agar diperoleh penerimaan total 
maksimum dinyatakan oleh persamaan sumbu simetri grafik, yakni $x = q = 50$.
Jawaban c)
Besar total penerimaan maksimum yang diperoleh tercapai ketika $x = q = 50$, yakni $5.020$ (dalam satuan puluhan ribu rupiah) atau $\boxed{\text{Rp}50.200.000,00}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi penawaran sejenis barang adalah $y = 3x^2 + 9x + 6$ dengan $y$ adalah harga dan $x$ adalah kuantitas. 
a. Gambarkan sketsa grafiknya;
b. Tentukan interval jumlah barang yang ditawarkan;
c. Tentukan interval harga penawaran.

Penyelesaian

Jawaban a)
Fungsi penawarannya dapat ditulis seperti berikut.
$\begin{aligned} y & = 3x^2 + 9x + 6 \\ & = 3(x^2 + 3x + 2) \\ & = 3(x +1)(x + 2) \end{aligned}$
Titik potong grafik terhadap sumbu-$X$ terjadi ketika nilai $y = 0$. 
Substitusi menghasilkan
$3(x+1)(x+2)= 0 \Leftrightarrow (x+1)(x+2) = 0$
Diperoleh $x = -1$ atau $x = -2$.
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$X$ adalah $(-1, 0)$ dan $(-2, 0)$.
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0$.
Substitusi menghasilkan
$y = 3(0)^2 + 9(0) + 6 = 6$
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, 6)$.

Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{9}{2(3)} = -\dfrac32$
Substitusi $x = -\dfrac32$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif, sehingga parabola terbuka ke atas).
$\begin{aligned} y = f(x) & = 3x^2+9x+6 \\ f\left(-\dfrac32\right) & = 3\left(-\dfrac32\right)^2+9\left(-\dfrac32\right)+6 \\ & = 3 \times \dfrac94 -\dfrac{27}{2} + 6 \\ & = \dfrac{27-54+24}{4} = -\dfrac34 \end{aligned}$
Jadi, titik puncak grafik di $\left(-\dfrac32, -\dfrac34\right)$.
Plotkan ketiga titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.

Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.

Jawaban b)
Jumlah barang yang ditawarkan tidak mungkin bernilai negatif dan harus berupa bilangan bulat. Untuk itu, intervalnya adalah $x \geq 0$ dengan $x \in \mathbb{Z}$ (anggota bilangan bulat).
Jawaban c)
Harga penawaran minimum dicapai saat nilai $x$ terendah (berdasarkan interval yang mungkin). Nilai $x$ terendah adalah $x = 0$. Substitusi pada $y = 3x^2 + 9x + 6$ menghasilkan
$y = 3(0)^2+9(0)+6 = 6$.
Jadi, interval harga penawaran adalah $y \geq 6$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang adalah sebagai berikut 
$D : y = x^2 -8x + 10$
$S : y = x^2 + 4x -74$
a. Gambarkan grafik fungsi permintaan;
b. Gambarkan grafik fungsi penawaran;
C. Tentukan harga keseimbangan pasar.

Penyelesaian

Jawaban a)
Rumus fungsi permintaan pada kasus ini adalah $f(x) = y = x^2-8x+10$. Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0$. Substitusi menghasilkan
$y = (0)^2-8(0)+10 = 10$.
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, 10)$.
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(1)} = 4$
Substitusi $x = 4$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif, sehingga parabola terbuka ke atas).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(4) & = (4)^2-8(4)+10 \\ y & = 16-32+10 = -6 \end{aligned}$
Jadi, titik puncak grafik di $(4, -6)$.
Selanjutnya, substitusikan $x = 3$ dan $x = 5$ untuk mencari nilai fungsi permintaan (bilangan $3$ dan $5$ dipilih karena berdekatan dengan $4$).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(3) & = (3)^2-8(3)+10 = -5 \\ f(5) & = (5)^2-8(5)+10 = -5 \end{aligned}$
Jadi, grafik melalui titik $(3, -5)$ dan $(5, -5)$.
Plotkan keempat titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.

Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.

Jawaban b)
Rumus fungsi penawaran pada kasus ini adalah $f(x) = y = x^2 + 4x -74$. Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0$. Substitusi menghasilkan
$y = (0)^2+4(0)-74= -74$.
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, -74)$.
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(1)} = -2$
Substitusi $x = -2$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif, sehingga parabola terbuka ke atas).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+4x-74 \\ f(-2) & = (-2)^2+4(-2)-74 \\ y & =4-8-74= -78 \end{aligned}$
Jadi, titik puncak grafik di $(-2, -78)$.
Selanjutnya, substitusikan $x = -1$ dan $x = -3$ untuk mencari nilai fungsi permintaan (bilangan $-1$ dan $-3$ dipilih karena berdekatan dengan $-2$).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+4x-74 \\ f(-1) & = (-1)^2+4(-1)-74 \\ & = 1-4-74=-77 \\ f(-3) & = (-3)^2+4(-3)-74 \\ & = 9-12-74=-77 \end{aligned}$
Jadi, grafik melalui titik $(-1, -77)$ dan $(-3, -77)$.
Plotkan keempat titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.

Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.

Jawaban c)
Keseimbangan pasar terjadi ketika grafik fungsi permintaan dan fungsi penawaran berpotongan. Ini berarti,
$\begin{aligned} D & = S \\ \cancel{x^2}-8x+10 & = \cancel{x^2}+4x-74 \\ -8x-4x & = -74-10 \\ -12x & = -84 \\ x & = 7 \end{aligned}$
Harga keseimbangan pasar dapat dihitung dengan mensubstitusikan $x=7$ pada salah satu fungsi (boleh fungsi penawaran, boleh juga fungsi permintaan). Misalkan substitusinya pada fungsi permintaan $D$.
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(7) & = (7)^2-8(7)+10 \\ & = 49-56+10 = 3 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Fungsi permintaan yang dihadapi oleh produsen sebuah produk makanan ditunjukkan oleh $P = 400 + 20q -q^2$, dengan $P$ menyatakan harga permintaan, sedangkan $q$ menyatakan kuantitas (jumlah) barang.
a. Tentukan harga permintaan jika barang yang ditawarkan sebanyak $5$ unit;
b. Jumlah barang maksimal yang ditawarkan;
c. Tentukan banyaknya barang jika harga permintaan sebesar $464$.

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui $P = 400 + 20q -q^2$.
Harga permintaan jika barang yang ditawarkan sebanyak $5$ unit ($q = 5$) adalah
$\begin{aligned} P & = 400 + 20(5)-(5)^2 \\ & = 400+100-25 \\ & = 475 \end{aligned}$
Jawaban b)
Jumlah barang maksimal yang ditawarkan berdasarkan fungsi permintaan $P = 400 + 20q -q^2$ dinyatakan oleh persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut.
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-1)} = 10$
Jadi, jumlah barang maksimal yang dapat ditawarkan adalah $\boxed{10}$ unit.
Jawaban c)
Diketahui $P = 400 + 20q -q^2$ dan $P = 464$. Akan dicari nilai $q$ yang memenuhi persamaan kuadrat yang terbentuk.
$\begin{aligned} 400 + 20q -q^2 & = 464 \\ -64 + 20q -q^2 & = 0 \\ q^2 -20q + 64 & = 0 \\ (q -4)(q-16) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $q = 4$ atau $q = 16$.

[collapse]

CategoriesFungsi, Fungsi Kuadrat, Persamaan KuadratTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *