Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Tingkat SMP/Sederajat)

     Bangun Ruang yang dimaksudkan dalam postingan ini meliputi bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung untuk siswa tingkat SMP/Sederajat. Materi ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari materi bangun ruang yang sebelumnya telah dipelajari saat tingkat sekolah dasar. Seperti biasa, siswa biasanya diminta untuk menentukan luas permukaan dan volume dari suatu bangun ruang, yang biasanya telah dimodifikasi sedemikian rupa. Untuk memantapkan pemahaman mengenai materi tersebut, berikut disajikan soal dan pembahasannya. Semoga membantu.

Quote by Mario Teguh

Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu dan orang-orang yang masih terus belajar akan menjadi pemilik masa depan.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$ berikut!

Banyak diagonal ruangnya adalah $\cdots$

A. $2$           B. $4$             C. $6$            D. $12$

Penyelesaian

Ada empat diagonal ruang pada kubus, yaitu ruas garis $AG$, $HB$, $CE$, dan $DF$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini.



(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar kubus berikut!

Bidang diagonal yang tegak lurus dengan $ABGH$ adalah $\cdots \cdot$

A. $EFGH$                C. $CDEF$
B. $DCGH$                D. $EBCH$

Penyelesaian

Bidang diagonal yang tegak lurus dengan $ABGH$ adalah bidang $CDEF$ (berpotongan membentuk huruf X). Lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut.

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Banyak rusuk dan sisi pada prisma segi-$15$ adalah $\cdots \cdot$
A. $45$ dan $17$                   C. $30$ dan $16$
B. $45$ dan $15$                   D. $30$ dan $17$

Penyelesaian

Pada prisma segi-$n$, banyak rusuknya adalah $3n$, sedangkan banyak sisinya adalah $n+2$.
Untuk itu, banyak rusuk pada prisma segi-15 adalah $3(15) = 45$ dan banyak sisinya adalah $15+2=17$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Gambar di bawah adalah balok yang dibentuk oleh kubus-kubus kecil. Jika seluruh sisi luar balok dicat, banyak kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisinya adalah $\cdots \cdot$

A. $14$          B. $17$          C. $24$           D. $34$

Penyelesaian

Kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisinya adalah kubus yang tidak terletak di pinggir pada setiap sisi kubus seperti yang telah terarsir pada ilustrasi gambar berikut.

Pada sisi depan-belakang, ada $2 \times 10 = 20$ kubus kecil.

Pada sisi kiri-kanan, ada $2 \times 2 = 4$ kubus kecil.
Pada sisi atas-bawah, ada $2 \times 5 = 10$ kubus kecil.
Jadi, secara keseluruhan ada $20+4+10=34$ kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisi.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Rotama akan membuat empat kerangka bangun ruang dari kawat seperti gambar berikut:

Jika kawat yang tersedia $10~\text{meter}$, sisa panjang kawat adalah $\cdots \cdot$

A. $415~\text{cm}$           C. $479~\text{cm}$
B. $475~\text{cm}$           D. $484~\text{cm}$

Penyelesaian

(Kubus) Karena kubus memiliki $12$ rusuk yang sama panjang, maka kelilingnya adalah
$k_1 = 12 \times s = 12 \times 12 = 144~\text{cm}$
(Balok) Karena balok memiliki $4$ rusuk panjang, $4$ rusuk lebar, dan $4$ rusuk tinggi, maka kelilingnya adalah
$\begin{aligned} k_2 & = 4 \times (p + l + t) \\ & = 4 \times (10 + 13 + 9) \\ & = 4 \times 32 = 128~\text{cm} \end{aligned}$
(Prisma segiempat beraturan) Bangun ruang ini memiliki sisi alas dan atas berupa segitiga sama sisi (ada $6$ rusuk yang sama panjang) dan $3$ rusuk tinggi yang sama panjang, sehingga kelilingnya
$\begin{aligned} k_3 & = 6 \times 12 + 3 \times 15 \\ & = 72 + 45 = 117~\text{cm} \end{aligned}$
(Limas segiempat beraturan) Bangun ruang ini memiliki $4$ rusuk alas yang sama panjang dan $4$ rusuk tegak yang juga sama panjang, sehingga kelilingnya
$\begin{aligned} k_4 & = 4 \times 13 + 4 \times 21 \\ & = 52 + 84 = 136~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang kawat yang dibutuhkan untuk membuat keempat bangun ruang tersebut adalah
$\begin{aligned} k & = k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \\ & = 144 + 128 + 117 + 136 = 525~\text{cm} \end{aligned}$
Karena persediaan kawat sepanjang $10~\text{m} = 1.000~\text{cm}$, maka sisa kawatnya adalah $\boxed{1.000 – 525 = 475~\text{cm}}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Owen memiliki kawat $9~\text{m}$ untuk membuat limas dari kawat. Alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi $15~\text{cm}$ dan panjang rusuk tegaknya $19~\text{cm}$. Jika seluruh kawat digunakan, maka panjang kawat tersisa $\cdots \cdot$
A. $24~\text{cm}$                   C. $66~\text{cm}$
B. $42~\text{cm}$                   D. $84~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa limas segiempat beraturan yang dibuat oleh Owen.

Keliling rusuk limas tersebut adalah

$4 \times 15 + 4 \times 19 = 4 \times (15+19) = 136~\text{cm}$
Kawat yang tersedia sepanjang $9~\text{meter} = 900~\text{cm}$.
Untuk itu,
$900 \div 136 = 6~\text{sisa}~84$
Jadi, sisa kawat yang tersedia adalah $\boxed{84~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Lucky membuat kerangka berbentuk balok yang terbuat dari aluminium dengan ukuran $50~\text{cm} \times 50~\text{cm} \times 80~\text{cm}$. Jika harga $1~\text{meter}$ aluminium Rp4.000,00, biaya yang diperlukan untuk membeli aluminium adalah $\cdots \cdot$
A. Rp12.800,00              C. Rp22.400,00
B. Rp16.000,00              D. Rp28.800,00

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar balok berikut.

Keliling balok berukuran $p = 50~\text{cm}, l = 50~\text{cm}$, dan $t = 80~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} k & = 4(p + l + t) \\ & = 4(50+50+80) \\ & = 4(180) = 720~\text{cm} = 7,2~\text{m} \end{aligned}$
Karena harga $1~\text{m}$ aluminium adalah Rp4.000,00, maka harga $7,2~\text{m}$ adalah
$7,2 \times \text{Rp}4.000,00 = \text{Rp}28.800,00$
Jadi, biaya yang diperlukan untuk membeli aluminium adalah Rp28.800,00
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jaring-jaring limas terdiri dari persegi dengan panjang sisi $24~\text{cm}$ dan empat segitiga sama kaki yang kongruen dengan panjang alas $24~\text{cm}$ dan tinggi $20~\text{cm}$. Tinggi limas tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $16~\text{cm}$              C. $8~\text{cm}$
B. $12~\text{cm}$              D. $6~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dan segitiga siku-siku $TOP$ berikut.

Misalkan $O$ terletak pada alas $ABCD$ sehingga $TO$ merupakan tinggi limas. Misalkan juga $P$ merupakan titik tengah rusuk $BC$. Dengan demikian, diperoleh segitiga siku-siku $TOP$ yang memiliki panjang alas $OP = \dfrac12 \times 24 = 12~\text{cm}$ dan panjang sisi miring (hipotenusa) $TP = 20~\text{cm}$.
Tinggi limas (tinggi segitiga) dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} t & = \sqrt{TP^2-OP^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{12~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar di bawah!

Luas seluruh permukaan bangun tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $902~\text{cm}^2$          C. $625~\text{cm}^2$
B. $807~\text{cm}^2$          D. $605~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Luas permukaan gabungan bangun ruang tabung dan setengah bola pada gambar yang diberikan dapat dihitung dengan menjumlahkan luas alas tabung, luas selimut tabung, dan luas belahan bola.
Luas alas tabung (luas lingkaran) dengan diameter $14~\text{cm}$ atau berjari-jari $7~\text{cm}$ adalah
$L_1 = \pi r^2 = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 = 154~\text{cm}^2$
Luas selimut tabung dengan jari-jari $7~\text{cm}$ dan tinggi $10~\text{cm}$ adalah
$L_2 = 2\pi rt = 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 10 = 440~\text{cm}^2$
Luas belahan bola berjari-jari $7~\text{cm}$ (sama dengan jari-jari tabung) adalah
$L_3 = 2\pi r^2 = 2(154) = 308~\text{cm}^2$
Jadi, luas permukaan totalnya adalah
$\begin{aligned}L & = L_1+L_2+L_3 \\ & = 154 + 440 + 308 = 902~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar prisma berikut!

Luas seluruh permukaannya adalah $\cdots \cdot$

A. $800~\text{cm}^2$             C. $680~\text{cm}^2$
B. $700~\text{cm}^2$             D. $480~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas permukaan bangun ruang tersebut sama dengan jumlah luas dari seluruh bidang sisinya.
Luas bidang $ABFE$ yang merupakan bangun trapesium dapat ditentukan jika tingginya diketahui.
Perhatikan gambar sebelah kanan.
Tinggi trapesium $FP$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} FP & = \sqrt{FB^2-PB^2} \\ & = \sqrt{5^2-3^2} \\ & = \sqrt{25-9} \\ & = \sqrt{16} = 4~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas trapesium $ABFE$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABFE} & = \dfrac{AB + EF}{2} \times FP \\ & = \dfrac{13+7}{2} \times 4 \\ & = 20 \times 2 = 40~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas bidang $CDHG$ sama dengan luas bidang $ABFE$, yaitu $40~\text{cm}^2$.
Luas bidang $BCGF$ yang juga sama dengan luas bidang $ADHE$ (persegi panjang), yaitu
$L_{BCGF} = L_{ADHE} = p \times l = 20 \times 5 = 100~\text{cm}^2$
Luas bidang $ABCD$ (persegi panjang) adalah
$L_{ABCD} = p \times l = 13 \times 20 = 260~\text{cm}^2$
Luas bidang $EFGH$ (persegi panjang) adalah
$L_{EFGH} = p \times l = 7 \times 20 = 140~\text{cm}^2$
Jadi, luas permukaan bangun ruang itu adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD.EFGH} & = L_{ABFE} + L_{CDHG} + L_{BCGF} \\ & + L_{ADHE} + L_{ABCD} + L_{EFGH} \\ & = 40+40+100+100+260+140 \\ & = 680~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui limas tegak dengan alas berbentuk persegi. Jika keliling alas $48~\text{cm}$ dan tinggi limas $8~\text{cm}$, luas permukaannya adalah $\cdots \cdot$
A. $60~\text{cm}^2$           C. $483~\text{cm}^2$
B. $384~\text{cm}^2$         D. $843~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Karena keliling alas (persegi) $48~\text{cm}$, maka panjang sisi perseginya adalah $48 \div 4 = 12~\text{cm}$.
Sekarang, perhatikan sketsa limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dan segitiga siku-siku $TOP$ berikut.

Titik $O$ merupakan titik tengah bidang alas $ABCD$, sedangkan $P$ titik tengah rusuk $BC$.
Panjang $TP$ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} TP & = \sqrt{TO^2+OP^2} \\ & = \sqrt{8^2+6^2} \\ & = \sqrt{64+36} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $TP$ merupakan tinggi sisi tegak limas (yang berupa segitiga sama kaki). Sisi tegak limas memiliki luas yang sama, sebab panjang alas dan tingginya sama.
Dengan demikian, luas permukaan limas tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{T.ABCD} & = L_{ABCD} + 4 \times L_{BCT} \\ & = 12 \times 12 + 4 \times \dfrac12 \times 12 \times 10 \\ & = 144 + 240 = 384~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Luas permukaan kerucut dengan diameter $10~\text{cm}$ dan tinggi $12~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $85\pi~\text{cm}^2$           C. $220\pi~\text{cm}^2$
B. $90\pi~\text{cm}^2$           D. $230\pi~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} d & = 10~\text{cm} \\ r & = \dfrac{1}{2}d = 5~\text{cm} \\ t & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan sketsa gambar berikut untuk lebih jelasnya.

Luas permukaan kerucut dirumuskan oleh

$\boxed{L = \pi r(r + s)}$
$s$ merupakan panjang garis pelukis. Nilainya dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras berdasarkan gambar ilustrasi di bawah.
$\begin{aligned} s & = \sqrt{t^2+r^2} \\ & = \sqrt{12^2+5^2} \\ & = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$L = \pi(5)(5+13) = 90\pi~\text{cm}^2$
Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah $\boxed{90\pi~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
$ABCD.EFGH$ pada gambar di bawah adalah prisma dengan $ABFE$ sejajar $DCGH$. Panjang $AB = 4~\text{cm}, BC = 6~\text{cm}$, $AE = 8~\text{cm}$, dan $BF = 5~\text{cm}$. Luas permukaan prisma adalah $\cdots \cdot$

A. $156~\text{cm}^2$             C. $184~\text{cm}^2$
B. $158~\text{cm}^2$             D. $236~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga $EOF$ merupakan segitiga siku-siku, sehingga panjang $EF$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} EF & = \sqrt{EO^2+OF^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{9+16} \\ & = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}$
Luas permukaan prisma sama dengan jumlah luas seluruh bidang sisinya.
Luas bidang alas $ABCD$ (persegi panjang) adalah
$L_{ABCD} = p \times l = 4 \times 6 = 24~\text{cm}^2$
Luas bidang atas $EFGH$ (persegi panjang) adalah
$L_{EFGH} = FG \times EF = 6 \times 5 = 30~\text{cm}^2$
Luas bidang $ABFE$ dan $DCGH$ (trapesium siku-siku) sama, yaitu
$\begin{aligned} L_{ABFE} = L_{DCGH} & = \dfrac{AE + BF}{2} \times OF \\ & = \dfrac{8+5}{\cancel{2}} \times \cancelto{2}{4} \\ & = 13 \times 2 = 26~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas bidang $BCGF$ (persegi panjang) adalah
$L_{BCGF} = p \times l = 6 \times 5 = 30~\text{cm}^2$
Luas bidang $ADHE$ (persegi panjang) adalah
$L_{ADHE} = p \times l = 6 \times 8 = 48~\text{cm}^2$
Jadi, luas permukaan prisma itu adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD.EFGH} & = L_{ABCD} + L_{EFGH} + L_{ABFE} \\  & + L_{CDHG} + L_{BCGF} + L_{ADHE} \\ & = 24+30+26+26+30+48 \\ & = 184~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Perhatikan gambar prisma trapesium siku-siku berikut!

Luas permukaan bangun adalah $\cdots \cdot$

A. $176~\text{cm}^2$             C. $1.088~\text{cm}^2$
B. $800~\text{cm}^2$             D. $1.152~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas permukaan bangun ruang di atas sama dengan jumlah dari luas seluruh bidang sisinya.
Perhatikan segitiga siku-siku $AOE$. Panjang $AE$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AE & = \sqrt{AO^2 + OE^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 8^2} \\ & = \sqrt{36+64} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Luas bidang alas $ABCD$ (persegi panjang) adalah

$L_{ABCD} = AB \times BC = 16 \times 20 = 320~\text{cm}^2$
Luas bidang atas $EFGH$ (persegi panjang) adalah
$L_{EFGH} = EF \times FG  = 10 \times 20 = 200~\text{cm}^2$
Luas bidang $BCGF$ (persegi panjang) adalah
$L_{BCGF} = BC \times CG  = 20 \times 8 = 160~\text{cm}^2$
Luas bidang $ADHE$ (persegi panjang) adalah
$L_{ADHE} = AD \times DH  = 20 \times 10 = 200~\text{cm}^2$
Luas bidang $ABFE$ sama dengan luas bidang $DCGH$ (trapesium siku-siku), yaitu
$\begin{aligned} L_{ABFE} = L_{DCGH} & = \dfrac{AB + EF}{2} \times BD \\ & = \dfrac{16+10}{\cancel{2}} \times \cancelto{4}{8} \\ & = 26 \times 4 = 104~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas permukaan prisma itu adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD.EFGH} & = L_{ABCD} + L_{EFGH} + L_{ABFE} \\  & + L_{DCGH} + L_{BCGF} + L_{ADHE} \\ & = 320+200+104+104+160+200 \\ & = 1.088~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar di bawah!

Jika $t=12~\text{cm}$ dan $r=5~\text{cm}$, maka luas permukaan bangun ruang gabungan di samping adalah $\cdots \cdot$
A. $250\pi~\text{cm}^2$              C. $300\pi~\text{cm}^2$
B. $275\pi~\text{cm}^2$              D. $350\pi~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Bangun ruang pada gambar merupakan gabungan dari 2 buah kerucut yang kongruen dan sebuah tabungLuas permukaannya merupakan jumlah dari 2 kali luas selimut kerucut dan luas selimut tabung.
Pertama-tama, akan dicari dulu panjang garis pelukis kerucut dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} s & = \sqrt{r^2 + t^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} \\ & = \sqrt{169} = 13~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, 2 kali dari luas selimut kerucut adalah
$\begin{aligned} 2 \times L_{\text{selimut_kerucut}} & = 2 \times \pi rs \\ & = 2 \times \pi \times 5 \times 13 \\ & = 130\pi~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas selimut tabung adalah
$\begin{aligned} L_{\text{selimut_tabung}} & = 2\pi rt \\ & = 2 \times \pi \times 5 \times 12 \\ & = 120\pi~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas permukaan bangun ruang gabungan tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{total}} & = L_{\text{selimut_kerucut}}+L_{\text{selimut_tabung}} \\ & = 130\pi + 120\pi =250\pi~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Tobi membuat topi ulang tahun dari karton berbentuk kerucut dengan diameter alas $21~\text{cm}$ dan panjang garis pelukisnya $20~\text{cm}$ sebanyak $50$ buah. Jika harga karton Rp80.000,00 setiap meter persegi, maka biaya minimal seluruhnya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp264.000,00           C. Rp328.000,00
B. Rp296.000,00           D. Rp364.000,00

Penyelesaian

Untuk membuat topi ulang tahun berbentuk kerucut, dibutuhkan karton untuk mengisi selimutnya saja karena topi ulang tahun tidak memiliki alas. 
Diketahui:
$\begin{aligned} d &= 21~\text{cm} \\ r & = \dfrac{d}{2} = \dfrac{21}{2}~\text{cm} \\ s & = 20~\text{cm} \end{aligned}$

Luas selimut (topi ulang tahun) itu adalah
$\begin{aligned} L_s & = \pi r s \\ &= \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \dfrac{\cancelto{3}{21}}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 22 \times 3 \times 10 = 660~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Karena dibuat sebanyak $50$ buah, maka luas total karton yang dibutuhkan adalah
$L = 50 \times 660~\text{cm}^2 = 33.000~\text{cm}^2 = 3,3~\text{m}^2$
Dengan demikian, biaya minimal seluruhnya bila satu meter persegi karton dijual Rp80.000,00 adalah
$\boxed{3,3 \times \text{Rp}80.000,00 = \text{Rp}264.000,00}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Sebuah kubah menara berbentuk setengah bola dengan jari-jari $7~\text{m}$. Bagian luar kubah tersebut akan dicat, dan setiap $11~\text{m}^2$ memerlukan 1 kaleng cat. Berapa kaleng cat yang diperlukan untuk mengecat kubah tersebut? $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$
A. $7$ kaleng                  C. $21$ kaleng
B. $14$ kaleng                D. $28$ kaleng

Penyelesaian

Luas kubah yang dicat sama dengan luas permukaan belahan bola (setengah bola) bagian luar yang berjari-jari $7~\text{m}$.

Untuk itu,

$\begin{aligned} L & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{2} \times \pi \times r^2 \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{7}{7^2} \\ & = 154~\text{m}^2 \end{aligned}$
Karena setiap $11~\text{m}^2$ membutuhkan 1 kaleng cat, maka banyak kaleng cat yang dibutuhkan untuk luas $154~\text{m}^2$ adalah
$n = \dfrac{154}{11} = 14~\text{kaleng}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Sebuah tugu berbentuk balok, alasnya berupa persegi dengan ukuran $50~\text{cm} \times 50~\text{cm}$, sedangkan tinggi tugu $3~\text{meter}$. Jika tugu akan dicat dengan satu kaleng cat untuk $1~\text{m}^2$, maka paling sedikit cat yang diperlukan adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ kaleng                C. $7$ kaleng
B. $6$ kaleng                D. $8$ kaleng

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas permukaan balok dengan $p=l=50~\text{cm} = 0,5~\text{m}$ dan $t=3~\text{m}$ adalah
$\begin{aligned} L & = 2(pl + pt + lt) \\ & = 2(0,5 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 3 + 0,5 \cdot 3) \\ & = 2(0,25 + 1,5 + 1,5) \\ & = 2(3,25) = 6,5~\text{m}^2 \end{aligned}$
Diketahui untuk setiap $1$ meter persegi dibutuhkan $1$ kaleng cat. Dengan demikian, dibutuhkan setidaknya $7$ kaleng cat jika luasnya $6,5$ meter persegi.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Tobi akan membuat nasi tumpeng berbentuk kerucut yang permukaannya (selimut) akan ditutup penuh dengan hiasan dari makanan. Jika diameter tumpeng $28~\text{cm}$ dan tinggi $48~\text{cm}$ serta $\pi=\dfrac{22}{7}$, luas tumpeng yang akan dihias makanan adalah $\cdots \cdot$
A. $2.112~\text{cm}^2$            C. $2.288~\text{cm}^2$
B. $2.200~\text{cm}^2$            D. $2.376~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Luas tumpeng yang dimaksud sama dengan luas selimut kerucut dengan $d = 28~\text{cm}$ dan $t = 48~\text{cm}$.

Panjang garis pelukisnya dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} s & = \sqrt{r^2+t^2} \\ & = \sqrt{14^2 + 48^2} \\ & = \sqrt{196 + 2.304} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{cm} \end{aligned}$ 
Dengan demikian,
$\begin{aligned} L & = \pi r s \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 50 \\ & = 2.200~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas tumpengnya adalah $\boxed{2.200~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar di bawah!

Volume tabung di luar setengah bola adalah $\cdots \cdot$
A. $360\pi~\text{cm}^3$          C. $144\pi~\text{cm}^3$
B. $216\pi~\text{cm}^3$          D. $72\pi~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Volume tabung di luar setengah bola sama dengan volume tabung dikurangi volume setengah bola. Jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, yaitu $6~\text{cm}$, sehingga tinggi tabungnya juga $6~\text{cm}$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} V & = V_{\text{tabung_}} – V_{\text{belahan_bola}} \\ & = \pi r^2 t – \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \pi(6)^2(6) – \dfrac23 \pi (6)^3 \\ & = \dfrac13 \pi (6)^3 \\ & = 72\pi~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Jadi, volume tabung di luar bola adalah $\boxed{72\pi~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Perhatikan gambar!

Suatu limas alasnya berbentuk persegi dengan keliling alas $72~\text{cm}$. Jika panjang $TP = 15~\text{cm}$, volume limas adalah $\cdots \cdot$
A. $1.296~\text{cm}^3$            C. $1.692~\text{cm}^3$
B. $1.369~\text{cm}^3$            D. $1.962~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

$O$ merupakan titik tengah bidang alas $ABCD$. Karena $ABCD$ merupakan persegi dengan keliling $72~\text{cm}$, maka panjang sisinya adalah 
$s = \dfrac{72}{4} = 18~\text{cm}$
Perhatikan segitiga siku-siku $TOP$ yang memiliki alas $OP = \dfrac12 s = \dfrac{18}{2} = 9~\text{cm}$ dan panjang sisi miringnya $TP = 15~\text{cm}$
Dengan Teorema Pythagoras, tinggi limasnya (tinggi segitiga $TOP$) adalah
$\begin{aligned} t = TO & = \sqrt{TP^2 – OP^2} \\ & = \sqrt{15^2 – 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, volume limas tersebut adalah
$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \times L_{\text{alas}} \times t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times (18 \times 18) \times \cancelto{4}{12} \\ & = 1.296~\text{cm}^3 \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Selisih volume balok yang berukuran panjang $10~\text{cm}$, lebar  $6~\text{cm}$, dan tinggi $4~\text{cm}$ dengan volume kubus yang panjang rusuknya $8~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $272~\text{cm}^3$             C. $168~\text{cm}^3$
B. $244~\text{cm}^3$             D. $134~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Volume balok dengan ukuran $10~\text{cm} \times 6~\text{cm} \times 4~\text{cm}$ adalah
$V_{\text{balok_}} = plt = 10(6)(4) = 240~\text{cm}^3$
Volume kubus dengan panjang rusuknya $8~\text{cm}$ adalah
$V_{\text{kubus_}} = s^3 = 8^3 = 512~\text{cm}^3$
Dengan demikian, selisih volume keduanya adalah
$\begin{aligned} V_{\text{selisih}} & = V_{\text{kubus_}} – V_{\text{balok_}} \\ & = 512 – 240 = 272~\text{cm}^3 \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Sebuah prisma mempunyai alas berbentuk trapesium dengan panjang sisi sejajar $13~\text{cm}$ dan $7~\text{cm}$ serta jarak kedua sisi sejajarnya $6~\text{cm}$. Jika tinggi prisma $9~\text{cm}$, maka volume prisma adalah $\cdots \cdot$
A. $540~\text{cm}^3$            C. $240~\text{cm}^3$
B. $360~\text{cm}^3$            D. $180~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Volume prisma didapat dengan mengalikan luas alas dan tingginya. Karena alas prisma berupa trapesium, maka luasnya adalah
$\begin{aligned} L_{\text{alas}} & = \dfrac{13+7}{\cancel{2}} \times \cancelto{3}{6} \\ & = 20 \times 3 = 60~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, volume prisma itu adalah
$\begin{aligned} V & = L_{\text{alas}} \times t \\ & = 60 \times 9 = 540~\text{cm}^3 \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar di bawah!

Volume bangun pada gambar itu adalah $\cdots \cdot$ $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$
A. $1.488,67~\text{cm}^3$             C. $1.960,33~\text{cm}^3$
B. $1.688,67~\text{cm}^3$             D. $2.156,67~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Bangun ruang pada gambar terdiri dari tabung dan belahan bola, sehingga volumenya merupakan jumlah dari volume tabung dan belahan bola.
Jari-jari bola diketahui sama dengan jari-jari tabung, yaitu $r = \dfrac12 \times 14 = 7~\text{cm}$, sehingga tinggi tabung $t = 12 – 7 = 5~\text{cm}$
Dengan demikian, volume tabung itu adalah
$\begin{aligned} V_{\text{tabung_}} & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 5 \\ & = 22 \times 7 \times 5 = 770~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Selanjutnya, volume belahan bola yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} V_{\text{belahan_bola}} & = \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 7 \\ & = \dfrac23 \times 22 \times 7 \times 7 \\ & \approx 718,67~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Jadi, volume bangun ruang gabungan itu adalah
$\boxed{\begin{aligned} V_{\text{total}} & = V_{\text{tabung_}} + V_{\text{belahan_bola}} \\ & = 770 + 718,67 = 1.488,67~\text{cm}^3 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Sebuah prisma tegak alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal $12~\text{cm}$ dan $16~\text{cm}$. Jika luas seluruh permukaan prisma $392~\text{cm}^2$, volume prisma adalah $\cdots \cdot$
A. $392~\text{cm}^3$             C. $584~\text{cm}^3$
B. $480~\text{cm}^3$             D. $960~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar prisma belah ketupat $ABCD.EFGH$ berikut.

Luas bidang $ABCD$ sama dengan luas bidang $EFGH$ (belah ketupat), yaitu 
$L_{ABCD} = L_{EFGH} = \dfrac{16 \times \cancel{6}{12}}{\cancel{2}} = 96~\text{cm}^2$
Luas sisi tegaknya adalah $L_{\text{sisi tegak}} = 392 – 2 \times 96 = 200~\text{cm}^2$
Karena sisi tegak prisma terdiri dari 4 persegi panjang yang kongruen, maka luas masing-masing persegi panjang itu adalah $L_{\text{pp}} = \dfrac{200}{4} = 50~\text{cm}^2$
Panjang sisi belah ketupat dapat dihitung dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, tinggi prisma bila ditinjau dari persegi panjang $DCGH$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} L_{DCGH} & = p \times t \\ 50 & = 10 \times t \\ t & = 5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, volume prisma belah ketupat itu adalah
$\begin{aligned} V & = \text{Luas Alas} \times t \\  & = 96 \times 5 = 480~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Gambar berikut adalah benda yang terbentuk dari tabung dan belahan bola. Panjang jari-jari alas $7~\text{cm}$ dan tinggi tabung $10~\text{cm}$. Volume benda tersebut adalah $\cdots \cdot$ $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

A. $2.258,67~\text{cm}^3$             C. $2.926,67~\text{cm}^3$
B. $2.681,33~\text{cm}^3$             D. $2.977,33~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Volume benda tersebut sama dengan jumlah dari volume tabung dan volume belahan (setengah) bola.
Volume tabung yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ dan tinggj $t = 10~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} V_{\text{tabung_}} & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 10 \\ & = 22 \times 7 \times 10 = 1.540~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Volume belahan bola yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ (sama seperti jari-jari tabung) adalah
$\begin{aligned} V_{\text{belahan_bola}} & = \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 7 \\ & = \dfrac23 \times 22 \times 7 \times 7 \\ & \approx 718,67~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Jadi, volume benda tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} V_{\text{total}} & = V_{\text{tabung_}} + V_{\text{belahan_bola}} \\ & = 1.540 + 718,67 = 2.258,67~\text{cm}^3 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Tabung dengan panjang jari-jari alas $10~\text{cm}$ berisi minyak setinggi $14~\text{cm}$. Ke dalam tabung itu dimasukkan minyak lagi sebanyak $1,884~\text{liter}$. Tinggi minyak dalam tabung sekarang adalah $\cdots \cdot$ ($\pi=3,14$)
A. $16~\text{cm}$               C. $19~\text{cm}$
B. $18~\text{cm}$               D. $20~\text{cm}$

Penyelesaian

Ketika minyak dimasukkan ke dalam tabung, maka volume minyak, yaitu $1,884~\text{liter} = 1.884~\text{cm}^3$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus volume tabung dengan jari-jarinya $10~\text{cm}$, tetapi tinggi minyaknya tidak diketahui.
$\begin{aligned} V_{\text{minyak}} & = \pi r^2 t \\ 1.884 & = 3,14 \times 10^2 \times t \\ 1.884 & = 314 \times t \\ t & = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, penambahan minyak di dalam tabung akan menaikkan kapasitas minyak sehingga tingginya menjadi $\boxed{14 + 6 = 20~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Perhatikan gambar di bawah!

Sebuah tumpeng berbentuk kerucut dengan diameter alas $32~\text{cm}$ dan tinggi $24~\text{cm}$. Tumpeng tersebut dipotong secara mendatar setinggi $6~\text{cm}$. Volume tumpeng yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi~\text{cm}^3$              C. $2.016\pi~\text{cm}^3$
B. $96\pi~\text{cm}^3$              D. $2.048\pi~\text{cm}^3$

Penyelesaian

Bangun ruang yang diarsir merupakan kerucut terpancung dengan jari-jari alas
$r = \dfrac{1}{2} \times d = \dfrac{1}{2} \times 32 = 16~\text{cm}$,
jari-jari atas

$R = r \times \dfrac{6}{24} = 16 \times \dfrac14 = 4~\text{cm}$,
dan tinggi $t = 24 – 6 = 18~\text{cm}$
Dengan demikian, volumenya adalah
$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \pi t(r^2 + rR + R^2) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times \cancelto{6}{18} \times (16^2 + 16(4) + 4^2) \\ & = 6\pi \times (256 + 64 + 16) = 2.016\pi~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Catatan 1: Jari-jari atas $R$ dapat dihitung dengan menggunakan konsep kesebangunan, yaitu
$\dfrac{r}{R} = \dfrac{\text{tinggi_kerucut_mula-mula}}{\text{tinggi_kerucut_terpancung}}$
Catatan 2: Selain menggunakan rumus khusus volume kerucut terpancung, kita juga dapat menghitung volumenya dengan mengurangi volume kerucut besar terhadap volume kerucut kecil.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29
Bu Audrey memiliki $1$ kaleng penuh berisi beras. Kaleng berbentuk tabung dengan diameter $28~\text{cm}$ dan tinggi $60~\text{cm}$. Setiap hari Bu Audrey memasak nasi dengan mengambil $2$ cangkir beras. Jika cangkir berbentuk tabung dengan diameter $14~\text{cm}$ dan tinggi $8~\text{cm}$, maka persediaan beras akan habis dalam waktu $\cdots \cdot$
A. $15$ hari                C. $30$ hari
B. $20$ hari                D. $40$ hari

Penyelesaian

Jumlah hari sampai persediaan beras habis dapat ditentukan dengan membagi volume satu kaleng (berisi beras) terhadap volume $2$ cangkir beras yang keduanya berbentuk tabung.
Diketahui:
$\begin{aligned} d_k & = 28~\text{cm} \\ r_k & = \dfrac{1}{2}d_k = 14~\text{cm} \\ t_k & = 60~\text{cm} \\ d_c & = 14~\text{cm} \\ r_c & = \dfrac{1}{2}d_k = 7~\text{cm} \\ t_c & = 8~\text{cm} \end{aligned}$
sehingga
$\begin{aligned} n & = \dfrac{V_{\text{kaleng}}}{2 \times V_{\text{cangkir}}} \\ & = \dfrac{\cancel{\pi} r_k^2 t_k}{2 \times \cancel{\pi} r_c^2 t_c} \\ & = \dfrac{\cancel{14} \times \cancelto{2}{14} \times 60}{\cancel{2 \times 7} \times \cancel{7} \times 8} \\ & = \dfrac{2 \times 60}{8} = 15 \end{aligned}$
Jadi, persediaan beras akan habis dalam waktu $\boxed{15~\text{hari}}$
(Jawaban A)

[collapse]

CategoriesGeometri Analitik Ruang, Geometri, Geometri Analitik DatarTags, , , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *