Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Statistika

         Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang statistika (tingkat SMA/Sederajat) yang mencakup perhitungan ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data (data tunggal dan berkelompok). Tipe soal yang disajikan berupa soal cerita (aplikasi) terkait materi statistika. Soalnya dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Statistika (Tingkat SMA/Sederajat)

“Mistakes are proof that you are trying.”

Soal Nomor 1
Di suatu kelas terdiri dari siswa yang dibagi menjadi $3$ kelompok untuk memberi sumbangan kepada korban bencana alam. Kelompok I, II, dan III berturut-turut terdiri dari $10, 12$, dan $18$ siswa. Jika rata-rata sumbangan kelompok I adalah Rp10.000,00, rata-rata sumbangan kelompok II Rp11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah $\cdots \cdot$
A. Rp7.500,00                 D. Rp9.000,00
B. Rp8.000,00                 E. Rp10.000,00
C. Rp8.500,00

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} n_1 & = 10 \\ n_2 & = 12 \\ n_3 & = 18 \\ \overline{x}_1 & = 10.000 \\ \overline{x}_2 & = 11.000 \\ \overline{x}_G & = 9.400 \end{aligned}$
Ditanya: $\overline{x}_3$
Notasi $n$ menyatakan banyak siswa pada suatu kelompok dan $\overline{x}$ menyatakan rata-rata sumbangan suatu kelompok. Notasi $\overline{x}_G$ menyatakan rata-rata sumbangan seluruh kelompok. 
$\overline{x}_G$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan seluruh sumbangan yang ada pada setiap kelompok, lalu dibagi banyak siswa seluruhnya. 
$$\begin{aligned} \overline{x}_G & = \dfrac{n_1 \cdot \overline{x}_1 + n_2 \cdot \overline{x}_2 + n_3 \cdot \overline{x}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ 9.400 & = \dfrac{10 \cdot 10.000 + 12 \cdot 11.000 + 18\overline{x}_3}{10+12+18} \\ 9.400 & = \dfrac{100.000 + 132.000 + 18\overline{x}_3}{40} \\ 9.400 \cdot 40 & = 232.000 + 18\overline{x}_3 \\ 18\overline{x}_3 & = 376.000-232.000 \\ \overline{x}_3 & = \dfrac{144.000}{18} = 8.000 \end{aligned}$$Jadi, rata-rata sumbangan kelompok III adalah Rp8.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata suatu kelas adalah $58$. Jika rata-rata nilai ulangan untuk siswa laki-laki adalah $64$ dan rata-rata nilai ulangan untuk siswa perempuan adalah $56$, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 6$                          D. $3 : 2$
B. $1 : 3$                          E. $3 : 4$
C. $3 : 1$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \overline{x}_G & = 58 \\ \overline{x}_L & = 64 \\ \overline{x}_P & = 56 \end{aligned}$
Ditanya: $n_L : n_P$
$\overline{x}_G$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan seluruh nilai siswa, kemudian dibagi banyaknya siswa. 
$\begin{aligned} \overline{x}_G & = \dfrac{n_L \cdot \overline{x}_L + n_P \cdot \overline{x}_P} {n_L + n_P} \\ 58 & = \dfrac{64n_L + 56n_P} {n_L + n_P} \\ 58n_L + 58n_P & = 64n_L + 56n_P \\ 2n_P & = 6n_L \\ \dfrac{n_L} {n_P} & = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, perbandingan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas tersebut adalah $\boxed{1 : 3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Data hasil ujian masuk salah satu perguruan tinggi disajikan dalam tabel berikut. 
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 36-45 & 12 \\ 46-55 & 48 \\ 56-65 & 60 \\ 66-75 & 80 \\ 76-85 & 76 \\ 86-95 & 24 \\ \hline \end{array}$
Jumlah peserta ujian yang akan diterima sebagai mahasiswa adalah $60\%$ dari jumlah peserta ujian. Nilai terendah dari peserta ujian yang lolos tes adalah $\cdots \cdot$
A. $55,5$                       D. $75,0$
B. $65,5$                       E. $76,5$
C. $70,5$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 36-45 & 12 & 12 \\ 46-55 & 48 & 60 \\ \color{red}{56-65} & \color{red}{60} & \color{red}{120} \\ 66-75 & 80 & 200 \\ 76-85 & 76 & 276 \\ 86-95 & 24 & 300 \\ \hline \end{array}$ 
Akan dicari nilai dari persentil ke-$40$ sebagai berikut. 
Persentil ke-$40$ terletak pada datum ke:
$\dfrac{40}{100} \times 300 = 120$
yaitu pada kelas dengan interval $56-65$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 55,5 \\ c & = 65-56+1 =10 \\ n & = 300 \\ \sum F_{kp} & = 60 \\ f_p & = 60 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} P_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{40}{100} \times n-\sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 55,5 + 10\left(\dfrac{\frac{40}{100} \times 300-60}{60}\right) \\ & = 55,5 + 10\left(\dfrac{60}{60}\right) \\ & = 55,5 + 10 = 65,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai terendah dari peserta ujian yang lolos tes adalah $\boxed{65,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah laboratorium komputer akan mengadakan pengurangan jumlah CPU berdasarkan performa hardware-nya yang diukur melalui sebuah aplikasi. Dari hasil pengukuran diperoleh data sebagai berikut. 
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline \text{Skor Uji} & 61-65 & 66-70 & 71-75 \\ \hline \text{Frekuensi} & 2 & 4 & 8 \\ \hline \text{Skor Uji} & 76-80 & 81-85 & 86-90 \\ \hline \text{Frekuensi} & 12 & 6 & 8 \\ \hline \end{array}$
Jika komputer yang akan dikurangi sebanyak $25\%$ dari total komputer yang ada, maka skor uji performa hardware untuk komputer yang dikurangi adalah $\cdots \cdot$
A. $71,00$                    D. $73,00$
B. $72,17$                    E. $73,50$
C. $72,67$

Pembahasan

Ubah format dan lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Skor Uji} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 61-65 & 2 & 2\\ 66-70 & 4 & 6 \\ \color{red}{71-75} & \color{red}{8} & \color{red}{14} \\ 76-80 & 12 & 26\\ 81-85 & 6 & 32 \\ 86-90 & 8 & 40 \\ \hline \end{array}$ 
Akan dicari nilai dari persentil ke-$25$ sebagai berikut. 
Persentil ke-25 terletak pada datum ke:
$\dfrac{25}{100} \times 40 = 10$
yaitu pada kelas dengan interval $71-75$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 70,5 \\ c & = 75-71+1 = 5\\ n & = 40 \\ \sum F_{kp} & = 6 \\ f_p & = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} P_{25} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{25}{100} \times n-\sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 70,5 + 5\left(\dfrac{\frac{25}{100} \times 40-6}{8}\right) \\ & = 70,5 + 5\left(\dfrac{4}{8}\right) \\ & = 70,5 + 2,5 = 73 \end{aligned}$
Jadi, skor uji tertinggi performa hardware untuk komputer yang dikurangi adalah $\boxed{73,00}$ (Jawaban D)
Catatan: Selain menggunakan $P_{40}$, kasus ini juga bisa diselesaikan dengan menggunakan $Q_1$ (kuartil pertama), karena $25\%$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{1}{4}$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai rata-rata ulangan fisika dari suatu kelas adalah $6,8$. Jika dua siswa yang nilainya $4$ dan $6$ diabaikan, maka nilai rata-rata kelas tersebut berubah menjadi $6,9$. Banyaknya siswa mula-mula adalah $\cdots \cdot$
A. $34$                   C. $36$                 E. $38$
B. $35$                   D. $37$

Pembahasan

Misalkan $\sum F$ menyatakan jumlah nilai ulangan fisika seluruh siswa dan $n$ menyatakan jumlah siswa mula-mula. Untuk itu, berlaku
$\dfrac{\sum F} {n} = 6,8 \Leftrightarrow \sum F = 6,8n$
Setelah dua siswa yang nilainya $4$ dan $6$ diabaikan, rata-ratanya menjadi $6,9$. Secara matematis, kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{\sum F-4-6}{n-2} & = 6,9 \\ \text{Substitusikan} &~\sum F = 6,8n \\ 6,8n- 10 & = 6,9(n-2) \\ 6,8n-10 & = 6,9n-13,8 \\ 0,1n & = 3,8 \\ n & = 38 \end{aligned}$
Jadi, jumlah siswa mula-mula adalah $\boxed{38~\text{orang}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika Ridwan memperoleh nilai $94$ pada ujian yang akan datang, maka rata-rata nilainya menjadi $89$, tetapi jika Ridwan memperoleh nilai $79$, maka rata-ratanya menjadi $86$. Banyaknya total ujian yang telah diikutinya adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                   C. $6$                 E. $8$
B. $5$                   D. $7$            

Pembahasan

Misalkan $x$ menyatakan jumlah nilai Ridwan sebelum ditambah nilai ujian berikutnya dan $n$ menyatakan banyaknya ujian yang diikuti Ridwan (termasuk ujian berikutnya). Dengan demikian, berlaku dua persamaan yakni
$\begin{aligned} \dfrac{x + 94}{n} & = 89 && (\cdots 1) \\ \dfrac{x + 79}{n} & = 86 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Pada persamaan $(1)$, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{x + 94}{n} & = 89 \Leftrightarrow x + 94 = 89n \\ & \Leftrightarrow x = 89n- 94 \end{aligned}$
Substitusikan nilai $x$ ini ke persamaan $(2)$. 
$\begin{aligned} \dfrac{x + 79}{n} & = 86 \\ (89n-94) + 79 & = 86n \\ 3n & = 15 \\ n & = 5 \end{aligned}$
Ini berarti, banyak ujian yang telah diikuti Ridwan adalah $\boxed{5-1=4~\text{kali}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui 10 siswa mengikuti suatu ujian. Jika skor maksimum tidak diperhitungkan, rata-rata nilai mereka adalah $6,5$. Jika skor minimum tidak diperhitungkan, rata-rata nilai mereka adalah $7,3$. Rentang (range) nilai mereka adalah $\cdots \cdot$
A. $6,9$              C. $7,2$                 E. $7,6$
B. $7,0$              D. $7,4$       

Pembahasan

Rentang (range) adalah selisih nilai maksimum dan minimum. 
Misalkan $\overline{x}$ menyatakan rata-rata nilai mula-mula, $x_{\text{min}} $ menyatakan skor minimum, dan $x_{\text{max}}$ menyatakan skor maksimum, sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{10\overline{x}-x_{\text{max}}} {10-1} & = 6,5 \\ 10\overline{x}-x_{\text{max}} & = 9(6,5) \\ 10\overline{x} & = 58,5 + x_{\text{max}} && (\cdots 1) \end{aligned}$
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} \dfrac{10\overline{x}-x_{\text{min}}} {10-1} & = 7,3 \\ 10\overline{x}-x_{\text{min}} & = 9(7,3) \\ 10\overline{x} & = 65,7 + x_{\text{min}} && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari $(1)$ dan $(2)$, kita peroleh
$\begin{aligned} 58,5 + x_{\text{max}} & = 65,7 + x_{\text{min}} \\ x_{\text{max}}-x_{\text{min}} & = 65,7-58,5 = 7,2 \end{aligned}$
Jadi, rentang skor mereka adalah $\boxed{7,2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Notasi Sigma

Soal Nomor 8
Perhatikan data nilai siswa berikut. 
$\begin{array} {|c|c|} \hline \text{Nilai} & f \\ \hline 60-65 & 8 \\ 66-71 & 13 \\ 72-77 & 18 \\ 78-83 & 28 \\ 84-89 & 14 \\ 90-95 & 9 \\ \hline \text{Jumlah} & 90 \\ \hline \end{array}$
Jika $30\%$ dari jumlah siswa yang ada harus mengikuti remedial, maka batas nilai minimal adalah $\cdots \cdot$
A. $70,5$                    C. $72,5$                 E. $74,5$
B. $71,5$                    D. $73,5$

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & f & F_k \\ \hline 60-65 & 8 & 8 \\ 66-71 & 13 & 21 \\ \color{red}{72-77} & \color{red}{18} & \color{red}{39} \\ 78-83 & 28 & 67 \\ 84-89 & 14 & 81\\ 90-95 & 9 & 90 \\ \hline \end{array}$ 
Akan dicari nilai dari persentil ke-$30$ sebagai berikut. 
Persentil ke-$30$ terletak pada datum ke:
$\dfrac{30}{100} \times 90 = 27$
yaitu pada kelas dengan interval $72-77$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 71,5 \\ c & = 77-72+1 = 6 \\ n & = 90 \\ \sum F_{kp} & = 21 \\ f_p & = 18 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} P_{30} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{30}{100} \times n-\sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 71,5 + 6\left(\dfrac{\frac{30}{100} \times 90-21}{18}\right) \\ & = 71,5 + 6\left(\dfrac{6}{18}\right) \\ & = 71,5 + 2 = 73,5 \end{aligned}$
Jadi, batas ketuntasan minimal agar tidak remedial adalah $\boxed{73,5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Tabel di bawah ini adalah data nilai ujian mata pelajaran akuntansi di suatu kelas. 
$\begin{array} {|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 1-2 & 2 \\ 3-4 & 4 \\ 5-6 & 5 \\ 7-8 & 12 \\ 9-10 & 7 \\ \hline \text{Jumlah} & 30 \\ \hline \end{array}$
Jika diketahui bahwa $60\%$ dari seluruh siswa dinyatakan lulus, maka dugaan nilai tertinggi yang tidak lulus adalah $\cdots \cdot$
A. $6,667$                       D. $6,867$
B. $6,677$                       E. $7,667$
C. $6,767$                

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & f_k \\ \hline 1-2 & 2 & 2 \\ 3-4 & 4 & 6 \\ 5-6 & 5 & 11 \\ \color{red}{7-8} & \color{red}{12} & \color{red}{23} \\ 9-10 & 7 & 30 \\ \hline \end{array}$ 
Akan dicari nilai dari persentil ke-$40$ sebagai berikut. 
Persentil ke-$40$ terletak pada datum ke:
$\dfrac{40}{100} \times 30 = 12$
yaitu pada kelas dengan interval $7-8$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 6,5 \\ c & = 8-7+1 = 2 \\ n & = 30 \\ \sum F_{kp} & = 11 \\ f_p & = 12 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} P_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{40}{100} \times n-\sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 6,5 + \cancel{2}\left(\dfrac{\frac{40}{100} \times 30- 11}{\cancelto{6}{12}}\right) \\ & = 6,5 + \dfrac{1}{6} \\ & \approx 6,5 + 0,167 = 6,667 \end{aligned}$
Jadi, dugaan nilai tertinggi yang tidak lulus adalah $\boxed{6,667}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Sepuluh anak membentuk $2$ kelompok bermain yang masing-masing terdiri dari $4$ anak dan $6$ anak. Rata-rata usia kelompok yang beranggotakan $4$ anak adalah $6$ tahun, sedangkan rata-rata usia kelompok lainnya adalah $6,5$ tahun. Jika satu anak dari masing-masing kelompok ditukar satu sama lain, maka rata-rata usia kedua kelompok sama. Selisih usia kedua anak yang ditukar tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1,2$ tahun                D. $0,4$ tahun
B. $1,0$ tahun                E. $0,1$ tahun
C. $0,5$ tahun

Pembahasan

Misalkan:
$x =$ Jumlah usia tiga anak lainnya di
kelompok 4 anak

$y =$ Jumlah usia lima anak lainnya di
kelompok 6 anak

$a =$ Usia anak yang ditukar dari
kelompok 4 anak

$b =$ Usia anak yang ditukar dari
kelompok 6 anak

Dengan demikian, pada kelompok 4 anak berlaku
$\dfrac{a + x}{4} = 6 \Leftrightarrow a + x = 24 \Leftrightarrow x = 24-a$
sedangkan pada kelompok 6 anak berlaku
$\dfrac{b + y}{6} = 6,5 \Leftrightarrow b + y = 39 \Leftrightarrow y = 39-b$
Karena setelah pertukaran anak terjadi, nilai rata-rata kedua kelompok menjadi sama, maka ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{b+x} {4} & = \dfrac{a + y} {6} \\ \dfrac{b+(24-a)} {4} & = \dfrac{a + (39-b)} {6} \\ \text{Kedua ruas dikalikan}&~12 \\ 3((b-a) +24) & = 2(-(b-a)+39) \\ 3(b-a) + 72 & =-2(b-a) + 78 \\ 5(b-a) & = 6 \\ b-a & = \dfrac{6}{5} = 1,2 \end{aligned}$
Jadi, selisih usia dua anak yang ditukar itu adalah $\boxed{1,2~\text{tahun}}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sepuluh wanita mempunyai rata-rata tinggi badan $155~\text{cm}$. Jika tiga orang wanita dikeluarkan dari kelompok tersebut, rata-rata tinggi badannya menjadi $156,5$. Rata-rata tinggi badan ketiga wanita tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $151,0~\text{cm}$                D. $153,5~\text{cm}$
B. $151,5~\text{cm}$                E. $154,5~\text{cm}$
C. $153,0~\text{cm}$

Pembahasan

Ingat bahwa jumlah datum dihitung dengan cara mengalikan frekuensi dan rata-ratanya.
Misalkan
$x_1 =$ jumlah tinggi $10$ wanita,
$x_2 =$ jumlah tinggi $7$ wanita yang tersisa,
$x_3=$ jumlah tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
$a =$ rata-rata tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
maka diperoleh persamaan:
$\begin{aligned} x_1 & = x_2 + x_3 \\ 10 \times 155 & = 7 \times 156,5 + 3a \\ 1550 & = 1095,5 + 3a \\ 3a & = 1550-1095,5 \\ 3a & = 454,5 \\ a & = \dfrac{454,5}{3} = 151,5 \end{aligned}$
Jadi, tinggi rata-rata tiga wanita yang dikeluarkan itu adalah $\boxed{151,5~\text{cm}}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai rata-rata ulangan matematika dari $20$ siswa adalah $60$. Jika ditambah dengan sejumlah siswa yang memiliki rata-rata $70$, maka nilai rata-ratanya menjadi $62$. Banyak siswa yang ditambahkan adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ orang                  D. $6$ orang
B. $4$ orang                  E. $7$ orang
C. $5$ orang     

Pembahasan

Misalkan banyak siswa yang ditambahkan adalah $x$.
Jumlah nilai 20 siswa itu adalah $20 \times 60 = 1.200$, sedangkan jumlah nilai $x$ siswa yang baru adalah $x \times 70 = 70x$, dan jumlah nilai seluruh siswa (ada $20 +x$) adalah $(20 + x) \times 62 = 1240 + 62x$. Untuk itu, diperoleh persamaan berikut.
$\begin{aligned} 1240+62x & = 1200 + 70x \\ 1240-1200 & = 70x-62x \\ 40 & = 8x \\ x & = 5 \end{aligned}$
Jadi, banyak siswa yang ditambahkan adalah $\boxed{5~\text{orang}}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang murid menuliskan lima bilangan bulat sedemikian sehingga mediannya satu lebih besar dari rata-rata kelima bilangan bulat tersebut dan modusnya lebih besar satu dari mediannya. Jika mediannya adalah $10$, maka bilangan bulat terkecil yang mungkin dari lima bilangan bulat tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                   E. $5$
B. $2$                     D. $4$ 

Pembahasan

Misalkan lima bilangan bulat itu dinyatakan oleh $a, b, c, d, e$ dengan $a \leq b \leq c \leq d \leq e$. Karena mediannya $10$, maka diperoleh $c = 10$. Diketahui juga bahwa modusnya adalah $10+1=11$, sehingga dapat diasumsikan $d = e = 11$. 
Rata-rata kelima bilangan tersebut adalah $10-1=9$, sehingga
$\begin{aligned} a+b+10+11+11 & = 5 \times 9 \\ a + b + 32 & = 45 \\ a + b & = 13 \end{aligned}$
Agar $a$ sekecil mungkin, maka $b$ haruslah sebesar mungkin. 
Jika $b = 10$, maka modusnya tidak akan tunggal. 
Jika $b = 9$, maka diperoleh $a = 4$. 
Dengan demikian, bilangan bulat terkecil yang dimaksud itu adalah $\boxed{4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat dari $0$ sampai dengan $10$. Median terbesar yang mungkin bagi siswa yang memiliki rata-rata $5$ dari $6$ kali tes adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                      C. $5$                       E. $7,5$
B. $4,5$                   D. $7$          

Pembahasan

Misalkan nilai tes matematikanya dinyatakan oleh $a, b, c, d, e, f$ yang memenuhi $a \leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ dan $a+b+c+d+e+f = 6 \times 5 = 30$. 
Agar median sebesar mungkin (dipengaruhi oleh nilai $c$ dan $d$), nilai $a$ dan $b$ harus sekecil mungkin, sedangkan $e$ dan $f$ harus sedekat mungkin dengan $d$. 
Jadi, asumsi awal bisa kita tuliskan bahwa semua nilai yang diperoleh adalah $5$, yakni $5~~5~~5~~5~~5~~5$,
kemudian nilainya menyesuaikan ketentuan di atas menjadi
$0~~0~~7~~7~~8~~8$
Jadi, median terbesar yang mungkin adalah $\boxed{\dfrac{7+8}{2} = 7,5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Pada suatu ujian yang diikuti $50$ orang siswa diperoleh rata-rata ujian $35$ dengan median $40$ dan simpangan baku $10$. Karena rata-rata nilai terlalu rendah, semua nilai dikalikan $2$ dikurangi $15$. Akibatnya, $\cdots \cdot$
A. rata-rata menjadi $65$
B. rata-rata menjadi $70$
C. simpangan baku menjadi $20$
D. simpangan baku menjadi $50$
E. median menjadi $80$

Pembahasan

Misalkan $\overline{x}_0$ menyatakan rata-rata nilai mula-mula, sehingga
$\overline{x}_0 = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{50}} {50} = 35$
Selanjutnya, misalkan $\overline{x}$ menyatakan rata-rata nilai setelah dilakukan perubahan, maka
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{(2x_1-15)+(2x_2-15)+\cdots+(2x_{50}-15)} {50} \\ & = \dfrac{2(x_1+x_2+\cdots+x_{50})-50 \times 15}{50} \\ & = 2\left(\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{50}} {50}\right)-\dfrac{\cancel{50} \times 15}{\cancel{50}} \\ & = 2(35)-15 = 55 \end{aligned}$$Misalkan $\text{Me}$ menyatakan median mula-mula dengan
$\text{Me} = \dfrac{x_{25}+x_{26}} {2} = 40$
Jika $\text{Me}_0$ menyatakan median setelah perubahan, maka
$\begin{aligned} \text{Me}_0 & = \dfrac{(2x_{25}-15)+(2x_{26}-15)} {2} \\ & = 2\left( \dfrac{x_{25}+x_{26}} {2}\right)-\dfrac{\cancel{2} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 2(40)-15 = 65 \end{aligned}$
Untuk menentukan simpangan baku, perhatikan dulu tabel penyajian perhitungan simpangan baku mula-mula berikut dengan $\overline{x} = 35$. 
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & \overline{x}-x_i & (\overline{x}-x_i)^2 \\ \hline x_1 & 35-x_1 & (35-x_1)^2 \\ x_2 & 35-x_2 & (35-x_2)^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{50} & 35-x_{50} & (35-x_{50})^2 \\ \hline \end{array} $
Di sisi lain, kita ketahui bahwa
$\text{S}_B = \displaystyle \sqrt{\dfrac{\sum (\overline{x}-x_i)^2}{n}} = 10$
Setelah terjadi perubahan, kita dapat membuat tabel berikut, di mana $\overline{x} = 55$. 
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & \overline{x}-x_i & (\overline{x}-x_i)^2 \\ \hline 2x_1-15 & 70-2x_1 = 2(35-x_1) & 4(35-x_1)^2 \\ 2x_2-15 & 70-2x_2 = 2(35-x_2) & 4(35-x_2)^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 2x_{50}-15 & 70-2x_{50} = 2(35-x_{50}) & 4(35-x_{50})^2 \\ \hline \end{array}$$Catatan: Dalam hal ini, datum pertama adalah $2x_1-15$, sehingga $\overline{x}-x_i$ untuk baris kedua adalah $55-(2x_1-15) = 70-2x_1$, dan seterusnya sama untuk baris di bawah.
Dengan demikian, didapat simpangan baku yang baru, yaitu

$\begin{aligned} \text{S}_B’ & = \displaystyle \sqrt{\dfrac{\sum 4(\overline{x}- x_i)^2}{n}} \\ &  = 2 \times \sqrt{\dfrac{\sum (\overline{x}-x_i)^2}{n}} \\ & = 2 \times 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, simpangan baku yang baru adalah $20$.
Pilihan jawaban yang benar adalah C.

[collapse]

Soal Nomor 16
Suatu data memiliki rata-rata $16$ dan jangkauan $6$. Jika setiap nilai dalam data itu dikalikan $p$ lalu dikurangi $q$, maka didapat data baru dengan rata-rata $20$ dan jangkauan $9$. Nilai dari $2p+q = \cdots \cdot$
A. $3$                     C. $7$                  E. $9$
B. $4$                     D. $8$          

Pembahasan

Misalkan data itu terdiri dari $n$ bilangan, yaitu $x_1, x_2, \cdots, x_n$, sehingga dapat ditulis
$\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} {n} = 16$
Karena setiap bilangan dikali $p$ kemudian dikurangi $q$, maka ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{(px_1-q) + (px_2-q) + \cdots + (px_n-q)} {n} & = 20 \\ \dfrac{p(x_1+x_2+\cdots+x_n)-nq} {n} & = 20 \\ p \cdot \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\dfrac{\cancel{n} q} {\cancel{n}} & = 20 \\ 16p-q & = 20 \end{aligned}$$Sekarang tinjau jangkauannya. 
Sebelum diubah, jangkauan datanya adalah $6$, sehingga ditulis
$x_n-x_1 = 6$
Setelah datanya dikalikan $p$ kemudian dikurangi $q$, diperoleh
$\begin{aligned} (px_n-q)- (px_1-q) & = 9 \\ p(x_n-x_1) & = 9 \\ p(6) & = 9 \\ p & = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$
Substitusikan nilai $p$ pada persamaan $16p-q = 20$
$\begin{aligned} 16p-q & = 20 \\ \cancelto{8}{16}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}}\right)-q & = 20 \\ 24-q & = 20 \\ q & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian
$2p+q = \cancel{2}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}}\right) + 4 = 7$
Jadi, nilai dari $2p+q$ adalah $\boxed{7}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Rata-rata masa pakai lampu pijar selama $1.000$ jam. Jika dari hasil pendataan menunjukkan bahwa sekumpulan lampu pijar memiliki perhitungan simpangan baku $60$ dan angka baku $2,5$, maka lampu pijar tersebut memiliki masa pakai selama $\cdots$ jam. 
A. $850$                        D. $2.440$
B. $1.024$                     E. $2.560$
C. $1.150$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \overline{x} & = 1.000~\text{jam} \\ \text{S}_B & = 60 \\ z & = 2,5 \end{aligned}$
Ditanya: $x = \cdots?$
Dengan menggunakan rumus angka baku, diperoleh
$\begin{aligned} z & = \dfrac{x-\overline{x}} {\text{S}_B} \\ 2,5 & = \dfrac{x- 1.000}{60} \\ x-1.000 & = 2,5 \times 60 \\ x-1.000 & = 150 \\ x & = 1.150 \end{aligned}$
Jadi, masa pakai lampu pijar tersebut adalah $\boxed{1.150~\text{jam}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Sukardi adalah seorang karyawan pada perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data kenaikan produksi selama $5$ periode. Setelah dicari, Sukardi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu sebesar $4\%, 9\%, 7\%$, dan $5\%$. Sukardi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data itu adalah sama. Kenaikan produksi yang mungkin pada periode kelima berkisar antara $\cdots \cdot$
A. $0\%$ sampai $10\%$
B. $5\%$ sampai $15\%$
C. $10\%$ sampai $15\%$
D. $10\%$ sampai $20\%$
E. lebih dari $20\%$

Pembahasan

Misalkan data yang hilang adalah $x$. 
Karena rata-ratanya sama dengan median, maka kita tulis
$\dfrac{4 + 5 + 7 + 9 + x} {5} = 5 + \dfrac{x}{5} = \text{medi}\text{an}$
Jika $x$ nilai minimum, mediannya adalah $5$, namun bila $x$ nilai maksimum, mediannya adalah $7$. 
Ini berarti, rentang nilai median yang mungkin adalah $5 \leq~\text{medi}\text{an} ~\leq 7$
Untuk $\text{medi}\text{an}= 5$, diperoleh
$5 + \dfrac{x}{5} = 5 \Leftrightarrow x = 0$
Untuk $\text{medi}\text{an} = 7$, diperoleh
$5 + \dfrac{x}{5} = 7 \Leftrightarrow x = 10$
Jadi, rentang nilai $x$ adalah $0 \leq x \leq 10$. 
Ini berarti, kenaikan produksi yang mungkin pada periode kelima berkisar antara $0\%$ sampai $10\%$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19 (SBMPTN 2018)
C telah mengikuti $4$ tes matematika dengan nilai berturut-turut $3, 4, 5$, dan $8$. C harus mengikuti $2$ kali tes lagi. Diketahui bahwa nilai setiap tes selalu berupa bilangan bulat dari $1$ sampai $10$. Jika salah satu dari dua nilai tes tersebut merupakan nilai sempurna, sedangkan nilai satunya lagi paling rendah dan jangkauan $6$ nilai tes tersebut sama dengan $1\dfrac12$ kali rata-ratanya, maka pasangan nilai tes lainnya (nilai terendah) adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                     C. $3$                       E. $1$
B
. $4$                     D. $2$            

Pembahasan

Jangkauan $J$ merupakan selisih nilai tertinggi dan terendah. Nilai sempurna yang dimaksud di soal adalah $10$. Misalkan $x$ adalah nilai terendah, maka diperoleh
$J = 10-x$
Karena jangkauannya $1\dfrac12 = \dfrac32$ dari rataannya, maka kita peroleh
$\begin{aligned} J & = \dfrac{\cancel{3}}{2} \times \dfrac{3+4+5+8+10+x}{\cancelto{2}{6}} \\ 10-x & = \dfrac{30+x}{4} \\ 40-4x & = 30+x \\ 10 & = 5x \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, pasangan nilai lainnya adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

6 Replies to “Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Statistika”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *