Materi, Soal, dan Pembahasan – Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $8~\text{cm}$ dan tinggi = $15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac12(8 + 15 + 17)} \\ & = \dfrac{60}{20} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{3,0~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $6$ dan tinggi = $12.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{aligned} x & = \sqrt{6^2+12^2} \\ & = \sqrt{180} \\ & = 6\sqrt5 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 6 \cdot 12}{\dfrac12(12 + 6 + 6\sqrt5)} \\ & = \dfrac{12}{3 + \sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{\cancelto{3}{12}(3-\sqrt5)}{\cancel{4}} \\ & = 9-3\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{9-3\sqrt5}$
(Jawaban D)

Untuk mencari luas daerah yang diberi warna biru, kita harus mencari luas segitiga, kemudian dikurangi dengan luas lingkaran dalam.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $AB= 9~\text{cm}$ dan $BC = 15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{144} \\ & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L_{\triangle})$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L_{\triangle}}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 9 \cdot 12}{\dfrac12(9 + 12 + 15)} \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancel{12}}{\cancelto{3}{36}} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas lingkaran sama dengan $L_{O} = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi~\text{cm}^2,$ sedangkan luas segitiga sama dengan $L_{\triangle} = \dfrac12(9)(12) = 54~\text{cm}^2.$ Jadi, luas daerah yang diberi warna biru adalah
$$\begin{aligned} L_{\text{biru}} & = L_{\triangle}-L_{O} \\ & = \dfrac12(9)(12)-9\pi \\ & = (54-9\pi)~\text{cm}^2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

Karena keliling lingkarannya $\dfrac83\pi,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ \dfrac83\pi & = 2\pi r \\ r & = \dfrac43. \end{aligned}$$Karena lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga, maka berlaku hubungan berikut.
$$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$Diketahui $L_{\triangle} = 12~\text{cm}^2.$ Kita akan mencari nilai dari $2s$ sebagaimana bahwa $s$ adalah setengah keliling segitiga.
$$\begin{aligned}\dfrac43 & = \dfrac{12}{s} \\ s & = 12 \cdot \dfrac34 \\ s & = 9 \\ 2s & = 18 \end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{18~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Jika kita menarik jari-jari dari pusat lingkaran ke sisi $BC$ di titik $P,$ maka kita akan peroleh garis tinggi $\triangle BOC$ (karena $P$ adalah titik singgung lingkaran). Jadi, luas $\triangle BOC$ dapat kita hitung jika panjang $BC$ dan $OP$ diketahui.Panjang $BC$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle ABC.$
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang $OP$, yaitu jari-jari lingkaran dalam segitiga, dapat dicari dengan membagi luas $\triangle ABC$ terhadap setengah kelilingnya.
$$\begin{aligned} OP & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 12 \cdot 5}{\dfrac12(5 + 12 + 13)} \\ & = \dfrac{60}{30} \\ & = 2~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas $\triangle BOC$ adalah $$\dfrac12 \cdot OP \cdot BC = \dfrac12 \cdot 2 \cdot 13 = 13~\text{cm}^2.$$(Jawaban C)

Diketahui $L_{\triangle} = k_{\triangle}.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ditentukan oleh $r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$ dengan $s = \dfrac12k_{\triangle}.$
$$\begin{aligned} r = \dfrac{L_{\triangle}}{\dfrac12k_{\triangle}} = \dfrac{\cancel{k_{\triangle}}}{\dfrac12\cancel{k_{\triangle}}} = \dfrac{1}{\dfrac12} = 2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\boxed{2}$
(Jawaban B)

Lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga adalah lingkaran luar segitiga itu, artinya lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga seperti gambar berikut.
Pertama, kita cari dulu panjang $AC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{36^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{3^2(12^2 + 5^2)} \\ & = 3\sqrt{169} \\ & = 39~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat kita cari dengan cara mengalikan panjang ketiga sisi segitiga, lalu dibagi dengan 4 kali luas segitiga.
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \cancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \cancel{BC}} \\ R & = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{39}{2} = 19,5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\boxed{19,5~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Hubungan luas segitiga dan jari-jari lingkaran dalamnya dinyatakan oleh
$$\boxed{r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$dengan $s$ sama dengan setengah dari keliling segitiga. Jadi, kita akan menggunakan ini untuk mencari nilai dari keliling segitiga. Diketahui $L_{\triangle} = 6\sqrt6~\text{cm}^2$ dan $r = \dfrac23\sqrt6~\text{cm}.$
$$s  = \dfrac{L_{\triangle}}{r} = \dfrac{6\sqrt6}{\dfrac23\sqrt6} = 19~\text{cm}$$Artinya, keliling segitiga sama dengan $2 \cdot 19 = 38~\text{cm}.$ 
Keliling didapat dengan cara menjumlahkan ketiga panjang sisi segitiga. Jadi, dari lima opsi jawaban di atas, kita hanya perlu mencari pasangan tiga bilangan yang bila dijumlahkan menghasilkan $39.$ Setelah diselidiki, kita peroleh bahwa panjang ketiga sisi segitiga yang mungkin adalah $9, 12, 18$ cm karena $9 + 12 + 18 = 39.$
(Jawaban E)

Luas lingkaran dapat ditentukan jika jari-jarinya diketahui. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan menggunakan formula $R = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}}.$ Jadi, kita mesti mencari luas segitiga terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga sama dengan $s = \dfrac12(10+17+21) = 24$ cm sehingga
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} \\ & = \sqrt{24(14)(7)(3)} \\ & = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} \\ & = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} \\ & = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\ & = 84~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{10} \cdot 17 \cdot \cancel{21}}{\cancelto{2}{4} \cdot \cancelto{4}{84}} \\ & = \dfrac{85}{8}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas lingkaran luar sama dengan
$$L = \pi R^2 = \cdot \left(\dfrac{85}{8}\right)^2\pi = \dfrac{7.225}{64}\pi~\text{cm}^2.$$(Jawaban A)

Perhatikan gambar berikut.Panjang $QR$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle PQR.$
$$\begin{aligned} QR & = \sqrt{PQ^2 + PR^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dihitung dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac12(8 + 15 + 17)} \\ & = \dfrac{120}{40} = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar dihitung dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{PQ \cdot PR \cdot QR}{4 \cdot \dfrac12 \cdot PQ \cdot PR} \\ & = \dfrac{QR}{2} \\ & = \dfrac{17}{2}~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah $\boxed{r : R = 3 : \dfrac{17}{2} = 6 : 17}$
(Jawaban D)

Misalkan kita memiliki $\triangle ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Gambarkan lingkaran dalamnya dengan pusat $I.$ Kemudian, gambarkan lingkaran luar $\triangle AIC$ dengan pusat $O.$ Posisikan titik $P$ di sembarang titik pada lingkaran sehingga terbentuk segi empat tali busur $PAIC$ seperti gambar berikut.Perhatikan bahwa titik $I$ (titik pusat lingkaran dalam) adalah titik perpotongan ketiga garis bagi pada $\triangle ABC.$ Garis bagi akan membagi dua sudut sama besar sehingga $\angle ACI = \angle BCI = \alpha$ dan $\angle CAI = \angle BAI = \beta.$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$ sehingga dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ (\beta + \beta) + 50^\circ + (\alpha + \alpha) & = 180^\circ \\ 2\beta + 2\alpha & = 130^\circ \\ \alpha + \beta & = 65^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan $\triangle AIC$ yang jumlah ketiga sudutnya tentu saja $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle AIC + \angle ACI + \angle CAI & = 180^\circ \\ \angle AIC + \alpha + \beta & = 180^\circ \\ \angle AIC + 65^\circ & = 180^\circ \\ \angle AIC & = 115^\circ \end{aligned}$$Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah sudut yang berhadapan selalu $180^\circ.$ Dengan kata lain, $\angle AIC + \angle APC = 180^\circ$ sehingga berakibat $\angle APC = 65^\circ.$
Karena $\angle APC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $AC,$ sedangkan $\angle AOC$ merupakan sudut pusatnya, maka $\angle AOC = 2 \times \angle APC = 2 \times 65^\circ = 130^\circ.$
Jadi, besar $\angle AOC$ adalah $\boxed{130^\circ}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.
Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran luar $R$ dengan menggunakan hubungan panjang sisi dan luas segitiga. Kita juga akan menggunakan trigonometri untuk menentukan luas segitiga bahwa $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B.$
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \bcancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \bcancel{BC} \sin A} \\ & = \dfrac{AC}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac{8}{2 \cdot \dfrac12\sqrt3} = \dfrac{8}{\sqrt3}~\text{cm} \end{aligned}$$Karena $R = \dfrac{8}{\sqrt3}$ cm, maka nilai dari $3R^2 = 3\left(\dfrac{8}{\sqrt3}\right)^2 = 64~\text{cm}^2.$
(Jawaban D)

Misalkan kita mempunyai $\triangle ABC.$ Agar luas segitiganya maksimum, titik sudutnya harus terletak pada sisi lingkaran seperti gambar.
Perhatikan bahwa hubungan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $R,$ panjang sisi segitiga, dan sudut segitiga diberikan oleh $R = \dfrac{a}{2 \sin A}.$
Diketahui $R = 1$ dan $\angle A = 60^\circ$ (karena segitiga sama sisi) sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 1 = \dfrac{a}{2 \sin 60^\circ} \Leftrightarrow a = 2 \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac12\sqrt3 = \sqrt3. \end{aligned}$$Karena segitiganya sama sisi, maka $a = b = c = \sqrt3.$ Dengan demikian, luas segitiga $L$ dapat kita tentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L} \\ L & = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{\sqrt3 \cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3}{4(1)} = \dfrac34\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\boxed{\dfrac34\sqrt3}$ 
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku karena panjang sisinya memenuhi rumus Pythagoras, yaitu $15^2 + 20^2 = 25^2.$
Jawaban a)
Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan ketiga panjang sisinya.
$$k_{\triangle} = 15 + 20 + 25 = 60~\text{cm}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{60~\text{cm}}$
Jawaban b)
Segitiga tersebut siku-siku dengan alas $15$ cm dan tinggi $20$ cm sehingga luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$$L_{\triangle} = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot 15 \cdot \cancelto{10}{20} = 150~\text{cm}^2$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{150~\text{cm}^2}}$
Jawaban c)
Perhatikan gambar berikut.
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga terhadap setengah kelilingnya.
$$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{150}{\frac12 \cdot 60} = 5~\text{cm}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$

Jawaban a)
Keliling didapat dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya, yaitu $k_{\triangle} = 13 + 24 + 15 = 52~\text{cm}.$
Jawaban b)
Panjang jari-jari lingkaran luar dapat dicari dengan mengalikan ketiga panjang sisi segitiga, kemudian dibagi dengan $4$ kali luas segitiga.
Luas segitiga dapat kita cari dengan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga $s = \dfrac{52}{2} = 26$ cm.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{26(26-13)(26-24)(26-15)} \\ & = \sqrt{26(13)(2)(11)} \\ & = \sqrt{2^2 \cdot 11 \cdot 13^2} \\ & = 2 \cdot 13\sqrt{11} \\ & = 26\sqrt{11}~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancel{13} \cdot 24 \cdot 15}{4 \cdot \cancelto{2}{26}\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $\boxed{\dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}}$

Misalkan pusat lingkaran di $O.$ Tarik garis diameter dari titik $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya, yaitu di titik $Q.$ Karena jari-jarinya $R,$ maka $CQ = 2R$ (diameter = 2 kali jari-jari).
Pada $\triangle BCQ,$ sudut $B$ besarnya $90^\circ$ (siku-siku) karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter.
Selain itu, $\angle BQC = \angle BAC$ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu $BC.$
Dengan menggunakan definisi sinus pada $\triangle BCQ,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin \angle BQC & = \dfrac{BC}{CQ} \\ \sin BAC & = \dfrac{BC}{2R} \\ \sin A & = \dfrac{BC}{2R} \\ R & = \dfrac{BC}{2 \sin A}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ $\blacksquare$

Alternatif I:
Misalkan kita punya segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $x.$
Untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar, kita memerlukan informasi berupa luas segitiga dan setengah keliling segitiga.
Tinggi segitiga $t$ dapat kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$$\begin{aligned} t & = \sqrt{x^2-\left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \sqrt{\dfrac34x^2} \\ & = \dfrac12x\sqrt3. \end{aligned}$$Luas segitiga sama sisi tersebut selanjutnya dapat kita tentukan, yakni
$$L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot t = \dfrac12 \cdot x \cdot \dfrac12x\sqrt3 = \dfrac14x^2\sqrt3.$$Setengah keliling segitiga dapat dengan mudah dicari, yaitu $s = \dfrac12(x + x + x) = \dfrac32x.$
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah
$$r= \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{\dfrac14x^2\sqrt3}{\dfrac32x} = \dfrac16x\sqrt3,$$sedangkan panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{x \cdot x \cdot x}{4 \cdot \dfrac14x^2\sqrt3} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt3} = \dfrac{x}{3}\sqrt3. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah
$$\begin{aligned} R : r & = \dfrac{x}{3}\sqrt3 : \dfrac16x\sqrt3 = 2 : 1. \end{aligned}$$Alternatif II:
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga sama sisi besar dapat kita bagi menjadi 4 segitiga sama sisi yang kongruen. Jadi, luas segitiga sama sisi besar sama dengan 4 kali luas segitiga sama sisi.
Lingkaran dalam segitiga sama sisi besar merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi kecil yang berwarna biru. Lingkaran hijau sendiri merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi besar. Jadi, luas lingkaran kecil akan sama dengan 4 kali luas lingkaran besar. Akibatnya,
$$\begin{aligned} L_R : L_r & = 4 : 1 \\ \pi R^2 : \pi r^2 & = 4 : 1 \\ R^2 : r^2 & = 4 : 1 \\ R : r & = 2 : 1. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $2 : 1.$