Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Turunan (Diferensial). Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Semoga bermanfaat. 

Quote by Bruce Lee

Saya tidak takut pada orang yang telah berlatih 10.000 jenis tendangan sebanyak sekali. Saya takut pada orang yang telah berlatih 1 saja jenis tendangan, tetapi sebanyak 10.000 kali.

Baca: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar)

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g(x)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h(x)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{aligned} f(x) & = x(4x^2-8x+24) \\ & = 4x^3-8x^2+24x \\ g(x) & = 40x \\ h(x) & = g(x) -f(x) \\ & = 40x -(4x^3-8x^2+24x) \\ & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \end{aligned}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h'(x)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} h(x) & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \\ h'(x) & = -12x^2 + 16x + 16 \\ 0 & = -12x^2+16x+16 \\ \text{Bagi}~& \color{red}{\text{kedua ruas dengan -4}} \\  0 & = 3x^2 -4x -4 \\ 0 & = (3x+2)(x-2) \end{aligned}$
Diperoleh $x = -\dfrac{2}{3}$ atau $x = 2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h(x)$. 
$\begin{aligned} h(2) & = -4(2)^3 + 8(2)^2 + 16(2) \\ & = -4(8) + 8(4) + 32 = 32 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right)$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right) \\ & = 2x^2 -600x + 30 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 4x -600 & = 0 \\ 4x & = 600 \\ x & = 150 \end{aligned}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\boxed{150~\text{hari}}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar

Soal Nomor 3
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left(3x -180 + \dfrac{5.000}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$       

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(3x – 180 + \dfrac{5.000}{x} \right) \\ & = 3x^2- 180x + 5.000 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 6x -180 & = 0 \\ 6x & = 180 \\ x & = 30 \end{aligned}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{aligned}f(30) & = 3(30)^2 -180(30) + 5.000 \\ & = 2.700 -5.400 + 5.000 = 2.300 \end{aligned}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\boxed{\text{230 juta rupiah}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $\left(\dfrac14x^2+25x+25\right)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $\left(55-\dfrac12x\right)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f(x) = \dfrac14x^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g(x) = x \cdot \left(55-\dfrac12x\right) = 55x-\dfrac12x^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{aligned} h(x) & = g(x)-f(x) \\ & = \left(55x-\dfrac12x^2\right)-\left(\dfrac14x^2+25x+25\right) \\ & = -\dfrac34x^2 + 30x-25 \end{aligned}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} -\dfrac34(2)x + 30 & = 0 \\ -\dfrac32x & = -30 \\ x & = 30 \times \dfrac23 \\ x & = 20 \end{aligned}$$Substitusi $x = 20$ pada $h(x)$.
$$\begin{aligned} h(20) & = -\dfrac34(20)^2 + 30(20)-25 \\ & = -300 + 600-25 = 275 \end{aligned}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h(t) = 120t -5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan

Diketahui: $h(t) = 120t -5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h'(t) = 120 -10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h'(t) = 0$, sehingga ditulis
$120 – 10t = 0 \Leftrightarrow 10t = 120 \Leftrightarrow t = 12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t = 12$, yaitu
$\begin{aligned} h(12) & = 120(12) -5(12)^2 \\ & = 1440 -720 = 720 \end{aligned}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $\boxed{720~\text{meter}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 6
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{aligned} k & = 2(p + l) \\ 2x + 24 & = 2(p + 8 -x) \\ x + 12 & = p + 8 -x \\ p & = 2x + 4 \end{aligned}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{aligned} L(x) & = p \times l \\ & =(2x+4)(8-x) \\ & = -2x^2 + 12x + 32 \end{aligned}$ 
Luas akan maksimum saat $L'(x) = 0$, sehingga
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -4x + 12 & = 0 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Saat $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} p & = 2x + 4 \\ p & = 2(3) + 4 = 10 \end{aligned}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $\boxed{10~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume $\text{108 cm}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$         

Pembahasan

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{aligned} V & = 108 \\ x \cdot x \cdot t & = 108 \\ x^2 \cdot t & = 108 \\ t & = \dfrac{108}{x^2} \end{aligned}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} L(x) & = 4(x \cdot t) + (x \cdot x) \\ & = 4xt + x^2 \\ & = 4x\left(\dfrac{108}{x^2}\right) + x^2 \\ & = 432x^{-1} + x^2 \end{aligned}$
Luas permukaan akan minimum saat $L'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -432x^{-2} + 2x & = 0 \\ 2x & = 432x^{-2} \\ x^3 & = 216 \\ x & = \sqrt[3]{216} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas $300~\text{cm}^2$. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $100$                              D. $10\sqrt{\pi}$
B. $120$                              E. $20\sqrt{\pi}$
C. $100\pi$

Pembahasan

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 300 \\ \pi r^2 + 2\pi rt & = 300 \\ 2\pi rt & = 300 -\pi r^2 \\ t & = \dfrac{300 -\pi r^2}{2\pi r} \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{aligned} V(r) & = \pi r^2 t \\ & = \cancelto{r}{\pi r^2}\left(\dfrac{300- \pi r^2}{2\cancel{\pi r}}\right) \\ & = \dfrac{r} {2}(300 -\pi r^2) \\ & = 150r- \dfrac{1}{2}\pi r^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 150 -\dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 150 \\ \pi r^2 & = 150 \times \dfrac{2}{3} = 100 \end{aligned}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $\boxed{100~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9 
Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara $40~\text{cm}^3/\text{detik}$ dan laju pertambahan jari-jari $20~\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$                            D. $\dfrac{1}{3\sqrt{\pi}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$                          E. $\pi$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40~\text{cm}^3/\text{detik} \\ \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 20~\text{cm}/\text{detik} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, 
sehingga turunannya terhadap $r$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} = 4\pi r^2$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 40 \\ 4\pi r^2 \cdot 20 & = 40 \\ 80\pi r^2 & = 40 \\ r^2 & = \dfrac{1}{2\pi} \\ r & = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p = 25~\text{meter}$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{aligned} k & = 500 \\ 4(p + l + t) & = 500 \\ 25 + l + t & = 125 \\ l + t & = 100 \\ l & = 100 -t \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{aligned} V(t) & = p \times l \times t \\ & = 25 \times (100 -t) \times t \\ & = 2.500t -25t^2 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(t) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(t) & = 0 \\ 2.500 -50t & = 0 \\ 50t & = 2.500 \\ t & = 50 \end{aligned}$
Untuk $t = 50$, maka $l = 100-50 = 50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 11
Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas $96~\text{cm}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54~\text{cm}^3$                          D. $84~\text{cm}^3$
B. $64~\text{cm}^3$                          E. $94~\text{cm}^3$
C. $74~\text{cm}^3$

Pembahasan

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p = l = x$.



Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 2(pl + pt + lt) \\ 96 & = 2(x^2 + tx + tx) \\ 48 & = x^2 + 2tx \\ 2tx & = 48 -x^2 \\ t & = \dfrac{48-x^2}{2x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = p \times l \times t \\ V(x) & = x \times \cancel{x} \times \dfrac{48-x^2}{2\cancel{x}} \\ V(x) & = 24x – \dfrac{1}{2}x^3 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 24 -\dfrac{3}{2}x^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}x^2 & = 24 \\ x^2 & = 24 \times \dfrac{2}{3} = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V(4) = 24(4) -\dfrac{1}{2}(4)^3 = 96 -32 = 64~\text{cm}^3$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Sebuah talang air berbentuk kerucut terbalik memiliki jari-jari $12~\text{cm}$ dan tinggi $18~\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\dfrac{27}{100\pi}~\text{cm}/\text{detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\cdots~\text{cm}^3/\text{detik}$. 
A. $3$                          C. $4$                      E. $5$
B. $3,5$                       D. $4,5$          

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r & = 12~\text{cm} \\ h & = 18~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} & = \dfrac{27}{100\pi}~\text{cm}/\text{detik} \end{aligned}$
Hubungan jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\dfrac{r} {h} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{2h} {3}$
Dengan demikian, volume kerucut bila dinyatakan sebagai fungsi terhadap variabel $h$ adalah
$\begin{aligned} V(h) & = \dfrac{1}{3}\pi r^2h \\ & = \dfrac{1}{3} \pi \left(\dfrac{2h} {3}\right)^2h \\ & = \dfrac{4\pi h^3}{27} \end{aligned}$
Turunan pertama $V$ terhadap $h$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} = \dfrac{12\pi h^2}{27} = \dfrac{4\pi h^2}{9}$
Turunan pertama $V$ terhadap $t$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{4\cancel{\pi} h^2}{\cancel{9}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{27}}{100\cancel{\pi} } =\dfrac{3h^2}{25}$
Untuk $h = 5$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{3(5)^2}{25} = 3$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $3~\text{cm}^3/\text{detik}$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Selembar kertas HVS memiliki luas $54~\text{cm}^2$. Sukardi akan menggunakan kertas tersebut untuk mengetik surat undangan. Apabila margin (batas pengetikan) bagian atas dan bawah $1$ cm, sedangkan margin sampingnya $1,5$ cm, maka panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikannya maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. $9 \times 6$                  D. $9 \times 9$
B. $6 \times 9$                  E. $12 \times 6$
C. $6 \times 6$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $A$ menyatakan luas kertas, $p$ menyatakan panjang kertas, dan $l$ menyatakan lebar kertas. Nyatakan $l$ dalam $p$ dengan menggunakan luas kertas yang diketahui nilainya. 

$\begin{aligned} A & = p \times l \\ 54 & = p \times l \\ l & = \dfrac{54}{p} \end{aligned}$
Misalkan $L$ menyatakan luas daerah pengetikan. Nyatakan $L$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$. 
$\begin{aligned} L(p) & = (p-3)(l – 2) \\ & = (p-3)\left(\dfrac{54}{p} -2\right) \\ & = 60 -\dfrac{162}{p} – 2p \end{aligned}$
Agar $L(p)$ maksimum, turunan pertamanya harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} L'(p) & = 0 \\ \dfrac{162}{p^2} -2 & = 0 \\ 2p^2 & = 162 \\ p^2 & = 81 \\ p & = 9 \end{aligned}$
Untuk $p=9$, berarti $l = \dfrac{54}{9} = 6$
Jadi, panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{9~\text{cm}}$ dan $\boxed{\text{6 cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{aligned} U(x) & = x(20-x)-(x^2+4x+10) \\ & = 20x -x^2 -x^2 -4x + 10 \\ & = -2x^2 + 16x -10 \end{aligned}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U'(x) = 0$
$\begin{aligned} U'(x) & = 0 \\ -4x + 16 & = 0 \\ 4x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{aligned} U(4) & = -2(4)^2 + 16(4) -10 \\ & = -32 + 64 -10 = 22 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots~\text{cm}^3$.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0 < x < 15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = plt \\ & = (30-2x) (30-2x)x \\ & = 4x^3 -120x^2 + 900x \end{aligned}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V'(x) = 0$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 12x^2 -240x + 900 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 12} \\ x^2 -20x + 75 & = 0 \\ (x -15)(x -5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 15$ (tidak memenuhi) atau $x = 5$. 
Untuk $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} V(5) & = 900(5) -120(5)^2 + 4(5)^3 \\ & = 4.500 -3.000 + 500 = 2.000 \end{aligned}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\boxed{2.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 16
Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas $324~\text{m}^2$ untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika lebar kandang $9$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
  2. Jika lebar kandang $22$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum 
  3. Jika panjang kandang $36$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
  4. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00
  5. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp432.000,00

Pembahasan

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $(p)$ dan lebar $(l)$
$L = p \times l \Rightarrow l = \dfrac{324}{p}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling, sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $(k)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{aligned} k & = 2p + 2l \\ & = 2p + 2\left(\dfrac{324}{p}\right) \\ & = 2p + \dfrac{648}{p} \end{aligned}$
$k$ akan maksimum saat $\dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\  0 & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\ \dfrac{648}{p^2} & = 2 \\ p^2 & = \dfrac{648}{2} = 324 \\ p & = \sqrt{324} = 18 \end{aligned}$
Untuk $p = 18~\text{meter}$, diperoleh
$l = \dfrac{324}{18} = 18$.
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}} = 2(p + l) = 2(18 + 18) = 72~\text{m}$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72 \times \text{Rp}12.000,00 = \text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

[collapse]

Soal Nomor 17
Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik tanpa tutup seperti gambar berikut.

Wadah tersebut berisi air dan diletakkan di halaman rumah. Pada siang hari yang terik, air dari dalam wadah tersebut menguap sehingga ketinggian air berubah dengan kecepatan penguapan $\dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$. 
Laju perubahan volume pada saat ketinggian air $5$ cm adalah $\cdots$ cm3/jam. 
A. $\dfrac52$                    C. $\dfrac53$                  E. $\dfrac58$
B. $\dfrac54$                    D. $\dfrac45$      

Pembahasan

Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut. 
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h= 10$ cm, diperoleh $r = 5$ cm. 
Dengan demikian, 
Saat $h = 5$ cm, diperoleh $r = \dfrac52$ cm. 
Diketahui bahwa laju penguapan/perubahan ketinggian terhadap waktu $t$ adalah $\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$.
Laju perubahan volume didapat dengan menurunkan fungsi volume kerucut $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t$. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ & = \dfrac{1}{\bcancel{3}}\cancel{\pi} r^2 \cdot \dfrac{\bcancel{3}}{10\cancel{\pi}} \\ \left.\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t}\right|_{r=\frac52} & = \dfrac{\left(\frac52\right)^2}{10} = \dfrac{25}{40} = \dfrac58~\text{cm}^3\text{/jam} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan volume pada saat ketinggian air 5 cm adalah $\boxed{\dfrac{5}{8}~\text{cm}^3\text{/jam}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah $\sqrt5$. Panjang sisi lainnya adalah $x$ dan $y$. Nilai maksimum untuk $2x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                                D. $7$
B. $4+\sqrt3$                     E. $7+\sqrt3$
C. $5+\sqrt3$

Pembahasan

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku
$x^2 + y^2 = (\sqrt5)^2 = 5$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$y = \sqrt{5-x^2}$
Misalkan
$f(x) = 2x + y = 2x + \sqrt{5-x^2}$
Agar $f(x)$ maksimum, nilai turunan pertamanya harus $0$, sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 2 -\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5-x^2}} \cdot (-2x) & = 0 \\ 2 -\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}} & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} -x & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} & = x \\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ 4(5-x^2) & = x^2 \\ 20 -4x^2 & = x^2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$y = \sqrt{5 -(2)^2} = 1$
Dengan demikian, nilai maksimum dari $2x+y$ adalah $\boxed{2(2)+1=5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Soal Nomor 19
Total penjualan suatu barang $(k)$ merupakan perkalian antara harga $(p)$ dan permintaan $(x)$ yang dinyatakan dengan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x$ dalam jutaan rupiah dan $1 \leq x \leq 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan

Diberikan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x$, diperoleh
$k = (90 -3x)x = -3x^2 + 90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\dfrac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k}{\text{d}x} & = -6x + 90 \\ 0 & = -6x + 90 \\ 6x & = 90 \\ x & = 15 \end{aligned}$
Nilai $x = 15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k = -3x^2 + 90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}} = -3(15)^2 + 90(15) = 675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $k\pi~\text{cm}^2$ adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi~\text{cm}^3$. Nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                    C. $12$                 E. $18$
B. $8$                    D. $16$          

Pembahasan

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi~\text{cm}^2$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = k\pi \\ \pi r^2 + 2\pi r t & = k\pi \\ \cancel{\pi} (r^2 + 2rt) & = k\cancel{\pi} \\ r^2 + 2rt & = k && (\cdots 1) \end{aligned}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi~\text{cm}^3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} & = 8\pi \\ \cancel{\pi}r^2t & = 8\cancel{\pi} \\ r^2t & = 8 \\ t & = \dfrac{8}{r^2}~~~~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Substitusikan $(2)$ ke $(1)$, diperoleh
$\begin{aligned} r^2 + 2r \left(\dfrac{8}{r^2} \right) & = k \\ r^2 + \dfrac{8}{r} & = k \\ r^3 -kr + 8 & = 0 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $f(r) = r^3 -kr + 8$. Volume tabung akan minimum saat $f'(r) = 0$, yaitu
$3r^2 – k = 0 \Leftrightarrow k = 3r^2$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2$. 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $(1)$. 
$\begin{aligned} r^2 + 2rt & = k \\ r^2 + 2rt & = 3r^2 \\ 2r^2 -2rt & = 0 \\ 2r(r- t) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = t$. 
Terakhir, substitusikan ke $(2)$. 
$\begin{aligned} t & = \dfrac{8}{r^2} \\ tr^2 & = 8 \\ (r)r^2 & = 8 \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\boxed{k = 3r^2 = 3(2)^2 = 12}$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah talang air yang berbentuk kerucut terbalik memiliki panjang jari-jari $12~\text{cm}$ dan tinggi $18~\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\dfrac{27}{100\pi}~\text{cm/detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}^3/\text{detik}$
B. $3,5~\text{cm}^3/\text{detik}$
C. $4~\text{cm}^3/\text{detik}$
D. $4,5~\text{cm}^3/\text{detik}$
E. $5~\text{cm}^3/\text{detik}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r & = 12~\text{cm} \\ h & = 18~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} & = \dfrac{27}{100\pi}~\text{cm/detik} \end{aligned}$
Ditanya: $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}$.
Hubungan panjang jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\dfrac{r}{h} = \dfrac{12~\text{cm}}{18~\text{cm}} \Leftrightarrow r = \dfrac23h$
Volume kerucut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac13\pi r^2 h \\ & = \dfrac13\pi \left(\dfrac23h\right)^2h \\ & = \pi \cdot \dfrac{4}{27}h^3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\dfrac{\text{d}V}{\text{d}h} = 3\pi \cdot \dfrac{4}{27}h^2 = \pi \cdot \dfrac49h^2$
dan kita akan mendapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} \\ & = \pi \cdot \dfrac49h^2 \cdot \dfrac{27}{100\pi} \\ & = \dfrac{3}{25}h^2 \end{aligned}$
Untuk $h = 5$, diperoleh
$\left[\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}\right]_{h = 5} = \dfrac{3(5)^2}{25} = 3$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\boxed{3~\text{cm}^3/\text{detik}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Sepotong kawat yang panjangnya $90$ cm dipotong menjadi dua bagian, satunya digunakan untuk membentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi $x$ cm dan satunya lagi digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, maka nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $60(2+\sqrt3)$                  D. $30(2+\sqrt3)$
B. $60(2-\sqrt3)$                  E. $15(2-\sqrt3)$
C. $30(2-\sqrt3)$

Pembahasan

Karena segitiga sama sisinya memiliki panjang sisi $x$, maka kawat yang dibutuhkan sebanyak $x+x+x=3x$ cm. Sisa kawat dipakai semua untuk membuat persegi, yaitu $(90-3x)$ cm.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} s_{\text{per}\text{segi}} & = \dfrac{90-3x}{4}~\text{cm} \\ L_{\text{per}\text{segi}} & = \dfrac{(90-3x)^2}{16}~\text{cm}^2 \\ L_{\text{segi}\text{tiga}} & = \dfrac12(x)(x) \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac14\sqrt3x^2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Misalkan jumlah luas kedua bangun datar itu dinyatakan sebagai fungsi $f$, sehingga ditulis
$f(x) = \dfrac{(90-3x)^2}{16}+ \dfrac14\sqrt3x^2$
Agar $f(x)$ maksimum, maka kita harus membuat $f'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ \dfrac{\cancel{2}(90-3x)(-3)}{\cancelto{8}{16}} + \dfrac{1}{\cancelto{2}{4}}\sqrt3(\cancel{2}x) & = 0 \\ (x-30)+\dfrac12\sqrt3x & = 0 \\ \left(\dfrac{2+\sqrt3}{2}\right)x & = 30 \\ x & = 30 \cdot \dfrac{2}{2+\sqrt3} \\ & = \dfrac{60}{2+\sqrt3} \times \color{red}{\dfrac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3}} \\ & = 60(2-\sqrt3) \end{aligned}$$Jadi, jumlah luas akan maksimum bila $\boxed{x = 60(2-\sqrt3)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Luas minimum segitiga di kuadran I yang dapat dibentuk oleh garis yang melalui titik $(4, 3)$ dan sumbu-sumbu koordinat adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $20$                    E. $26$
B. $16$                     D. $24$

Pembahasan

Misalkan garis tersebut memotong sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0, b)$ sehingga persamaan garisnya adalah $bx + ay = ab$, seperti tampak pada sketsa grafik berikut.

Karena garis itu melalui titik $(x, y) = (4, 3)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 4b + 3a & = ab \\ 3a & = ab-4b \\ 3a & = b(a-4) \\ \dfrac{3a}{a-4} & = b \end{aligned}$
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat selalu berbentuk segitiga siku-siku, sehingga kita peroleh $L_{\triangle} = \dfrac12ab$.
Substitusi $b$ dalam bentuk $a$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = \dfrac12a \cdot \dfrac{3a}{a-4} \\ & = \dfrac32 \cdot \dfrac{a^2}{a-4}, a \neq 4 \end{aligned}$
Agar luasnya minimum, maka haruslah $f'(a) = 0$.
Misalkan $u = a^2$ dan $v = a-4$, sehingga $u’ = 2a$ dan $v’ = 1$. Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(a) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ 0 & = \dfrac{2a(a-4)-a^2(1)}{(a-4)^2} \\ 0 & = \dfrac{a^2-8a}{(a-4)^2} \\ 0 & = a^2-8a \\ 0 & = a(a-8) \end{aligned}$
Didapat $a = 0$ atau $a = 8$.
Ambil $a = 8$ (agar terbentuk segitiga), berakibat $b = 6$, dari hasil substitusi $b = \dfrac{3a}{a-4}$.
Luas minimum segitiga adalah $\boxed{L_{\triangle} = \dfrac12(8)(6) = 24}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Nilai minimum fungsi $f(x, y) = 4x+y$ pada daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan $xy \geq 4, x \geq 0$, dan $y \ge 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $2$                   E. $8$
B. $-6$                   D. $6$

Pembahasan

Nilai minimum fungsi $f(x, y) = 4x+y$ tercapai ketika kedua variabel $x$ dan $y$ dipilih sekecil mungkin.
Untuk itu, nilai minimum akan tercapai ketika $xy = 4$, atau setara dengan $y = \dfrac{4}{x}$.
Substitusikan pada $f(x, y)$ sehingga kita akan peroleh fungsi satu variabel $f(x) = 4x + \dfrac{4}{x}$.
Nilai minimum tercapai saat $f'(x) = 0$, sehingga didapat
$\begin{aligned} \underbrace{4-\dfrac{4}{x^2}}_{f'(x)} & = 0 \\ \dfrac{4}{x^2} & = 4 \\ \dfrac{1}{x^2} & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Nilai $x = -1$ tidak dipilih karena diberi syarat $x \geq 0$.
Jadi, diperoleh $x = 1$, berakibat $y = 4$, dan didapat nilai minimumnya, yaitu $\boxed{f_{\text{min}}(1, 4) = 4(1) + 4 = 8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Perhatikan gambar berikut.

Layar bioskop memiliki tinggi $3$ meter dan terletak pada dinding $1$ meter di atas lantai. Jarak seseorang dari dinding agar besar sudut $\theta$ sebesar mungkin adalah $\cdots$ meter.
A. $1$                       C. $2$                    E. $3$
B. $\sqrt3$                     D. $2\sqrt3$

Pembahasan

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha = \dfrac{4}{x}$ dan $\tan \beta = \dfrac{1}{x}$, sehingga
$$\begin{aligned} \tan \theta & = \tan (\alpha-\beta) \\ & = \dfrac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{4}{x} \cdot \dfrac{1}{x}} \color{red}{\times \dfrac{x^2}{x^2}} \\ & = \dfrac{3x}{x^2 + 4} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$ bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar).
Nilai ekstrem fungsi tangen $f(\theta) = \tan \theta$ tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u = 3x$ dan $v = x^2+4$, sehingga $u’ = 3$ dan $v’ = 2x$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} f(\theta) & = \tan \theta = \dfrac{3x}{x^2+4} \\ \Rightarrow f'(\theta) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ 0 & = \dfrac{3(x^2+4)-3x(2x)}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = \dfrac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = \dfrac{-3x^2+12}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = -3x^2+12 \\ 3x^2 & = 12 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{aligned}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x = 2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $\boxed{2~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26
Balon berbentuk bola yang berisi udara dikempiskan perlahan-lahan. Volume balon berkurang dengan laju $-7,2\pi~\text{mm}^3/\text{detik}$. Panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon $-0,05~\text{mm}/\text{detik}$ adalah $\cdots~\text{mm}$.
A. $5$                     C. $7$                  E. $18$
B. $6$                     D. $12$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = -7,2\pi \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} & = -0,05 \end{aligned}$
Menurut Aturan Rantai, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ -7,2\pi & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot (-0,05) \\ \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} & = \dfrac{7,2\pi}{0,05} \end{aligned}$$Karena balon berbentuk bola, maka volumenya dinyatakan oleh $V = \dfrac43\pi r^3$, sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} & = 4\pi r^2 \\ \dfrac{7,2\pi}{0,05} & = 4\pi r^2 \\ \dfrac{7,2\bcancel{\pi} \times \cancelto{5}{20}}{\cancel{4}\bcancel{\pi}} & = r^2 \\ 7,2 \times 5 = 36 & = r^2 \\ r & = 6 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon $-0,05~\text{mm}/\text{detik}$ adalah $\boxed{6~\text{mm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Laju pertambahan volume kubus adalah $36~\text{cm}^3/\text{menit}$. Jika luas permukaan kubus adalah $24~\text{cm}^2$, maka  laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2~\text{cm}/\text{menit}$                    D. $6~\text{cm}/\text{menit}$
B. $3~\text{cm}/\text{menit}$                    E. $9~\text{cm}/\text{menit}$
C. $4~\text{cm}/\text{menit}$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = 36 \\ L & = 24 \Rightarrow 6r^2 = 24 \Rightarrow r = 2 \end{aligned}$$Volume kubus ditentukan oleh rumus $V = r^3$, sehingga $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 3r^2 = 3(2)^2 = 12$.
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ 36 & = 12 \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} & = \dfrac{36}{12} = 3 \end{aligned}$$Jadi, laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah $\boxed{3~\text{cm}/\text{menit}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Sepotong kawat yang panjangnya $52~\text{cm}$ dibuat trapesium sama kaki seperti gambar berikut.

  1. Tunjukkan bahwa $L = 104x-20x^2$ di mana $L$ menyatakan luas trapesium.
  2. Tentukan nilai $x$ dan $y$ agar luasnya maksimum. 
  3. Tentukan luas maksimumnya.

Pembahasan

Nyatakan $y$ dalam $x$ dengan menggunakan keliling trapesium ($k$). 
$\begin{aligned} k & = 5x + y + 5x + (6x + y) \\ 52 & = 16x + 2y \\ 26 & = 8x + y \\ y & = 26 -8x \end{aligned}$

Tinggi trapesium dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$t = \sqrt{(5x)^2-(3x)^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$
Jawaban a)
Nyatakan luas trapesium ($L$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} L & = \dfrac{(6x + y) + y} {2} \times 4x \\ & = 12x^2 + 4xy \\ & = 12x^2 + 4x(26-8x) \\ & = 104x – 20x^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $L = 104x-20x^2$. 
Jawaban b) 
Agar luas maksimum, haruslah $L'(x) = 0$. 
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ 104 – 40x & = 0 \\ 40x & = 104 \\ x & = \dfrac{104}{40} = \dfrac{13}{5} \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{13}{5}$, diperoleh
$y = 26 -8 \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{130 -104}{5} = \dfrac{26}{5}$
Jadi, nilai $x$ dan $y$ agar luas maksimum berturut-turut adalah $\dfrac{13}{5}~\text{cm}$ dan $\dfrac{26}{5}~\text{cm}$. 
Jawaban c) 
Substitusikan $x = \dfrac{13}{5}$ pada $L(x)$. 
$\begin{aligned} L\left(\dfrac{13}{5}\right) & = 104\left(\dfrac{13}{5}\right) – 20 \left(\dfrac{13}{5}\right)^2 \\ & = \dfrac{1.352}{5} -\dfrac{676}{5} \\ & = \dfrac{676}{5} = 135,2 \end{aligned}$
Jadi, luas maksimumnya adalah $\boxed{135,2~\text{cm}^2}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan

Soal Nomor 2
Sebuah kawat yang panjangnya $100~\text{cm}$ akan dibuat kerangka seperti gambar di bawah, yaitu gabungan persegi panjang dan seperempat lingkaran. Tentukan luas daerah maksimum dari kerangka yang terbentuk.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dimisalkan bahwa $y$ sebagai panjang dan $x$ sebagai lebar persegi panjangnya.

Kawat sepanjang $100~\text{cm}$ akan menjadi keliling kerangka, sehingga ditulis
$\begin{aligned} 2x+2y+\dfrac14(2\pi x) & = 100 \\ \Leftrightarrow y & = 50-x-\dfrac14\pi x \end{aligned}$
Fungsi yang menyatakan luas kerangka bangun tersebut (luas persegi panjang ditambah luas seperempat lingkaran) ditulis dalam bentuk
$\textbf{L} = xy + \dfrac14\pi x^2$
Substitusikan $y = 50-x-\dfrac14\pi x$ ke fungsi $\textbf{L}$ di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{L} & = x\left(50-x-\dfrac14\pi x\right)+\dfrac14 \pi x^2 \\ & = 50x-x^2 \end{aligned}$
Agar luasnya maksimum, maka turunan dari $\textbf{L}$ harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \textbf{L}’ & = 0 \\ \Rightarrow 50-2x & = 0 \\ x & = 25 \end{aligned}$
Untuk mendapatkan luas maksimum, substitusi $x = 25$ pada fungsi $\textbf{L}$.
$\begin{aligned} \textbf{L} & = 50x-x^2 \\ \textbf{L}_{\text{maks}} & = 50(25)-(25)^2 \\ & = 625~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas maksimum kerangka tersebut adalah $\boxed{625~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir pada gambar berikut.

Pembahasan

Persamaan garis pada gambar adalah
$10x+6y=60 \Leftrightarrow y = 10-\dfrac53x$
Jika sembarang titik $(x, y)$ diletakkan pada garis tersebut sebagai titik sudut persegi panjang seperti gambar berikut,

maka $x$ menyatakan panjangnya, sedangkan $y$ menyatakan lebarnya, sehingga luasnya dinyatakan oleh

$\begin{aligned}\textbf{L} & = xy \\ & = x\left(10-\dfrac53x\right) \\ & = 10x-\dfrac53x^2 \end{aligned}$
Agar luasnya maksimum, turunannya harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \textbf{L}’ & = 0 \\ \Rightarrow 10-\dfrac{10}{3}x & = 0 \\ \dfrac{10}{3}x & = 10 \\ x & = 3 \end{aligned}$
sehingga
$y = 10-\dfrac53\color{blue}{x} = 10-\dfrac53(\color{blue}{3}) = 5$
Luas maksimumnya adalah
$\textbf{L}_{\text{maks}} = xy= 3(5) = 15$
Jadi, luas maksimum persegi panjang itu ialah $\boxed{15}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Suatu persegi panjang dengan salah satu sisinya menempel pada sumbu-$X$ ditempatkan dalam daerah yang dibatasi oleh garis $y = 0$, $y = 3x$, dan $y = 30-2x$. Tentukan luas terbesar yang mungkin untuk persegi panjang tersebut.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan dipilih sembarang titik yang dilalui garis $y = 3x$, yaitu $x_1 = a$, sehingga koordinatnya adalah $(a, 3a)$. 
Agar tingginya sama, maka garis $y = 30-2x$ juga harus melalui titik dengan ordinat $y=3a$ sehingga
$\begin{aligned} 3a & = 30-2x \\ 2x & = 30-3a \\ x & = 15-\dfrac32a \end{aligned}$
Diperoleh $x_2 = 15-\dfrac32a$.
Sekarang, panjang dan lebar persegi panjang itu dapat ditentukan, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} p & = x_2-x_1 \\ & = 15-\dfrac32a-a \\ & = 15-\dfrac52a \\ l & = 3a \end{aligned}}$
Dengan demikian, fungsi luasnya kita nyatakan dengan
$\begin{aligned} L(a) & = pl \\ & = \left(15-\dfrac52a\right) \times 3a \\ & = 45a-\dfrac{15}{2}a^2 \end{aligned}$
Agar luas maksimum, maka $L'(a) = 0$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 45-\dfrac{15}{2}(2a) & = 0 \\ 45-15a & = 0 \\ a & =3 \end{aligned}$
Jadi, luas persegi panjang akan maksimum bila diambil $a = 3$.
Luas maksimum yang dimaksud itu adalah $\boxed{\begin{aligned} L_{\text{maks}} & = 45(3)-\dfrac{15}{2}(3)^2 \\ & = 135-67,5 = 67,5 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ dari titik asal $t$ detik dinyatakan oleh rumus $s = 1,5t^2 + 0,6t$ ($s$ dalam meter dan $t$ dalam detik).

  1. Tentukanlah $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t}$.
  2. Tentukan kecepatan sesaat pada waktu $t = 0,3$ detik.  
  3. Carilah waktu yang diperlukan sehingga kecepatan sesaatnya mencapai $6,6$ meter/detik.

Pembahasan

Jawaban a) 
Turunan pertama $s$ terhadap variabel $t$ dinyatakan oleh
$\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6$
Jawaban b) 
Saat $t = 0,3$, substitusi pada persamaan $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6$ menghasilkan
$3(0,3) + 0,6 = 1,5$
Jadi, kecepatan sesaatnya adalah $1,5$ meter/detik. 
Jawaban c) 
Diketahui $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 6,6$. Dengan demikian, ditulis
$6,6 = 3t + 0,6 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2$
Jadi, waktu yang diperlukan adalah $2$ detik.

[collapse]

Soal Nomor 6
Gambar berikut menunjukkan sebuah kaleng (silinder) dan penutupnya (arsiran) menutup kaleng sedalam $2$ cm.

Jika luas permukaan kaleng $448\pi~\text{cm}^2$, jari-jari alas $x~\text{cm}$, dan tinggi $h~\text{cm}$.

  1. Tunjukkan bahwa $x^2+hx+2x=224$.
  2. Deduksikan dalam $x$ dan $\pi$ untuk volume kaleng. Jika $x$ berubah, tentukan nilai $x$ saat volume kaleng maksimum. Hitunglah nilai maksimum itu.

Pembahasan

Jawaban a) 
Diketahui tinggi tabung ditambah dengan tinggi tutup kaleng adalah $(h+2)~\text{cm}$. 
Nyatakan luas permukaan tabung dalam $h$ dan $x$. 
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = 2\pi r(r + t) \\ 448\cancel{\pi} & = 2\cancel{\pi}x(x + (h+2)) \\ 224 & = x^2 + hx + 2x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $x^2+hx+2x=224$. 
Jawaban b) 
Pertama-tama, nyatakan $h$ dalam $x$ dengan memanfaatkan persamaan $\color{red}{x^2+hx+2x=224}$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} x^2+hx+2x & = 224 \\ hx & = 224-x^2-2x \\ h & = \dfrac{224-x^2-2x} {x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume tabung ($V$) dalam variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = \pi r^2t \\ & = \pi x^2h \\ & = \pi \cancelto{x} {x^2} \left(\dfrac{224-x^2-2x} {\cancel{x}}\right) \\ & = \pi x(224-2x-x^2) \\ & = 224\pi x – 2\pi x^2 -\pi x^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 224\pi – 4\pi x -3\pi x^2 & = 0 \\ \color{blue}{\text{Bagi kedua ruas}}~& \color{blue}{\text{dengan}~-\pi} \\ 3x^2 + 4x -224 & = 0 \\ (x-8)(3x+28) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 8$ atau $x = -\dfrac{28}{3}$. Karena $x$ mewakili ukuran panjang, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, dipilih $x = 8$. 
Nilai $x$ jika volume tabung maksimum adalah $\boxed{8}$. 
Volume tabung untuk $x = 8$ adalah
$\begin{aligned} V(8)& = 224\pi(8) -2\pi(8)^2 -\pi(8)^3 \\ & = 8\pi(224 -16 -64) \\ & = 8\pi (144) = 1.152\pi \end{aligned}$
Jadi, volume maksimum kaleng (tabung) tersebut adalah $\boxed{1.152~\text{cm}^3}$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit

Soal Nomor 7
Sebuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter $24$ cm. Wadah tersebut berisi alkohol setinggi $h$ cm. Oleh karena alkohol tersebut menguap, tinggi alkohol berkurang dengan laju $0,001$ cm/detik.

  1. Tentukan persamaan luas permukaan alkohol bagian atas.
  2. Hitunglah laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol $6$ cm.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jawaban a)
Diameter wadah itu adalah 24 cm, sehingga $OB = OC = OD = 12$ cm (jari-jari bola) dan $OA = (12 -h)$ cm. Misalkan $AC = r$, maka dapat dinyatakan hubungan $r$ dan $h$ melalui $\triangle OAC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras, yakni
$\begin{aligned} AC^2 & = OC^2 -OA^2 \\ r^2 & = 12^2 -(12 -h)^2 \\ r^2 & = \cancel{12^2} -(\cancel{12^2} + h^2 – 24h) \\ r^2 & = 24h -h^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas permukaan alkohol (berbentuk lingkaran) dapat dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} L & = \pi r^2 = \pi (24h -h^2) \\ & = (24\pi h-\pi h^2)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui laju perubahan ketinggian alkohol sebagai $\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = 0,001$ cm/detik, maka laju perubahan luas permukaan alkohol dapat dinyatakan sebagai
$\dfrac{\text{d}L}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}L}{\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = (24\pi -2\pi h) \cdot 0,001$
Dengan demikian, pada saat ketinggian alkohol $h = 6$ cm, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\text{d}L}{\text{d}t}\right)_{h = 6} & = (24\pi- 2(\pi)(6)) \cdot 0,001 \\ & = 12\pi \cdot 0,001 \\ & = 0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah $\boxed{0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut! 

Air dituangkan ke bak berbentuk kerucut dengan laju pertambahan volume air $100~\text{cm}^3/\text{detik}$. Jika tinggi bak itu $100~\text{cm}$ dan jari-jari permukaan atas $50~\text{cm}$, tentukan laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya $40~\text{cm}$.

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} t & = 100~\text{cm} \\ r & = 50~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} & = 100~\text{cm}^3/\text{detik} \end{aligned}$
Ditanya: $\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \cdots?$
Hubungan tinggi kerucut $t$ dan jari-jari permukaan atas $r$ diberikan oleh
$\dfrac{t} {r} = \dfrac{100}{50} \Rightarrow t = 2r$
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2t \\ \text{Substitusi}~&t = 2r \\ V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2(2r) \\ V & = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} & = 2 \pi r^2 \end{aligned}$
Karena permukaan air berbentuk lingkaran, maka luasnya ditentukan oleh rumus $L = \pi r^2$. Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}T} \\ & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}V} \cdot \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} \\ & = 2\pi r \cdot \dfrac{1}{2\pi r^2} \cdot 100 \\ & = \dfrac{100}{r} \end{aligned}$
Saat tinggi $t = 40~\text{cm}$, diperoleh $r = 20~\text{cm}$, sehingga
$\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \dfrac{100}{20} = 5$
Jadi, laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya $40~\text{cm}$ adalah $\boxed{5~\text{cm}^2/\text{detik}}$

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Soal Nomor 9
Pada gambar di bawah, garis $AB$ melalui titik $P(4,1)$ dan besar $\angle BAO = \theta$ dengan $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$.

  1. Buktikan bahwa panjang $OA+OB = 5+4 \tan \theta + \cot \theta$ dan buktikan juga bahwa jika $\theta$ berubah-ubah, maka nilai minimum bagi $OA+OB$ adalah $9$.
  2. Tunjukkan bahwa $AB = 4 \sec \theta + \csc \theta$ dan tentukan sampai dua angka di belakang koma untuk nilai minimum bagi $AB$ bila $\theta$ berubah-ubah.

Pembahasan

Jawaban a)
Buat titik $D$ di $OB$ sehingga $DP$ sejajar dengan $OA$. Posisikan juga titik $C$ di $OA$, seperti tampak pada gambar berikut.

Diketahui $PC = 1$ dan $DP = 4$.
Kita peroleh pada $\triangle ACP$, berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{PC}{CA} = \dfrac{1}{CA} \\ CA & = \dfrac{1}{\tan \theta} = \cot \theta \end{aligned}$
Pada $\triangle BDP$, berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{BD}{DP} = \dfrac{BD}{4} \\ BD & = 4 \tan \theta \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} OA+OB & = (OC+CA)+(OD+DB) \\ & = (4+\cot \theta)+(1+4\tan \theta) \\ & = 5 + 4 \tan \theta + \cot \theta \end{aligned}$
Terbukti.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa nilai minimum bagi $OA+OB$ adalah $9$.
Misalkan $f(\theta) = OA+OB = 5 + 4 \tan \theta + \cot \theta$.
Agar $f(\theta)$ bernilai minimum, maka harus dibuat $f'(\theta) = 0$, yaitu
$\begin{aligned} 4 \sec^2 \theta + (-\csc^2 \theta) & = 0 \\ \csc^2 \theta & = 4 \sec^2 \theta \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~\sec^2 \theta \\ \dfrac{\csc^2 \theta}{\sec^2 \theta} & = 4 \\ \cot^2 \theta & = 4 \\ \cot \theta & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena $\theta$ berada di kuadran I, maka haruslah $\cot \theta = 2$.
Dengan demikian, fungsi $f$ akan minimum bila $\cot \theta = 2$, dan kita akan peroleh
$f_{\text{min}}(\theta) = 5 + 4\left(\dfrac12\right) + 2 = 9$.
Jadi, terbukti bahwa nilai minimum bagi $OA+OB$ adalah $9$.
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut kembali.

Kita peroleh pada $\triangle ACP$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{PC}{AP} = \dfrac{1}{AP} \\ AP & = \dfrac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \end{aligned}$
Pada $\triangle BDP$, berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{DP}{PB} = \dfrac{4}{PB} \\ PB & = \dfrac{4}{\cos \theta} = 4 \sec \theta \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} AB & = PB + AP \\ & = 4 \sec \theta + \csc \theta \end{aligned}$
Terbukti.
Selanjutnya, akan dicari nilai minimum bagi $AB$.
Misalkan $f(\theta) = AB = 4 \sec \theta + \csc \theta$.
Agar $f(\theta)$ bernilai minimum, maka harus dibuat $f'(\theta) = 0$, yaitu
$$\begin{aligned} \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot} 4(\sec \theta \tan \theta)+(-\csc \theta \cot \theta) & = 0 \\ 4\left(\dfrac{1}{\cos \theta} \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)-\left(\dfrac{1}{\sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right) & = 0 \\ \dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} & = \dfrac{4 \sin \theta}{\cos^2 \theta} \\ \cos^3 \theta & = 4 \sin^3 \theta \\ \cot^3 \theta & = 4 \\ \cot \theta & = \sqrt[3]{4} \\ \theta & = \arccot \sqrt[3]{4} \\ \theta & \approx 32,21^{\circ}~~~(*) \end{aligned}$$Untuk $\theta = 32,21^{\circ}$, kita dapatkan
$\begin{aligned} f_{\text{min}}(\theta) & = f(32,21^{\circ}) \\ & = 4 \sec 32,21^{\circ} + \csc 32,21^{\circ} \\ & \approx 1,876 + 4,728~~~(*) \\ & = 6,604 \approx 6,60 \end{aligned}$
Catatan: $(*)$ Dipersilakan untuk menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai pada bagian ini.

Jadi, nilai minimum $AB$ sampai dua angka di belakang koma adalah $\boxed{6,60}$

[collapse]

One Reply to “Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *