Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Turunan (Diferensial). Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Semoga bermanfaat. 

Today Quote

Belajarlah selagi napas masih berhembus. Gapailah bintang selama tulang masih kokoh.

Baca: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar)

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g(x)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h(x)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{aligned} f(x) & = x(4x^2-8x+24) \\ & = 4x^3-8x^2+24x \\ g(x) & = 40x \\ h(x) & = g(x) -f(x) \\ & = 40x -(4x^3-8x^2+24x) \\ & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \end{aligned}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h'(x)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} h(x) & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \\ h'(x) & = -12x^2 + 16x + 16 \\ 0 & = -12x^2+16x+16 \\ \text{Bagi}~& \color{red}{\text{kedua ruas dengan -4}} \\  0 & = 3x^2 -4x -4 \\ 0 & = (3x+2)(x-2) \end{aligned}$
Diperoleh $x = -\dfrac{2}{3}$ atau $x = 2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h(x)$. 
$\begin{aligned} h(2) & = -4(2)^3 + 8(2)^2 + 16(2) \\ & = -4(8) + 8(4) + 32 = 32 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right)$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right) \\ & = 2x^2 -600x + 30 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 4x -600 & = 0 \\ 4x & = 600 \\ x & = 150 \end{aligned}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\boxed{150~\text{hari}}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left(3x -180 + \dfrac{5.000}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$       

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(3x – 180 + \dfrac{5.000}{x} \right) \\ & = 3x^2- 180x + 5.000 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 6x -180 & = 0 \\ 6x & = 180 \\ x & = 30 \end{aligned}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{aligned}f(30) & = 3(30)^2 -180(30) + 5.000 \\ & = 2.700 -5.400 + 5.000 = 2.300 \end{aligned}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\boxed{\text{230 juta rupiah}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h(t) = 120t -5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                       C. $670$                   E. $770$
B. $320$                        D. $720$   

Pembahasan

Diketahui: $h(t) = 120t -5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h'(t) = 120 -10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h'(t) = 0$, sehingga ditulis
$120 – 10t = 0 \Leftrightarrow 10t = 120 \Leftrightarrow t = 12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t = 12$, yaitu
$\begin{aligned} h(12) & = 120(12) -5(12)^2 \\ & = 1440 -720 = 720 \end{aligned}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $\boxed{720~\text{meter}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                        C. $10$                     E. $13$
B. $8$                        D. $12$           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{aligned} k & = 2(p + l) \\ 2x + 24 & = 2(p + 8 -x) \\ x + 12 & = p + 8 -x \\ p & = 2x + 4 \end{aligned}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{aligned} L(x) & = p \times l \\ & =(2x+4)(8-x) \\ & = -2x^2 + 12x + 32 \end{aligned}$ 
Luas akan maksimum saat $L'(x) = 0$, sehingga
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -4x + 12 & = 0 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Saat $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} p & = 2x + 4 \\ p & = 2(3) + 4 = 10 \end{aligned}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $\boxed{10~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume $\text{108 cm}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $3$                         C. $6$                      E. $12$
B. $4$                         D. $8$         

Pembahasan

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{aligned} V & = 108 \\ x \cdot x \cdot t & = 108 \\ x^2 \cdot t & = 108 \\ t & = \dfrac{108}{x^2} \end{aligned}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} L(x) & = 4(x \cdot t) + (x \cdot x) \\ & = 4xt + x^2 \\ & = 4x\left(\dfrac{108}{x^2}\right) + x^2 \\ & = 432x^{-1} + x^2 \end{aligned}$
Luas permukaan akan minimum saat $L'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -432x^{-2} + 2x & = 0 \\ 2x & = 432x^{-2} \\ x^3 & = 216 \\ x & = \sqrt[3]{216} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas $300~\text{cm}^2$. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $100$                              D. $10\sqrt{\pi}$
B. $120$                              E. $20\sqrt{\pi}$
C. $100\pi$

Pembahasan

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 300 \\ \pi r^2 + 2\pi rt & = 300 \\ 2\pi rt & = 300 -\pi r^2 \\ t & = \dfrac{300 -\pi r^2}{2\pi r} \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{aligned} V(r) & = \pi r^2 t \\ & = \cancelto{r}{\pi r^2}\left(\dfrac{300- \pi r^2}{2\cancel{\pi r}}\right) \\ & = \dfrac{r} {2}(300 -\pi r^2) \\ & = 150r- \dfrac{1}{2}\pi r^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 150 -\dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 150 \\ \pi r^2 & = 150 \times \dfrac{2}{3} = 100 \end{aligned}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $\boxed{100~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal UN Matematika IPA Tahun 2015, modifikasi)
Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara $40~\text{cm}^3/\text{detik}$ dan laju pertambahan jari-jari $20~\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$                            D. $\dfrac{1}{3\sqrt{\pi}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$                          E. $\pi$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40~\text{cm}^3/\text{detik} \\ \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 20~\text{cm}/\text{detik} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, 
sehingga turunannya terhadap $r$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} = 4\pi r^2$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 40 \\ 4\pi r^2 \cdot 20 & = 40 \\ 80\pi r^2 & = 40 \\ r^2 & = \dfrac{1}{2\pi} \\ r & = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p = 25~\text{meter}$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{aligned} k & = 500 \\ 4(p + l + t) & = 500 \\ 25 + l + t & = 125 \\ l + t & = 100 \\ l & = 100 -t \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{aligned} V(t) & = p \times l \times t \\ & = 25 \times (100 -t) \times t \\ & = 2.500t -25t^2 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(t) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(t) & = 0 \\ 2.500 -50t & = 0 \\ 50t & = 2.500 \\ t & = 50 \end{aligned}$
Untuk $t = 50$, maka $l = 100-50 = 50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 10
Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas $96~\text{cm}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54~\text{cm}^3$                          D. $84~\text{cm}^3$
B. $64~\text{cm}^3$                          E. $94~\text{cm}^3$
C. $74~\text{cm}^3$

Pembahasan

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p = l = x$.



Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 2(pl + pt + lt) \\ 96 & = 2(x^2 + tx + tx) \\ 48 & = x^2 + 2tx \\ 2tx & = 48 -x^2 \\ t & = \dfrac{48-x^2}{2x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = p \times l \times t \\ V(x) & = x \times \cancel{x} \times \dfrac{48-x^2}{2\cancel{x}} \\ V(x) & = 24x – \dfrac{1}{2}x^3 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(x) = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 24 -\dfrac{3}{2}x^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}x^2 & = 24 \\ x^2 & = 24 \times \dfrac{2}{3} = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V(4) = 24(4) -\dfrac{1}{2}(4)^3 = 96 -32 = 64~\text{cm}^3$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah talang air berbentuk kerucut terbalik memiliki jari-jari $12~\text{cm}$ dan tinggi $18~\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\dfrac{27}{100\pi}~\text{cm}/\text{detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\cdots~\text{cm}^3/\text{detik}$. 
A. $3$                          C. $4$                      E. $5$
B. $3,5$                       D. $4,5$          

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r & = 12~\text{cm} \\ h & = 18~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} & = \dfrac{27}{100\pi}~\text{cm}/\text{detik} \end{aligned}$
Hubungan jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\dfrac{r} {h} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{2h} {3}$
Dengan demikian, volume kerucut bila dinyatakan sebagai fungsi terhadap variabel $h$ adalah
$\begin{aligned} V(h) & = \dfrac{1}{3}\pi r^2h \\ & = \dfrac{1}{3} \pi \left(\dfrac{2h} {3}\right)^2h \\ & = \dfrac{4\pi h^3}{27} \end{aligned}$
Turunan pertama $V$ terhadap $h$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} = \dfrac{12\pi h^2}{27} = \dfrac{4\pi h^2}{9}$
Turunan pertama $V$ terhadap $t$ adalah
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{4\cancel{\pi} h^2}{\cancel{9}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{27}}{100\cancel{\pi} } =\dfrac{3h^2}{25}$
Untuk $h = 5$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{3(5)^2}{25} = 3$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $3~\text{cm}^3/\text{detik}$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Selembar kertas HVS memiliki luas $54~\text{cm}^2$. Sukardi akan menggunakan kertas tersebut untuk mengetik surat undangan. Apabila margin (batas pengetikan) bagian atas dan bawah $1$ cm, sedangkan margin sampingnya $1,5$ cm, maka panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikannya maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. $9 \times 6$                  D. $9 \times 9$
B. $6 \times 9$                  E. $12 \times 6$
C. $6 \times 6$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $A$ menyatakan luas kertas, $p$ menyatakan panjang kertas, dan $l$ menyatakan lebar kertas. Nyatakan $l$ dalam $p$ dengan menggunakan luas kertas yang diketahui nilainya. 

$\begin{aligned} A & = p \times l \\ 54 & = p \times l \\ l & = \dfrac{54}{p} \end{aligned}$
Misalkan $L$ menyatakan luas daerah pengetikan. Nyatakan $L$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$. 
$\begin{aligned} L(p) & = (p-3)(l – 2) \\ & = (p-3)\left(\dfrac{54}{p} -2\right) \\ & = 60 -\dfrac{162}{p} – 2p \end{aligned}$
Agar $L(p)$ maksimum, turunan pertamanya harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} L'(p) & = 0 \\ \dfrac{162}{p^2} -2 & = 0 \\ 2p^2 & = 162 \\ p^2 & = 81 \\ p & = 9 \end{aligned}$
Untuk $p=9$, berarti $l = \dfrac{54}{9} = 6$
Jadi, panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{9~\text{cm}}$ dan $\boxed{\text{6 cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{aligned} U(x) & = x(20-x)-(x^2+4x+10) \\ & = 20x -x^2 -x^2 -4x + 10 \\ & = -2x^2 + 16x -10 \end{aligned}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U'(x) = 0$
$\begin{aligned} U'(x) & = 0 \\ -4x + 16 & = 0 \\ 4x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{aligned} U(4) & = -2(4)^2 + 16(4) -10 \\ & = -32 + 64 -10 = 22 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots~\text{cm}^3$.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0 < x < 15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = plt \\ & = (30-2x) (30-2x)x \\ & = 4x^3 -120x^2 + 900x \end{aligned}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V'(x) = 0$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 12x^2 -240x + 900 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 12} \\ x^2 -20x + 75 & = 0 \\ (x -15)(x -5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 15$ (tidak memenuhi) atau $x = 5$. 
Untuk $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} V(5) & = 900(5) -120(5)^2 + 4(5)^3 \\ & = 4.500 -3.000 + 500 = 2.000 \end{aligned}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\boxed{2.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 15
Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas $324~\text{m}^2$ untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika lebar kandang $9$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
  2. Jika lebar kandang $22$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum 
  3. Jika panjang kandang $36$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
  4. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00
  5. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp432.000,00

Pembahasan

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $(p)$ dan lebar $(l)$
$L = p \times l \Rightarrow l = \dfrac{324}{p}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling, sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $(k)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{aligned} k & = 2p + 2l \\ & = 2p + 2\left(\dfrac{324}{p}\right) \\ & = 2p + \dfrac{648}{p} \end{aligned}$
$k$ akan maksimum saat $\dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} = 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\  0 & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\ \dfrac{648}{p^2} & = 2 \\ p^2 & = \dfrac{648}{2} = 324 \\ p & = \sqrt{324} = 18 \end{aligned}$
Untuk $p = 18~\text{meter}$, diperoleh
$l = \dfrac{324}{18} = 18$.
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}} = 2(p + l) = 2(18 + 18) = 72~\text{m}$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72 \times \text{Rp}12.000,00 = \text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

[collapse]

Soal Nomor 16
Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik tanpa tutup seperti gambar berikut.

Wadah tersebut berisi air dan diletakkan di halaman rumah. Pada siang hari yang terik, air dari dalam wadah tersebut menguap sehingga ketinggian air berubah dengan kecepatan penguapan $\dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$. 
Laju perubahan volume pada saat ketinggian air $5$ cm adalah $\cdots$ cm/jam. 
A. $\dfrac52$                       C. $\dfrac53$                       E. $\dfrac25$
B. $\dfrac54$                       D. $\dfrac45$      

Pembahasan

Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h= 10$ cm, diperoleh $r = 10$ cm. 
Dengan demikian, 
Saat $h = 5$ cm, diperoleh $r = 5$ cm. 
Diketahui bahwa laju penguapan/perubahan ketinggian terhadap waktu $t$ adalah
$\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$ 
Laju perubahan volume didapat dengan menurunkan fungsi volume kerucut $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t$. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ & = \dfrac{1}{\bcancel{3}}\cancel{\pi} r^2 \cdot \dfrac{\bcancel{3}}{10\cancel{\pi}} \\ & = \dfrac{5^2}{10} = \dfrac{5}{2}~\text{cm/jam} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan volume pada saat ketinggian air 5 cm adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}~\text{cm/jam}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah $\sqrt5$. Panjang sisi lainnya adalah $x$ dan $y$. Nilai maksimum untuk $2x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                                D. $7$
B. $4+\sqrt3$                     E. $7+\sqrt3$
C. $5+\sqrt3$

Pembahasan

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku
$x^2 + y^2 = (\sqrt5)^2 = 5$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$y = \sqrt{5-x^2}$
Misalkan
$f(x) = 2x + y = 2x + \sqrt{5-x^2}$
Agar $f(x)$ maksimum, nilai turunan pertamanya harus $0$, sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 2 -\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5-x^2}} \cdot (-2x) & = 0 \\ 2 -\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}} & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} -x & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} & = x \\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ 4(5-x^2) & = x^2 \\ 20 -4x^2 & = x^2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$y = \sqrt{5 -(2)^2} = 1$
Dengan demikian, nilai maksimum dari $2x+y$ adalah $\boxed{2(2)+1=5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Total penjualan suatu barang $(k)$ merupakan perkalian antara harga $(p)$ dan permintaan $(x)$ yang dinyatakan dengan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x$ dalam jutaan rupiah dan $1 \leq x \leq 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan

Diberikan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x$, diperoleh
$k = (90 -3x)x = -3x^2 + 90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\dfrac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k}{\text{d}x} & = -6x + 90 \\ 0 & = -6x + 90 \\ 6x & = 90 \\ x & = 15 \end{aligned}$
Nilai $x = 15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k = -3x^2 + 90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}} = -3(15)^2 + 90(15) = 675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $k\pi~\text{cm}^2$ adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi~\text{cm}^3$. Nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                      C. $12$                   E. $18$
B. $8$                      D. $16$          

Pembahasan

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi~\text{cm}^2$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = k\pi \\ \pi r^2 + 2\pi r t & = k\pi \\ \cancel{\pi} (r^2 + 2rt) & = k\cancel{\pi} \\ r^2 + 2rt & = k && (\cdots 1) \end{aligned}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi~\text{cm}^3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} & = 8\pi \\ \cancel{\pi}r^2t & = 8\cancel{\pi} \\ r^2t & = 8 \\ t & = \dfrac{8}{r^2}~~~~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Substitusikan $(2)$ ke $(1)$, diperoleh
$\begin{aligned} r^2 + 2r \left(\dfrac{8}{r^2} \right) & = k \\ r^2 + \dfrac{8}{r} & = k \\ r^3 -kr + 8 & = 0 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $f(r) = r^3 -kr + 8$. Volume tabung akan minimum saat $f'(r) = 0$, yaitu
$3r^2 – k = 0 \Leftrightarrow k = 3r^2$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2$. 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $(1)$. 
$\begin{aligned} r^2 + 2rt & = k \\ r^2 + 2rt & = 3r^2 \\ 2r^2 -2rt & = 0 \\ 2r(r- t) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = t$. 
Terakhir, substitusikan ke $(2)$. 
$\begin{aligned} t & = \dfrac{8}{r^2} \\ tr^2 & = 8 \\ (r)r^2 & = 8 \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\boxed{k = 3r^2 = 3(2)^2 = 12}$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 20
Sepotong kawat yang panjangnya $52~\text{cm}$ dibuat trapesium sama kaki seperti gambar berikut.

  1. Tunjukkan bahwa $L = 104x-20x^2$ di mana $L$ menyatakan luas trapesium.
  2. Tentukan nilai $x$ dan $y$ agar luasnya maksimum. 
  3. Tentukan luas maksimumnya.

Pembahasan

Nyatakan $y$ dalam $x$ dengan menggunakan keliling trapesium ($k$). 
$\begin{aligned} k & = 5x + y + 5x + (6x + y) \\ 52 & = 16x + 2y \\ 26 & = 8x + y \\ y & = 26 – 8x \end{aligned}$
Tinggi trapesium dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$t = \sqrt{(5x)^2-(3x)^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$
Jawaban a)
Nyatakan luas trapesium ($L$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} L & = \dfrac{(6x + y) + y} {2} \times 4x \\ & = 12x^2 + 4xy \\ & = 12x^2 + 4x(26-8x) \\ & = 104x – 20x^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $L = 104x-20x^2$. 
Jawaban b) 
Agar luas maksimum, haruslah $L'(x) = 0$. 
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ 104 – 40x & = 0 \\ 40x & = 104 \\ x & = \dfrac{104}{40} = \dfrac{13}{5} \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{13}{5}$, diperoleh
$y = 26 -8 \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{130 -104}{5} = \dfrac{26}{5}$
Jadi, nilai $x$ dan $y$ agar luas maksimum berturut-turut adalah $\dfrac{13}{5}~\text{cm}$ dan $\dfrac{26}{5}~\text{cm}$. 
Jawaban c) 
Substitusikan $x = \dfrac{13}{5}$ pada $L(x)$. 
$\begin{aligned} L\left(\dfrac{13}{5}\right) & = 104\left(\dfrac{13}{5}\right) – 20 \left(\dfrac{13}{5}\right)^2 \\ & = \dfrac{1.352}{5} -\dfrac{676}{5} \\ & = \dfrac{676}{5} = 135,2 \end{aligned}$
Jadi, luas maksimumnya adalah $\boxed{135,2~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ dari titik asal $t$ detik dinyatakan oleh rumus $s = 1,5t^2 + 0,6t$ ($s$ dalam meter dan $t$ dalam detik).

  1. Tentukanlah $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t}$.
  2. Tentukan kecepatan sesaat pada waktu $t = 0,3$ detik.  
  3. Carilah waktu yang diperlukan sehingga kecepatan sesaatnya mencapai $6,6$ meter/detik.

Pembahasan

Jawaban a) 
Turunan pertama $s$ terhadap variabel $t$ dinyatakan oleh
$\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6$
Jawaban b) 
Saat $t = 0,3$, substitusi pada persamaan $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6$ menghasilkan
$3(0,3) + 0,6 = 1,5$
Jadi, kecepatan sesaatnya adalah $1,5$ meter/detik. 
Jawaban c) 
Diketahui $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 6,6$. Dengan demikian, ditulis
$6,6 = 3t + 0,6 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2$
Jadi, waktu yang diperlukan adalah $2$ detik.

[collapse]

Soal Nomor 22
Gambar berikut menunjukkan sebuah kaleng (silinder) dan penutupnya (arsiran) menutup kaleng sedalam $2$ cm.

Jika luas permukaan kaleng $448\pi~\text{cm}^2$, jari-jari alas $x~\text{cm}$, dan tinggi $h~\text{cm}$.

  1. Tunjukkan bahwa $x^2+hx+2x=224$.
  2. Deduksikan dalam $x$ dan $\pi$ untuk volume kaleng. Jika $x$ berubah, tentukan nilai $x$ saat volume kaleng maksimum. Hitunglah nilai maksimum itu.

Pembahasan

Jawaban a) 
Diketahui tinggi tabung ditambah dengan tinggi tutup kaleng adalah $(h+2)~\text{cm}$. 
Nyatakan luas permukaan tabung dalam $h$ dan $x$. 
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = 2\pi r(r + t) \\ 448\cancel{\pi} & = 2\cancel{\pi}x(x + (h+2)) \\ 224 & = x^2 + hx + 2x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $x^2+hx+2x=224$. 
Jawaban b) 
Pertama-tama, nyatakan $h$ dalam $x$ dengan memanfaatkan persamaan $\color{red}{x^2+hx+2x=224}$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} x^2+hx+2x & = 224 \\ hx & = 224-x^2-2x \\ h & = \dfrac{224-x^2-2x} {x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume tabung ($V$) dalam variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = \pi r^2t \\ & = \pi x^2h \\ & = \pi \cancelto{x} {x^2} \left(\dfrac{224-x^2-2x} {\cancel{x}}\right) \\ & = \pi x(224-2x-x^2) \\ & = 224\pi x – 2\pi x^2 -\pi x^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 224\pi – 4\pi x -3\pi x^2 & = 0 \\ \color{blue}{\text{Bagi kedua ruas}}~& \color{blue}{\text{dengan}~-\pi} \\ 3x^2 + 4x -224 & = 0 \\ (x-8)(3x+28) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 8$ atau $x = -\dfrac{28}{3}$. Karena $x$ mewakili ukuran panjang, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, dipilih $x = 8$. 
Nilai $x$ jika volume tabung maksimum adalah $\boxed{8}$. 
Volume tabung untuk $x = 8$ adalah
$\begin{aligned} V(8)& = 224\pi(8) -2\pi(8)^2 -\pi(8)^3 \\ & = 8\pi(224 -16 -64) \\ & = 8\pi (144) = 1.152\pi \end{aligned}$
Jadi, volume maksimum kaleng (tabung) tersebut adalah $\boxed{1.152~\text{cm}^3}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Sebuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter $24$ cm. Wadah tersebut berisi alkohol setinggi $h$ cm. Oleh karena alkohol tersebut menguap, tinggi alkohol berkurang dengan laju $0,001$ cm/detik.

  1. Tentukan persamaan luas permukaan alkohol bagian atas.
  2. Hitunglah laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol $6$ cm.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jawaban a)
Diameter wadah itu adalah 24 cm, sehingga $OB = OC = OD = 12$ cm (jari-jari bola) dan $OA = (12 -h)$ cm. Misalkan $AC = r$, maka dapat dinyatakan hubungan $r$ dan $h$ melalui $\triangle OAC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras, yakni
$\begin{aligned} AC^2 & = OC^2 -OA^2 \\ r^2 & = 12^2 -(12 -h)^2 \\ r^2 & = \cancel{12^2} -(\cancel{12^2} + h^2 – 24h) \\ r^2 & = 24h -h^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas permukaan alkohol (berbentuk lingkaran) dapat dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} L & = \pi r^2 = \pi (24h -h^2) \\ & = (24\pi h-\pi h^2)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui laju perubahan ketinggian alkohol sebagai $\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = 0,001$ cm/detik, maka laju perubahan luas permukaan alkohol dapat dinyatakan sebagai
$\dfrac{\text{d}L}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}L}{\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = (24\pi -2\pi h) \cdot 0,001$
Dengan demikian, pada saat ketinggian alkohol $h = 6$ cm, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\text{d}L}{\text{d}t}\right)_{h = 6} & = (24\pi- 2(\pi)(6)) \cdot 0,001 \\ & = 12\pi \cdot 0,001 \\ & = 0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah $\boxed{0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik}}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar berikut! 

Air dituangkan ke bak berbentuk kerucut dengan laju pertambahan volume air $100~\text{cm}^3/\text{detik}$. Jika tinggi bak itu $100~\text{cm}$ dan jari-jari permukaan atas $50~\text{cm}$, tentukan laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya $40~\text{cm}$.

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} t & = 100~\text{cm} \\ r & = 50~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} & = 100~\text{cm}^3/\text{detik} \end{aligned}$
Ditanya: $\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \cdots?$
Hubungan tinggi kerucut $t$ dan jari-jari permukaan atas $r$ diberikan oleh
$\dfrac{t} {r} = \dfrac{100}{50} \Rightarrow t = 2r$
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2t \\ \text{Substitusi}~&t = 2r \\ V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2(2r) \\ V & = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} & = 2 \pi r^2 \end{aligned}$
Karena permukaan air berbentuk lingkaran, maka luasnya ditentukan oleh rumus $L = \pi r^2$. Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}T} \\ & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}V} \cdot \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} \\ & = 2\pi r \cdot \dfrac{1}{2\pi r^2} \cdot 100 \\ & = \dfrac{100}{r} \end{aligned}$
Saat tinggi $t = 40~\text{cm}$, diperoleh $r = 20~\text{cm}$, sehingga
$\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \dfrac{100}{20} = 5$
Jadi, laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya $40~\text{cm}$ adalah $\boxed{5~\text{cm}^2/\text{detik}}$

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri

CategoriesKalkulus DiferensialTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *