Teknik Pembuktian: Definisi dan Terminologi Matematika

Berikut ini merupakan sejumlah soal dan pembahasan mengenai teknik pembuktian: definisi dan terminologi matematika yang sumbernya dominan berasal dari buku berjudul “How to Read and Do Proofs” karya Daniel Solow.

Quote by Mahatma Gandhi

If I have the belief that I can do it, I shall surely acquire the capacity to do it even if I may not have it at the beginning.

Soal Nomor 1

Untuk setiap konklusi berikut, buatlah satu pertanyaan kunci. Kemudian gunakan definisi untuk (1) menjawab pertanyaan tersebut secara abstrak dan (2) menerapkan jawabannya pada persoalan yang diberikan.

  1. Jika $n$ adalah bilangan ganjil, maka $n^2$ adalah bilangan ganjil.
  2. Jika $s$ dan $t$ adalah bilangan rasional dengan $t \neq 0,$ maka $\dfrac{s}{t}$ rasional.
  3. Misalkan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ adalah bilangan real dengan $ad-bc \neq 0.$ Jika $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah pasangan bilangan real yang memenuhi
    $$\begin{cases} ax_1 + by_1 = e, &~~~~ cx_1 + dy_1 = f, \\ ax_2 + by_2 = e, &~~~~ cx_2 + dy_2 = f, \end{cases}$$maka $(x_1, y_1)$ sama dengan $(x_2, y_2).$

Pembahasan

Jawaban a)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n^2$) termasuk bilangan ganjil?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut dapat dituliskan sebagai dua kalinya dari bilangan bulat tertentu ditambah satu.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n^2 = 2k + 1$ dengan $k \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan real (yaitu $s/t$) termasuk bilangan rasional?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan real tersebut dapat dituliskan sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $\dfrac{s}{t} = \dfrac{p}{q}$ untuk $p, q$ adalah bilangan bulat dan $q \neq 0.$
Jawaban c)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pasangan bilangan real (yaitu $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$) sama?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa elemen pertama dan kedua dari satu pasangan bilangan real sama dengan elemen yang bersesuaian pada pasangan bilangan real yang lain.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $x_1 = x_2$ dan $y_1 = y_2.$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Soal Nomor 2

Untuk setiap konklusi dari kalimat bersyarat berikut, buatlah satu pertanyaan kunci. Kemudian gunakan definisi untuk (1) menjawab pertanyaan tersebut secara abstrak dan (2) menerapkan jawabannya pada persoalan yang diberikan.

  1. Jika $n$ adalah bilangan bulat dengan $n^2$ genap, maka $n$ juga genap.
  2. Jika $n$ adalah bilangan bulat $\geq 1$ dengan $2^n-1$ prima, maka $n$ juga prima.
  3. Jika $(n-1), n,$ dan $(n+1)$ adalah tiga bilangan bulat berurutan, maka $9$ membagi habis jumlah kubik dari ketiganya.

Pembahasan

Jawaban a)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n$) termasuk bilangan genap?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut dapat dituliskan sebagai dua kalinya dari bilangan bulat tertentu.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n = 2k$ dengan $k \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n$) termasuk bilangan prima.
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut lebih besar dari $1$ dan hanya bisa dibagi habis oleh $1$ dan dirinya sendiri.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n > 1$ dan jika $k$ adalah bilangan bulat yang membagi habis $n,$ maka $k = 1$ atau $k = n.$
Jawaban c)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $9$) membagi habis bilangan bulat yang lain (yaitu $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$)?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat yang dibagi tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan bulat pembagi dan bilangan bulat lainnya.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa persamaan $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 9k$ benar untuk suatu bilangan bulat $k.$

[collapse]

Soal Nomor 3

Untuk masing-masing pernyataan berikut, dapatkan pernyataan baru pada proses mundur dengan menggunakan definisi untuk menjawab pertanyaan kunci. Jika perlu, tulis ulang definisi yang ada sehingga tidak ada notasi yang tumpang-tindih.

  1. Bilangan bulat $m > 1$ adalah prima.
  2. $p^2$ genap ($p$ adalah bilangan bulat).
  3. Segitiga $ABC$ adalah segitiga sama sisi.
  4. $\sqrt{n}$ rasional ($n$ adalah bilangan bulat).
  5. $z$ adalah pembuat maksimum (maximizer) dari fungsi $g.$

Pembahasan

Misalkan $\textbf{B}$ adalah konklusi sehingga kita menggunakan notasi $\textbf{B1}$ untuk menyatakan pernyataan baru yang didapat dari definisi pada proses mundur.
Jawaban a)
$\textbf{B1}:$ Bilangan bulat positif $k > 1$ yang membagi habis $m$ hanya $1$ dan $m$ itu sendiri.
Jawaban b)
$\textbf{B1}:$ Terdapat bilangan bulat $k$ yang memenuhi $p^2 = 2k.$
Jawaban c)
$\textbf{B1}:$ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC}$ (atau $\angle A = \angle B = \angle C$).
Jawaban d)
$\textbf{B1}:$ $\sqrt{n}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p, q \in \mathbb{Z}$ dan $q \neq 0.$
Jawaban e)
$\textbf{B1}:$ Untuk setiap $x \in D_g,$ berlaku $g(x) \leq g(z).$

[collapse]

Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika

Soal Nomor 4

Untuk masing-masing hipotesis dari kalimat bersyarat berikut, gunakan definisi untuk bekerja maju satu langkah.

  1. Jika $n$ adalah bilangan ganjil, maka $n^2$ juga ganjil.
  2. Jika $s$ dan $t$ adalah bilangan rasional dengan $t \neq 0,$ maka $\dfrac{s}{t}$ juga rasional.
  3. Jika segitiga siku-siku $XYZ$ yang memenuhi $\sin (X) = \cos (X),$ maka segitiga $XYZ$ sama kaki.
  4. Jika $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $a \mid b$ dan $b \mid c,$ maka $a \mid c.$
  5. Jika $f$ adalah fungsi satu variabel dengan $f(x) = ax + b$ untuk $a, b \in \mathbb{R},$ maka fungsi tersebut adalah fungsi naik ketat (strictly increasing function).

Pembahasan

Misalkan $\textbf{A}$ adalah hipotesis sehingga kita menggunakan notasi $\textbf{A1}$ untuk menyatakan pernyataan baru yang didapat dari definisi pada proses maju.
Jawaban a)
$\textbf{A1}:$ Terdapat bilangan bulat $k$ yang memenuhi $n = 2k + 1.$
Jawaban b)
$\textbf{A1}:$ $s = \dfrac{a}{b}$ dan $t = \dfrac{c}{d}$ dengan $b, c, d \neq 0.$
Jawaban c)
$\textbf{A1}:$ $\dfrac{x}{z} = \dfrac{y}{z}$ (atau $x = y$).
Jawaban d)
$\textbf{A1}:$ $b = ka$ dan $c = mb$ untuk bilangan bulat $k$ dan $m.$
Jawaban e)
$\textbf{A1}:$ Ambil sembarang $x^\ast, y^\ast \in D_f$ sedemikian sehingga $x^\ast < y^\ast.$ Akan ditunjukkan bahwa $ax^\ast + b < ay^\ast + b.$

[collapse]

Soal Nomor 5

Gunakan definisi untuk bekerja maju satu langkah dari setiap pernyataan berikut.

  1. Jika $n$ adalah bilangan bulat $\geq 1$ dengan $2^n-1$ prima, maka $n$ juga prima.
  2. Untuk himpunan $R, S,$ dan $T,$ $R = S \cup T.$
  3. Untuk fungsi $f$ dan $g,$ fungsi $f + g$ konveks dengan $f + g$ adalah fungsi yang nilainya di setiap titik sembarang $x$ adalah $f(x) + g(x).$
  4. Untuk fungsi $f$ dan $g$ serta himpunan $S$ dan $T,$ fungsi $f \geq g$ ada pada $S \cap T.$

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk setiap bilangan bulat $k$ dengan $1 < k < 2^{n-1},$ $\dfrac{2^n-1}{k}$ bukan bilangan bulat (atau $k$ tidak membagi habis $2^{n-1}$).
Jawaban b)
$R \subseteq S \cup T$ dan $S \cup T \subseteq R.$
Jawaban c)
Untuk setiap bilangan real $x, y,$ dan $t$ dengan $0 \leq t \leq 1,$ berlaku
$$(f + g)(tx + (1-t)y) \leq t(f + g)(x) + (1-t)(f + g)(y)$$atau dapat ditulis juga sebagai
$$(f + g)(tx + (1-t)y) \leq t(f(x) + g(x)) + (1-t)(f(y) + g(y)).$$Jawaban d)
Untuk setiap anggota $x \in S \cap T,$ berlaku $f(x) \geq g(x).$

[collapse]

Soal Nomor 6

Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan berikut.

  1. Konvers dari “$A$ mengimplikasikan $B.$”
  2. Invers dari “$A$ mengimplikasikan $B.$”

Bagaimana hubungan dari (a) dan (b)?

Pembahasan

Notasi $B$ menyatakan benar dan $S$ menyatakan salah pada tabel kebenaran berikut.
Jawaban a)
Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk konvers dari “$A$ mengimplikasikan $B,$” yaitu $B$ mengimplikasikan $A.$
$$\begin{array}{cccc} \hline A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & T \\ F & T & T & F \\ F & F & T & T \\ \hline \end{array}$$Jawaban b)
Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk invers dari “$A$ mengimplikasikan $B,$” yaitu $\neg A$ mengimplikasikan $\neg B.$
$$\begin{array}{cccccc} \hline A & B & \neg A & \neg B & A \Rightarrow B & \neg A \Rightarrow \neg B \\ \hline T & T & F & F & T & T \\ T & F & F & T & F & T \\ F & T & T & F & T & F \\ F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array}$$Dari dua tabel kebenaran di atas, tampak bahwa $B \Rightarrow A$ dan $\neg A \Rightarrow \neg B$ memiliki nilai kebenaran yang sama. Kita simpulkan bahwa konvers dan invers dari “$A$ mengimplikasikan $B$” ekuivalen (setara).

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Operasi Logika dan Tabel Kebenaran

Soal Nomor 7

Tuliskan pernyataan yang diberikan untuk setiap persoalan berikut.

  1. Kontrapositif dari proposisi, “Jika $n$ adalah bilangan bulat dengan $n^2$ genap, maka $n$ juga genap.”
  2. Invers dari proposisi, “Jika $r$ adalah bilangan real sedemikian sehingga $r^2 = 2,$ maka $r$ bukan rasional.”
  3. Konvers dari proposisi, “Jika segi empat $ABCD$ adalah jajaran genjang dengan salah satu sudutnya siku-siku, maka $ABCD$ adalah persegi panjang.”

Pembahasan

Jawaban a)
Kontrapositif dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg B \implies \neg A.$
Jadi, kontrapositif dari proposisi tersebut adalah “Jika $n$ adalah bilangan bulat ganjil, maka $n^2$ juga ganjil.”
Jawaban b)
Invers dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg A \implies \neg B.$
Jadi, invers dari proposisi tersebut adalah “Jika $r$ adalah bilangan real sedemikian sehingga $r^2 \neq 2,$ maka $r$ rasional.”
Jawaban c)
Konvers dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg B \implies \neg A.$
Jadi, konvers dari proposisi tersebut adalah “Jika segi empat $ABCD$ adalah persegi panjang, maka $ABCD$ adalah jajaran genjang dengan salah satu sudutnya siku-siku.”

[collapse]

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa jika “$A$ mengimplikasikan $B$” dan “$B$ mengimplikasikan $C$”, maka “$A$ mengimplikasikan $C$”.

Pembahasan

Analisis Bukti. Dengan menggunakan metode maju-mundur, kita akan diarahkan untuk menjawab pertanyaan kunci, “Bagaimana saya bisa menunjukkan bahwa suatu pernyataan (yakni $A$) mengimplikasikan pernyataan lain (yakni $C$)?” Sesuai dengan tabel kebenaran implikasi, kita harus menunjukkan bahwa $C$ benar dengan mengasumsikan bahwa $A$ benar. Dalam kasus ini, asumsikan bahwa
$\textbf{A1}: A$ benar,
dan coba tunjukkan konklusinya bahwa
$\textbf{B1}: C$ benar.
Dengan bekerja maju dari informasi yang diberikan pada hipotesis, karena “$A$ mengimplikasikan $B$” benar dan $A$ benar, maka tabel kebenaran implikasi mengharuskan bahwa
$\textbf{A2}: B$ benar.
Karena $B$ benar dan “$B$ mengimplikasikan $C$” benar, kita juga peroleh
$\textbf{A3}: C$ benar.
Jadi, bukti selesai sampai di sini karena kita berhasil menunjukkan bahwa pernyataan $\textbf{A3}$ sama persis dengan $\textbf{B1}.$


Bukti. Untuk menyimpulkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $C$” benar, asumsikan pertama kali bahwa $A$ benar. Dari hipotesis, “$A$ mengimplikasikan $B$” benar sehingga berakibat $B$ benar. Terakhir, karena “$B$ mengimplikasikan $C$” benar dan $B$ benar, maka akibatnya $C$ juga benar. Jadi, bukti selesai.

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan Anda telah membuktikan bahwa “$C$ mengimplikasikan $D$”. Dengan menggunakan pembuktian bahwa implikasi bersifat transitif (lihat nomor sebelumnya), pernyataan implikasi yang melibatkan $E$ apa yang perlu dibuktikan agar pernyataan berikut dapat dibuktikan benar?
a. $C$ mengimplikasikan $E.$
b. $E$ mengimplikasikan $D.$

Pembahasan

Jawaban a)
Buktikan bahwa $D$ mengimplikasikan $E.$
Jadi, kita dapat menuliskannya sebagai
$$(C \Rightarrow D) \wedge (D \Rightarrow E) \Leftrightarrow (C \Rightarrow E).$$Jawaban b)
Buktikan bahwa $E$ mengimplikasikan $C.$
Jadi, kita dapat menuliskannya sebagai
$$(E \Rightarrow C) \wedge (C \Rightarrow D) \Leftrightarrow (E \Rightarrow D).$$

[collapse]

Soal Nomor 10

Buktikan bahwa jika “$A$ mengimplikasikan $B,$” “$B$ mengimplikasikan $C,$” dan “$C$ mengimplikasikan $A,$” maka $A$ ekuivalen dengan $B$ dan $A$ ekuivalen dengan $C.$

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $B,$ satu pertanyaan kunci yang perlu dijawab adalah, “Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen?” Menurut definisi, kita harus menunjukkan bahwa
$\textbf{B1}:$ “$A$ mengimplikasikan $B$” dan “$B$ mengimplikasikan $A$”.
Karena hipotesis menyatakan bahwa “$A$ mengimplikasikan $B,$ kita hanya perlu menunjukkan bahwa
$\textbf{B2}:$ “$B$ mengimplikasikan $A$”.
Pernyataan di atas benar karena dari hipotesis “$B$ mengimplikasikan $C$” dan “$C$ mengimplikasikan $A$.”


Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $C,$ satu pertanyaan kunci yang perlu dijawab adalah, “Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen?” Menurut definisi, kita harus menunjukkan bahwa
$\textbf{B1}:$ “$A$ mengimplikasikan $C$” dan “$C$ mengimplikasikan $A$”.
Karena hipotesis menyatakan bahwa “$C$ mengimplikasikan $A,$ kita hanya perlu menunjukkan bahwa
$\textbf{B2}:$ “$A$ mengimplikasikan $C$”.
Pernyataan di atas benar karena dari hipotesis “$A$ mengimplikasikan $B$” dan “$B$ mengimplikasikan $C$.”

[collapse]

Soal Nomor 11

Anggap terdapat definisi yang dinyatakan sebagai kalimat $A,$ beserta alternatif definisi lain yang dinyatakan sebagai $B, C,$ dan $D.$ Misalkan Anda ingin membuktikan bahwa $A$ ekuivalen dengan tiga alternatif definisi tersebut.

  1. Jelaskan mengapa Anda bisa melakukannya dengan cara membuktikan bahwa “$A$ mengimplikasikan $B,$” “$B$ mengimplikasikan $C,$” “$C$ mengimplikasikan $D,$” dan “$D$ mengimplikasikan $A.$”
  2. Apa keuntungan dari pendekatan pada bagian a di atas jika dibandingkan dengan pembuktian bahwa $A$ ekuivalen dengan $B, C,$ dan $D$ secara terpisah?

Pembahasan

Jawaban a)
Jika keempat kalimat tersebut benar, maka kita bisa membuktikannya bahwa $A$ ekuivalen dengan ketiga kalimat lainnya. Sebagai contoh, jika kita ingin menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $D,$ kita tinggal menunjukkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $D$” karena kita sudah mengetahui bahwa “$D$ mengimplikasikan $A$.”
Perhatikan bahwa “$A$ mengimplikasikan $B,$” “$B$ mengimplikasikan $C,$” dan “$C$ mengimplikasikan $D,$” maka kita simpulkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $D.$” Cara yang sama juga berlaku untuk pembuktian yang lain.
Jawaban b)
Keuntungan dari pendekatan pada bagian a adalah kita hanya perlu melakukan $4$ pembuktian, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|c} \hline A \Rightarrow B & B \Rightarrow C \\ C \Rightarrow D & D \Rightarrow A \\ \hline \end{array}$$Sebagai perbandingan, pembuktian bahwa $A$ ekuivalen dengan $B, C,$ dan $D$ secara terpisah memerlukan $6$ pembuktian, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|c} \hline A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ A \Rightarrow C & C \Rightarrow A \\ A \Rightarrow D & D \Rightarrow A \\ \hline \end{array}$$

[collapse]

Soal Nomor 12

Cermati proposisi berikut.
Jika segitiga siku-siku $RST$ dengan panjang sisi $r$ dan $s$ serta panjang hipotenusa $t$ memenuhi $t = \sqrt{2rs},$ maka segitiga $RST$ sama kaki.


Misalkan Anda ingin membuktikan bahwa, “Jika segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang $a$ dan $b$ serta panjang hipotenusa $c$ memiliki luas $\dfrac{c^2}{4},$ maka segitiga $ABC$ sama kaki.
Dengan menggunakan proposisi yang disebutkan sebelumnya, bagaimana cara Anda membuktikannya?

Pembahasan

Dalam kasus ini, kita tahu bahwa $A \Rightarrow C$ dan akan membuktikan $B \Rightarrow C.$ Kita akan membuktikan bahwa $B \Rightarrow A$ sehingga berakibat $B \Rightarrow C$ juga terbukti benar (atau dapat ditulis, $B \Rightarrow A \Rightarrow C$).
Untuk menggunakan proposisi tersebut, hipotesis dari kalimat implikasi yang ingin kita buktikan, “Segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang $a$ dan $b$ serta panjang hipotenusa $c$ memiliki luas $\dfrac{c^2}{4}$” harus mengimplikasikan hipotesis pada proposisi, “Segitiga siku-siku $RST$ dengan panjang sisi $r$ dan $s$ serta panjang hipotenusa $t$ memenuhi $t = \sqrt{2rs}.$ Dengan menyesuaikan notasi yang digunakan menjadi $r = a, s = b,$ dan $t = c,$ kita harus menunjukkan bahwa $c = \sqrt{2ab}.$

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments