Teknik Pembuktian: Definisi dan Terminologi Matematika

Jawaban a)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n^2$) termasuk bilangan ganjil?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut dapat dituliskan sebagai dua kalinya dari bilangan bulat tertentu ditambah satu.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n^2 = 2k + 1$ dengan $k \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan real (yaitu $s/t$) termasuk bilangan rasional?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan real tersebut dapat dituliskan sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $\dfrac{s}{t} = \dfrac{p}{q}$ untuk $p, q$ adalah bilangan bulat dan $q \neq 0.$
Jawaban c)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pasangan bilangan real (yaitu $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$) sama?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa elemen pertama dan kedua dari satu pasangan bilangan real sama dengan elemen yang bersesuaian pada pasangan bilangan real yang lain.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $x_1 = x_2$ dan $y_1 = y_2.$

Jawaban a)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n$) termasuk bilangan genap?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut dapat dituliskan sebagai dua kalinya dari bilangan bulat tertentu.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n = 2k$ dengan $k \in \mathbb{Z}.$
Jawaban b)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $n$) termasuk bilangan prima.
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat tersebut lebih besar dari $1$ dan hanya bisa dibagi habis oleh $1$ dan dirinya sendiri.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa $n > 1$ dan jika $k$ adalah bilangan bulat yang membagi habis $n,$ maka $k = 1$ atau $k = n.$
Jawaban c)
Pertanyaan Kunci:
Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa suatu bilangan bulat (yaitu $9$) membagi habis bilangan bulat yang lain (yaitu $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$)?
Jawaban Abstrak:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat yang dibagi tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan bulat pembagi dan bilangan bulat lainnya.
Jawaban Spesifik:
Tunjukkan bahwa persamaan $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 9k$ benar untuk suatu bilangan bulat $k.$

Misalkan $\textbf{B}$ adalah konklusi sehingga kita menggunakan notasi $\textbf{B1}$ untuk menyatakan pernyataan baru yang didapat dari definisi pada proses mundur.
Jawaban a)
$\textbf{B1}:$ Bilangan bulat positif $k > 1$ yang membagi habis $m$ hanya $1$ dan $m$ itu sendiri.
Jawaban b)
$\textbf{B1}:$ Terdapat bilangan bulat $k$ yang memenuhi $p^2 = 2k.$
Jawaban c)
$\textbf{B1}:$ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC}$ (atau $\angle A = \angle B = \angle C$).
Jawaban d)
$\textbf{B1}:$ $\sqrt{n}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p, q \in \mathbb{Z}$ dan $q \neq 0.$
Jawaban e)
$\textbf{B1}:$ Untuk setiap $x \in D_g,$ berlaku $g(x) \leq g(z).$

Misalkan $\textbf{A}$ adalah hipotesis sehingga kita menggunakan notasi $\textbf{A1}$ untuk menyatakan pernyataan baru yang didapat dari definisi pada proses maju.
Jawaban a)
$\textbf{A1}:$ Terdapat bilangan bulat $k$ yang memenuhi $n = 2k + 1.$
Jawaban b)
$\textbf{A1}:$ $s = \dfrac{a}{b}$ dan $t = \dfrac{c}{d}$ dengan $b, c, d \neq 0.$
Jawaban c)
$\textbf{A1}:$ $\dfrac{x}{z} = \dfrac{y}{z}$ (atau $x = y$).
Jawaban d)
$\textbf{A1}:$ $b = ka$ dan $c = mb$ untuk bilangan bulat $k$ dan $m.$
Jawaban e)
$\textbf{A1}:$ Ambil sembarang $x^\ast, y^\ast \in D_f$ sedemikian sehingga $x^\ast < y^\ast.$ Akan ditunjukkan bahwa $ax^\ast + b < ay^\ast + b.$

Jawaban a)
Untuk setiap bilangan bulat $k$ dengan $1 < k < 2^{n-1},$ $\dfrac{2^n-1}{k}$ bukan bilangan bulat (atau $k$ tidak membagi habis $2^{n-1}$).
Jawaban b)
$R \subseteq S \cup T$ dan $S \cup T \subseteq R.$
Jawaban c)
Untuk setiap bilangan real $x, y,$ dan $t$ dengan $0 \leq t \leq 1,$ berlaku
$$(f + g)(tx + (1-t)y) \leq t(f + g)(x) + (1-t)(f + g)(y)$$atau dapat ditulis juga sebagai
$$(f + g)(tx + (1-t)y) \leq t(f(x) + g(x)) + (1-t)(f(y) + g(y)).$$Jawaban d)
Untuk setiap anggota $x \in S \cap T,$ berlaku $f(x) \geq g(x).$

Notasi $B$ menyatakan benar dan $S$ menyatakan salah pada tabel kebenaran berikut.
Jawaban a)
Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk konvers dari “$A$ mengimplikasikan $B,$” yaitu $B$ mengimplikasikan $A.$
$$\begin{array}{cccc} \hline A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & T \\ F & T & T & F \\ F & F & T & T \\ \hline \end{array}$$Jawaban b)
Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk invers dari “$A$ mengimplikasikan $B,$” yaitu $\neg A$ mengimplikasikan $\neg B.$
$$\begin{array}{cccccc} \hline A & B & \neg A & \neg B & A \Rightarrow B & \neg A \Rightarrow \neg B \\ \hline T & T & F & F & T & T \\ T & F & F & T & F & T \\ F & T & T & F & T & F \\ F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array}$$Dari dua tabel kebenaran di atas, tampak bahwa $B \Rightarrow A$ dan $\neg A \Rightarrow \neg B$ memiliki nilai kebenaran yang sama. Kita simpulkan bahwa konvers dan invers dari “$A$ mengimplikasikan $B$” ekuivalen (setara).

Jawaban a)
Kontrapositif dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg B \implies \neg A.$
Jadi, kontrapositif dari proposisi tersebut adalah “Jika $n$ adalah bilangan bulat ganjil, maka $n^2$ juga ganjil.”
Jawaban b)
Invers dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg A \implies \neg B.$
Jadi, invers dari proposisi tersebut adalah “Jika $r$ adalah bilangan real sedemikian sehingga $r^2 \neq 2,$ maka $r$ rasional.”
Jawaban c)
Konvers dari $A \Rightarrow B$ adalah $\neg B \implies \neg A.$
Jadi, konvers dari proposisi tersebut adalah “Jika segi empat $ABCD$ adalah persegi panjang, maka $ABCD$ adalah jajaran genjang dengan salah satu sudutnya siku-siku.”

Analisis Bukti. Dengan menggunakan metode maju-mundur, kita akan diarahkan untuk menjawab pertanyaan kunci, “Bagaimana saya bisa menunjukkan bahwa suatu pernyataan (yakni $A$) mengimplikasikan pernyataan lain (yakni $C$)?” Sesuai dengan tabel kebenaran implikasi, kita harus menunjukkan bahwa $C$ benar dengan mengasumsikan bahwa $A$ benar. Dalam kasus ini, asumsikan bahwa
$\textbf{A1}: A$ benar,
dan coba tunjukkan konklusinya bahwa
$\textbf{B1}: C$ benar.
Dengan bekerja maju dari informasi yang diberikan pada hipotesis, karena “$A$ mengimplikasikan $B$” benar dan $A$ benar, maka tabel kebenaran implikasi mengharuskan bahwa
$\textbf{A2}: B$ benar.
Karena $B$ benar dan “$B$ mengimplikasikan $C$” benar, kita juga peroleh
$\textbf{A3}: C$ benar.
Jadi, bukti selesai sampai di sini karena kita berhasil menunjukkan bahwa pernyataan $\textbf{A3}$ sama persis dengan $\textbf{B1}.$

Bukti. Untuk menyimpulkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $C$” benar, asumsikan pertama kali bahwa $A$ benar. Dari hipotesis, “$A$ mengimplikasikan $B$” benar sehingga berakibat $B$ benar. Terakhir, karena “$B$ mengimplikasikan $C$” benar dan $B$ benar, maka akibatnya $C$ juga benar. Jadi, bukti selesai.

Jawaban a)
Buktikan bahwa $D$ mengimplikasikan $E.$
Jadi, kita dapat menuliskannya sebagai
$$(C \Rightarrow D) \wedge (D \Rightarrow E) \Leftrightarrow (C \Rightarrow E).$$Jawaban b)
Buktikan bahwa $E$ mengimplikasikan $C.$
Jadi, kita dapat menuliskannya sebagai
$$(E \Rightarrow C) \wedge (C \Rightarrow D) \Leftrightarrow (E \Rightarrow D).$$

Untuk menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $B,$ satu pertanyaan kunci yang perlu dijawab adalah, “Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen?” Menurut definisi, kita harus menunjukkan bahwa
$\textbf{B1}:$ “$A$ mengimplikasikan $B$” dan “$B$ mengimplikasikan $A$”.
Karena hipotesis menyatakan bahwa “$A$ mengimplikasikan $B,$ kita hanya perlu menunjukkan bahwa
$\textbf{B2}:$ “$B$ mengimplikasikan $A$”.
Pernyataan di atas benar karena dari hipotesis “$B$ mengimplikasikan $C$” dan “$C$ mengimplikasikan $A$.”

Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $C,$ satu pertanyaan kunci yang perlu dijawab adalah, “Bagaimana cara saya menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen?” Menurut definisi, kita harus menunjukkan bahwa
$\textbf{B1}:$ “$A$ mengimplikasikan $C$” dan “$C$ mengimplikasikan $A$”.
Karena hipotesis menyatakan bahwa “$C$ mengimplikasikan $A,$ kita hanya perlu menunjukkan bahwa
$\textbf{B2}:$ “$A$ mengimplikasikan $C$”.
Pernyataan di atas benar karena dari hipotesis “$A$ mengimplikasikan $B$” dan “$B$ mengimplikasikan $C$.”

Jawaban a)
Jika keempat kalimat tersebut benar, maka kita bisa membuktikannya bahwa $A$ ekuivalen dengan ketiga kalimat lainnya. Sebagai contoh, jika kita ingin menunjukkan bahwa $A$ ekuivalen dengan $D,$ kita tinggal menunjukkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $D$” karena kita sudah mengetahui bahwa “$D$ mengimplikasikan $A$.”
Perhatikan bahwa “$A$ mengimplikasikan $B,$” “$B$ mengimplikasikan $C,$” dan “$C$ mengimplikasikan $D,$” maka kita simpulkan bahwa “$A$ mengimplikasikan $D.$” Cara yang sama juga berlaku untuk pembuktian yang lain.
Jawaban b)
Keuntungan dari pendekatan pada bagian a adalah kita hanya perlu melakukan $4$ pembuktian, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|c} \hline A \Rightarrow B & B \Rightarrow C \\ C \Rightarrow D & D \Rightarrow A \\ \hline \end{array}$$Sebagai perbandingan, pembuktian bahwa $A$ ekuivalen dengan $B, C,$ dan $D$ secara terpisah memerlukan $6$ pembuktian, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|c} \hline A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ A \Rightarrow C & C \Rightarrow A \\ A \Rightarrow D & D \Rightarrow A \\ \hline \end{array}$$

Misalkan Anda ingin membuktikan bahwa, “Jika segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang $a$ dan $b$ serta panjang hipotenusa $c$ memiliki luas $\dfrac{c^2}{4},$ maka segitiga $ABC$ sama kaki.
Dengan menggunakan proposisi yang disebutkan sebelumnya, bagaimana cara Anda membuktikannya?

Dalam kasus ini, kita tahu bahwa $A \Rightarrow C$ dan akan membuktikan $B \Rightarrow C.$ Kita akan membuktikan bahwa $B \Rightarrow A$ sehingga berakibat $B \Rightarrow C$ juga terbukti benar (atau dapat ditulis, $B \Rightarrow A \Rightarrow C$).
Untuk menggunakan proposisi tersebut, hipotesis dari kalimat implikasi yang ingin kita buktikan, “Segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang $a$ dan $b$ serta panjang hipotenusa $c$ memiliki luas $\dfrac{c^2}{4}$” harus mengimplikasikan hipotesis pada proposisi, “Segitiga siku-siku $RST$ dengan panjang sisi $r$ dan $s$ serta panjang hipotenusa $t$ memenuhi $t = \sqrt{2rs}.$ Dengan menyesuaikan notasi yang digunakan menjadi $r = a, s = b,$ dan $t = c,$ kita harus menunjukkan bahwa $c = \sqrt{2ab}.$