Materi, Soal, dan Pembahasan – Dekomposisi Pecahan Parsial

     Pecahan parsial (partial fraction) adalah pecahan berbentuk fungsi rasional (polinomial) yang merupakan hasil dari penguraian fungsi rasional yang lebih kompleks. Teknik yang digunakan untuk menguraikan itu selanjutnya dikenal sebagai dekomposisi pecahan parsial (partial fraction decomposition). Umumnya, penyebut pada pecahan parsial akan menjadi lebih sederhana dibandingkan sebelum didekomposisikan.

    Sebagai contoh, hasil dari $\dfrac{1}{2}-\dfrac13 = \dfrac16$. Di sini, kita diminta untuk menghitung hasil dari operasi pengurangan dua buah pecahan. Pecahan $\dfrac12$ dan $\dfrac13$ disebut sebagai pecahan parsial, sedangkan $\dfrac16$ disebut pecahan utama. Kebalikan darinya disebut dengan mendekomposisi, yaitu menuliskan $\dfrac16$ sebagai pengurangan dua buah pecahan berbentuk $\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}$, tetapi pada umumnya dekomposisi menghasilkan beberapa suku pecahan yang saling dijumlahkan. Kita sudah tahu bahwa $A = 2$ dan $B = 3$, tetapi dengan jalan menebak tentu akan memakan waktu dan jelas bukan esensi murni dari matematika. Untuk itu, muncul teknik mendekomposisikan pecahan beserta aturan-aturannya.

Aturan-aturan dari dekomposisi pecahan parsial dapat dilihat pada tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Kasus} & \text{Pecahan}~\dfrac{P(x)}{Q(x)} & \text{Bentuk Pen}\text{yebut} & \text{Bentuk Pecahan Parsial} \\ \hline 1 & \dfrac{P(x)}{(ax + b)(cx + d)} & \text{Faktor Linear} & \dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d} \\ \hline 2 & \dfrac{P(x)}{(ax+b)^2} & \text{Faktor Linear Berulang} & \dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{(ax+b)^2} \\ \hline 3 & \dfrac{P(x)}{(ax+b)^2(cx+d)} & \text{Faktor Linear Campuran} & \dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{(ax+b)^2}+\dfrac{C}{cx+d} \\ \hline 4 & \dfrac{P(x)}{(ax^2+bx+c)(dx+e)} & \text{Faktor Linear dan Kuadrat} & \dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}+\dfrac{C}{dx+e} \\ \hline \end{array}$$Catatan: Pembilang harus berderajat lebih rendah dibandingkan pada penyebut. Jika tidak, bagilah terlebih dahulu menggunakan pembagian panjang (pembagian bersusun).
Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor prima karena hal ini menentukan bentuk dari pecahan parsial nantinya.

Aturan Cover-up

Aturan Cover-up (Cover-up Rule) adalah salah satu teknik yang dipakai untuk menentukan konstanta pecahan parsial dengan cara mensubstitusi pembuat nol pada salah satu faktor linear penyebutnya. Aturan ini berlaku hanya ketika penyebutnya berupa perkalian dari beberapa faktor linear. 

Untuk meningkatkan pemahaman terhadap salah satu subbab materi polinomial ini, berikut penulis sajikan beberapa soal dan pembahasan terkait dekomposisi pecahan parsial.

Quote by Maimonides

Give a man a fish and you feed him for a day. Teach a man to fish and you feed him for a lifetime.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1
Banyak suku pada dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x-5)(x+5)(x+9)}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Karena pada penyebut terdapat $3$ faktor linear berbeda, maka dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x-5)(x+5)(x+9)}$ berbentuk $\dfrac{A}{x-5}+\dfrac{B}{x+5}+\dfrac{C}{x+9}$ untuk suatu konstanta $A, B, C$. Jadi, ada $3$ suku pada dekomposisi pecahan parsialnya.
(Jawaban C) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Suku Banyak (Polinomial)

Soal Nomor 2
Koefisien suku $\dfrac{1}{x+6}$ pada hasil dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x+6)(x+19)}$ adalah $\dfrac{1}{A}$. Nilai $A = \cdots \cdot$
A. $-25$                    C. $1$                   E. $25$
B. $-13$                    D. $13$

Pembahasan

Dengan aturan cover-up, koefisien dari $\dfrac{1}{x+6}$ sama dengan nilai $\dfrac{1}{x+19}$ saat disubstitusi $x = -6$, yaitu $\dfrac{1}{\color{red}{-6}+19} = \dfrac{1}{13}.$
Dengan demikian, nilai $\boxed{A=13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Koefisien suku $\dfrac{1}{x+2}$ pada hasil dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x-2)(x+2)(x+3)}$ adalah $\dfrac{1}{A}$. Nilai $A = \cdots \cdot$
A. $-12$                 C. $1$                  E. $12$
B. $-4$                   D. $4$

Pembahasan

Dengan aturan cover-up, koefisien dari $\dfrac{1}{x+2}$ sama dengan nilai $\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}$ saat disubstitusi $x = -2$, yaitu $\dfrac{1}{(\color{red}{-2}-2)(\color{red}{-2}+3)} = \dfrac{1}{(-4)(1)} = \dfrac{1}{-4}$.
Dengan demikian, nilai $\boxed{A=-4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Koefisien suku $\dfrac{1}{x+4}$ pada hasil dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x+4)(x^2+5x+20)}$ adalah $\dfrac{1}{B}$. Nilai $B = \cdots \cdot$
A. $-16$                  C. $1$                   E. $16$
B. $-4$                    D. $4$

Pembahasan

Dengan aturan cover-up, koefisien dari $\dfrac{1}{x+4}$ sama dengan nilai $\dfrac{1}{x^2+5x+20}$ saat disubstitusi $x = -4$, yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{1}{(\color{red}{(-4)}^2+5(\color{red}{-4})+20} & = \dfrac{1}{16-20+20} \\ & = \dfrac{1}{16} \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $\boxed{B=16}$

(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Persamaan berikut berlaku untuk suatu konstanta $A$ dan $B$.
$\dfrac{A}{(x-2)(5x-8)} = \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{B}{5x-8}$
Nilai $A+B=\cdots \cdot$
A. $3$                       C. $6$                 E . $9$
B. $5$                       D. $7$

Pembahasan

Ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{B}{5x-8} & = \dfrac{1(5x-8)-B(x-2)}{(x-2)(5x-8)} \\ & = \dfrac{(5-B)x+(2B-8)}{(x-2)(5x-8)} \end{aligned}$
Karena penyebutnya sudah sama, kita tinggal menyamakan pembilangnya saja, yaitu $A = (5-B)x + (2B-8)$.
Di ruas kiri, tidak ada variabel $x$, artinya koefisiennya bernilai $0$, demikian juga harus berlaku untuk ruas kanan. Kita peroleh $5-B = 0 \Rightarrow B = 5$.
Substitusi $B = 5$, diperoleh $2B-8=2(5)-8 =2$ yang merupakan nilai konstanta $A$.
Jadi, diperoleh $\boxed{A+B=2+5=7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $A$ dan $B$ pada persamaan
$\dfrac{x-12}{(x-2)(x+3)} = \dfrac{A} {x-2}+\dfrac{B} {x+3}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $A = -2$ dan $B = 3$
B. $A = 2$ dan $B = 3$
C. $A = -2$ dan $B = -3$
D. $A = 2$ dan $B = -3$
E. $A = 3$ dan $B = -2$

Pembahasan

Alternatif 1: Membandingkan Koefisien
Dari ruas kanan, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{A} {x-2} + \dfrac{B} {x+3} & = \dfrac{A(x+3)+B(x-2)} {(x-2)(x+3)} \\ &= \dfrac{Ax+3A+Bx-2B} {(x-2)(x+3)} \\ &= \dfrac{(A+B)x + (3A-2B)} {(x-2)(x+3)} \\ & = \dfrac{x-12}{(x-2)(x+3)} \end{aligned}$
Dengan membandingkan suku pada pembilang, diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} A + B = 1 \\ 3A -2B = -12 \end{cases}$
(Angka $1$ didapat dari koefisien $x$)
Selesaikan sistem di atas.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} A + B & = 1 \\ 3A -2B & = -12 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2A + 2B & = 2 \\ 3A -2B & = -12 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5A & = -10 \\ A & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $A = -2$, diperoleh $-2 + B = 1$, sehingga $B = 1 + 2 = 3$.
Alternatif 2: Substitusi Pembuat Nol (Coverup)
Pada persamaan $\dfrac{x-12}{(x-2)(x+3)} = \dfrac{A(x+3)+B(x-2)} {(x-2)(x+3)}$ terjadi kesamaan pada penyebut sehingga mengakibatkan
$x-12 = A(x+3)+B(x-2)$
Substitusikan pembuat nol pada penyebut ke bagian pembilang, yaitu $x = 2$ atau $x = -3$.
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} 2 – 12 & = A(2 + 3) + B(2 – 2) \\ -10 & = 5A \\ A & = -2 \end{aligned}$
Untuk $x = -3$, diperoleh
$\begin{aligned} -3 – 12 & = A(-3 + 3) + B(-3 – 2) \\ -15 & = -5B \\ B & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{A = -2}$ dan $\boxed{B = 3}$ sehingga
$\dfrac{x-12}{(x-2)(x+3)} = – \dfrac{2} {x-2} + \dfrac{3} {x+3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV

Soal Nomor 7
Diketahui persamaan
$\dfrac{p} {x+1} + \dfrac{q} {x+2} = \dfrac{6x+2}{x^2+3x+2}$
Nilai $p$ dan $q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p=4$ dan $q=10$
B. $p=-4$ dan $q=-10$
C. $p=-4$ dan $q=10$
D. $p=10$ dan $q=4$
E. $p=-10$ dan $q=4$

Pembahasan

Alternatif 1: Membandingkan Koefisien
Dari ruas kiri, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{p} {x+1} + \dfrac{q} {x+2} & = \dfrac{p(x+2)+q(x+1)} {(x+1)(x+2)} \\ &= \dfrac{px+2p+qx+q} {x^2+3x+2} \\ &= \dfrac{(p+q)x + (2p+q)} {x^2+3x+2} \\ & = \dfrac{6x+2}{x^2+3x+2} \end{aligned}$
Dengan membandingkan suku pada pembilang, diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} p + q = 6 \\ 2p+q = 2 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas sehingga diperoleh $p = -4$ dan $q = 10$.
Alternatif 2: Substitusi Pembuat Nol (Coverup)
Pada persamaan $\dfrac{6x+2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{p(x+2)+q(x+1)} {(x+1)(x+2)}$ terjadi kesamaan pada penyebut sehingga mengakibatkan $6x+2 = p(x+2)+q(x+1)$.
Substitusikan pembuat nol pada penyebut ke bagian pembilang, yaitu $x = -2$ atau $x = -1$.
Untuk $x = -2$, diperoleh
$\begin{aligned} 6(-2) + 2 & = p(-2 + 2) + q(-2 + 1) \\ -10 & = -q \\ q & = 10 \end{aligned}$
Untuk $x = -1$, diperoleh
$\begin{aligned} 6(-1) + 2 & = p(-1 + 2) + q(-1 + 1) \\ -4 & = p \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p = -4}$ dan $\boxed{q=10}$ sehingga
$\dfrac{6x+2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{-4} {x+1} + \dfrac{10} {x+2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\dfrac{9x^2+9}{x^3+1} = \dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}$, maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $6$                    E. $12$
B. $3$                    D. $9$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{9x^2+9}{x^3+1} & = \dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1} \\ & = \dfrac{a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ & = \dfrac{(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)}{x^3+1} \end{aligned}$$Karena penyebutnya sudah sama, maka kita tinggal menyamakan pembilangnya, yaitu
$$(\color{red}{a+b})x^2+(\color{blue}{-a+b+c})x+(\color{green}{a+c})=\color{red}{9}x^2+\color{green}{9}$$Persamaan di atas menunjukkan bahwa kita memperoleh SPLTV berikut.

$\begin{cases} a+b & = 9 && (\cdots 1) \\ -a+b+c & = 0 && (\cdots 2) \\ a+c & = 9 && (\cdots 3) \end{cases}$
Selesaikan dan akan diperoleh nilai $a = 6$, $b = 3$, dan $c = 3$. Jadi, nilai dari $\boxed{a+b+c=6+3+3=12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Soal Nomor 9
Apabila $\dfrac{Ax+B}{x^2} + \dfrac{C}{x-7} = \dfrac{5x^2-25x+28}{x^2(x-7)}$, maka nilai dari $A \times B \times C = \cdots \cdot$
A. $24$                    C. $6$                     E. $-24$
B. $12$                    D. $-12$

Pembahasan

Diberikan persamaan
$\dfrac{Ax+B}{x^2} + \dfrac{C}{x-7} = \dfrac{5x^2-25x+28}{x^2(x-7)}$
Ruas kiri dapat dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{Ax+B}{x^2} + \dfrac{C}{x-7} & = \dfrac{(Ax+B)(x-7)+Cx^2}{x^2(x-7)} \\ & = \dfrac{(Ax^2-7Ax+Bx-7B)+Cx^2}{x^2(x-7)} \\ & = \dfrac{(A+C)x^2+(-7A+B)x+(-7B)}{x^2(x-7)} \end{aligned}$$Karena penyebut pada kedua ruas sudah sama, kita tinggal menyamakan pembilangnya, yaitu $$(A+C)x^2+(-7A+B)x+(-7B) = 5x^2-25x+28$$Dengan menyamakan koefisien-koefisien suku yang bersesuaian, diperoleh
$\begin{cases} A+C & = 5 && (\cdots 1) \\ -7A+B & = -25 && (\cdots 2) \\ -7B & = 28 && (\cdots 3) \end{cases}$
Dari persamaan $(3)$, diperoleh $B = -4$. Substitusi ini pada persamaan $(2)$ untuk menghasilkan $A = 3$, lalu substitusi nilai $A$ ini pada persamaan $(1)$ untuk mendapatkan $C = 2$. Jadi, nilai $\boxed{A \times B \times C = 3(-4)(2) = -24}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $\dfrac{x^2+x}{(x^2+4)^2} = \dfrac{Ax+B}{x^2+4} + \dfrac{Cx+D}{(x^2+4)^2}$, maka nilai dari $A+B+C+D = \cdots \cdot$
A. $-4$                    C. $0$                       E. $4$
B. $-2$                    D. $2$

Pembahasan

Berdasarkan aturan dekomposisi bahwa ada faktor kuadrat yang berulang sebanyak $2$ kali, maka kita nyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{x^2+x}{(x^2+4)^2} & = \dfrac{Ax+B}{x^2+4} + \dfrac{Cx+D}{(x^2+4)^2} \\ & = \dfrac{(Ax+B)(x^2+4)+(Cx+D)}{(x^2+4)^2} \\ & = \dfrac{Ax^3+Bx^2+(4A+C)x+(4B+D)}{(x^2+4)^2} \end{aligned}$$Karena penyebut pada kedua ruas sudah sama, kita tinggal menyamakan pembilangnya, yaitu
$$Ax^3+Bx^2+(4A+C)x+(4B+D) = x^2+x$$, sehingga dengan menyamakan koefisien-koefisien suku yang bersesuaian, diperoleh
$\begin{cases} A & = 0 \\ B & = 1 \\ 4A+C & = 1 && (\cdots 1) \\ 4B + D & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Substitusi nilai $A=0$ pada persamaan $(1)$ untuk memperoleh $C = 1$.
Substitusi nilai $B=1$ pada persamaan $(2)$ untuk memperoleh $D = -4$.
Jadi, nilai $\boxed{A+B+C+D=0+1+1+(-4)=-2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Dekomposisikan pecahan $\dfrac{1}{x^3-8}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x^3-8} & = \dfrac{1}{(x-2)(x^2+2x+4)} \\ & = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4} \\ & = \dfrac{A(x^2+2x+4)+(x-2)(Bx+C)}{(x-2)(x^2+2x+4)} \end{aligned}$$Karena penyebut pada kedua ruas sudah sama, kita tinggal samakan pembilangnya.
$$\begin{aligned} A(x^2+2x+4)+(x-2)(Bx+C) & = 1 \\ Ax^2+2Ax+4A+Bx^2+Cx-2Bx-2C & = 1 \\ (\color{red}{A+B})x^2+(\color{blue}{2A-2B+C})x+(\color{green}{4A-2C}) & = \color{green}{1} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita memperoleh SPLTV berikut.
$\begin{cases} A+B & = 0 && (\cdots 1) \\ 2A-2B+C & = 0 && (\cdots 2) \\ 4A-2C & = 1 && (\cdots 3) \end{cases}$
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan beragam jalan, salah satunya adalah mensubstitusi $B=-A$ (dari persamaan pertama) pada persamaan kedua, sehingga kita peroleh SPLDV dengan variabel $A$ dan $C$. Seterusnya dianggap dapat diselesaikan dan kita akan peroleh nilai $A = \dfrac{1}{12}$, $B =-\dfrac{1}{12}$, dan $C = -\dfrac13$.
Jadi, dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{1}{x^3-8}$ adalah
$\begin{aligned} & \dfrac{\frac{1}{12}}{x-2}+\dfrac{-\frac{1}{12}x-\frac13}{x^2+2x+4} \\ & = \dfrac{1}{12(x-2)}- \dfrac{x+4}{12(x^2+2x+4)} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Dekomposisikan pecahan $\dfrac{6x^2-7x}{(1-x)^2(x-1)}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $(1-x)^2 = (x-1)^2$, sehingga kita tulis
$\begin{aligned} \dfrac{6x^2-7x}{(1-x)^2(x-1)} & = \dfrac{6x^2-7x}{(x-1)^2(x-1)} \\ & = \dfrac{6x^2-7x}{(x-1)^3} \end{aligned}$
Berdasarkan aturan dekomposisi bahwa ada faktor linear yang berulang sebanyak $3$ kali, maka kita nyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{6x^2-7x}{(x-1)^3} & = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{(x-1)^3} \\ & = \dfrac{A(x-1)^2 + B(x-1) + C}{(x-1)^3} \\ & = \dfrac{A(x^2-2x+1)+B(x-1)+C}{(x-1)^3} \\ & = \dfrac{Ax^2 + (-2A+B)x + (A-B+C)}{(x-1)^3} \end{aligned}$$Karena penyebut pada kedua ruas sudah sama, kita tinggal menyamakan pembilangnya, yaitu
$$Ax^2+(-2A+B)x+(A-B+C) = 6x^2-7x$$, sehingga dengan menyamakan koefisien-koefisien suku yang bersesuaian, diperoleh
$\begin{cases} A & = 6 \\ -2A + B & = -7 && (\cdots 1) \\ A-B+C & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Karena $A = 6$, maka substitusi pada persamaan $(2)$ menghasilkan $B = 5$, dilanjutkan substitusi keduanya pada persamaan $(3)$ menghasilkan $C = -1$.
Jadi, dekomposisi pecahan parsial dari $\dfrac{6x^2-7x}{(1-x)^2(x-1)}$ adalah $\boxed{\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{5}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{(x-1)^3}}$

[collapse]

KategoriSuku Banyak, AljabarTag, , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *