Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Pick

Teorema Pick mungkin terdengar cukup asing bagi sejumlah orang. Teorema ini tidak pernah dikenalkan di kelas secara umum, tetapi dimunculkan dalam soal kompetisi dan soal seleksi. Menariknya, teorema ini sebenarnya cukup mudah dipahami dibandingkan teorema lainnya.

Teorema Pick (Pick’s Theorem) adalah teorema yang menyatakan bahwa pada poligon dengan titik sudut latis yang digambarkan di bidang grid, luasnya dinyatakan oleh
$\boxed{\large{L = I + \dfrac{B}{2}-1}}$
dengan:

$I$ = Banyaknya titik interior poligon (interior lattice point)
$B$ = Banyaknya titik tepi poligon (boundary lattice point)

Ada beberapa istilah yang perlu diperhatikan untuk memahami teorema ini, di antaranya sebagai berikut.

  1. Titik latis (lattice point), yaitu titik pada bidang-$XY$ yang koordinatnya berupa bilangan bulat. Misalnya, $(2, -3)$ dan $(-100, 0)$, sedangkan $\left(-\dfrac12, -2\right)$ tidak termasuk titik latis.
  2. Segi-$\textbf{n}$ sederhana, yaitu bangun datar yang memiliki $n$ sisi dan $n$ sudut tanpa ada sisi-sisi yang saling berpotongan.  
  3. Grid (kisi), yaitu susunan kerangka desain yang terdiri dari garis-garis horizontal dan vertikal untuk mempermudah penggambaran.

    Sistem Koordinat Tanpa Grid
        Sistem Koordinat Tanpa Grid

    Sistem Koordinat Dengan Grid
        Sistem Koordinat Dengan Grid
  4. Segitiga dasar, yaitu segitiga yang titik sudutnya berkoordinat bulat dan tidak memuat titik interior.

George Alexander Pick (1859 – 1942), matematikawan berkebangsaan Austria, merupakan perumus teorema ini. Beliau mengunggahnya pada sebuah artikel saat tahun 1899. Namun saat itu teoremanya tidak terlalu terkenal. Saat tahun 1969, Hugo Steinhaus (1887 – 1972), pakar matematika Polandia, memperkenalkannya secara luas melalui bukunya yang berjudul mathematical snapshot.

George Alexander Pick
      George Alexander Pick

Perhatikan gambar segitiga sembarang berikut.
Segitiga ini memiliki titik tepi sebanyak $6$ buah, ditandai dengan warna biru. Di dalam segitiga itu terdapat $13$ titik interior, ditandai dengan warna merah. Berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga tersebut adalah
$L = \color{red}{I}+\dfrac{\color{blue}{B}}{2}-1 = 13+\dfrac62-1=15$

Harus latis! Perhatikan bahwa titik sudut poligon harus latis agar kita dapat menerapkan Teorema Pick.  Pada gambar berikut, misalnya. Hanya satu titik sudut segitiga yang latis, sedangkan dua lainnya tidak. Dalam hal ini, jika kita menerapkan Teorema Pick (dengan $1$ titik tepi tanpa titik interior), diperoleh luas segitiga $L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 0+\dfrac12-1=-\dfrac12$ dan ini tentu saja salah. 

Pembuktian Teorema Pick

Untuk membuktikan Teorema Pick, kita akan menggunakan dua lema dasar berikut.

  1. Lema 1: Sembarang segi-$n$ latis disusun dari segitiga-segitiga dasar.
  2. Lema 2: Luas dari segitiga dasar adalah $\dfrac12$.

Perhatikan sketsa gambar berikut.

  1. Sembarang segi-$n$ latis tersusun dari $N$ segitiga dasar. Karena jumlah sudut pada segitiga adalah $\pi$ (catatan: $\pi~\text{rad} = 180^{\circ}$), maka jumlah sudut totalnya menjadi $S = N\pi$.
  2. Jumlah sudut yang bertemu di titik interior $I$ adalah $2\pi$ (satu putaran) dengan total sudutnya sebesar $2I\pi$, sedangkan pada titik tepi $b$ yang bukan tergolong titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di $b$ adalah $\pi$, sehingga totalnya menjadi $\color{red}{b\pi}$.  
  3. Jumlah sudut yang bertemu di titik interior $I$ adalah $2\pi$ (satu putaran) dengan total sudutnya sebesar $2I\pi$, sedangkan pada titik tepi $b$ yang bukan tergolong titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di $b$ adalah $\pi$, sehingga totalnya menjadi $\color{red}{b\pi}$.
  4. Pad titik sudut segi-$n$ tersebut, jumlah sudutnya seperti yang telah kita ketahui bersama adalah $\color{red}{(n-2)\pi = n\pi-2\pi}$. Misalkan, segi-3 memiliki jumlah sudut $(3-1)\pi = \pi$. Jika segi-4, maka jumlah sudutnya $(4-2)\pi = 2\pi$, dan seterusnya.
  5. Jumlahkan semua sudut pada titik tepi (ditandai dengan warna merah di atas), sehingga diperoleh
    $\begin{aligned} b\pi + n\pi-2\pi & = (b+n)\pi-2\pi \\ & = B\pi-2\pi \end{aligned}$
    dengan $B$ menyatakan banyaknya titik batas.
  6. Ini berarti, jumlah semua sudut segitiga dasar itu dapat juga dinyatakan oleh $S = I(2\pi) +B\pi-2\pi$.

Karena di awal diberikan bahwa $S = N\pi$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} N\pi & = I(2\pi)+B\pi-2\pi \\ N & = 2I+B-2 \end{aligned}$
Berdasarkan Lema 2 di atas bahwa luas segitiga dasar adalah $\dfrac12$, artinya $P = \dfrac12N$, maka diperoleh $\boxed{P = I+\dfrac{B}{2}-1}$  (Terbukti)

Empat soal berikut akan diselesaikan dengan menggunakan Teorema Pick, dan sebagai perbandingannya, kita juga akan memeriksa jawabannya menggunakan rumus perhitungan luas bangun datar yang telah dipelajari saat Sekolah Dasar.

Hitunglah luas dari bangun datar berikut.

Cara 1: Teorema Pick
Gambar di atas merupakan bangun datar persegi dengan $4$ titik tepi tanpa ada titik interior, sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=0+\dfrac42-1=1$.
Cara 2: Rumus Luas
Karena bangun datarnya berupa persegi dengan panjang sisi $1$, maka luasnya adalah
$L = s^2 = 1^2 = 1$.


Cara 1: Teorema Pick

Gambar di atas merupakan bangun datar segitiga dengan $3$ titik tepi dan $1$ titik interior, sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 1+\dfrac{3}{2}-1= 1,5$.
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segitiga ini, buatlah bingkai persegi seperti berikut.

Luas segitiga itu sama dengan luas persegi dikurangi luas ketiga segitiga siku-siku di sampingnya.

$\begin{aligned} L & = L_{\text{per}\text{segi}}-(L_{A}+L_{B}+L_C) \\ & = (2 \times 2)-\dfrac12(2 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 2) \\ & = 4-\dfrac12(2+1+2) \\ & = 4-2,5 = 1,5 \end{aligned}$


Cara 1: Teorema Pick

Gambar di atas merupakan bangun datar segienam dengan $6$ titik tepi dan $4$ titik interior, sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 4+\dfrac{6}{2}-1= 6$.
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segienam ini, buatlah bingkai persegi seperti berikut.

Luas segienam itu sama dengan luas persegi dikurangi luas keempat segitiga siku-siku di sampingnya.
$$\begin{aligned} L & = L_{\text{per}\text{segi}}-(L_{A}+L_{B}+L_C+L_D)\\ & = (3 \times 3)-\dfrac12(1 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 1) \\ & = 9-\dfrac12(2+1+2+1) \\ & = 9-3 = 6 \end{aligned}$$
Cara 1: Teorema Pick

Gambar di atas merupakan bangun datar segitiga dengan $5$ titik tepi tanpa ada titik interior, sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 0+\dfrac{5}{2}-1= 1,5$.
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segitiga ini, buatlah bingkai persegi panjang seperti berikut.

Luas segitiga itu sama dengan luas persegi panjang dikurangi luas kedua segitiga siku-siku di sampingnya.
$\begin{aligned} L & = L_{\text{pers}\text{egi panjang}}-(L_{A}+L_{B}) \\ & = (3 \times 1)-\dfrac12(2 \times 1 + 1 \times 1) \\ & = 3-\dfrac12(3) \\ & = 3-1,5 = 1,5 \end{aligned}$

Setelah mempelajari teori dan contoh soalnya, berikut disajikan sejumlah soal eksklusif mengenai penggunaan Teorema Pick beserta pembahasannya. Semoga dapat dengan mudah dipahami.

Today Quote

Faith and prayer both are invisible, but they make impossible things possible.

Soal Nomor 1
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segitiga di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 3$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=3+\dfrac82-1=6~\text{cm}^2$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segitiga di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 2$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=2+\dfrac82-1=5~\text{cm}^2$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Trapesium siku-siku di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 13$ buah dan titik interior $I = 8$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=8+\dfrac{13}{2}-1=13,5~\text{cm}^2$.

[collapse]


Soal Nomor 4
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Trapesium sama kaki di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 10$ buah dan titik interior $I = 8$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=8+\dfrac{10}{2}-1=12~\text{cm}^2$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Layang-layang di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 6$ buah dan titik interior $I = 8$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=8+\dfrac{6}{2}-1=10~\text{cm}^2$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Jajar genjang di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 12$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=12+\dfrac{8}{2}-1=15~\text{cm}^2$.

[collapse]


Soal Nomor 7
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segiempat di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 12$ buah dan titik interior $I = 2$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=2+\dfrac{12}{2}-1=7~\text{cm}^2$.

[collapse]


Soal Nomor 8
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segilima di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 15$ buah dan titik interior $I = 6$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=6+\dfrac{15}{2}-1=12,5~\text{cm}^2.$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segilima di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 7$ buah dan titik interior $I = 7$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=7+\dfrac{7}{2}-1=9,5~\text{cm}^2$.

[collapse]


Soal Nomor 10
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Segienam di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 12$ buah dan titik interior $I = 12$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=12+\dfrac{12}{2}-1=17~\text{cm}^2.$

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan luas daerah yang diarsir kebiruan berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Gambar di atas menunjukkan sebuah segitiga di dalam segilima. Untuk mencari luas yang diarsir kebiruan, kita harus mengurangi luas segilima dengan luas segitiga di dalamnya.
Segitiga itu memiliki titik tepi sebanyak $B = 3$ buah dan titik interior $I = 2$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-3} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac{3}{2}-1=2,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Sementara itu, segilima memiliki titik tepi sebanyak $B = 7$ buah dan titik interior $I = 26$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-5} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =26+\dfrac{7}{2}-1 =28,5~\text{cm}^2 \end{aligned} $
Dengan demikian, luas yang diarsir kebiruan sama dengan
$\boxed{L_{\text{arsir}} = 28,5-2,5=26~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan luas daerah yang diarsir kemerahan berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.

Pembahasan

Gambar di atas menunjukkan sebuah segienam di dalam segi-13. Untuk mencari luas yang diarsir kemerahan, kita harus mengurangi luas segi-13 dengan luas segienam di dalamnya.
Segienam itu memiliki titik tepi sebanyak $B = 11$ buah dan titik interior $I = 2$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-6} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac{11}{2}-1=6,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Sementara itu, segi-13 memiliki titik tepi sebanyak $B = 15$ buah dan titik interior $I = 27$ buah, sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-13} & = I+\dfrac{B}{2}-1\\ & =27+\dfrac{15}{2}-1=33,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas yang diarsir kebiruan sama dengan
$\boxed{L_{\text{arsir}} = 33,5-6,5=27~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini.

Pernyataan yang benar mengenai hubungan luas segitiga $A, B$, dan $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B<A<C$
B. $B<C<A$
C. $A<B<C$
D. $B<A$ dan $A=C$
E. $A=B=C$

Pembahasan

Ketiga segitiga itu sama-sama memiliki $3$ titik tepi dan tidak memuat titik interior. Berdasarkan Teorema Pick, luas ketiga segitiga tersebut adalah sama.
Jadi, hubungan luasnya dinyatakan oleh $\boxed{A=B=C}$
(Jawaban E)

[collapse]

CategoriesGeometri Analitik DatarTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *