Soal dan Pembahasan – Ujian Nasional Matematika Jurusan PSP Tingkat SMK Tahun 2015/2016

       Berikut ini adalah soal (beserta pembahasannya) ujian nasional mapel matematika jurusan PSP (Pariwisata, Seni dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran) Tingkat SMK Tahun 2015-2016 yang penulis arsipkan sebagai bahan belajar siswa.
Silakan unduh soalnya dalam bentuk PDF di sini.

Ayo : Download (Unduh) Soal UN/USBN Bidang Matematika Tingkat SMK

Soal Nomor 1
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}}$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac{3}{2}\sqrt{2} + \sqrt{3}$             D. $\dfrac{3}{2}\sqrt{2} – \sqrt{3}$
B. $-\dfrac{3}{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}$             E. $-\dfrac{3}{2}\sqrt{2} – \sqrt{3}$
C. $\dfrac{3}{2}\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}} & = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}} \times \dfrac{2\sqrt{3} – \sqrt{8}}{2\sqrt{3} – \sqrt{8}} \\ & = \dfrac{2\sqrt{18} – \sqrt{48}}{4\times 3 – 8} \\ & = \dfrac{2\sqrt{9 \times 2} – \sqrt{16\times 3}}{4} \\ & = \dfrac{6\sqrt{2} – 4\sqrt{3}}{4} \\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{2} – \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}}$ adalah $\boxed{\dfrac{3}{2}\sqrt{2} – \sqrt{3}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bentuk sederhana dari $\sqrt{98} + \sqrt{50} – \sqrt{8} – \sqrt{72}$ adalah $\cdots$
A. $6\sqrt{2}$        D. $3\sqrt{2}$
B. $5\sqrt{2}$        E. $2\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{2}$ 

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \sqrt{98} + \sqrt{50} – \sqrt{8} – \sqrt{72} \\ & = \sqrt{49 \times 2} + \sqrt{25\times 2} – \sqrt{4\times 2} – \sqrt{36 \times 2} \\ & = 7\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 2\sqrt{2} – 6\sqrt{2} \\ & = (7+5-2-6)\sqrt{2} \\ & = 4\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{98} + \sqrt{50} – \sqrt{8} – \sqrt{72}$ adalah $\boxed{4\sqrt{2}}$ (Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 3
Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{2^{-7}3^25^{-1}}{2^{-5}3^65^{-2}}\right)^2 = \cdots$
A. $\dfrac{5^8}{2^43^8}$                D. $\dfrac{5^3}{2^43^8}$
B. $\dfrac{5^6}{2^43^8}$                E. $\dfrac{5^2}{2^43^8}$
C. $\dfrac{5^4}{2^43^8}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \left(\dfrac{2^{-7}3^25^{-1}}{2^{-5}3^65^{-2}}\right)^2 & = (2^{-7-(-5)}3^{2-6}5^{-1-(-2)})^2 \\ & = (2^{-2}3^{-4}5^1)^2 \\ & = 2^{-4}3^{-8}5^2 \\ & = \dfrac{5^2}{2^43^8} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{2^{-7}3^25^{-1}}{2^{-5}3^65^{-2}}\right)^2$ adalah $\dfrac{5^2}{2^43^8}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $\log 2 = p$ dan $\log 3 = q$. Nilai dari $^4 \log 27$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{3p}{2q}$              C. $\dfrac{2p}{3q}$                E. $-\dfrac{2q}{3p}$
B. $\dfrac{3q}{2p}$              D. $\dfrac{2q}{3p}$         

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a} \\ ^a \log b^n & = n ^a \log b \end{aligned}}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} ^4 \log 27 & = \dfrac{\log 27}{\log 4} \\ & = \dfrac{\log 3^3}{\log 2^2} \\ & = \dfrac{3 \log 3}{2 \log 2} \\ & = \dfrac{3q}{2p} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^4 \log 27$ apabila $\log 2 = p$ dan $\log 3 = q$ adalah $\boxed{\dfrac{3q}{2p}}$. (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai dari $^2 \log 32 -^2 \log 4 + ^2 \log 2$ adalah $\cdots$
A. $0$           B. $2$           C. $4$            D. $6$              E. $8$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & ^2 \log 32 -^2 \log 4 + ^2 \log 2 \\ & = ^2 \log 2^5 -^2 \log 2^2 + ^2 \log 2 \\ & = 5 – 2 + 1 = 4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $^2 \log 32 -^2 \log 4 + ^2 \log 2$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+5x-2=0$ yang akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$. Nilai dari $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{29}{4}$               C. $\dfrac{21}{4}$                  E. $-\dfrac{3}{2}$
B. $\dfrac{23}{4}$               D. $-\dfrac{6}{25}$        

Penyelesaian

Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ adalah $\alpha$ (baca: alfa) dan $\beta$ (baca: beta), maka
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
dan
$\alpha \beta = \dfrac{c}{a}$
Untuk itu, dalam hal ini diketahui $a = 1, b = 5$, dan $c=-2$, sehingga
$\alpha + \beta = -\dfrac{5}{1} = -5$ dan $\alpha \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{1} = -2$
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} & = \dfrac{\alpha^2+ \beta^2}{\alpha^2 \beta^2} \\ & = \dfrac{(\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta}{(\alpha \beta)^2} \\ & = \dfrac{(-5)^2 – 2(-2)}{(-2)^2} \\ & = \dfrac{25 + 4}{4} = \dfrac{29}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ adalah $\boxed{\dfrac{29}{4}}$ (Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 7
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x-6=0$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1 -2$ dan $x_2 -2$ adalah $\cdots$
A. $x^2-x-8=0$                      
B. $x^2+8x+9=0$                   
C. $x^2+8x-9=0$
D. $x^2-9x-8=0$
E. $x^2+9x+8=0$

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5 \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-6}{1} = -6 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah akar persamaan kuadrat baru adalah
$\begin{aligned} (x_1- 2) + (x_2 -2) & = (x_1 + x_2) -4 \\ & = -5 -4 = -9 \end{aligned}$
dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru adalah
$\begin{aligned} (x_1 – 2)(x-2) & = x_1x_2 – 2(x_1 + x_2) + 4 \\ & = -6 -2(-5) + 4 \\ & = -6 + 10 + 4 = 8 \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan kuadrat baru yang dimaksud itu adalah
$x^2 – (-9)x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 + 9x + 8 = 0$
di mana koefisien $x$ adalah jumlah akar dan konstantanya adalah hasil kali akar.
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1 – 2$ dan $x_2 – 2$ adalah $\boxed{x^2+9x+8 = 0}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat $x^2 -4x -5 \leq 0$ adalah $\cdots$
A. $\{x~|~-5 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}$
B. $\{x~|~-1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x~|~1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$
D. $\{x~|~x \leq -1~\text{atau}~x \geq 5, x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x~|~x \leq -5~\text{atau}~x \geq 1, x \in \mathbb{R}\}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} x^2-4x-5 & \leq 0 \\ (x-5)(x+1) & \leq 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $x=5$ atau $x=-1$.
Buatlah garis bilangan yang menyatakan daerah positif-negatifnya.
Misalkan diambil titik $x = 0$ dan bila disubstitusikan ke pertidaksamaan $x^2-4x-5 \leq 0$, diperoleh $-5 \leq 0$ (bertanda negatif), sehingga dapat dibuat skema berikut (tandanya selang-seling).
 
Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat itu adalah $\boxed{\{x~|~-1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Budi dan Joko membeli buku tulis dan pulpen di toko Pak Umar. Budi membeli $10$ buku tulis dan $4$ pulpen dengan harga Rp36.000,00. Joko membeli $5$ buku tulis dan $8$ pulpen dengan harga Rp27.000,00. Harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen masing-masing adalah $\cdots$
A. Rp2.000,00 dan Rp4.000,00                 
B. Rp2.000,00 dan Rp2.000,00              
C. Rp2.500,00 dan Rp2.750,00
D. Rp3.000,00 dan Rp1.750,00
E. Rp3.000,00 dan Rp1.500,00

Penyelesaian

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen.
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 5x+2y & = 18.000 \\ 5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 5x + 2y & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$
Jadi harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

 Soal Nomor 10
Diketahui matriks-matriks:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$.
Nilai dari $2A + 3B – C$ adalah $\cdots$
A. $\begin{pmatrix} -15 & 21 \\ -12 & 4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -15 & -21 \\ -12 & 4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 15 & -21 \\ 12 & -4 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 15 & 21 \\ -12 & 4 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} -15 & 21 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} 2A + 3B – C & = 2\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 & 15 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 + 12 -1 & 6 + 15 -0 \\ -8 + (-9) -(-5) & 4 + 6 – 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 15 & 21 \\ -12 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $2A+3B-C$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 15 & 21 \\ -12 & 4 \end{pmatrix}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 11
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$. Matriks $A \times B$ adalah $\cdots$
A. $\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -13 & 8 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 6 & -13 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 8 & -13 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 18 & -13 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa matriks $A$ berordo $2 \times 3$, sedangkan matriks $B$ berordo $3 \times 2$, sehingga matriks $AB$ berordo $2 \times 2$.
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks (baris kali kolom), diperoleh
$$\begin{aligned} A \times B & = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 -1 \cdot 4 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 -1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 -4 \cdot 0 + 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 -4 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 + 0 -4 & 2 + 4 -0 \\ 6 – 0 + 12 & 3 -16 + 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 18 & -13 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari perkalian matriks $A$ dan matriks $B$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 18 & -13 \end{pmatrix}}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, invers matriks $A$ adalah $\cdots$
A. $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = 4(1) – (2)(3) = 4- 6 = -2$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}  & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}  & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Determinan matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 2 \end{pmatrix}$ adalah $\cdots$
A. $-84$               C. $-24$                 E. $84$
B. $-78$               D. $-4$        

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Sarrus, buatlah skema berikut.



Dengan demikian, determinannya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \det(A) & = (1)(3)(2) + (0)(4)(5) + (2)(2)(6) \\ & -(5)(3)(2) -(6)(4)(1) -(2)(2)(0) \\ & = 6 + 0 + 24- 30 -24 -0 \\ & = -24 \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{\det(A) = -24}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian.

Nilai maksimum fungsi objektif $f(x, y) = 2x + y$ adalah $\cdots$

A. $4$         B. $6$           C. $10$            D. $12$           E. $14$

Penyelesaian

Titik pojok daerah penyelesaian itu adalah $(2,0), (5,0)$, dan titik potong kedua garisnya. Untuk itu, akan dicari koordinat titik potongnya terlebih dahulu. 
Persamaan kedua garis itu adalah
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8x + 2y & = 16 \\ 5x + 5y & = 25 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \div 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4x+y & = 8 \\ x+y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3x & = 3 \\ x & = 1\end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 1$ pada salah satu persamaan, misalkan pada $x + y = 5$. 
$1 + y = 5 \Rightarrow y = 4$
Jadi, koordinat titik potong kedua garis adalah $(1,4)$. 
Uji semua titik pojok terhadap fungsi objektif $f(x, y) = 2x + y$ dengan menggunakan tabel berikut.
masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif tersebut dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 2x+y \\ \hline A(2,0) & 4 \\ B(1, 4) & 6 \\ \color{red}{ C(5, 0)} & \color{red}{10} \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektif itu adalah $\boxed{10}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Seorang pengrajin suvenir akan membuat $2$ jenis gantungan kunci. Setiap hari ia dapat membuat tidak lebih dari $100$ buah. Untuk membuat sebuah gantungan kunci jenis I memerlukan biaya Rp5.000,00 dan jenis II Rp10.000,00. Ia mengeluarkan modal tidak lebih dari Rp650.000,00. Dari hasil kerjanya tersebut, ia mengharapkan mendapat keuntungan Rp2.000,00/buah untuk gantungan kunci jenis I dan Rp3.000,00/buah untuk gantungan kunci jenis II. Jika gantungan kunci jenis I dibuat sebanyak $x$ dan jenis II dibuat sebanyak $y$ buah, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah $\cdots$
A. Rp195.000,00                   D. Rp260.000,00
B. Rp200.000,00                   E. Rp300.000,00
C. Rp230.000,00

Penyelesaian

Berdasarkan informasi yang diberikan dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{GK Jenis I} & \text{GK Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 100 \\ \text{Biaya (Rp.)} & 5000 & 10000 & \leq 650.000 \\ \hline \end{array}$$
Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear berikut.
$$\begin{cases} x + y \leq 100 \\  5000x + 10000y \leq 650.000 \Rightarrow x + 2y \leq 130 \\ x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 2000x + 3000y$. Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian, dengan titik pojok $B(100, 0). C(70; 30)$, dan $D(0, 65)$ di mana titik $C$ adalah titik potong kedua garis yang koordinatnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Ujilah ketiga titik pojok ini terhadap fungsi objektif $P = 2.000x + 3.000y$ dengan menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 2.000x+3.000y \\ \hline B(100,0) & 200.000 \\ \color{red}{C(70,30)} & \color{red}{230.000}  \\  D(0, 65) & 195.000 \\ \hline \end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp230.000,00 (Jawaban C).
 

[collapse]

Soal Nomor 16
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah $20$ dan suku keenam adalah $40$. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah $\cdots$
A. $340$                 C. $360$                  E. $380$
B. $350$                 D. $370$       

Penyelesaian

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40$.
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 17
Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmetika: $-18, -15, -12, -9$ adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = -3n + 15$            D. $\text{U}_n = 3n + 21$
B. $\text{U}_n = -3n -15$               E. $\text{U}_n = 3n -21$
C. $\text{U}_n = 3n + 15$

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a = -18$ dan $b = 3$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -18 + (n -1) \times 3 \\ & = -18 + 3n -3 = 3n -21 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui barisan aritmetika: $4, 1, -2, -5, \cdots$. Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $31$                C. $-23$               E. $-31$
B. $23$                D. $-26$         

Penyelesaian

Diketahui: $a = 4$ dan $b = -3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n – 1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10 – 1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4 – 27 = -23 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$10$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui suku ke-$3$ dan suku ke-$5$ dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah $-5$ dan $-9$. Suku ke-$10$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $20$                   C. $17$                      E. $-20$
B. $19$                   D. $-19$       

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5 – \text{U}_3}{5 -3} = \dfrac{-9 -(-5)}{2} = -2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 = -5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & = -5 \\ a + 2(-2) & = -5 \\ a -4 & = -5 \\ a & = -1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b = -1 + 9(-2) = -19}$ (Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

 Soal Nomor 20
Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan $80$ setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak $10$ setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama $6$ bulan pertama adalah $\cdots$ setel.
A. $530$                  C. $625$                    E. $840$
B. $620$                  D. $630$         

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 80$ dan $b = 10$.
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama $6$ bulan pertama adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630 \end{aligned}$
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama $6$ bulan adalah $\boxed{630~\text{setel}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah $12$ dan suku pertamanya $9$. Rasio deret tersebut adalah $\cdots$
A. $\dfrac{3}{4}$       B. $\dfrac{1}{3}$        C. $\dfrac{1}{4}$        D. $-\dfrac{1}{2}$        E. $-\dfrac{3}{4}$

Penyelesaian

Diketahui $S_{\infty} = 12$ dan $a = 9$. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
$\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} 12 & = \dfrac{9} {1-r} \\ 1-r & = \dfrac{9} {12} = \dfrac{3}{4} \\ r & = 1 – \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, rasio deret tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 22
Pertambahan pengunjung sebuah hotel mengikuti deret geometri. Pada tahun $2001$ pertambahannya $42$ orang dan pada tahun $2003$ pertambahannya $168$ orang. Pertambahan pengunjung hotel tersebut pada tahun $2006$ adalah $\cdots$
A. $1.344$ orang            D. $472$ orang
B. $762$ orang               E. $336$ orang
C. $672$ orang

Penyelesaian

Misalkan pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2001$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 42$. Dengan demikian, pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2003$ adalah $\text{U}_3 = 168$. Selanjutnya, akan dicari rasio deret geometri tersebut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 42r^2 & = 168 \\ r^2 & = \dfrac{168}{42} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2006$ adalah
$\text{U}_6 = ar^5 = 42(2)^5 = \boxed{1344~\text{orang}}$ (Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

 Soal Nomor 23
Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-4 adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $80$                   C. $25$                     E. $-80$
B. $50$                   D. $-25$          

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$ \text{U}_6 = ar^5 = \dfrac{5}{2} \times 2^5 = 80 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Bayangan titik $P(-1,3)$ oleh dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $-2$ adalah $\cdots$
A. $(-1,6)$           D. $(-1,1)$
B. $(6,-1)$           E. $(0,-6)$
C. $(2,-6)$               

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Untuk ini, koordinat bayangan titik $P(-1, 3)$ bila didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k=-2$ adalah
$P'(-2 \times (-1), -2 \times 3) = P'(2, -6)$
Jadi, koordinat bayangannya adalah $(2. -6)$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Bayangan titik $P(3,-2)$ oleh dilatasi $[O, 2]$ dilanjutkan refleksi terhadap sumbu $Y$ adalah $\cdots$
A. $(-6,-4)$                    D. $(4,-6)$
B. $(-6,4)$                      E. $(4,4)$
C. $(-4,6)$

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $Y$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(-x,y)$.
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses dilatasi terhadap titik $P$ berikut.
$\begin{aligned} P(3, -2) \xrightarrow{D[O, 2]} & P'(3\times 2, -2 \times 2) \\ & = P'(6, -4) \end{aligned}$
Kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu $Y$.
$P'(6, -4) \xrightarrow{R_{\text{sumbu}~Y}} P”(-6, -4)$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-6, -4)$ (Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat)

 Soal Nomor 26
Koordinat bayangan titik $Q(-3, 7)$ yang ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ dilanjutkan rotasi $-90^{\circ}$ dengan pusat $O(0, 0)$ adalah $\cdots$
A. $(2, -2)$                      D. $(-2, 2)$
B. $(2, 2)$                         E. $(-2, -2)$
C. $(2, 4)$

Penyelesaian

Koordinat bayangan titik $Q(-3,7)$ setelah ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ adalah $Q'(-3 + 1, 7 + (-5)) = Q'(-2, 2)$.
Selanjutnya, dirotasikan sebesar $-90^{\circ}$ (artinya $90^{\circ}$ searah jarum jam) dengan pusat di $O(0,0)$, ditulis
$$\begin{aligned} Q’\begin{pmatrix} x” \\ y” \end{pmatrix}& = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos -90^{\circ} & -\sin -90^{\circ} \\ \sin -90^{\circ}& \cos -90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & =  \begin{pmatrix} 2 \\ 2  \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, koordinat bayangan titik $Q$ setelah ditranslasi dan dirotasi adalah $(2, 2)$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $A$. Jika panjang $AB = 12~\text{cm}$ dan besar sudut $C = 60^{\circ}$, maka panjang $AC = \cdots$
A. $3\sqrt{3}~\text{cm}$                   D. $6\sqrt{3}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{3}~\text{cm}$                   E. $4\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{3}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan bahwa $AB$ dan $AC$ berturut-turut merupakan sisi depan dan sisi samping dari sudut $60^{\circ}$, sehingga dengan menggunakan perbandingan tangen sebagai salah satu fungsi trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{AB}{AC} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{12}{AC} \\ AC & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{3}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AC$ adalah $4\sqrt{3}~\text{cm}$
(Jawaban B

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dan sudut $\alpha$ terletak pada kuadran ke IV, nilai $\tan \alpha$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac{1}{2}$                                   D. $\sqrt{2}$
B. $-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$                             E. $\sqrt{3}$
C. $-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$

Penyelesaian

Diketahui $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}} {2}$. Ini berarti, dapat dikatakan bahwa panjang sisi samping dan hipotenusa segitiga siku-siku $\sqrt{3}$ dan $2$.

Dengan demikian, panjang sisi depannya adalah $\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} = 1$. 

Karena $\alpha$ berada di kuadran IV, maka nilai tangen bertanda negatif. Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} \tan \alpha & = -\dfrac{\text{de}} {\text{sa}} \\ & = – \dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\tan \alpha$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29
Diketahui segitiga $XYZ$. Besar sudut $X = 60^{\circ}$ dan sudut $Z = 45^{\circ}$. Jika panjang sisi $YZ = 8~\text{cm}$, panjang sisi $XY = \cdots$
A. $8\sqrt{2}~\text{cm}$                     D. $3\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $8\sqrt{3}~\text{cm}$                     E. $8\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $\dfrac{8}{3}\sqrt{6}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

$\begin{aligned} \dfrac{YZ} {\sin X} & = \dfrac{XY} {\sin Z} \\ \dfrac{8}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{XY} {\sin 45^{\circ}} \\ XY & = \dfrac{8 \times \sin 45^{\circ}} {\sin 60^{\circ}} \\ XY & = \dfrac{8 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ XY & = 4\sqrt{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ XY & = \dfrac{8}{3}\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $XY$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}\sqrt{6}~\text{cm}}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui segitiga $PQR$ dengan panjang sisi $r = 2\sqrt{2}~\text{cm}$, panjang sisi $q = 4~\text{cm}$, dan besar $\angle P = 45^{\circ}$. Panjang sisi $p$ adalah $\cdots$
A. $4\sqrt{3}~\text{cm}$            D. $2\sqrt{3}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{2}~\text{cm}$            E. $2\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $4~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh

$\begin{aligned} QR^2 & = PQ^2 + PR^2 – 2 \cdot PQ \cdot PR \cos P \\ & = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 – 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cos 45^{\circ} \\ & = 8 + 16 – 16\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 24 – 16 = 8 \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{QR = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}~\text{cm}}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31
Diketahui suatu segitiga $ABC$, panjang sisi $AB$ dan $AC$ berturut-turut $18~\text{cm}$ dan $12~\text{cm}$, dan sudut $\angle A = 60^{\circ}$. Luas segitiga $ABC$ tersebut adalah $\cdots$
A. $54~\text{cm}^2$                            D. $108~\text{cm}^2$
B. $54\sqrt{2}~\text{cm}^2$                      E. $108\sqrt{3}~\text{cm}^2$
C. $54\sqrt{3}~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan aturan luas menurut trigonometri, yaitu

$\begin{aligned} L \triangle ABC & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 \cdot \sin 60^{\circ} \\ & = 108 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 54\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $ABC$ tersebut adalah $\boxed{54\sqrt{3}~\text{cm}^2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 32
Manajer restoran cepat saji mengamati dan menghitung waktu yang dibutuhkan karyawannya untuk menyajikan makanan kepada pembeli. Dari 11 pengamatan diperoleh data dalam detik sebagai berikut: $50, 55, 40, 48, 62, 50, 48, 40, 42, 60, 38$. Kuartil ketiga dari data di atas adalah $\cdots$
A. $60$         B. $55$        C. $42$             D. $12$          E. $9$

Penyelesaian

Urutkan dan pilah semua data yang diberikan itu dengan membaginya dalam 3 bagian seperti berikut.
$\underbrace{38~~40~~40~~42~~48}_{\text{Bagian} ~Q_1} ~~\underbrace{48}_{Q_2}~~\underbrace{50~50~~55~~60~~62}_{\text{Bagian}~Q_3}$
Pada bagian $Q_3$, datum tengahnya adalah $55$.
Jadi, kuartil ketiga (kuartil atas) dari data tersebut adalah $55$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 33
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut!
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} \\ \hline 121-123 & 2 \\ 124-126 & 5 \\ 127-129 & 10 \\ 130-132 & 12 \\ 133-135 & 8 \\ 136-138 & 3 \\ \hline \end{array}$
$\text{D}_4$ dari data di atas adalah $\cdots$
A. $127,2$                   D. $129,7$
B. $127,4$                   E. $129,8$
C. $129,2$

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 121-123 & 2 & 2 \\ 124-126 & 5 & 7 \\ \color{red}{ 127-129} & \color{red}{10} & \color{red}{17} \\ 130-132 & 12 & 29 \\ 133-135 & 8 & 37 \\ 136-138 & 3  & 40\\ \hline \end{array}$
Kelas desil ke-$4$ atau $\text{D}_4$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{4n}{10} = \dfrac{4\times 40}{10} = 16$, yaitu pada kelas dengan rentang $127-129$.
Tepi bawah kelas desil ke-4 adalah $L_0 = 127-0,5 = 126,5$
Lebar kelasnya $c = 5$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-4, yaitu $\sum F_k = 7$
Frekuensi kelas desil ke-4 $f_{D} = 10$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{D}_4 & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{4n}{10} – \sum F_k}{f_{D}}\right) \\ & = 126,5 + 3\left(\dfrac{16- 7}{10}\right) \\ & = 126,5+ 3\left(\dfrac{9}{10}\right) \\ & = 126,5 + 2,7 \\ & = 129,2 \end{aligned}$
Jadi, desil ke-4 dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{129,2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 34
Simpangan rata-rata dari data $4,5,8,9,9$ adalah $\cdots$
A. $1$         B. $\sqrt{2}$         C. $2$            D. $3$          E. $4$

Penyelesaian

Rata-rata dari 5 data tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{4+5+8+9+9}{5} = 7$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i – \overline{x}|} {n} }$
di mana $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|4-7| + |5-7| + |8-7| + |9-7| + |9-7|} {5} \\ & = \dfrac{3+2+1+2+2}{5} \\ & = \dfrac{10}{5} = 2 \end{aligned}$$
Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Statistika (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 35
Simpangan baku dari data: $8,3,4,6,2,7$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{14}\sqrt{42}$                  D. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{1}{3}\sqrt{42}$                    E. $\sqrt{14}$
C. $1$

Penyelesaian

Rata-rata dari 6 data tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{8+3+4+6+2+7}{6} = 5$
Selanjutnya, carilah simpangan baku dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_B = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i – \overline{x})^2} {n}}}$
di mana $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$$\begin{aligned} S_B & = \sqrt{\dfrac{(8-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2+(2-5)^2+(7-5)^2}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9+4+1+1+9+4}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{28}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{14}{3}} \\ & =  \dfrac{1}{3}\sqrt{42} \end{aligned}$$
Jadi, simpangan baku dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}\sqrt{42}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 36
Sepuluh wanita mempunyai rata-rata tinggi badan $155~\text{cm}$. Jika tiga orang wanita dikeluarkan dari kelompok tersebut, rata-rata tinggi badannya menjadi $156,5$. Rata-rata tinggi badan ketiga wanita tersebut adalah $\cdots$
A. $151,0~\text{cm}$                D. $153,5~\text{cm}$
B. $151,5~\text{cm}$                E. $154,5~\text{cm}$
C. $153,0~\text{cm}$

Penyelesaian

Ingat bahwa jumlah datum dihitung dengan cara mengalikan frekuensi dan rata-ratanya.
Misalkan
$x_1 =$ jumlah tinggi $10$ wanita,
$x_2 =$ jumlah tinggi $7$ wanita yang tersisa,
$x_3=$ jumlah tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
$a =$ rata-rata tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
maka diperoleh persamaan:
$\begin{aligned} x_1 & = x_2 + x_3 \\ 10 \times 155 & = 7 \times 156,5 + 3a \\ 1550 & = 1095,5 + 3a \\ 3a & = 1550 – 1095,5 \\ 3a & = 454,5 \\ a & = \dfrac{454,5}{3} = 151,5 \end{aligned}$
Jadi, tinggi rata-rata tiga wanita yang dikeluarkan itu adalah $\boxed{151,5~\text{cm}}$ (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 37
Perhatikan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai Ujian Matematika} & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 \\ \hline \text{Frekuensi} & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 \\ \hline \end{array}$$
Jika rata-rata nilai ujian matematika adalah $44$, nilai $x$ adalah $\cdots$
A. $6$           B. $7$           C. $8$              D. $9$            E. $10$

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menyisipkan hasil kali frekuensi dan nilai yang bersesuaian dengan kolomnya sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai (N)} & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 & \text{Jumlah} \\ \hline \text{Frekuensi (f)} & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 & 23 + x  \\ \hline Nf & 90 & 120 & 200 & 360 & 50x & 180 & 970 + 50x \\ \hline \end{array}$$
Rata-ratanya dinyatakan oleh

$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\text{Jumlah nilai}}{\text{Banyak orang}} \\ 44 & = \dfrac{970 + 50x}{23 + x} \\ 44(23 + x) & = 970 + 50x \\ 1012 + 44x & = 970 + 50x \\ 1012 – 970 & = 50x – 44x \\ 42 & = 6x \\ x & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{7}$ (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 38
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut yang merupakan data nilai ulangan matematika $40$ orang siswa.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} \\ \hline 60-64 & 3 \\ 65-69 & 8 \\ 70-74 & 10 \\ 75-79 & 12 \\ 80-84 & 7 \\ \hline \end{array}$
Rata-rata dari data di atas adalah $\cdots$
A. $73,5$                   D. $77,7$
B. $74,5$                   E. $80,5$
C. $76,3$ 

Penyelesaian

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_i$ dan $f_ix_i$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 & 186 \\ 65-69 & 8 & 67 & 536 \\ 70-74 & 10 & 72 & 720 \\ 75-79 & 12 & 77 & 924 \\ 80-84 & 7 & 82 & 574 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – & 2940 \\ \hline \end{array}$$
Diperoleh $\sum f = 40$ dan $\sum f_ix_i = 2940$, sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\displaystyle \sum f_ix_i} {\sum f} \\ & = \dfrac{2940}{40} \\ & = 73,5 \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara $\overline{x}_s = 75$. Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline  \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & d_i = x_i – \overline{x}_s & f_id_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 & -13 & -39 \\ 65-69 & 8 & 67 & -8 & -64 \\ 70-74 & 10 & 72 & -3 & -30 \\ 75-79 & 12 & 77 & 2 & 24 \\ 80-84 & 7 & 82 & 7 & 49 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – & – & -60 \\ \hline \end{array}$$
Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overline{x} & = \overline{x}_s + \dfrac{\sum f_id_i}{\sum f} \\ & = 75 + \dfrac{-60}{40} \\ & = 75 – 1,5 \cdots \approx 73,5 \end{aligned}$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika 40 orang siswa tersebut adalah $\boxed{73,5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 39
Tabel distribusi frekuensi berikut merupakan data penjualan beras di suatu toko.
$\begin{array}{|c|c|} \hline  \text{Penjualan Beras (Ton)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 21-25 & 3 \\ 26-30 & 5 \\ 31-35 & 15 \\ 36-40 & 8 \\ 41-45 & 6 \\ 46-50 & 3 \\ \hline \end{array}$
Modus dari data tersebut adalah $\cdots$
A. $33,44$ ton               D. $34,88$ ton
B. $33,68$ ton               E. $35,44$ ton
C. $34,44$ ton

Penyelesaian

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Penjualan Beras (Ton)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 21-25 & 3 \\ 26-30 & 5 \\ \color{red}{ 31-35} & \color{red}{15} \\  36-40 & 8 \\ 41-45 & 6 \\ 46-50 & 3 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31-35$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 31 – 0,5 = 30,5$
Lebar kelas $c = 5$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 15 – 5 = 10$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 15-8 = 7$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 30,5 + 5\left(\dfrac{10}{10+7}\right) \\ & = 30,5 + \dfrac{50}{17} \\ & = 30,5 + 2,941176\cdots \approx 33,44 \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{33,44~\text{ton}}$
(Jawaban A

[collapse]

Soal Nomor 40
Berikut adalah diagram batang dari data jumlah siswa berdasarkan tingkat pendidikan di kota “PARIWISATA”.

Jumlah siswa perempuan dari semua tingkat pendidikan adalah $\cdots$

A. $1.200$ orang                D. $2.800$ orang
B. $1.400$ orang                E. $2.900$ orang
C. $2.000$ orang

Penyelesaian

Banyaknya siswa perempuan pada tingkat SD, SMP, SMA, dan SMK berturut-turut berdasarkan diagram batang di atas adalah $700, 800, 900$, dan $400$, sehingga jumlah semuanya adalah $\boxed{700 + 800 + 900 + 400 = 2.800~\text{orang}}$
(Jawaban D) 

[collapse]

CategoriesBarisan dan Deret, Eksponen dan Logaritma, Geometri Analitik Ruang, Program Linear, SPLDV, Statistika Matematika, Transformasi Geometri, Trigonometri, UN SMK PSPTags, , , , , , , ,

5 Replies to “Soal dan Pembahasan – Ujian Nasional Matematika Jurusan PSP Tingkat SMK Tahun 2015/2016”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *