Soal Latihan dan Penyelesaian – Homomorfisma Grup dan Kernel (Struktur Aljabar)

Soal Nomor 1
Misalkan G merupakan grup atas himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan, sedangkan H grup atas himpunan bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan pemetaan \psi: G \to H dengan \psi(a) = 2^a.
Tunjukkan bahwa \psi merupakan homomorfisma dari G ke H.

Penyelesaian

Perhatikan pemasangan (pemetaan) oleh \psi berikut ini dengan a, b \in G:
a \to \psi(a) = 2^a
b \to \psi(b) = 2^b
a + b \to \psi(a+b)
dengan,
\psi(a+b) = 2^{a+b} = 2^a \times 2^b
= \psi(a) \times \psi(b)
Karena \forall a,b \in G, \psi(a+b) = \psi(a) \times \psi(b), maka \psi terbukti merupakan homomorfisma dari G ke H.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan G' = G. Untuk bilangan bulat x \in G, didefinisikan pemetaan \psi: G \to G' dengan \psi(a) = 2a. Tunjukkan bahwa
a) \psi homomorfisma
b) \psi isomorfisma

Penyelesaian

Jawaban a
Ambil sembarang x,y \in G sehingga muncul pemetaan
x \to \psi(x) = 2x
y \to \psi(y) = 2y
x + y \to \psi(x+y) = 2(x+y)
= 2x + 2y = \psi(x) + \psi(y)
Jadi, diperoleh \psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y)
Ini berarti \psi homomorfisma (terbukti).
Jawaban b
Untuk menunjukkan bahwa \psi isomorfisma (homomorfisma yang bijektif), maka harus ditunjukkan bahwa \psi monomorfisma (homomorfisma yang injektif) dan epimorfisma (homomorfisma yang surjektif).
Langkah pertama, kita akan menunjukkan bahwa \psi monomorfisma.
Ambil sembarang x, y \in G.
Jika \psi(x) = \psi(y), maka diperoleh
2x = 2y \Leftrightarrow x = y
Jadi, \psi(x) = \psi(y) \Rightarrow x = y
Ini berarti \psi injektif (monomorfisma).
Langkah kedua, kita akan menunjukkan bahwa \psi epimorfisma.
Ambil sembarang x' \in G'. pilih x \in G sehingga \psi(x) = x'. Ambil juga x = \dfrac{1}{2}x', maka \psi(x) = 2\left(\dfrac{1}{2}x'\right) = x'. Jadi, untuk semua x' \in G', ada x \in G dengan x = \dfrac{1}{2}x' \ni \psi(x) = x'.
Ini berarti \psi surjektif (epimorfisma)
Dari kedua ini, terbukti bahwa \psi isomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan G grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan H = \{-1, 1\} juga merupakan grup terhadap operasi perkalian. Pemetaan \psi: G \to G' didefinisikan oleh
\psi(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}
Buktikan bahwa \psi homomorfisma.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G
Kita akan membagi ini dalam 4 kasus berbeda.
Kasus I: x, y > 0
Karena x > 0 dan y > 0, maka x \times y > 0, sehingga
\psi(x) = 1
\psi(y) = 1
\psi(x \times y) = 1
Jadi, \psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)
Kasus II: x > 0 dan y < 0
Karena x > 0 dan y < 0, maka x \times y < 0, sehingga
\psi(x) = 1
\psi(y) = -1
\psi(x \times y) = -1
Jadi, \psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)
Kasus III: x < 0 dan y > 0
Karena x < 0 dan y > 0, maka x \times y < 0, sehingga
\psi(x) = -1
\psi(y) = 1
\psi(x \times y) = -1
Jadi, \psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)
Kasus IV: x, y < 0
Karena x < 0 dan y < 0, maka x \times y > 0, sehingga
\psi(x) = -1
\psi(y) = -1
\psi(x \times y) = 1
Jadi, \psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)
Dari kasus I sampai kasus IV, \psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y), x,y \in G

[collapse]

Soal Nomor 4
Diberikan B = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\} dan (B, +) grup.
a) Jika \psi: B \to B didefinisikan oleh \psi(x) = 2x, \forall x \in B, buktikan \psi endomorfisma.
b) Jika \theta: B \to B didefinisikan oleh \theta(x) = -x, \forall x \in B, buktikan \theta automorfisma.

Penyelesaian

(Jawaban a)
Ambil sembarang x, y \in B, sehingga
\psi(x) = 2x
\psi(y) = 2y
\psi(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = \psi(x) + \psi(y)
Jadi, \psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y), \forall x,y \in B
Ini berarti, \psi homomorfisma. Karena pemetaannya ke diri sendiri, yaitu \psi: B \to B, maka \psi endomorfisma (terbukti)
(Jawaban b)
Ambil sembarang x, y \in B, sehingga
\theta(x) = -x
\theta(y) = -y
\theta(x + y) = -(x + y) = (-x) + (-y) = \theta(x) + \theta(y)
Jadi, \theta(x + y) = \theta(x) + \theta(y), \forall x,y \in B
Berarti, \theta homomorfisma.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa \theta injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang x,y \in B.
Jika \theta(x) = \theta(y), maka diperoleh
-x = -y, yang ekuivalen dengan x = y
Jadi, \theta(x) = \theta(y) \Rightarrow x = y
Ini berarti, \theta injektif.
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa \theta surjektif (epimorfisma)
Ambil sembarang x' \in B'. pilih x \in B sehingga \theta(x) = x'.
Ambil x = -x', maka \theta(x) = -(-x') = x'
Jadi, \forall x' \in B', \exists x \in B, x = -x' \ni \theta(x) = x'
Ini berarti, \theta surjektif.
Dapat disimpulkan, \theta merupakan endomorfisma yang bijektif atau istilah presisinya disebut automorfisma (terbukti).

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan G = (\mathbb{R}^+, \times) dan G' = (\mathbb{R}, +)
Buktikan pemetaan \phi: G \to G' yang didefinisikan oleh \phi(x) = \log x merupakan isomorfisma.

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa \phi homomorfisma terlebih dahulu.
Ambil sembarang x, y \in G, sehingga
\phi(x) = \log x
\phi(y) = \log y
\phi(x \times y) = \log xy = \log x + \log y = \phi(x) + \phi(y)
Jadi, \phi(x \times y) = \phi(x) + \phi(y)
Berarti \phi homomorfisma.
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa \phi injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang x, y \in G
Jika \phi(x) = \phi(y), maka \log x = \log y \Leftrightarrow x = y
Jadi, \phi(x) = \phi(y) \Rightarrow x = y
Berarti, \phi injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa \phi surjektif (epimorfisma).
Ambil sembarang x' \in G'. pilih x \in G sehingga \phi(x) = x'. Ambil x = 10^{x'}, maka \phi(x) = ^{10}\log 10^{x'} = x'
Jadi, \forall x' \in G', \exists x \in G, x = 10^{x'} \ni \phi(x) = x'
Ini berarti, \phi surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa \phi merupakan isomorfisma (hormomorfisma yang bijektif).

[collapse]

Soal Nomor 6a
Diberikan G grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan G = G', \phi(x) = x^2, \forall x \in G
Apakah \phi homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G sehingga
x \to \phi(x) = x^2
y \to \phi(y) = y^2
x \times y \to \phi(x \times y) = (x \times y)^2
= x^2 \times y^2 = \phi(x) \times \phi(y)
Jadi, \phi(x \times y) = \phi(x) \times \phi(y).
Berarti, \phi homomorfisma.
Elemen identitas dari G', yaitu e’ adalah 1, sehingga kernel dari \phi adalah
K_e = \{x \in G | \phi(x) = e'\}
K_e = \{x \in G | x^2 = 1\}
K_e = \{-1, 1\}
Jadi, kernel dari \phi adalah \{-1, 1\}

[collapse]

Soal Nomor 6b
Diberikan G grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan G = G', \phi(x) = 2^x, \forall x \in G
Apakah \phi homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G sehingga
x \to \phi(x) = 2^x
y \to \phi(y) = 2^y
x \times y \to \phi(x \times y) = 2^{x \times y}
\neq 2^x \times 2^y \neq \phi(x) \times \phi(y)
Jadi, \phi(x \times y) \neq \phi(x) \times \phi(y).
Berarti, \phi bukan homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 6c
Diberikan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan G = G', \phi(x) = x + 1, \forall x \in G
Apakah \phi homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G sehingga
x \to \phi(x) = x + 1
y \to \phi(y) = y + 1
x + y \to \phi(x + y) = (x + y) + 1
\neq (x + 1) + (y + 1) \neq \phi(x) + \phi(y)
Jadi, \phi(x + y) \neq \phi(x) + \phi(y).
Berarti, \phi bukan homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 6d
Diberikan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan G = G', \phi(x) = 13x, \forall x \in G
Apakah \phi homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G sehingga
x \to \phi(x) = 13x
y \to \phi(y) = 13y
x + y \to \phi(x + y) = 13(x + y)
= 13x + 13y = \phi(x) + \phi(y)
Jadi, \phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y).
Berarti, \phi homomorfisma.
Elemen identitas dari G', yaitu e’ adalah 0, sehingga kernel dari \phi adalah
K_e = \{x \in G | \phi(x) = e'\}
K_e = \{x \in G | 13x = 0\}
K_e = \{0\}
Jadi, kernel dari \phi adalah \{0\}

[collapse]

Soal Nomor 6e
Diberikan G sembarang grup abelian dan G = G', \phi(x) = x^5, \forall x \in G
Apakah \phi homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang x, y \in G sehingga
x \to \phi(x) = x^5
y \to \phi(y) = y^5
x \star y \to \phi(x \star y) = (x \star y)^5
Karena G grup abelian, maka berlaku
x^5 \star y^5 = \phi(x) \star \phi(y)
Jadi, \phi homomorfisma.
Identitas G' adalah e', sehingga kernel dari \phi adalah
K_e = \{x \in G| x^5 = e'\}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa (G, +_2) dan (G' = \{-1, 1\}, \times) merupakan homomorfisma.

Penyelesaian

Karena grup yang kita temui ini merupakan grup finit (grup yang anggotanya terbatas), maka kita perlu menggunakan bantuan Tabel/Daftar Cayley, yang disajikan sebagai berikut.

Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa kedua grup itu tidak sama, tetapi memiliki kemiripan satu dengan yang lain. Perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo 2 pada setiap anggota G berkorespondensi satu-satu terhadap hasil perkalian setiap anggota G' (perhatikan sel yang diberi shading kuning dan biru). Ini berarti, kedua grup itu memiliki struktur yang sama.
Dari tabel itu, kita peroleh hasil pemetaan oleh \phi, yaitu
\phi(0) = 1 dan \phi(1) = -1
Kita akan melakukan pemeriksaan apakah \phi homomorfisma.
Ambil 0, 1 \in G.
\phi(0 +_2 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})
\phi(0 +_2 1) = \phi(0) \times \phi(1)  = -1 (\text{benar})
\phi(1 +_2 0) = \phi(1) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})
\phi(1 +_2 1) = \phi(1) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})
Jadi, jelas bahwa \phi homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan grup (M_2(\mathbb{R}, +)) dan (\mathbb{R}, +). Diberikan fungsi \phi: M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} dengan definisi
\phi\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right) = a + b - c - d, untuk \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R}).
Buktikan bahwa \phi homomorfisma dan tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}
dengan A, B \in M_2(\mathbb{R})
Hasil pemetaan \phi adalah
A \to \phi(A) = a + b - c - d
B \to \phi(B) = e + f - g - h
A + B \to \phi(A + B)
Perhatikan bahwa,
\phi(A+B) = \phi\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\right)
= \phi\left(\begin{bmatrix} a + e& b + f\\ c + g & d + h\end{bmatrix}\right)
= (a + e) + (b + f) - (c + g) - ( d + h)
= (a + b - c - d) + (e + f - g - h)
= \phi(A) + \phi(B)
Jadi, \phi homomorfisma.
—–Menentukan Kernel—–
Diketahui bahwa identitas (\mathbb{R}, +) adalah e' = 0, sehingga kernel dari \phi adalah
K = \left\{X \in M_2(\mathbb{R})\left| \phi(X) = e'\right\}
K = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \left| a, b, c, d \in \mathbb{R}, a + b - c - d = 0\right\}

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan G = \{0, 1, 2, 3\} grup terhadap operasi penjumlahan modulo 4 dan G' = \{1, i, -1, -i\} himpunan akar bilangan kompleks \mathbb{C} dari persamaan z^4 = 1 membentuk grup terhadap operasi perkalian.
Buktikan \phi: G \to G' homomorfisma!

Penyelesaian

Karena G dan G' merupakan grup finit, maka kita perlu menggunakan Tabel Cayley, yang disajikan sebagai berikut.

Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa (G, +_4) dan (G', \times) jelas berbeda, tetapi perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo 4 dari sembarang anggota G berkorespondensi satu-satu dengan hasil perkalian setiap anggota sembarang pada G' pada sel yang bersesuaian (lihat sel yang diberi shading biru, kuning, merah, dan oren). Dari tabel itu, diperoleh hasil pemetaan
\phi(0) = 1
\phi(1) = i
\phi(2) = -1
\phi(3) = -i
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa \phi homomorfisma. Ambil 0, 1, 2, 3 \in G. Pembuktiannya untuk masing-masing kombinasi anggota G (ada 16), tapi dapat disingkat dengan menggunakan sifat komutatif pada (G, +_4) dan (G, \times), di mana
\phi(a +_4 b) = \phi(b +_4 a)
dan
\phi(a) \times \phi(b) = \phi(b) \times \phi(a)
Pembuktian yang dimaksud adalah sebagai berikut.
\phi(0 +_4 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})
\phi(1 +_4 0) = \phi(1) \times \phi(0) = i (\text{benar})
\phi(2 +_4 0) = \phi(2) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})
\phi(3 +_4 0) = \phi(3) \times \phi(0) = -i (\text{benar})
\phi(1 +_4 1) = \phi(1) \times \phi(1) = -1 (\text{benar})
\phi(2 +_4 2) = \phi(2) \times \phi(2) = 1 (\text{benar})
\phi(3 +_4 3) = \phi(3) \times \phi(3) = -1 (\text{benar})
\phi(2 +_4 1) = \phi(2) \times \phi(1) = -i (\text{benar})
\phi(3 +_4 1) = \phi(3) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})
\phi(2 +_4 3) = \phi(2) \times \phi(3) = i (\text{benar})
Jadi, dapat disimpulkan bahwa \phi homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika)
Misalkan \mathbb{R}[x, y] adalah himpunan semua polinom real dengan dua variabel x dan y. Jika \psi: \mathbb{R}[x, y] \rightarrow \mathbb{R}[x, y] adalah homomorfisma grup yang didefinisikan oleh
\psi: f(x, y) \rightarrow \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},
maka kernel dari \psi adalah \cdots

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 11 
Pandang \mathbb{Z} dan \mathbb{Z}_6 sebagai grup dengan operasi penjumlahan dan penjumlahan modulo 6.
a. Buatlah homomorfisma yang mungkin dari \phi: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}_6
b. Tentukan \text{ker}(\phi)
c. Tunjukkan bahwa \text{ker}(\phi) merupakan subgrup dari \mathbb{Z}
d. Tentukan grup kuosien \mathbb{Z} /\text{ker}(\phi)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

2 Balasan untuk “Soal Latihan dan Penyelesaian – Homomorfisma Grup dan Kernel (Struktur Aljabar)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *