Soal dan Pembahasan – Homomorfisma Grup dan Kernel (Struktur Aljabar)

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang homomorfisma grup dan kernel dalam kajian struktur aljabar. Semoga bermanfaat!

Today Quote

Someday, everything will make perfect sense. So for now, laugh at the confusion, smile through the tears and keep reminding yourself that everything happens for a reason.

Soal Nomor 1
Misalkan $G$ merupakan grup atas himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan, sedangkan $H$ grup atas himpunan bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan pemetaan $\psi: G \to H$ dengan $\psi(a) = 2^a$.
Tunjukkan bahwa $\psi$ merupakan homomorfisma dari $G$ ke $H$.

Penyelesaian

Perhatikan pemasangan (pemetaan) oleh $\psi$ berikut ini dengan $a, b \in G$:
$a \to \psi(a) = 2^a$
$b \to \psi(b) = 2^b$
$a + b \to \psi(a+b)$
dengan,
$\psi(a+b) = 2^{a+b} = 2^a \times 2^b$
$ = \psi(a) \times \psi(b)$
Karena $\forall a,b \in G, \psi(a+b) = \psi(a) \times \psi(b)$, maka $\psi$ terbukti merupakan homomorfisma dari $G$ ke $H$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $G$ grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan $G’ = G$. Untuk bilangan bulat $x \in G$, didefinisikan pemetaan $\psi: G \to G’$ dengan $\psi(a) = 2a$. Tunjukkan bahwa
a) $\psi$ homomorfisma
b) $\psi$ isomorfisma

Penyelesaian

Jawaban a)
Ambil sembarang $x,y \in G$ sehingga muncul pemetaan
$x \to \psi(x) = 2x$
$y \to \psi(y) = 2y$
$x + y \to \psi(x+y) = 2(x+y) $
$ = 2x + 2y = \psi(x) + \psi(y)$
Jadi, diperoleh $\psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y)$
Ini berarti $\psi$ homomorfisma (terbukti).
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa $\psi$ isomorfisma (homomorfisma yang bijektif), maka harus ditunjukkan bahwa $\psi$ monomorfisma (homomorfisma yang injektif) dan epimorfisma (homomorfisma yang surjektif).
Langkah pertama, kita akan menunjukkan bahwa $\psi$ monomorfisma.
Ambil sembarang $x, y \in G$.
Jika $\psi(x) = \psi(y)$, maka diperoleh
$2x = 2y \Leftrightarrow x = y$
Jadi, $\psi(x) = \psi(y) \Rightarrow x = y$
Ini berarti $\psi$ injektif (monomorfisma).
Langkah kedua, kita akan menunjukkan bahwa $\psi$ epimorfisma.
Ambil sembarang $x’ \in G’$. pilih $x \in G$ sehingga $\psi(x) = x’$. Ambil juga $x = \dfrac{1}{2}x’$, maka $\psi(x) = 2\left(\dfrac{1}{2}x’\right) = x’$. Jadi, untuk semua $x’ \in G’$, ada $x \in G$ dengan $x = \dfrac{1}{2}x’ \ni \psi(x) = x’$.
Ini berarti $\psi$ surjektif (epimorfisma)
Dari kedua ini, terbukti bahwa $\psi$ isomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan $G$ grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan $H = \{-1, 1\}$ juga merupakan grup terhadap operasi perkalian. Pemetaan $\psi: G \to G’$ didefinisikan oleh
$\psi(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
Buktikan bahwa $\psi$ homomorfisma.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$
Kita akan membagi ini dalam 4 kasus berbeda.
Kasus I: $x, y > 0$
Karena $x > 0$ dan $y > 0$, maka $x \times y > 0$, sehingga
$\psi(x) = 1$
$\psi(y) = 1$
$\psi(x \times y) = 1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)$
Kasus II: $x > 0$ dan $y < 0$
Karena $x > 0$ dan $y < 0$, maka $x \times y < 0$, sehingga
$\psi(x) = 1$
$\psi(y) = -1$
$\psi(x \times y) = -1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)$
Kasus III: $x < 0$ dan $y > 0$
Karena $x < 0$ dan $y > 0$, maka $x \times y < 0$, sehingga
$\psi(x) = -1$
$\psi(y) = 1$
$\psi(x \times y) = -1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)$
Kasus IV: $x, y < 0$
Karena $x < 0$ dan $y < 0$, maka $x \times y > 0$, sehingga
$\psi(x) = -1$
$\psi(y) = -1$
$\psi(x \times y) = 1$
Jadi, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y)$
Dari kasus I sampai kasus IV, $\psi(x \times y) = \psi(x) \times \psi(y), x,y \in G$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diberikan $B = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$ dan $(B, +)$ grup.
a) Jika $\psi: B \to B$ didefinisikan oleh $\psi(x) = 2x, \forall x \in B$, buktikan $\psi$ endomorfisma.
b) Jika $\theta: B \to B$ didefinisikan oleh $\theta(x) = -x, \forall x \in B$, buktikan $\theta$ automorfisma.

Penyelesaian

(Jawaban a)
Ambil sembarang $x, y \in B$, sehingga
$\psi(x) = 2x$
$\psi(y) = 2y$
$\begin{aligned} \psi(x+y) & = 2(x+y) \\ & = 2x + 2y \\ & = \psi(x) + \psi(y) \end{aligned}$
Jadi, $\psi(x+y) = \psi(x) + \psi(y), \forall x,y \in B$
Ini berarti, $\psi$ homomorfisma. Karena pemetaannya ke diri sendiri, yaitu $\psi: B \to B$, maka $\psi$ endomorfisma (terbukti)
(Jawaban b)
Ambil sembarang $x, y \in B$, sehingga
$\theta(x) = -x$
$\theta(y) = -y$
$\begin{aligned} \theta(x + y) & = -(x + y) \\ &  = (-x) + (-y) \\ & = \theta(x) + \theta(y) \end{aligned}$
Jadi, $\theta(x + y) = \theta(x) + \theta(y), \forall x,y \in B$
Berarti, $\theta$ homomorfisma.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\theta$ injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang $x,y \in B$.
Jika $\theta(x) = \theta(y)$, maka diperoleh
$-x = -y$, yang ekuivalen dengan $x = y$
Jadi, $\theta(x) = \theta(y) \Rightarrow x = y$
Ini berarti, $\theta$ injektif.
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa $\theta$ surjektif (epimorfisma)
Ambil sembarang $x’ \in B’$. pilih $x \in B$ sehingga $\theta(x) = x’$.
Ambil $x = -x’$, maka $\theta(x) = -(-x’) = x’$
Jadi, $\forall x’ \in B’, \exists x \in B, x = -x’ \ni \theta(x) = x’$
Ini berarti, $\theta$ surjektif.
Dapat disimpulkan, $\theta$ merupakan endomorfisma yang bijektif atau istilah presisinya disebut automorfisma (terbukti).

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $G = (\mathbb{R}^+, \times)$ dan $G’ = (\mathbb{R}, +)$
Buktikan pemetaan $\phi: G \to G’$ yang didefinisikan oleh $\phi(x) = \log x$ merupakan isomorfisma.

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa $\phi$ homomorfisma terlebih dahulu.
Ambil sembarang $x, y \in G$, sehingga
$\phi(x) = \log x$
$\phi(y) = \log y$
$\begin{aligned} \phi(x \times y) & = \log xy \\ &= \log x + \log y = \phi(x) + \phi(y) \end{aligned}$

Jadi, $\phi(x \times y) = \phi(x) + \phi(y)$
Berarti $\phi$ homomorfisma.
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang $x, y \in G$
Jika $\phi(x) = \phi(y)$, maka $\log x = \log y \Leftrightarrow x = y$
Jadi, $\phi(x) = \phi(y) \Rightarrow x = y$
Berarti, $\phi$ injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ surjektif (epimorfisma).
Ambil sembarang $x’ \in G’$. pilih $x \in G$ sehingga $\phi(x) = x’$. Ambil $x = 10^{x’}$, maka $\phi(x) = ^{10}\log 10^{x’} = x’$
Jadi, $\forall x’ \in G’, \exists x \in G, x = 10^{x’} \ni \phi(x) = x’$
Ini berarti, $\phi$ surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa $\phi$ merupakan isomorfisma (hormomorfisma yang bijektif).

[collapse]

Soal Nomor 6a
Diberikan $G$ grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan $G = G’, \phi(x) = x^2, \forall x \in G$
Apakah $\phi$ homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x^2$
$y \to \phi(y) = y^2$
$x \times y \to \phi(x \times y) = (x \times y)^2$
$ = x^2 \times y^2 = \phi(x) \times \phi(y)$
Jadi, $\phi(x \times y) = \phi(x) \times \phi(y)$.
Berarti, $\phi$ homomorfisma.
Elemen identitas dari $G’$, yaitu e’ adalah $1$, sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G | \phi(x) = e’\}$
$K_e = \{x \in G | x^2 = 1\}$
$K_e = \{-1, 1\}$
Jadi, kernel dari $\phi$ adalah $\{-1, 1\}$

[collapse]

Soal Nomor 6b
Diberikan $G$ grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan $G = G’, \phi(x) = 2^x, \forall x \in G$
Apakah $\phi$ homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = 2^x$
$y \to \phi(y) = 2^y$
$x \times y \to \phi(x \times y) = 2^{x \times y}$
$ \neq 2^x \times 2^y \neq \phi(x) \times \phi(y)$
Jadi, $\phi(x \times y) \neq \phi(x) \times \phi(y)$.
Berarti, $\phi$ bukan homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 6c
Diberikan $G$ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan $G = G’, \phi(x) = x + 1, \forall x \in G$
Apakah $\phi$ homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x + 1$
$y \to \phi(y) = y + 1$
$x + y \to \phi(x + y) = (x + y) + 1 $
$ \neq (x + 1) + (y + 1) \neq \phi(x) + \phi(y)$
Jadi, $\phi(x + y) \neq \phi(x) + \phi(y)$.
Berarti, $\phi$ bukan homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 6d
Diberikan $G$ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan $G = G’, \phi(x) = 13x, \forall x \in G$
Apakah $\phi$ homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = 13x$
$y \to \phi(y) = 13y$
$x + y \to \phi(x + y) = 13(x + y) $
$ = 13x + 13y = \phi(x) + \phi(y)$
Jadi, $\phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y)$.
Berarti, $\phi$ homomorfisma.
Elemen identitas dari $G’$, yaitu e’ adalah $0$, sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G | \phi(x) = e’\}$
$K_e = \{x \in G | 13x = 0\}$
$K_e = \{0\}$
Jadi, kernel dari $\phi$ adalah $\{0\}$

[collapse]

Soal Nomor 6e
Diberikan G sembarang grup abelian dan $G = G’, \phi(x) = x^5, \forall x \in G$
Apakah $\phi$ homomorfisma? Jika ya, tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang $x, y \in G$ sehingga
$x \to \phi(x) = x^5$
$y \to \phi(y) = y^5$
$x \star y \to \phi(x \star y) = (x \star y)^5$
Karena G grup abelian, maka berlaku
$x^5 \star y^5 = \phi(x) \star \phi(y)$
Jadi, $\phi$ homomorfisma.
Identitas $G’$ adalah $e’$, sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K_e = \{x \in G| x^5 = e’\}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa $(G, +_2)$ dan $(G’ = \{-1, 1\}, \times)$ merupakan homomorfisma.

Penyelesaian

Karena grup yang kita temui ini merupakan grup finit (grup yang anggotanya terbatas), maka kita perlu menggunakan bantuan Tabel/Daftar Cayley, yang disajikan sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline +_2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & \color{red}{0} & \color{blue}{1}  \\ \hline 1 & \color{blue}{1} & \color{red}{0} \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \times & -1 & 1 \\ \hline -1 & \color{red}{1} & \color{blue}{-1}  \\ \hline 1 & \color{blue}{-1} & \color{red}{1} \\ \hline \end{array}$$
Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa kedua grup itu tidak sama, tetapi memiliki kemiripan satu dengan yang lain. Perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo $2$ pada setiap anggota $G$ berkorespondensi satu-satu terhadap hasil perkalian setiap anggota $G’$ (perhatikan tulisan yang diberi warna merah dan biru). Ini berarti, kedua grup itu memiliki struktur yang sama.
Dari tabel itu, kita peroleh hasil pemetaan oleh $\phi$, yaitu
$\phi(0) = 1$ dan $\phi(1) = -1$
Kita akan melakukan pemeriksaan apakah $\phi$ homomorfisma.
Ambil $0, 1 \in G$.
$\phi(0 +_2 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})$
$\phi(0 +_2 1) = \phi(0) \times \phi(1)  = -1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_2 0) = \phi(1) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_2 1) = \phi(1) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})$
Jadi, jelas bahwa $\phi$ homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan grup $(M_2(\mathbb{R}, +))$ dan $(\mathbb{R}, +)$. Diberikan fungsi $\phi: M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ dengan definisi
$\phi\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right) = a + b – c – d$, untuk $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$.
Buktikan bahwa $\phi$ homomorfisma dan tentukan kernelnya.

Penyelesaian

Ambil sembarang
$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$
dengan $A, B \in M_2(\mathbb{R})$
Hasil pemetaan $\phi$ adalah
$A \to \phi(A) = a + b – c – d$
$B \to \phi(B) = e + f – g – h$
$A + B \to \phi(A + B)$
Perhatikan bahwa,
$\phi(A+B) = \phi\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\right)$
$ = \phi\left(\begin{bmatrix} a + e& b + f\\ c + g & d + h\end{bmatrix}\right)$
$ = (a + e) + (b + f) – (c + g) – ( d + h)$
$ = (a + b – c – d) + (e + f – g – h)$
$ = \phi(A) + \phi(B)$
Jadi, $\phi$ homomorfisma.
—–Menentukan Kernel—–
Diketahui bahwa identitas $(\mathbb{R}, +)$ adalah $e’ = 0$, sehingga kernel dari $\phi$ adalah
$K = \left\{x \in M_2(\mathbb{R})~|~\phi(x) = e’\right\}$
$$K = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}~|~a, b, c, d \in \mathbb{R}, a + b-c-d = 0\right\}$$

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $G = \{0, 1, 2, 3\}$ grup terhadap operasi penjumlahan modulo $4$ dan $G’ = \{1, i, -1, -i\}$ himpunan akar bilangan kompleks $\mathbb{C}$ dari persamaan $z^4 = 1$ membentuk grup terhadap operasi perkalian.
Buktikan $\phi: G \to G’$ homomorfisma!

Penyelesaian

Karena $G$ dan $G’$ merupakan grup finit, maka kita perlu menggunakan Tabel Cayley, yang disajikan sebagai berikut.

Tabel Cayley di atas menunjukkan bahwa $(G, +_4)$ dan $(G’, \times)$ jelas berbeda, tetapi perhatikan bahwa hasil penjumlahan modulo $4$ dari sembarang anggota $G$ berkorespondensi satu-satu dengan hasil perkalian setiap anggota sembarang pada $G’$ pada sel yang bersesuaian (lihat sel yang diberi shading biru, kuning, merah, dan oren). Dari tabel itu, diperoleh hasil pemetaan
$\phi(0) = 1$
$\phi(1) = i$
$\phi(2) = -1$
$\phi(3) = -i$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\phi$ homomorfisma. Ambil $0, 1, 2, 3 \in G$. Pembuktiannya untuk masing-masing kombinasi anggota $G$ (ada $16$), tapi dapat disingkat dengan menggunakan sifat komutatif pada $(G, +_4)$ dan $(G, \times)$, di mana
$\phi(a +_4 b) = \phi(b +_4 a)$
dan
$\phi(a) \times \phi(b) = \phi(b) \times \phi(a)$
Pembuktian yang dimaksud adalah sebagai berikut.
$\phi(0 +_4 0) = \phi(0) \times \phi(0) = 1 (\text{benar})$
$\phi(1 +_4 0) = \phi(1) \times \phi(0) = i (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 0) = \phi(2) \times \phi(0) = -1 (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 0) = \phi(3) \times \phi(0) = -i (\text{benar})$
$\phi(1 +_4 1) = \phi(1) \times \phi(1) = -1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 2) = \phi(2) \times \phi(2) = 1 (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 3) = \phi(3) \times \phi(3) = -1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 1) = \phi(2) \times \phi(1) = -i (\text{benar})$
$\phi(3 +_4 1) = \phi(3) \times \phi(1) = 1 (\text{benar})$
$\phi(2 +_4 3) = \phi(2) \times \phi(3) = i (\text{benar})$
Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\phi$ homomorfisma.

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika)
Misalkan $\mathbb{R}[x, y]$ adalah himpunan semua polinom real dengan dua variabel $x$ dan $y$. Jika $\psi: \mathbb{R}[x, y] \rightarrow \mathbb{R}[x, y]$ adalah homomorfisma grup yang didefinisikan oleh
$\psi: f(x, y) \rightarrow \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$,
maka kernel dari $\psi$ adalah $\cdots$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 11 
Pandang $\mathbb{Z}$ dan $\mathbb{Z}_6$ sebagai grup dengan operasi penjumlahan dan penjumlahan modulo $6$.
a. Buatlah homomorfisma yang mungkin dari $\phi: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}_6$
b. Tentukan $\text{ker}(\phi)$
c. Tunjukkan bahwa $\text{ker}(\phi)$ merupakan subgrup dari $\mathbb{Z}$
d. Tentukan grup kuosien $\mathbb{Z} /\text{ker}(\phi)$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *