Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan

      Salah satu aplikasi atau pemanfaatan konsep turunan (diferensial) dalam matematika adalah untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung dari suatu kurva. Kebermanfaatan konsep tersebut tentunya dalam ranah bidang geometri. Konsep turunan dapat dipakai untuk menentukan gradien garis singgung dikarenakan adanya fakta bahwa nilai turunan suatu fungsi pada titik tertentu adalah gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Nah, untuk memantapkan pemahaman mengenai ini, kita sajikan soal beserta pembahasannya yang mungkin saja dapat dijadikan referensi untuk belajar. Semoga bermanfaat.

Today Quote

Emas lebih berharga dari kayu. Namun, saat kita akan tenggelam, kayulah yang menjadi penyelamat. Sederhananya, jangan meremehkan kemampuan orang lain.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Grafik fungsi $f(x)=x^2-4x+5$ menyinggung garis $g$ di $x = -1$. Gradien garis $g$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                    C. $-2$                   E. $6$
B. $-6$                    D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2-4x+5$.
Turunan pertama dari fungsi $f(x)$ adalah $f'(x) = 2x-4$.
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x = -1$, yaitu
$m = f'(-1) = 2(-1)-4=-6$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $\boxed{-6}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Garis $k$ menyinggung grafik fungsi $g(x)=3x^2-x+6$ di titik $B(2, 16)$. Persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x-16$
B. $y=2x+16$
C. $y=11x-6$
D. $y=11x+6$
E. $y=11x+16$

Pembahasan

Diketahui $g(x)=3x^2-x+6$.
Turunan pertama dari fungsi $g(x)$ adalah $g'(x) = 6x-1$.
Karena titik singgungnya di $(\color{red}{2}, 16)$, maka gradien garis singgung $k$ diperoleh saat $\color{red}{x = 2}$, yaitu
$m = g'(2) = 6(2)-1=11$
Persamaan garis yang bergradien $m = 11$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (2, 16)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-16 & = 11(x-2) \\ y-16 & = 11x-22 \\ y & = 11x-6 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{y=11x-6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 3
Jika garis $l$ menyinggung kurva dengan persamaan $y=x^3-5x^2+7$ di titik $(1,3)$, maka persamaan garis $l$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10x+y-7=0$
B. $7x+y-10=0$
C. $7x+y-2=0$
D. $5x+y-7=0$
E. $x-y-5=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^3-5x^2+7$.
Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 3x^2-10x$.
Karena titik singgungnya di $(\color{red}{1}, 3)$, maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu
$m = y’_{x=1} = 3(1)^2-10(1) = -7$
Persamaan garis yang bergradien $m = -7$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 3)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = -7(x-1) \\ y-3 & -7x+7 \\ 7x+y-10 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $l$ adalah $\boxed{7x+y-10=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y=(x^2+1)^2$ di titik dengan absis $x=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=8x+10$
B. $y=8x+8$
C. $y=8x+4$
D. $y=8x-4$
E. $y=8x-10$

Pembahasan

Diketahui $y=(x^2+1)^2$.
Titik singgung berabsis $x = 1$, sehingga $y = ((1)^2+1)^2 = (2)^2 = 4$. Jadi, koordinat titik singgung di $(1, 4)$.
Turunan pertama dari $y$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan rantai (atau bisa juga dengan dijabarkan lebih dulu), yaitu
$y’ = 2(x^2+1)(\underbrace{2x}_{y}) = 4x(x^2+1)$
Karena titik singgungnya berabsis $x=1$, maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $x = 1$, yaitu
$m = y’_{x=1} = 4(1)((1)^2+1) = 4(2) = 8$
Persamaan garis yang bergradien $m = 8$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 4)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-4 & = 8(x-1) \\ y-4 & = 8x-8 \\ y & = 8x-4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y = 8x-4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y=x^3$ di titik $A$ yang berordinat $8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12x-y+16=0$
B. $x-12y+16=0$
C. $12x-y-16=0$
D. $x-12y-16=0$
E. $12x+y+16=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^3$.
Titik singgung berordinat $y = 8$, sehingga $8 = x^3 \Leftrightarrow x = 2$. Jadi, koordinat titik singgung di $(2, 8)$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$y’ = 3x^2$.
Karena titik singgungnya $(\color{red}{2}, 8)$, maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 2}$, yaitu
$m = y’_{x=2} = 3(2)^2 = 12$
Persamaan garis yang bergradien $m = 12$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (2, 8)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = 12(x-2) \\ y-8 & = 12x-24 \\ y-12x+16 & = 0 \\ \text{Kalikan}~-1&~\text{di kedua ruas} \\ 12x-y-16 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{12x-y-16=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius

Soal Nomor 6
Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x-1$ di titik yang berordinat $2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4x+y-3=0$
B. $4x-y-2=0$
C. $3x-y-1=0$
D. $3x-y+1=0$
E. $x-y+1=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^2+2x-1$.
Titik singgung berordinat $y = 2$, sehingga
$\begin{aligned} x^2+2x-1 & = 2 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -3$ atau $x=1$.
Jadi, koordinat titik singgung di $(-3, 2)$ dan $(1, 2)$.
Kemungkinan 1: TS di $(-3, 2)$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$y’ = 2x+2$.
Karena titik singgungnya $(\color{red}{-3}, 2)$, maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = -3}$, yaitu
$m = y’_{x=-3} = 2(-3) + 2 = -4$
Persamaan garis yang bergradien $m = -4$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (-3, 2)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = -4(x+3) \\ y-2 & = -4x-12 \\ 4x+y+10 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+y+10=0}$
Kemungkinan 2: TS di $(1, 2)$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$y’ = 2x+2$.
Karena titik singgungnya $(\color{red}{1}, 2)$, maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu
$m = y’_{x=-3} = 2(1) + 2 = 4$
Persamaan garis yang bergradien $m = 4$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = 4(x-1) \\ y-2 & = 4x-4 \\ 4x-y-2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x-y-2=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

Soal Nomor 7
Garis singgung pada parabola $y=x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12$ yang sejajar dengan garis $x-2y+3=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x-2y-9=0$
B. $x+2y-13=0$
C. $2y+x+12=0$
D. $2y-x-11=0$
E. $2y-x-1=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$y’ = 2x + 6\dfrac12$.
Garis $x-2y + 3 = 0$ memiliki gradien $m = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac12$.
Substitusi $y’ = \dfrac12$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac12 & = 2x + 6\dfrac12 \\ -6 & = 2x \\ x & = -3 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $x = -3$ pada $y$.
$\begin{aligned} y & =x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12 \\ & = (-3)^2+6\dfrac12(-3) + 14\dfrac12 \\ & = 9-19\dfrac12+14\dfrac12 \\ & = 9-5 = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(-3, 4)$.
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac12$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-4 & = \dfrac12(x+3) \\ 2y-8 & = x+3 \\ 2y-x-11 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{2y-x-11=0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Garis singgung kurva $y=\dfrac13x^3+x^2$ yang tegak lurus dengan garis $x-y+3=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x+y+1=0$
B. $2x+2y+1=0$
C. $3x+3y+1=0$
D. $3x+3y-1=0$
E. $3x+3y-2=0$

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac13x^3 + x^2$.
Gradien garis $x-y+3=0$ adalah
$m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-1} = 1$
Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah
$m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{1} = -1$
Nilai turunan pertama dari $y = \dfrac13x^3 + x^2$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = -1$. Dengan demikian, kita tuliskan
$\begin{aligned} y’ & = x^2 + 2x \\ m = y’_{x = a} & = a^2+2a \\ -1 & = a^2+2a \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ (a+1)^2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -1$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = -1$. Sekarang, substitusikan $x = -1$ pada $y$.
$\begin{aligned} y & = \dfrac13x^3 + x^2 \\ & = \dfrac13(-1)^3 + (1)^2 \\ & = -\dfrac13 + 1 = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $\left(-1, \dfrac23\right)$.
Persamaan garis yang bergradien $m = -1$ dan melalui titik $\left(-1, \dfrac23\right)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-\dfrac23 & = -1(x+1) \\ y-\dfrac23 & = -x-1 \\ x+y+\dfrac13 & = 0 \\ \text{Kalikan 3}&~\text{di kedua ruas} \\ 3x+3y+1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3x+3y+1 = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Garis $g$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-2x^2-x+8$. Jika gradien garis singgung tersebut adalah $m = 7$, maka titik singgung antara grafik fungsi $f$ dan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2,2)$                     D. $(2,2)$
B. $(-2,4)$                     E. $(2,4)$
C. $(0,2)$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=-2x^2-x+8$.
Misalkan titik singgungnya di $(a, b)$.
Substitusi $x = a$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung (diketahui di sini bahwa $m = 7$).
$\begin{aligned} f'(x) & = -4x-1 \\ m = f'(a) & = -4a-1 \\ 7 & = -4a-1 \\ 8 & = -4a \\ a & = -2 \end{aligned}$
Substitusi $x = -2$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^2-x+8 \\ f(-2) & = -2(-2)^2-(-2)+8 \\ b & = -2(4)+10 = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik singgung antara grafik fungsi $f$ dan garis $g$ adalah $\boxed{(-2, 2)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui garis singgung parabola $y=4x-x^2$ di titik $A(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^2-6x+p$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $17$                    C. $9$                   E. $-17$
B. $15$                    D. $-15$

Pembahasan

Diketahui $y = 4x-x^2$.
Turunan pertamanya adalah $y’ = 4-2x$.
Gradien garis singgung di $x = 1$ adalah
$m= y’_{x=1} = 4-2(1)=2$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 3)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y & = 2x+1 \end{aligned}$
Garis $y = 2x + 1$ juga menyinggung parabola $y = x^2-6x+p$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} x^2-6x+p & = 2x+1 \\ x^2-8x+(p-1) & = 0 \end{aligned}$
Syarat dua kurva bersinggungan adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut nol.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ 0 & = (-8)^2-4(1)(p-1) \\ 0 & = 64-4p+4 \\ 4p & = 68 \\ p & = 17 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{17}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

Soal Nomor 11
Grafik fungsi $g(x)=x^3-3x^2+3x-1$ melalui titik $A(3,8)$. Persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=3x-28$
B. $y=3x+38$
C. $y=11x-28$
D. $y=11x-38$
E. $y=11x+38$

Pembahasan

Diketahui $g(x)=x^3-3x^2+3x-1$.
Titik singgung di $(3, 8)$.
Substitusi $x = 3$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2-6x+3 \\ m = f'(3) & = 3(3)^2-6(3)+3 \\ m & = 27-18+3 = 12 \end{aligned}$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3, 8)$ dan bergradien $m = 12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = 12(x-3) \\ y-8 & = 12x-36 \\ y & = 12x-28 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\boxed{y=12x-28}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan garis singgung kurva $f(x)=\sqrt{2x+3}$ yang tegak lurus garis $3x+y-2=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9x-3y+14=0$
B. $8x-24y+39=0$
C. $9x-y-6=0$
D. $3x-y-12=0$
E. $x-3y+6=0$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \sqrt{2x+3}$.
Gradien garis $3x+y-2=0$ adalah
$m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{3}{1} = -3$
Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah
$m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$
Nilai turunan pertama dari $f(x)$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = \dfrac13$. Dengan demikian, kita tuliskan
$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{2x+3} = (2x+3)^{1/2} \\ f'(x) & = \dfrac12(2x+3)^{-1/2}(2) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} \\ m = f'(a) & =\dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \dfrac13 & = \dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \sqrt{2a+3} & = 3 \\ 2a+3 & = 9 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 3$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = 3$. Sekarang, substitusikan $x = 3$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{2x+3} \\ f(3) & = \sqrt{2(3)+3} \\ & = \sqrt9 = 3 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(3, 3)$.
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac13$ dan melalui titik $(3,3)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = \dfrac13(x-3) \\ 3y-9 & = x-3 \\ x-3y+6 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{x-3y+6=0}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Persamaan garis yang melalui titik $A(1,1)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $f(x)=x^3-3x^2+3$ di titik tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y+3x-4=0$
B. $y+3x-2=0$
C. $3y-x+2=0$
D. $3y-x-2=0$
E. $3y-x-4=0$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^3-3x^2+3$.
Titik singgung di $(1, 1)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2-6x \\ m’ = f'(1) & = 3(1)^2-6(1) \\ & = 3-6 = -3 \end{aligned}$
Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1,1)$ dan bergradien $m = \dfrac13$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = \dfrac13(x-1) \\ 3y-3 & = x-1 \\ 3y-x-2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3y-x-2=0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Garis $\ell$ tegak lurus garis $g$ dan melalui titik $A(3,1)$. Garis $g$ menyinggung kurva $f(x)=2x^2-6x+4$ di titik $B(1,0)$. Persamaan garis $\ell$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x+y=1$
B. $x+2y=1$
C. $2x-y=1$
D. $x-2y=1$
E. $2y-x=1$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=2x^2-6x+4$.
Titik singgung di $(1, 0)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 4x-6 \\ m’ = f'(1) & = 4(1)-6 = -2 \end{aligned}$
Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3,1)$ dan bergradien $m = \dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = \dfrac12(x-3) \\ 2y-2 & = x-3 \\ x-2y & = 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $\ell$ dinyatakan oleh $\boxed{x-2y=1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Soal Nomor 15
Persamaan garis normal kurva $f(x)=3x^3-3x+2$ di $x=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x-6y=13$
B. $x+6y=13$
C. $y-6x=13$
D. $6y-x=13$
E. $6x+y=13$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=3x^3-3x+2$.
Substitusi $x = 1$ untuk mencari ordinat titik singgungnya.
$\begin{aligned} f(1) & = 3(1)^3-3(1)+2 \\ & = 3-3+2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(1, 2)$.
Nilai turunan $f(x)$ di $x = 1$ adalah gradien garis singgungnya.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3(3)x^2-3 \\ & = 9x^2-3 \\ m’ = f'(1) & = 9(1)^2-3 = 6 \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung sehingga gradiennya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac16$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$ dan bergradien $m = -\dfrac16$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = -\dfrac16(x-1) \\ 6(y-2) & = -(x-1) \\ 6y-12 & = -x+1 \\ x+6y & = 13 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{x+6y=13}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Persamaan garis normal kurva $f(x)=-2x^3+6x^2$ di titik $P$ adalah $6y+x=25$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-1,2)$                     D. $(1,4)$
B. $(-1,4)$                     E. $(2,1)$
C. $(1,2)$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=-2x^3+6x^2$.
Gradien garis normal $6y+x=25$ adalah $m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{6}$.
Garis singgung adalah garis yang tegak lurus garis normal, sehingga gradien garis singgung adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = 6$.
Misalkan titik singgung di $P(a, b)$.
Substitusi $x = a$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung (diketahui di sini bahwa $m = 6$).
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^3+6x^2 \\ f'(x) & = -6x^2+12x \\ m = f'(a) & = -6a^2+12a \\ 6 & = -6a^2+12a \\ 6a^2-12a+6 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&6 \\ a^2-2a+1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 1$.
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^3+6x^2 \\ f(1) & = -2(1)^3 + 6(1)^2 \\ b & = -2+6 = 4 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(1, 4)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Persamaan garis singgung pada kurva $y = \tan x$ di titik $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 2x + \left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)$
B. $y = 2x + \left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$
C. $y = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right)$
D. $y = 2x + (2-\pi)$
E. $y = 2x + (2+\pi)$

Pembahasan

Diketahui $y = \tan x$ dan titik singgungnya $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$.
Pertama, akan dicari turunan dari $y$, yaitu:
$y’ = \sec^2 x$.
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ pada $y’$ sehingga kita peroleh gradien garis singgungnya.
$m = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} = (\sqrt2)^2 = 2$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ & = 2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+1 \\ & = 2x-\dfrac{\pi}{2}+1 \\ & = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $\boxed{y = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right)}$
Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.
Grafik y = tan x dan garis singgungnya
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Persamaan garis singgung yang melalui kurva $y = \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{2}$ akan memotong sumbu-$Y$ dengan ordinatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{\pi}{2} + 1$                      D. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $-\dfrac{\pi}{2}$                            E. $\dfrac{\pi}{2} + 1$
C. $-\dfrac{\pi}{2}- 1$

Pembahasan

Diketahui $y = \sin x + \cos x$.
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{2}$ untuk memperoleh
$y  = \sin \dfrac{\pi}{2} + \cos \dfrac{\pi}{2}= 1 + 0 = 1 $
Titik singgungnya di $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$.
Turunan dari $y$ adalah $y’ = \cos x-\sin x$.
Gradien garis singgung $(m)$ adalah nilai $y’$ saat $x = \dfrac{\pi}{2}$, yakni
$y’ = m = \cos \dfrac{\pi}{2}-\sin \dfrac{\pi}{2} = 0-1 = -1$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ dan bergradien $m = -1$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = -1\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) \\ y & = -x + \dfrac{\pi}{2} + 1 \end{aligned}}$
Garis ini memotong sumbu-$Y$ saat nilai $x = 0$ sehingga didapat
$\boxed{y = 0 + \dfrac{\pi}{2} + 1 = \dfrac{\pi}{2} + 1}$
Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.
Grafik y = sin x + cos x beserta garis singgungnya



(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah gradien garis singgung pada kurva dengan persamaan $y = 3x^3-6x^2+8x+10$ pada $x=2$.

Pembahasan

Gradien garis singgung pada kurva dengan persamaan $y = 3x^3-6x^2+8x+10$ pada $x=2$ adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}|_{x = 2}$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 3\dfrac{\text{d}(x^3)}{\text{d}x}-6\dfrac{\text{d}x^2}{\text{d}x}+8\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}+\dfrac{\text{d}(10)}{\text{d}x} \\ & = 9x^2-12x+8 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} m & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}|_{x = 2} \\ & = 9(2)^2-12(2)+8 \\ & = 36-24+8 = 20 \end{aligned}$
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $\boxed{20}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Grafik fungsi $f(x)=-x^3+3x^2-4x+5$ melalui titik $A(3,-7)$. Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi $f$ di titik $A$.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=-x^3+3x^2-4x+5$.
Titik singgung di $(3, -7)$.
Substitusi $x = 3$ pada $f'(x)$ untuk memperoleh gradien garis singgungnya.
$\begin{aligned} f'(x) & = -3x^2+6x-4 \\ m = f'(3) & = -3(3)^2 + 6(3)-4 \\ & = -27+18-4 = -13 \end{aligned}$
Persamaan garis yang melalui $(x_1, y_1) = (3, -7)$ dan bergradien $m = -13$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-7) & = -13(x-3) \\ y+7 & = -13x+39 \\ y & = -13x+32 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y=-13x+32}$

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 3
Titik $P(2,4)$ terletak pada kurva $f(x)=ax^2+bx+2$. Jika garis singgung kurva di titik $P$ sejajar dengan garis $y = 5x-6$, tentukan nilai $a$ dan $b$.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=ax^2+bx+2$ dan $P(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Substitusi $x = 2$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(2) & = a(2)^2+b(2)+2 \\ 4 & = 4a+2b+2 \\ 2 & = 4a+2b \\ 1 & = 2a+b && (\cdots 1) \end{aligned}$
Gradien garis $y = 5x-6$ adalah $m’ = 5$. Karena sejajar dengan garis singgung, maka gradien garis singgungnya adalah $m = m’ = 5$.
Substitusi $x = 2$ pada $f'(x)$ untuk memperoleh gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f(x) & = ax^2+bx+2 \\ f'(x) & = 2ax + b \\ m = f'(2) & = 2a(2) + b \\ 5 & = 4a + b && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $\boxed{a = 2}$ dan $\boxed{b = -3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Titik $A(1, (a+2))$ terletak pada kurva $f(x)=ax^2-(a+1)x+6$. Tentukan persamaan garis normal kurva di titik $A$.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=ax^2-(a+1)x+6$ dan titik $A(1, (a+2))$ terletak pada kurva $f(x)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(1) & = a(1)^2-(a+1)(1) + 6 \\ a+2 & = a-(a+1)+6 \\ a+2 & = 5 \\ a & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$f(x) = 3x^2-4x +6$ dan $A(1, 5)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung di $A$.
$\begin{aligned} f'(x) & = 6x-4 \\ m’ = f'(1) & = 6(1)-4 \\ m’ & = 2 \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung sehingga gradiennya adalah
$m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac12$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 5)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-5 & = -\dfrac12(x-1) \\ 2y-10 & = -x+1 \\ x+2y & = 11 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normal di titik $A$ adalah $\boxed{x+2y=11}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan.

  1. $f(x) = \sin x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{6}$.
  2. $f(x) = \cot x-2 \csc x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{6}$, diperoleh
$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x)= \sin x$ adalah $f'(x) = \cos x$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{6}$, yaitu
$m = f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12\sqrt3$.
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right)$ dan bergradien $m = \dfrac12\sqrt3$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac12\sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac12 \\ 2y & = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya dinyatakan oleh $\boxed{2y = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1}$
Jawaban b)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \cot \dfrac{\pi}{3}-2 csc \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\sqrt3}{3}-2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \\ & = (1-4)\dfrac{\sqrt3}{3} = -\sqrt3 \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x)= \cot x-2 \csc x$ adalah
$\begin{aligned}vf'(x) & = -\csc^2 x-2(-\csc x \cot x) \\ & = 2 \csc x \cot x-\csc^2 x \end{aligned}$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = 2 \csc \dfrac{\pi}{3} \cot \dfrac{\pi}{3} -\csc^2 \dfrac{\pi}{3} \\ & = 2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \cdot \dfrac13\sqrt3-\left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 \\ & = \dfrac43-\dfrac{4}{9}(3)  = 0 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right)$ dan bergradien $m = 0$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = 0\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + (-\sqrt3) \\ y & = -\sqrt3 \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit

Soal Nomor 6
Tentukan persamaan garis normal pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan.

  1. $h(\theta) = \theta + \sin \theta$ di titik yang berordinat $0$.
  2. $f(x) = x \cos x$ di titik yang berabsis $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $h(\theta) = \theta + \sin \theta$.
Untuk $y = 0$, diperoleh $0 = \theta + \sin \theta$ sehingga haruslah $\theta = 0$.
Titik singgung di $(0, 0)$.
Turunan pertama fungsi $f(\theta)= \theta + \sin \theta$ adalah $f'(\theta) = 1 + \cos \theta$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $\theta = 0$, yaitu
$m = f'(0) = 1 + \cos 0 = 2$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya:
$m_n = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac12$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = (0, 0)$ dan bergradien $m_n = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = -\dfrac12(x-0) + 0 \\ y & = -\dfrac12x \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = -\dfrac12x}$
Jawaban b)
Diketahui $f(x) = x \cos x$.
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$.
Turunan pertama fungsi $f(x) = x \cos x$ adalah $f'(x) = \cos x-x \sin x$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x= \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = \cos \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac12-\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi}{6} \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya:
$m_n = -\dfrac{1}{m} = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$ dan bergradien $m_n = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6}}$ 

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *