Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan

Diketahui $f(x)=x^2-4x+5.$
Turunan pertama dari fungsi $f(x)$ adalah $f'(x) = 2x-4.$
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x = -1,$ yaitu
$m = f'(-1) = 2(-1)-4=-6.$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $\boxed{-6}$
(Jawaban B) 

Diketahui $g(x)=3x^2-x+6.$
Turunan pertama dari fungsi $g(x)$ adalah $g'(x) = 6x-1.$
Karena titik singgungnya di $(\color{red}{2}, 16)$, gradien garis singgung $k$ diperoleh saat $\color{red}{x = 2},$ yaitu $m = g'(2) = 6(2)-1=11.$
Persamaan garis yang bergradien $m = 11$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (2, 16)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-16 & = 11(x-2) \\ y-16 & = 11x-22 \\ y & = 11x-6 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{y=11x-6}$
(Jawaban C)

Diketahui $y=x^3-5x^2+7.$
Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 3x^2-10x.$
Karena titik singgungnya di $(\color{red}{1}, 3)$, maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu
$m = y’_{x=1} = 3(1)^2-10(1) = -7.$
Persamaan garis yang bergradien $m = -7$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 3)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = -7(x-1) \\ y-3 & -7x+7 \\ 7x+y-10 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $l$ adalah $\boxed{7x+y-10=0}$
(Jawaban B)

Diketahui $y=(x^2+1)^2.$
Titik singgung berabsis $x = 1$ sehingga $y = ((1)^2+1)^2 = (2)^2 = 4.$ Jadi, koordinat titik singgung di $(1, 4)$.
Turunan pertama dari $y$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan rantai (atau bisa juga dengan dijabarkan lebih dulu), yaitu
$y’ = 2(x^2+1)(\underbrace{2x}_{y}) = 4x(x^2+1).$
Karena titik singgungnya berabsis $x=1$, gradien garis singgungnya diperoleh saat $x = 1$, yaitu
$\begin{aligned} m & = y’_{x=1} = 4(1)((1)^2+1) \\&  = 4(2) = 8. \end{aligned}$
Persamaan garis yang bergradien $m = 8$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 4)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-4 & = 8(x-1) \\ y-4 & = 8x-8 \\ y & = 8x-4. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y = 8x-4}$
(Jawaban D)

Diketahui $y=x^3.$
Titik singgung berordinat $y = 8$sehingga $8 = x^3 \Leftrightarrow x = 2$. Jadi, koordinat titik singgung di $(2, 8).$
Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 3x^2.$
Karena titik singgungnya $(\color{red}{2}, 8),$ maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 2}$, yaitu
$m = y’_{x=2} = 3(2)^2 = 12.$
Persamaan garis yang bergradien $m = 12$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (2, 8)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = 12(x-2) \\ y-8 & = 12x-24 \\ y-12x+16 & = 0 \\ \text{Kalikan}~-1&~\text{di kedua ruas} \\ 12x-y-16 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{12x-y-16=0}$
(Jawaban C)

Diketahui $y=x^2+2x-1.$
Titik singgung berordinat $y = 2$ sehingga
$\begin{aligned} x^2+2x-1 & = 2 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh $x = -3$ atau $x=1.$
Jadi, koordinat titik singgung di $(-3, 2)$ dan $(1, 2).$
Kemungkinan 1: TS di $(-3, 2).$
Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x+2.$
Karena titik singgungnya $(\color{red}{-3}, 2)$, gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = -3},$ yaitu
$m = y’_{x=-3} = 2(-3) + 2 = -4.$
Persamaan garis yang bergradien $m = -4$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (-3, 2)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = -4(x+3) \\ y-2 & = -4x-12 \\ 4x+y+10 & = 0. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+y+10=0}$
Kemungkinan 2: TS di $(1, 2).$
Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x+2.$
Karena titik singgungnya $(\color{red}{1}, 2),$ maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu
$m = y’_{x=-3} = 2(1) + 2 = 4.$
Persamaan garis yang bergradien $m = 4$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = 4(x-1) \\ y-2 & = 4x-4 \\ 4x-y-2 & = 0. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x-y-2=0}$
(Jawaban B)

Diketahui $y=x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x + 6\dfrac12.$
Garis $x-2y + 3 = 0$ memiliki gradien $m = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac12.$
Substitusi $y’ = \dfrac12$sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac12 & = 2x + 6\dfrac12 \\ -6 & = 2x \\ x & = -3. \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $x = -3$ pada $y.$
$\begin{aligned} y & =x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12 \\ & = (-3)^2+6\dfrac12(-3) + 14\dfrac12 \\ & = 9-19\dfrac12+14\dfrac12 \\ & = 9-5 = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(-3, 4).$
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac12$ dan melalui titik $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-4 & = \dfrac12(x+3) \\ 2y-8 & = x+3 \\ 2y-x-11 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{2y-x-11=0}$
(Jawaban D)

Diketahui $y = \dfrac13x^3 + x^2.$ Gradien garis $x-y+3=0$ adalah
$m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-1} = 1.$
Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah
$m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{1} = -1.$
Nilai turunan pertama dari $y = \dfrac13x^3 + x^2$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = -1$. Dengan demikian, kita tuliskan
$\begin{aligned} y’ & = x^2 + 2x \\ m = y’_{x = a} & = a^2+2a \\ -1 & = a^2+2a \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ (a+1)^2 & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh $a = -1$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = -1.$ Sekarang substitusikan $x = -1$ pada $y.$
$\begin{aligned} y & = \dfrac13x^3 + x^2 \\ & = \dfrac13(-1)^3 + (1)^2 \\ & = -\dfrac13 + 1 = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $\left(-1, \dfrac23\right).$
Persamaan garis yang bergradien $m = -1$ dan melalui titik $\left(-1, \dfrac23\right)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-\dfrac23 & = -1(x+1) \\ y-\dfrac23 & = -x-1 \\ x+y+\dfrac13 & = 0 \\ \text{Kalikan 3}&~\text{di kedua ruas} \\ 3x+3y+1 & = 0. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3x+3y+1 = 0}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=-2x^2-x+8.$ Misalkan titik singgungnya di $(a, b).$
Substitusi $x = a$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung (diketahui di sini bahwa $m = 7$).
$\begin{aligned} f'(x) & = -4x-1 \\ m = f'(a) & = -4a-1 \\ 7 & = -4a-1 \\ 8 & = -4a \\ a & = -2 \end{aligned}$
Substitusi $x = -2$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^2-x+8 \\ f(-2) & = -2(-2)^2-(-2)+8 \\ b & = -2(4)+10 = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik singgung antara grafik fungsi $f$ dan garis $g$ adalah $\boxed{(-2, 2)}$
(Jawaban A)

Diketahui $y = 4x-x^2.$ Turunan pertamanya adalah $y’ = 4-2x.$ Gradien garis singgung di $x = 1$ adalah $m= y’_{x=1} = 4-2(1)=2.$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 3)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y & = 2x+1. \end{aligned}$
Garis $y = 2x + 1$ juga menyinggung parabola $y = x^2-6x+p$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} x^2-6x+p & = 2x+1 \\ x^2-8x+(p-1) & = 0. \end{aligned}$
Syarat dua kurva bersinggungan adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut nol.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ 0 & = (-8)^2-4(1)(p-1) \\ 0 & = 64-4p+4 \\ 4p & = 68 \\ p & = 17 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{17}$
(Jawaban A) 

Diketahui $g(x)=x^3-3x^2+3x-1.$ Titik singgung di $(3, 8).$
Substitusi $x = 3$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2-6x+3 \\ m = f'(3) & = 3(3)^2-6(3)+3 \\ m & = 27-18+3 = 12 \end{aligned}$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3, 8)$ dan bergradien $m = 12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = 12(x-3) \\ y-8 & = 12x-36 \\ y & = 12x-28. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\boxed{y=12x-28}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \sqrt{2x+3}.$ Gradien garis $3x+y-2=0$ adalah
$m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{3}{1} = -3.$
Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah
$m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13.$
Nilai turunan pertama dari $f(x)$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = \dfrac13$. Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{2x+3} = (2x+3)^{1/2} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{\cancel{2}}(2x+3)^{-1/2}(\cancel{2}) \\ f'(x) & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} \\ m = f'(a) & =\dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \dfrac13 & = \dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \sqrt{2a+3} & = 3 \\ 2a+3 & = 9 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3. \end{aligned}$$Diperoleh $a = 3$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = 3.$ Sekarang substitusikan $x = 3$ pada $f(x).$
$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{2x+3} \\ f(3) & = \sqrt{2(3)+3} \\ & = \sqrt9 = 3 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(3, 3).$
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac13$ dan melalui titik $(3,3)$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-3 & = \dfrac13(x-3) \\ 3y-9 & = x-3 \\ x-3y+6 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{x-3y+6=0}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x)=x^3-3x^2+3.$ Titik singgung di $(1, 1).$
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2-6x \\ m’ = f'(1) & = 3(1)^2-6(1) \\ & = 3-6 = -3 \end{aligned}$
Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13.$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1,1)$ dan bergradien $m = \dfrac13$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = \dfrac13(x-1) \\ 3y-3 & = x-1 \\ 3y-x-2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3y-x-2=0}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=2x^2-6x+4.$ Titik singgung di $(1, 0).$
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f'(x) & = 4x-6 \\ m’ = f'(1) & = 4(1)-6 = -2 \end{aligned}$
Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}.$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3,1)$ dan bergradien $m = \dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = \dfrac12(x-3) \\ 2y-2 & = x-3 \\ x-2y & = 1. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $\ell$ dinyatakan oleh $\boxed{x-2y=1}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=3x^3-3x+2.$
Substitusi $x = 1$ untuk mencari ordinat titik singgungnya.
$\begin{aligned} f(1) & = 3(1)^3-3(1)+2 \\ & = 3-3+2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya di $(1, 2).$
Nilai turunan $f(x)$ di $x = 1$ adalah gradien garis singgungnya.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3(3)x^2-3 \\ & = 9x^2-3 \\ m’ = f'(1) & = 9(1)^2-3 = 6 \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung sehingga gradiennya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac16.$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$ dan bergradien $m = -\dfrac16$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-2 & = -\dfrac16(x-1) \\ 6(y-2) & = -(x-1) \\ 6y-12 & = -x+1 \\ x+6y & = 13. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{x+6y=13}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=-2x^3+6x^2.$
Gradien garis normal $6y+x=25$ adalah $m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{6}.$
Garis singgung adalah garis yang tegak lurus garis normalsehingga gradien garis singgung adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = 6.$
Misalkan titik singgung di $P(a, b).$
Substitusi $x = a$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung (diketahui di sini bahwa $m = 6$).
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^3+6x^2 \\ f'(x) & = -6x^2+12x \\ m = f'(a) & = -6a^2+12a \\ 6 & = -6a^2+12a \\ 6a^2-12a+6 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&6 \\ a^2-2a+1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 1.$
Substitusi $x = 1$ pada $f(x).$
$\begin{aligned} f(x) & = -2x^3+6x^2 \\ f(1) & = -2(1)^3 + 6(1)^2 \\ b & = -2+6 = 4 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(1, 4)}$
(Jawaban D)

Diketahui $y = \tan x$ dan titik singgungnya $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right).$
Pertama, akan dicari turunan dari $y$, yaitu $y’ = \sec^2 x.$
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ pada $y’$ sehingga kita peroleh gradien garis singgungnya, yakni $m = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} = (\sqrt2)^2 = 2.$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ & = 2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+1 \\ & = 2x-\dfrac{\pi}{2}+1 \\ & = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right). \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $\boxed{y = 2x + \left(1-\dfrac{\pi}{2}\right)}$
Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.
(Jawaban C)

Diketahui $y = \sin x + \cos x.$
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{2}$ untuk memperoleh
$y  = \sin \dfrac{\pi}{2} + \cos \dfrac{\pi}{2}= 1 + 0 = 1.$
Titik singgungnya di $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right).$
Turunan dari $y$ adalah $y’ = \cos x-\sin x.$
Gradien garis singgung $(m)$ adalah nilai $y’$ saat $x = \dfrac{\pi}{2}$, yakni
$\begin{aligned} y’ = m & = \cos \dfrac{\pi}{2}-\sin \dfrac{\pi}{2} \\ & = 0-1 = -1. \end{aligned}$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ dan bergradien $m = -1$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = -1\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) \\ y & = -x + \dfrac{\pi}{2} + 1. \end{aligned}}$
Garis ini memotong sumbu-$Y$ saat nilai $x = 0$ sehingga didapat
$\boxed{y = 0 + \dfrac{\pi}{2} + 1 = \dfrac{\pi}{2} + 1}$
Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.

(Jawaban E)

Gradien garis singgung pada kurva dengan persamaan $y = 3x^3-6x^2+8x+10$ pada $x=2$ adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}|_{x = 2}.$ Turunan pertama diberikan oleh
$$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 9x^2-12x+8$$Dengan demikian,
$\begin{aligned} m & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}|_{x = 2} \\ & = 9(2)^2-12(2)+8 \\ & = 36-24+8 = 20. \end{aligned}$
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $\boxed{20}$

Diketahui $f(x)=-x^3+3x^2-$ $4x+5.$ Titik singgung di $(3, -7).$
Substitusi $x = 3$ pada $f'(x)$ untuk memperoleh gradien garis singgungnya.
$\begin{aligned} f'(x) & = -3x^2+6x-4 \\ m = f'(3) & = -3(3)^2 + 6(3)-4 \\ & = -27+18-4 = -13 \end{aligned}$
Persamaan garis yang melalui $(x_1, y_1) = (3, -7)$ dan bergradien $m = -13$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-7) & = -13(x-3) \\ y+7 & = -13x+39 \\ y & = -13x+32. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y=-13x+32}$

Diketahui $f(x)=ax^2+bx+2$ dan $P(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x).$
Substitusi $x = 2$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(2) & = a(2)^2+b(2)+2 \\ 4 & = 4a+2b+2 \\ 2 & = 4a+2b \\ 1 & = 2a+b && (\cdots 1) \end{aligned}$
Gradien garis $y = 5x-6$ adalah $m’ = 5$. Karena sejajar dengan garis singgung, gradien garis singgungnya adalah $m = m’ = 5.$
Substitusi $x = 2$ pada $f'(x)$ untuk memperoleh gradien garis singgung.
$\begin{aligned} f(x) & = ax^2+bx+2 \\ f'(x) & = 2ax + b \\ m = f'(2) & = 2a(2) + b \\ 5 & = 4a + b && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $\boxed{a = 2}$ dan $\boxed{b = -3}$

Diketahui $f(x)=ax^2-(a+1)x+6$ dan titik $A(1, (a+2))$ terletak pada kurva $f(x).$
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$.
$\begin{aligned} f(1) & = a(1)^2-(a+1)(1) + 6 \\ a+2 & = a-(a+1)+6 \\ a+2 & = 5 \\ a & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, $f(x) = 3x^2-4x +6$ dan $A(1, 5).$
Substitusi $x = 1$ pada $f'(x)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung di $A$.
$\begin{aligned} f'(x) & = 6x-4 \\ m’ = f'(1) & = 6(1)-4 \\ m’ & = 2 \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung sehingga gradiennya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac12.$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 5)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-5 & = -\dfrac12(x-1) \\ 2y-10 & = -x+1 \\ x+2y & = 11. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normal di titik $A$ adalah $\boxed{x+2y=11}$

Jawaban a)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{6},$ diperoleh
$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12.$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right).$
Turunan pertama fungsi $f(x)= \sin x$ adalah $f'(x) = \cos x.$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{6}$, yaitu
$m = f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12\sqrt3.$
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right)$ dan bergradien $m = \dfrac12\sqrt3$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac12\sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac12 \\ 2y & = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya dinyatakan oleh $\boxed{2y = \sqrt3\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) +1}$
Jawaban b)
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \cot \dfrac{\pi}{3}-2 csc \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\sqrt3}{3}-2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \\ & = (1-4)\dfrac{\sqrt3}{3} = -\sqrt3 \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right).$
Turunan pertama fungsi $f(x)= \cot x-2 \csc x$ adalah
$\begin{aligned}vf'(x) & = -\csc^2 x-2(-\csc x \cot x) \\ & = 2 \csc x \cot x-\csc^2 x \end{aligned}$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = 2 \csc \dfrac{\pi}{3} \cot \dfrac{\pi}{3} -\csc^2 \dfrac{\pi}{3} \\ & = 2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \cdot \dfrac13\sqrt3-\left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 \\ & = \dfrac43-\dfrac{4}{9}(3)  = 0 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right)$ dan bergradien $m = 0$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = 0\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) + (-\sqrt3) \\ y & = -\sqrt3 \end{aligned}$

Jawaban a)
Diketahui $h(\theta) = \theta + \sin \theta.$
Untuk $y = 0$, diperoleh $0 = \theta + \sin \theta$ sehingga haruslah $\theta = 0.$ Titik singgung di $(0, 0).$
Turunan pertama fungsi $f(\theta)= \theta + \sin \theta$ adalah $f'(\theta) = 1 + \cos \theta.$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $\theta = 0,$ yaitu
$m = f'(0) = 1 + \cos 0 = 2.$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya:
$m_n = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac12.$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = (0, 0)$ dan bergradien $m_n = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = -\dfrac12(x-0) + 0 \\ y & = -\dfrac12x. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = -\dfrac12x}$
Jawaban b)
Diketahui $f(x) = x \cos x.$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{3},$ diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Titik singgung di $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right).$
Turunan pertama fungsi $f(x) = x \cos x$ adalah $f'(x) = \cos x-x \sin x.$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x= \dfrac{\pi}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} m & = f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = \cos \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac12-\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi}{6}. \end{aligned}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya, yakni
$m_n = -\dfrac{1}{m} = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}.$
Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $(x_1, y_1) = \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$ dan bergradien $m_n = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_n(x-x_1)+y_1 \\ y & = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{\pi}{6}}$